专题26 三角形的外接圆（提优）-冲刺2021年中考几何专项复习（解析版）.docx

1、专题26 三角形的外接圆（提优）一选择题1如图，O是ABC的外接圆，连接OB，若OBC30，则A的度数为（）A55B60C65D70【分析】连接OA，OC，根据三角形的内角和和等腰三角形的性质即可得到结论【解答】解：连接OA，OC，点O是ABC的外心，OAOBOC，OABOBA，OBCOCB，OACOCA，OBC30，OCB30，BAC=12（1803030）60，故选：B【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，三角形的内角和，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键2如图，ABC为圆O的内接三角形，AB为圆O的直径，点D在圆O上，BAC35，则ADC的度数为（）A45B50C55D65

2、【分析】由圆周角定理得出ACB90，由直角三角形的性质求出B50，再由圆周角定理得出ADCB55即可【解答】解：AB是O的直径，ACB90，BAC35，B903555，ADCB55故选：C【点评】此题主要考查了三角形的外接圆、圆周角定理以及直角三角形的性质；熟练掌握圆周角定理是解题的关键3如图，O是ABC的外接圆，半径为2cm，若BC2cm，则A的度数为（）A30B25C15D10【分析】连接OB和OC，证明OBC为等边三角形，得到BOC的度数，再利用圆周角定理得出A【解答】解：连接OB和OC，圆O半径为2，BC2，OBOCBC，OBC为等边三角形，BOC60，A=12BOC30，故选：A【点

3、评】本题考查了圆周角定理和等边三角形的判定和性质，解题的关键是正确的作出辅助线4如图，点D，E分别是O的内接正三角形ABC的AB，AC边的中点，若DE1，则O的直径为（）A32B3C233D433【分析】连接OB、OC，作OFBC于F，根据三角形中位线定理求出BC，根据圆周角定理得到BOC120，利用余弦的概念计算即可【解答】解：连接OB、OC，作OFBC于F，则BFCF=12BC，点D，E分别AB，AC边的中点，BC2DE2，由圆周角定理得，BOC2A120，OBF30，OB=BFcosOBF=132=233，O的直径为433，故选：D【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握三角形中位

4、线定理、圆周角定理以及锐角三角函数的定义是解题的关键5如图，ABC内接于O，A50E是边BC的中点，连接OE并延长，交O于点D，连接BD，则D的大小为（）A55B65C60D75【分析】连接CD，根据圆内接四边形的性质得到CDB180A130，根据垂径定理得到ODBC，求得BDCD，根据等腰三角形的性质即可得到结论【解答】解：连接CD，A50，CDB180A130，E是边BC的中点，ODBC，BDCD，ODBODC=12BDC65，故选：B【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆内接四边形的性质，垂径定理，等腰三角形的性质，正确的理解题意是解题的关键6如图，ABC是O的内接三角形，ABBC，

5、BAC30，AD是直径，AD8，则AC的长为（）A4B43C833D23【分析】连接CD，根据等腰三角形的性质得到ACBBAC30，根据圆内接四边形的性质得到D180B60，求得CAD30，根据直角三角形的性质即可得到结论【解答】解：连接CD，ABBC，BAC30，ACBBAC30，B1803030120，D180B60，AD是直径，ACD90，CAD30，AD8，CD=12AD4，AC=AD2-CD2=82-42=43，故选：B【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，含30角的直角三角形的性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键7如图，ABC是O的内接三角形，已知圆心在AB边上

6、，CD平分ACB交圆于点D，连接BD，若BDBC，则ABC的度数为（）A30B42.5C45D60【分析】易证AB为O的直径，ACB90，由角平分线的性质得出ACDBCD45，由等腰三角形的性质得出BCDBDC45，再DBC90，由圆周角定理得出ABDACD45，即可得出结果【解答】解：ABC是O的内接三角形，圆心在AB边上，AB为O的直径，ACB90，CD平分ACB，ACDBCD45，BDBC，BCDBDC45，DBC90，ABDACD45，ABC904545，故选：C【点评】本题考查了三角形外接圆与外心、角平分线的性质、等腰三角形的性质、圆周角定理、三角形内角和定理等知识；熟练掌握圆周角定

7、理和三角形外接圆与外心性质是解题的关键8如图，圆O是ABC的外接圆，连接OA、OC，OAC20，则ABC的度数为（）A140B110C70D40【分析】在优弧AMC上任取一点P，连接AP，CP，易求AOC的度数，则P的度数可得，再根据圆的内接四边形定理即可求出ABC的度数【解答】解：在优弧AMC上任取一点P，连接AP，CP，OAOC，OACOCA20，AOC180220140，P70，ABC+P180，ABC110，故选：B【点评】本题考查了三角形外接圆与外心的有关知识点，熟记和圆有关的各种性质定理是解题的关键9如图，ABC，AC3，BC43，ACB60，过点A作BC的平行线l，P为直线l上一

8、动点，O为APC的外接圆，直线BP交O于E点，则AE的最小值为（）A3-1B743C3D1【分析】如图，连接CE首先证明BEC120，由此推出点E在以O为圆心，OB为半径的BC上运动，连接OA交BC于E，此时AE的值最小【解答】解：如图，连接CEAPBC，PACACB60，CEPCAP60，BEC120，点E在以O为圆心，OB为半径的BC上运动，连接OA交BC于E，此时AE的值最小此时O与O交点为EBEC120BC所对圆周角为60，BOC260120，BOC是等腰三角形，BC43，OBOC4，ACB60，BCO30，ACO90OA=OC2+AC2=42+32=5，AEOAOE541故选：D【点

9、评】本题考查三角形的外接圆与外心、平行线的性质、圆周角定理、勾股定理，点与圆的位置关系等知识，解题的关键是添加常用辅助线，构造辅助圆解决问题10如图ABC为圆O的内接三角形，D为BC中点，E为OA中点，ABC40，BCA80，则OED的大小为（）A15B18C20D22【分析】如图，连接OC，取OC中点F，连接EF、DF，根据圆周角定理得到AOC2ABC80，OEOF，求得OEFOFE=12（18080）50，连接OB，推出OFD为等边三角形，得到ODOFOE，于是得到结论【解答】解：如图，连接OC，取OC中点F，连接EF、DF，AOC2ABC80，OEOF，OEFOFE=12（18080）5

10、0，连接OB，D为BC中点，BDCD，ODBC，DOC=12BOC，BAC=12BOC，DOCBAC，DOCBAC180408060，F为OC中点，OFFD，OFD为等边三角形，ODOFOE，O、E、F、D四点共圆，FED=12FOD=30，OED503020故选：C【点评】本题考查了三角形外接圆与外心，圆周角定理，等边三角形的判定和性质，正确的作出辅助线构造等腰直角三角形是解题的关键11如图，ABC的外接圆O的直径BE交AC于点D，已知弧BC等于120，cotC=233，则关于x的一元二次方程x2-3BDx+BDDE=0根的情况是（）A没有实数根B有两个相等的正实数根C有两个相等的实数根D有

11、两个不相等的正实数根【分析】BD为直径，连接CE，构成直角三角形过O点作OFBC在RtCDF中，运用锐角三角函数求边长；在RtBCE中，因为弧BC等于120，可求其两锐角分别为60、30，根据锐角三角函数可求BD、DE的长，代入判别式中，确定判别式的符号【解答】解：过O点作OFBC，垂足为点F，连接CE在RtCDF中，cotC=233设CF2，则DF=3已知弧BC等于120，BE为直径，所以E60，ECB90，EBC30在RtBDF中，BD2DF23，BF3在RtBCE中，BCBF+CF5，BE=5cos30=1033，DEBEBD=433（3BD）24BDDE（323）24234333632

12、40，又x1+x2=3BD0，x1x2BDDE0，方程有两个不相等的正实数根，故选：D【点评】本题是圆的问题、锐角三角函数与一元二次方程根的判别式的综合运用，一般需要把问题转化到直角三角形中，利用锐角三角函数设边长，求边长，再用判别式判断方程根的情况二填空题12如图，ABC是O的内接三角形，ABBC，BAC30，AD是直径，AD8，则AC的长为43【分析】连接CD，根据等腰三角形的性质得到ACBBAC30，根据圆内接四边形的性质得到D180B60，求得CAD30，根据直角三角形的性质即可得到结论【解答】解：连接CD，ABBC，BAC30，ACBBAC30，B1803030120，D180B60

13、，AD是直径，ACD90，CAD30，AD8，CD=12AD4，AC=82-42=43，故答案为：43【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，含30角的直角三角形的性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键13如图，AB为ADC的外接圆O的直径，若BAD50，则ACD40【分析】根据直径所对圆周角是直角和同弧所对圆周角相等即可求出ACD的度数【解答】解：如图，连接BD，AB为ADC的外接圆O的直径，ADB90，BAD50，ABD905040，ACDABD40故答案为：40【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，解决本题的关键是掌握三角形的外接圆与外心14如图，ABC是O的内接正三角

14、形，点O是圆心，点D，E分别在边AC，AB上，若DAEB，则DOE的度数是120度【分析】连接OA，OB，根据已知条件得到AOB120，根据等腰三角形的性质得到OABOBA30，根据全等三角形的性质得到DOABOE，于是得到结论【解答】解：连接OA，OB，ABC是O的内接正三角形，AOB120，OAOB，OABOBA30，CAB60，OAD30，OADOBE，ADBE，OADOBE（SAS），DOABOE，DOEDOA+AOEAOE+BOEAOB120，故答案为：120【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键1

15、5如图，已知O为坐标原点，点A的坐标为（0，8）点B的坐标为（6，0），D过A，B，O三点，C为优弧OAB上一点（不与点O重合），则cosC的值为45【分析】连接AB，由勾股定理可求AB的长，由圆周角定理可得CBAO，由锐角三角函数可求解【解答】解：如图，连接AB，点A的坐标为（0，8）点B的坐标为（6，0），AO8，BO6，AB=AO2+BO2=64+36=10，CBAO，cosCcosBAO=AOAB=810=45，故答案为：45【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，解直角三角形等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键16已知：如图，在ABC中，D是AB边上一点，圆O过D

16、、B、C三点，DOC2ACD90如果ACB75，圆O的半径为2，则BD的长为2【分析】可以连接OB，根据DOC2ACD90得ACD45，进而得BCD30，BOC150，DOB60，证明BOD是等边三角形，即可求得BD的长【解答】解：如图，连接OB，DOC2ACD90ACD45，ACB75，BCDACBACD30，OCOD，DOC90，DCO45，BCODCOBCD15，OBOC，CBOBCO15，BOC150，DOBBOCDOC1509060，OBOD，BOD是等边三角形，BDOD2故答案为2【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，解决本题的关键是掌握三角形的外接圆的性质17如图，等边三角形A

17、BC内接于O，点D，E是O上两点，且DOE120，若OD2，则图中阴影部分的面积为43-3【分析】连接OB，OC，过O作OHBC于H，根据等边三角形的性质和扇形的面积公式即可得到结论【解答】解：连接OB，OC，ABC是等边三角形，BOC120，DOE120，S扇形DOES扇形BOC，过O作OHBC于H，OBH30，OHB90，BC3BH，BH=32OB=3，OH=12OB1，BC23，图中阴影部分的面积=12022360-12231=43-3，故答案为：43-3【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解答此题的关键18如图，ABC是O的内接正三角形，弦E

18、F经过BC边的中点D，且EFAB，若AB6，则EF35【分析】由相交弦定理可得EDDFBDDC9，EGFGAGGC9，DG=12AB3，由此可得结果【解答】解：设AC，EF相较于G，ABC是O的内接正三角形，AB6，ACBCAB6，弦EF经过BC边的中点D，且EFAB，BDCD3，AGCG3由相交弦定理可得EDDFBDDC9，EGFGAGGC9，DE（3+FG）9，FG（3+DE）9，DEFG=-3+352，EF35，故答案为：35【点评】此题主要考查了等边三角形的性质、垂径定理、三角形中位线定理、相交弦定理等知识，能够证得DE、GF的数量关系是解答此题的关键19ABC内接于O，AB为O的直径

19、，将ABC绕点C旋转到EDC，点E在O上，已知AE2，tanD3，则AB103【分析】根据圆周角定理得到AEBACB90，根据旋转的性质得到ACCE，BCCD，ACEBCD，ECDACB90，设CE3x，CDx，由勾股定理得到DE=10x，根据相似三角形的性质得到BD=23根据勾股定理即可得到结论【解答】解：AB为O的直径，AEBACB90，将ABC绕点C旋转到EDC，ACCE，BCCD，ACEBCD，ECDACB90，tanD=CECD=3，设CE3x，CDx，DE=10x，ACEBCD，DABCAEC，ACEBCD，ACBC=CECD=AEBD=3，CBDCAE，AE2，BD=23EAC+

20、CBE180，CBD+CBE180，D，B，E三点共线，BEDEBD=10x-23，AE2+BE2AB2，22+（10x-23）2（10x）2，x=103，ABDE=103，故答案为：103【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，相似三角形的判定和性质，三角函数的定义，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键20如图，ABC内接于O，过点C作CDAB于点E，交O于点D，延长AC交DB延长线于点F，BF=152，连接AO、COCO与AB相交于点G，CGE3CAB，OC10，将圆心O绕着点B旋转得到点O，若点O恰好落ADF某一边上时，则OO的长度为45或210【分析】延长AO交BD于H，连接OB，OD

21、，根据全等三角形的性质得到ABAD，推出AH垂直平分BD，根据平行线分线段成比例得到OHBH=OABF=43，根据勾股定理得到OO=OH2+OH2=45，过O作OOAB于K交AF于O，根据菱形的性质得到OBOB5，再根据勾股定理即可得到结论【解答】解：延长AO交BD于H，连接OB，OD，ADC=12AOC=12（180OACOCA）=12（1804CAB）902CAB，DAB90ADC2CAB2OAB，OADOAB，OAOBOD，OBAOABOADODA，AOBAOD，在OAB与OAD中OA=OAAOB=AODOB=OD，OABOAD，ABAD，OABOAD，AH垂直平分BD，OBAOABBA

22、C，OBAF，OHBH=OABF=43，令OH4a，则BH3a，OB5a10，a2，BD2BH12，当O在BD上时，OHOBBH4，OO=OH2+OH2=45，过O作OOAB于K交AF于O，则四边形OAOB是菱形，OBOB5，BK=12AB310，OK=OB2-BK2=102，OO2OK210故答案为：45或210【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键三解答题21如图，ABC是O的内接三角形，AB为O的直径，AB8，BD平分ABC，交AC于点E，交O于点D，连接AD（1）求证：DBACAD；（2）若BC的长度为2，

23、求AEB的度数【分析】（1）根据角平分线的性质可得CBDDBA，由圆周角定理可得DACCBD，继而可得出结论；（2）连接OC，根据弧长公式得到n90，根据圆周角定理得到BAC45，根据角平分线的定义和三角形外角的性质即可得到结论【解答】（1）证明：BD平分ABC，CBDDBA，DAC与CBD都是弧CD所对的圆周角，DACCBD，DBACAD；（2）解：连接OC，AB为O的直径，AB8，OBOC4，BC的长度为2，设BOCn，n4180=2，n90，BOC90，BAC45，AB为O的直径，ACB90，ABC45，BD平分ABC，CBD=12ABC22.5，AEBCBD+ACB112.5【点评】本

24、题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，弧长的计算公式，正确的理解题意是解题的关键22如图，ABC为O的内接三角形，ACB60，弦CD平分ADB（1）求证：ABC为等边三角形；（2）若BD3，AD5，过C点作BD的平行线交DA的延长线于点E，试求CAE面积【分析】（1）根据圆周角定理和等边三角形的判定即可证明；（2）作CMED于点M，结合（1）可得CDE是等边三角形，然后证明BCDACE，可得BDAE3，根据等边三角形三线合一可得DM的长，根据勾股定理得CM的长进而可得CAE面积【解答】解：（1）CD平分ADB，BDCADC，BC=AC，BCAC，ACB60，ABC为等边三角形；（2）如图，

25、作CMED于点M，由（1）知：CDABDC60，CEBD，DCEBDC60，CDE是等边三角形，CDCE，BCD60ACDACE，在BCD和ACE中，BC=ACBCD=ACEDC=EC，BCDACE（SAS），BDAE3，DCDEDA+AE8，CMED，DM=12DE4，CM=DC2-DM2=43，CAE面积为：12AECM63【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，垂径定理，圆周角定理，等边三角形的判定与性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键23如图，RtABC中，C90，M为AB上一点，过M，C，B三点的O交AC于P，过点P作PDAB，交O于点D（1）若M是AB中点，连接MD，求证：四边形A

26、PDM是平行四边形；（2）连接PM，当PMPC，且AC4，tanA=12，求线段PD的长【分析】（1）连接CM，PB，DM，证BMP90，BP为O的直径，证MD为O的直径，由直角三角形的性质得出CM=12ABBM，则CM=BM，得出DM垂直平分BC，则PCMD，即可得出结论；（2）连接BD、CD、BP，由圆周角定理得出DPMPMBPDB90，则四边形PDBM为矩形，则PMBD，证PCBD，证RtBPDRtPBC（HL），得出PDBC，在RtACB中，由三角函数定义求出BC即可【解答】（1）证明：连接CM，PB，DM，如图1所示：C90，四边形BCPM为圆内接四边形，C+BMP180，BMP90

27、，BP为O的直径，又PDAB，DPM180BMP90，MD为O的直径，C90，M为AB的中点，CM=12ABBM，CM=BM，又MD为O的直径，DM垂直平分BC，PCMD，四边形APDM为平行四边形；（2）解：连接BD、CD、BP，如图2所示：MD和BP均为O的直径，DPMPMBPDB90，四边形PDBM为矩形，PMBD，PMPC，PCBD，在RtBPD和RtPBC中，BP=PBBD=PC，RtBPDRtPBC（HL），PDBC，在RtACB中，AC4，tanA=BCAC=12，BC4tanA2，PDBC2【点评】本题考查了三角形的外接圆、圆周角定理、垂径定理、直角三角形的性质、全等三角形的判

28、定与性质、矩形的判定与性质、三角函数定义等知识；熟练掌握圆周角定理和矩形的判定与性质是解题的关键24如图，已知RtABC中，ACB90，BD平分ABC，BD与AC交于E点，ADBD，过D作DFAB于F，交AC于G，FD与BC的延长线相交于点H（1）求证：点G是ADE的外心；（2）若FG2，DH5，求EG的长【分析】（1）证得DEGFDB，得出DGEG，由ADE90可证得DGAGEG，则结论得证；（2）过点D作DMBH于点M，过点E作ENAB于点N，证明HDMHGC，得出DHHG=DMGC，设EGx，则DGx，DFDM2+x，可得出CG，则CE可用x表示出来，证得EN2FG4，由角平分线的性质可

29、得出ENEC4，则可得出方程，解方程即可得出答案【解答】（1）证明：ADBD，DFAB，ADE90，DFB90，BD平分ABC，CBEFBE，FDB+FBE90，CEB+CBE90，FDBCEB，又CEBDEG，DEGFDB，DGEG，ADG+GDEDAG+DEF90，ADGDAG，DGAG，DGAGEG，点G是ADE的外心；（2）过点D作DMBH于点M，过点E作ENAB于点N，BD平分ABC，DFAB，DMAH，ENAB，ECBH，DFDM，ENEC，DMBH，ACB90，DMGC，HDMHGC，DHHG=DMGC，设EGx，则DGx，DFDM2+x，55+x=2+xCG，CG=x2+7x+

30、105，CECGEG=x2+7x+105-x=x2+2x+105，GFAB，ENAB，GFEN，又AGEG，AFFN，EN2GF4，x2+2x+105=4，解得x=11-1，x=-11-1（舍去）EG=11-1【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，直角三角形的性质，角平分线的性质，相似三角形的判定与性质，一元二次方程等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质及方程思想是解题的关键25如图，ABC内接于O，ABAC，BD为O的直径，过点A作AEBD于点E，延长BD交AC延长线于点F（1）若AE4，AB5，求O的半径；（2）若BD2DF，求sinACB的值【分析】（1）连接OA，求BE3，设OAx，

31、则OBx，OEx3，得出（x3）2+42x2，易求出半径256；（2）连接CD，先证OABC，再得OACD，设OA与BC交于点H，OHa，则CD2a，OA4a，得出AH3a，由勾股定理得BH=15a，求出AB26a，则可得出sinACB=64【解答】解：（1）如图1，连接OA，AEBD，AEB90，AE4，AB5，BE=AB2-AE2=52-42=3，设OAx，则OBx，OEx3，在RtOAE中，OE2+AE2OA2，（x3）2+42x2，解得x=256，O的半径为256；（2）如图2，连接CD，设OA与BC交于点H，ABAC，OABC，BHO90，BD为O的直径，BCD90，BHOBCD，O

32、ACD，设OHa，则CD2a，BD2DF，BD2OD，DFOD，OA2CD4a，AH3a，BH=OB2-OH2=(4a)2-a2=15a，AB=AH2+BH2=26a，sinACBsinABC=AHAB=3a26a=64【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，锐角三角函数，勾股定理等知识，熟练掌握圆的性质是解题的关键26如图，在RtABC中，C90，BD平分ABC交AC于点D，DEBD交AB于点E，作BDE的外接圆（1）判断直线AC与BDE外接圆的位置关系，并说明理由；（2）若tanABD=22，AD6，求BC的长【分析】（1）取BE中点O，连接OD，根据已知条件证明ODAC，即可

33、得结论；（2）结合（1）证明ADEABD，利用锐角三角函数可得AE=32，AB=62，再证明AODABC，对应边成比例即可得结论【解答】解：（1）直线AC与DBE外接圆相切理由：DEBDBE为BDE外接圆的直径，如图，取BE中点O，连接OD，ODOB，ODBOBDBD平分ABC，CBDOBD，ODBCBDC90CBD+BDC90，ODB+BDC90，即ODAC，又点D在AC上，直线AC与BDE外接圆相切；（2）ODAC，ADE+ODE90，DEBD，ODB+ODE90，ADEODB，ADEABD，又AA，ADEABD，AEAD=ADAB=DEBD=tanABD=22，即AE6=6AB=22，解

34、得AE=32，AB=62，OD=OE=12EB=32，AOAE+EO92,AA，ADOC90，AODABC，ODBC=AOAB，BC=ODABAO=326292=22【点评】本题考查了三角形外接圆与外心，圆周角定理，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是综合运用以上知识属于中考题型27如图，已知点D是ABC外接圆O上的一点，ACBD于G，连接AD，过点B作直线BFAD交AC于E，交O于F，若点F是弧CD的中点，连接OG，OD，CD（1）求证：DBFACB；（2）若AG=62GE，试探究GOD与ADC之间的数量关系，并证明【分析】（1）根据平行线性质及圆周角性质直接得出结论（2）

35、作OMDC于点M，连接OC先证明ACBCBFDBF30，再根据AG与GE的关系推出DGOD，然后可得出结论【解答】（1）证明：BFAD，ADBDBF，ADBACB，DBFACB；（2）GOD与ADC之间的数量关系为：2GOD+ADC240理由如下：作OMDC于点M，连接OCADBF，ABDF，F为CD中点，CFDFAB，ACBCBFDBF，ACBD于G，BGCAGD90，DBF+CBF+ACB90，ACBCBFDBF30，DBC60，ADBACB30，DOC2DBC120，ODOC，ODM30，设GEx，则AG=62x，DG=322x，BG3x，GC3x，DC=362x，DM=364x，OD=

36、322x，DGOD，2GOD+ODG180，ADB+ODC60，2GOD+ODG+ADB+ODC240，即2GOD+ADC240【点评】本题主要考查了三角形的外接圆及其性质、圆中各种角度的相互转化、含30的直角三角形的性质、勾股定理等知识点，判断出ACBCBFDBF30以及证明DGOD是解答的关键28如图，D是ABC外接圆上的动点，且B，D位于AC的两侧，DEAB，垂足为E，DE的延长线交此圆于点FBGAD，垂足为G，BG交DE于点H，DC，FB的延长线交于点P，且PCPB（1）求证：BGCD；（2）设ABC外接圆的圆心为O，若AB=3DH，OHD80，求BDE的大小【分析】（1）根据等边对等

37、角得：PCBPBC，由四点共圆的性质得：BAD+BCD180，从而得：BFDPCBPBC，根据平行线的判定得：BCDF，可得ABC90，AC是O的直径，从而得：ADCAGB90，根据同位角相等可得结论；（2）先证明四边形BCDH是平行四边形，得BCDH，根据特殊的三角函数值得：ACB60，BAC30，所以DH=12AC，分两种情况：当点O在DE的左侧时，如图2，作辅助线，构建直角三角形，由同弧所对的圆周角相等和互余的性质得：AMDABD，则ADMBDE，并由DHOD，可得结论；当点O在DE的右侧时，如图3，同理作辅助线，同理有ADEBDN20，ODH20，得结论【解答】（1）证明：如图1，PC

38、PB，PCBPBC，四边形ABCD内接于圆，BAD+BCD180，BCD+PCB180，BADPCB，BADBFD，BFDPCBPBC，BCDF，DEAB，DEB90，ABC90，AC是O的直径，ADC90，BGAD，AGB90，ADCAGB，BGCD；（2）由（1）得：BCDF，BGCD，四边形BCDH是平行四边形，BCDH，在RtABC中，AB=3DH，tanACB=ABBC=3DHDH=3，ACB60，BAC30，ADB60，BC=12AC，DH=12AC，当点O在DE的左侧时，如图2，作直径DM，连接AM、OH，则DAM90，AMD+ADM90DEAB，BED90，BDE+ABD90，

39、AMDABD，ADMBDE，DH=12AC，DHOD，DOHOHD80，ODH20ADB60，ADM+BDE40，BDEADM20，当点O在DE的右侧时，如图3，作直径DN，连接BN，由得：ADEBDN20，ODH20，BDEBDN+ODH40，综上所述，BDE的度数为20或40【点评】本题考查圆的有关性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质和判定，平行四边形的性质和判定，解直角三角形等知识，考查了运算能力、推理能力，并考查了分类思想29如图，ABC内接于O，AB是O的直径，CD平分ACB交O于点D，交AB于F，弦AECD于点H，连接CE、OH（1）求AHO的度数；（2）若BC6，AC8，求

40、HE的长【分析】（1）连接OC，利用垂直平分线的性质解答即可；（2）延长CB、AE交于M，利用等腰直角三角形的性质解答即可【解答】解：（1）连OC，AB是直径，CD平分ACB，ACDBCD=12ACB45，AECD，AHC90，HAC45ACH，CHAH，OCOA，O，C都在AC的垂直平分线上，OH垂直平分AC，AHOCHO45，（2）延长CB、AE交于M，M45CAMHCMHCA，CMCA8，BC6，BM2，BEEM=2，CHHM42，HE32【点评】此题考查三角形的外接圆问题，关键是根据三角形的外接圆的有关概念和性质解答30如图，在O中，两条弦AC，BD垂直相交于点E，等腰CFG内接于O，

41、FH为O直径，且AB6，CD8（1）求O的半径；（2）若CFCG9，求图中四边形CFGH的面积【分析】（1）如图作DMAB，连接CM则AB=DM，只要证明CM是直径即可解决问题；（2）设直径CM交FG于N，设FNx，ONy，构建方程组求出x、y即可解决问题；【解答】解：（1）如图作DMAB，连接CM则AB=DM，AD=BM，ABDMDB，ABD+BAE90，BAEBDC，MDB+BDC90，CDM90，CM是直径，CM=CD2+DM2=82+62=10，O的半径为5（2）FH是直径，FCH90，CH=102-92=19，设直径CM交FG于N，设FNx，ONy，则有x2+y2=25x2+(5+y)2=81，解得x=91910y=3110，可得GH2ON=315，FG2FN=9195，S四边形CFGHSCFH+SFGH=2521925【点评】本题考查三角形的外接圆与外心，等腰三角形的性质，圆的有关知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，根据直角三角形解决问题，属于中考常考题型