专题26 二次函数与三角形面积问题-2022年中考数学之二次函数重点题型专题（全国通用版）（解析版） .docx

1、专题26 二次函数与三角形面积问题1（20212022广东珠海市九年级期中）已知抛物线yax2+bx+c（a0）经过A(4，0)、B(1，0)、C(0，4)三点（1）求抛物线的函数解析式；（2）如图1，点D是直线AC上方的抛物线的一点，DNAC于点D，DMy轴交AC于点M，求DMN周长的最大值及此时点D的坐标；（3）如图2，点P为抛物线第一象限上的点，连接OP与直线AC相交于点Q，若3：5，求点P的坐标【答案】（1）；（2）周长的最大值为，；（3）【分析】将、代入中，建立方程组求解即可；（2）延长DM交x轴于点H，通过分析证明是等腰直角三角形，得到，用待定系数法求得直线AC的解析式，设，点，求

2、得DM的表达式，配方求得DM最大值，分析得到周长的最大值和点D的坐标；（3）过点Q作轴于点E，由面积比求得，由平行线段分线段成比例得到，从而知道点Q的横坐标，代入直线AC求得纵坐标，用待定系数法求得直线OQ的解析式，与抛物线建立方程组即可求得点P的坐标【详解】解：（1）抛物线经过A(4，0)、B(1，0)、C(0，4)三点将、代入中得：解得：抛物线的解析式为：（2）如图1，延长DM交x轴于点H、又，轴，是等腰直角三角形设直线AC的解析式为将、两点坐标代入得：解得：直线AC的解析式为：设，则点当时，取的最大值2，此时 为等腰直角三角形周长的最大值为：，此时（3）如图2：过点Q作轴于点E轴又又 ,

3、即点Q在直线AC上 设直线OQ的解析式为：将点Q代入得：直线OQ的解析式为：又点P是直线OQ与抛物线的交点 即或解得：又P为抛物线第一象限上的点点P的横坐标为： 【点睛】本题考查待定系数法求一次函数和二次函数解析式、等腰直角三角形性质、相似三角形的判定和性质，二次函数的最值求法等知识点，能够数形结合分析是解题关键2（20212022辽宁连山九年级月考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线，与轴交于点与轴交于点、且点，点为抛物线上的一动点（1）求二次函数的解析式；（2）如图1，过点作平行于轴，交抛物线于点，若点在的上方，作平行于轴交于点，连接，当时，求点坐标；（3）设抛物线的对称轴与交于点，点在直线

4、上，当以点、为顶点的四边形为平行四边形时，请直接写出点的坐标【答案】（1）；（2），；（3），【分析】（1）直接将，代入，求解即可；（2）先求出AB的解析式，设点的横坐标为，则，用t表示出PD，最后利用求出结果；（3）分三种情况讨论解答：当EM为平行四边形的对角线时；当EP为对角线时；当EQ为对角线时【详解】（1）将点，分别代入得，二次函数的解析式为；（2）轴，点，当时，设直线的解析式为，将，分别代入得，解得：，直线的解析式为；设点的横坐标为，则，函数，当时，有，又，解得：，点，；（3），当x=2时，y=-2+5=3，M(2,3),设P(m，而E(-1，0)，当EM为平行四边形的对角线时，(平

5、行四边形的对角线互相平分)得：，解得 (舍)，点Q的坐标为（-5,10）；当EP为对角线时，解得，点Q的坐标为（-1,6）或（0,5）；当EQ为对角线时，解得（舍），点Q的坐标为（9,-4），综上所得：，【点睛】本题考查了待定系数法求函数关系式，平行四边形的性质和判定，解本题的关键是分类思想的运用3（20212022湖南省长沙市九年级月考）已知抛物线yax2+bx+3（a0）经过A（3，0）、B（4，1）两点，且与y轴交于点C（1）求抛物线的解析式；（2）如图，设抛物线与x轴的另一个交点为D，在抛物线上是否存在点P，使PAB的面积是BDA面积的2倍？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由

6、（3）如图（2），连接AC，E为线段AC上任意一点（不与A、C重合），经过A、E、O三点的圆交直线AB于点F，当OEF的面积取得最小值时，求面积的最小值及E点坐标【答案】（1）；（2）存在，点P坐标（，）或（，）；（3）面积的最小值为，E点坐标（，）【分析】（1）根据待定系数法求解即可；（2）根据抛物线的解析式求出点D的坐标，取点E（1，0），作EPAB交抛物线于点P，得到直线EP为yx1，联立方程组求解即可；（3）作BDOA于D，得到OAOC3，ADBD1，证明EF是AEO的外接圆的直径，得到EOF是等腰直角三角形，当OE最小时，EOF的面积最小，计算即可；【详解】（1）将点A（3，0），B

7、（4，1）代入可得：，解得：，故函数解析式为；（2）抛物线与x轴的交点的纵坐标为0，解得：x13，x22，点D的坐标为（2，0），取点E（1，0），作EPAB交抛物线于点P， EDAD1，此时PAB的面积是DAB的面积的两倍，直线AB解析式为yx3，直线EP为yx1，由解得或，点P坐标（，）或（，）（3）如图2中，作BDOA于DA（3，0），C（0，3），B（4，1），OAOC3，ADBD1，OACBAD45，OAFBAD45，EAF90，EF是AEO的外接圆的直径，EOF90，EFOEAO45，EOF是等腰直角三角形，当OE最小时，EOF的面积最小，OEAC时，OE最小，OCOA，CEAE，

8、OEAC，E（，），SEOF当OEF的面积取得最小值时，面积的最小值为，E点坐标（，）【点睛】本题主要考查了二次函数综合、一次函数的性质、圆的综合应用，准确计算是解题的关键4（20212022福建省福州九年级月考）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，且B点的坐标为（3，0），经过A点的直线交抛物线于点D（2，3）（1）求抛物线的解析式和直线AD的解析式：（2）点E为x轴上一点，点F为抛物线上一点，是否存在点E，使得以A、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出满足条件的点E的坐标：如果不存在，请说明理由（3）点M为直线AD上方抛物线上一点，求当的面积最大时M点的坐标及最大的面积【答案

9、】（1）yx22x3，yx1；（2）E（-3，0），（4，0），（1，0）；（3）M（，），【分析】（1）把点B和D的坐标代入抛物线得出方程组，解方程组即可；由抛物线解析式求出点A的坐标，设直线AD的解析式为ykxa，把A和D的坐标代入得出方程组，解方程组即可；（2）分两种情况：当AD为平行四边形的边时，当a1时，DFAE且DFAE，得出F（0，3），由AE1a2，求出a的值；当a1时，显然F应在x轴下方，EFAD且EFAD，设F （a3，3），代入抛物线解析式，即可得出结果当AD为平行四边形的对角线时，则F （0， 3），则此时E（1，0）；（3）设M（x，x22x3），过点M作MNx轴，交

10、AD于点N，则N（x，x1），可得的面积=x2x+3，进而即可求解【详解】解：（1）把点B和D的坐标代入抛物线得：，解得：b2，c3，抛物线的解析式为yx22x3；当y0时，x22x30，解得：x3或x1，B（3，0），A（1，0）；设直线AD的解析式为ykxa，把A和D的坐标代入得：，解得：k1，a1，直线AD的解析式为yx1；（2）分两种情况：如图所示，设点E（a，0），当AD为平行四边形的边时，a1时，则DFAE且DFAE，则F点即为（0，3），AE1a2，a3，即E（-3，0）；当AD为平行四边形的边时，a1时，显然F应在x轴下方，EFAD且EFAD，则F （a-1-2，0+03），即

11、：F （a-3，3），由（a3）22（a3）33，解得：a4，即E（4，0），当AD为平行四边形的对角线时，则F （0， 3），则此时E（1，0），综上所述，满足条件的点E的坐标为：E（-3，0），（4，0），（1，0）；（3）设M（x，x22x3），过点M作MNx轴，交AD于点N，则N（x，x1），MN=x22x3-（ x1）=x2x+2，的面积=，的面积=x2x+3，当x=时，的最大面积= +3=，此时，M（，）【点睛】本题考查了待定系数法求抛物线和直线的解析式、平行四边形的判定、抛物线与x轴的交点等知识；熟练掌握待定系数法求抛物线和直线的解析式，分两种情况讨论是解决问题（2）的关键5（2

12、0212022广东东莞九年级月考）如图，抛物线顶点坐标为点C(1，4)，交x轴于点A(3，0)，交y轴于点B（1）求抛物线和直线AB的解析式；（2）求；（3）设点P是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，是否存在一点P，使面积最大，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由（4）设点Q是抛物线上的一个动点，是否存在一点Q，使，若存在，直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1），y=-x+3；（2）3；（3）存在，P()；（4）存在，点Q的坐标为（2，3），或【分析】（1）先通过代入A点坐到二次函数解析式中，求出系数a的值，从而求二次函数解析式，再代入A，B求出直线AB解析式；（2）

13、C点坐标为（1，4），求出CD的长，根据三角形的面积公式即可求解；（3）连接PB，PA，过P作PEy轴，交AB于E，设P（a，-a2+2a+3），则E（a，-a+3），可得PE=-a2+2a+3-（-a+3）=-a2+3a，再根据SABP=SBEP+SAEP=EPAO=（-a2+3a）3=-a2+a=-（a-）2+，即可得出结论；（4）根据SQAB=SCAB即可得到一个关于点Q的横坐标的方程，即可求出方程根的情况，进而得到不存在符合要求的Q点【详解】解：（1）设抛物线的解析式为：y=a（x-1）2+4，把A（3，0）代入解析式求得a=-1，y=-（x-1）2+4=-x2+2x+3；设直线AB的

14、解析式为：y=kx+b，由y=-x2+2x+3可得B点的坐标为（0，3），把A（3，0），B（0，3）代入y2=kx+b中，可得：，解得：，直线AB的解析式为：y=-x+3；（2）如图，过C作CDy轴，交AB于D由y=-（x-1）2+4得，C（1，4）又直线AB的解析式为：y=-x+3；D（1，2）CD=4-2=2SCAB323（3）如图，过P作PEy轴，交AB于E，连接PB，PA，设P（a，-a2+2a+3），则E（a，-a+3），PE=-a2+2a+3-（-a+3）=-a2+3a，SABP=SBEP+SAEP=EPAO=（-a2+3a）3=-a2+a=-（a-）2+，当a=时，ABP面积的

15、最大值是，此时点P的坐标为（，）（4）由（2）得SCAB2假设存在符合条件的点Q，当点Q在第一象限时，设点Q的横坐标是x，QAB的铅垂高为h，则h=（-x2+2x+3）-（-x+3）=-x2+3x，由SQAB=SCAB，得：3（-x2+3x）=3化简得：x2-3x+2=0，x=1（舍去）或x=2，点P（2，3）当点Q不在第一象限时，如图，设点Q的坐标是（x，-x2+2x+3）则有： 整理，得，解得，所以，点Q的坐标为或综上，点Q的坐标为（2，3），或【点睛】本题考查了二次函数的综合，涉及了待定系数法求二次函数解析式、三角形的面积、一元二次方程的解，第一、第二问相对较简单，难点在第三问，关键是设

16、出点P坐标，得出点F坐标，表示出PF的长度，根据SQAB=SCAB建立方程6（20212022辽宁九年级期中）已知抛物线经过点A(-3，-7)，B(3，5)，顶点为点E，抛物线的对称轴与直线AB交于点C（1）求直线AB的解析式和抛物线的解析式（2）在抛物线上A，E两点之间的部分(不包含A，E两点)，是否存在点D，使得？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由（3）若点P在抛物线上，点Q在x轴上，当以点A，E，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出满足条件的点P的坐标【答案】（1）y=2x-1，y=-x2+2x+8；（2）存在，D(-1，5)；（3）点P的坐标为(1+，2)或(1-，2

17、)或(6，-16)或(-4，-16)【分析】（1）设直线的解析式为，把点，代入，即可得直线AB的解析式，把点，代入抛物线，即可得抛物线的解析式；（2）把抛物线化为顶点式，设点,，过点作轴的平行线交直线于点，则，即可得，根据解得，即可得；（3）设点，当以点，为顶点的四边形是平行四边形时，分三种情况讨论：当为对角线时，根据中点坐标公式可得点坐标为，解得，当时，解得或，即可得；当为对角线时，根据中点坐标公式可得点坐标为，解得，当时，方程无解，舍去；当为对角线时，根据中点坐标公式可得点坐标为，解得，当时，解得或；即可得【详解】解：（1）设直线的解析式为，把点，代入，得，解得：，直线的解析式为，把点，代

18、入抛物线，得，解得，抛物线的解析式为（2），顶点，设点，过点作轴的平行线交直线于点，则，解得或舍去，存在点，使得（3），设点，当以点，为顶点的四边形是平行四边形时，分三种情况讨论：当为对角线时，根据中点坐标公式可得点坐标为，点在轴上，当时，解得或，点坐标为或，当为对角线时，根据中点坐标公式可得点坐标为，点在轴上，当时，方程无解，舍去，当为对角线时，根据中点坐标公式可得点坐标为，点在轴上，当时，解得或点坐标为或，综上所述，点的坐标为或或或【点睛】本题考查了二次函数，一次函数，平行四边形，解题的关键是掌握并灵活运用这些知识点7（20212022广东汕头市九年级期中）已知抛物线y=x2 -（m-3）

19、x+n与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，若抛物线的对称轴为x=2，A（1，0）（1）求抛物线的解析式；（2）若点P是抛物线上点B右边的一动点，问：是否存在这样的点P，使得CAP=CAO，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由（3）点Q是抛物线上的点，满足=k只有三个点Q，直接写出k的值与Q的坐标【答案】（1）y=x2-4x+3；（2）存在，点P（，）；（3）k，点Q的坐标为（2，-1）或（2+，1）或（2-，1）【分析】（1）对称轴为x=2=（m-3），解得：m=7，将点A的坐标代入抛物线表达式并解得：n=3，即可求解；（2）过点C作CGAP于点G，延长CG交x

20、轴于点H，CAP=CAO，则CG=CO，OA=GA=1，设AH=x，则GH=，则RtCOH中，由勾股定理求得x=，故点H（，0），即可求解；（3）根据抛物线的对称性结合题意知其中有一个点Q一定是抛物线的顶点，据此即可求解【详解】解：（1）对称轴为x=2=（m-3），解得：m=7，将点A的坐标代入抛物线表达式并解得：n=3，故抛物线的表达式为：y=x2-4x+3；（2）过点C作CGAP于点G，延长CG交x轴于点H，过点G作GDAB于点D，令x=0，则y=3，C（0，3），CAP=CAO，CG=CO=3，OA=GA=1，设AH=x，则GH=，CH=，在RtCOH中，由勾股定理：（）2=9+（1+x

21、）2，解得：x=，则GH=，CH=，HO=，GDOC，HGDHCO，GD=，HD=，OD=，点G（，），设直线AG的解析式为y=kx+b，解得：，则直线AP的表达式为：y=x+b，将点A的坐标代入上式并解得：直线AP的表达式为：y=x-，联立并解得：x=1（舍去）或，故点P（，）；（3）满足=k只有三个点Q，根据抛物线的对称性，其中有一个点Q一定是抛物线的顶点，y=x2-4x+3= (x-2)2-1，抛物线的顶点坐标为（2，-1），不妨设Q（2，-1），抛物线的对称轴为x=2，A（1，0），C（0，3），B（3，0），AB=3-1=2，k=，当点Q在x轴上方时，则点Q的纵坐标为1，(x-2)2

22、-1=1，即(x-2)2=2，解得x=2+或2-，点Q的坐标为（2，-1）或（2+，1）或（2-，1）【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、三角形相似的判定和性质、面积的计算等，要注意分类求解，避免遗漏8（20212022辽宁沈阳市九年级期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx2+bx+c经过点A（4，0），点M为抛物线的顶点，点B在y轴上，且OAOB，直线AB与抛物线在第一象限交于点C（2，6）（1）求抛物线的解析式；（2）直线AB的函数解析式为 ，点M的坐标为 ，连接OC，若过点O的直线交线段AC于点P，将AOC的面积分成1：2的两部分，则点P的坐标为 ；（3）在y

23、轴上找一点Q，使得AMQ的周长最小，则点Q的坐标为 ；（4）在坐标平面内是否存在点N，使以点A、O、C、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）yx2+2x；（2）yx+4，（2，2），（2，2）或（0，4）；（3）Q（0，）；（4）存在，点N的坐标为（6，6）或（6，6）或（2，6）【分析】（1）将点、点的坐标代入抛物线表达式即可求解；（2）由点A（-4，0），得出点（0，4），即可求出直线的表达式，点为抛物线的顶点，由抛物线的顶点坐标即可求出点的坐标，因为将的面积分成1：2的两部分，所以APAC或AC，即可求出点的坐标；（3）根据将军饮

24、马问题即可求出点的坐标；（4）分是边、是对角线两种情况分别求解即可【详解】解：（1）将点A、C的坐标代入抛物线表达式，解得，故直线AB的表达式为：yx2+2x；（2）点A（4，0），OBOA4，故点B（0，4），由点A、B的坐标得，直线AB的表达式为：yx+4；对于yx2+2x，函数的对称轴为x2，故点M（2，2）；OP将AOC的面积分成1：2的两部分，则APAC或AC，则，即，解得：yP2或4，故点P（2，2）或（0，4）；（3）如图所示，作点关于轴的对称点，连接与轴交于点，连接、AMQ的周长AM+AQ+MQAM+AM最小，点A（4，0），设直线AM的表达式为：ykx+b，则，解得，故直线A

25、M的表达式为：yx，令x0，则y，故点Q（0，）；（4）存在，理由：设点N（m，n），而点A、C、O的坐标分别为（4，0）、（2，6）、（0，0），当AC是边时，点A向右平移6个单位向上平移6个单位得到点C，同样点O（N）右平移6个单位向上平移6个单位得到点N（O），即06m，06n，解得：mn6，故点N（6，6）或（6，6）；当AC是对角线时，由中点公式得：4+2m+0，6+0n+0，解得：m2，n6，故点N（2，6）；综上，点N的坐标为（6，6）或（6，6）或（2，6）【点睛】本题主要考查二次函数的综合运用，涉及一次函数的性质、平行四边形的性质、以及面积的相关计算，熟练掌握二次函数的性质，

26、一次函数以及平行四边形的性质是解答此题的关键9（20212022湖北黄石九年级月考）如图，已知抛物线L1：yax22ax+3a与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且ABC的面积为6（1）求抛物线L1的解析式；（2）若M是线段AC上的一动点，过点M作MNy轴，MN与抛物线相交于点N，设点M的横坐标为m，求MN的长度（用含m的式子表示）；（3）在（2）的条件下，当ANC的面积最大时，将抛物线L1沿水平方向平移得到抛物线L2，抛物线L2的顶点为P，且ACP的面积等于ANC的面积，求点P的坐标【答案】（1）y=-x2-2x+3；（2）MN=-m2-3m；（3）P的坐标为：（-，4）或（，4）【分析】

27、（1）由-ax2-2ax+3a=0，得A（-3，0），B（1，0），AB=4，根据SABC=6，得点C的坐标为（0，3），将C（0，3）代人y=-ax2-2ax+3a得a=1，故抛物线L1的解析式为y=-x2-2x+3；（2）由A（-3，0），C（0，3）得直线AC的解析式为y=x+3，根据点M的横坐标为m，知点M的纵坐标为m+3，点N的纵坐标为-m2-2m+3，从而MN=-m2-3m；（3）当 MN最长时，ANC的面积最大，由MN=-m2-3m=-（m+）2+（-3m0），可得此时点N的坐标为（-， ），过点N作直线lAC交y轴于Q，在y轴上C的下方作R，使CR=CQ，过R作直线lAC，用待

28、定系数法可得直线l的解析式为y=x+，当抛物线L2的顶点P在直线l：y=x+上时，ACP的面积等于ANC的面积，可求得此时P（-，4），根据CR=CQ可得直线l解析式为y=x+，知N到AC的距离等于直线l与直线AC间的距离，P在直线l上，即可得P（，4）【详解】解：（1）令-ax2-2ax+3a=0，解得x=-3或x=1，A（-3，0），B（1，0），AB=4，SABC=6，OC=3，即点C的坐标为（0，3），将C（0，3）代人y=-ax2-2ax+3a得：3a=3，解得a=1，抛物线L1的解析式为y=-x2-2x+3；（2）由（1）可得A（-3，0），C（0，3），设直线AC的解析式为y=k

29、x+b，将C（0，3），A（-3，0）代入得：，解得，直线AC的解析式为y=x+3，点M的横坐标为m，点M的纵坐标为m+3，点N的纵坐标为-m2-2m+3，MN=（-m2-2m+3）-（m+3）=-m2-3m；（3）SANC=MN|xC-xA|=（-m2-3m），当 MN最长时，ANC的面积最大，MN=-m2-3m=-（m+）2+，（-3m0，），当m=-时，MN最长，将x=-代入y=-x2-2x+3得y=-（-）2-2（-）+3=，点N的坐标为（-， ），过点N作直线lAC交y轴于Q，在y轴上C的下方作R，使CR=CQ，过R作直线lAC，如图：由（2）知直线AC解析式为y=x+3，设直线1的

30、解析式为 y=x+n，将N（-， ）代入得n=，直线l的解析式为y=x+，当抛物线L2的顶点P在直线l：y=x+上时，ACP的面积等于ANC的面积，抛物线L1：y=-x2-2x+3顶点为（-1，4），在y=x+中令y=4得x=-，此时P（-，4），在y=x+中令x=0得y=，Q（0，），CQ=-3=，CR=CQ，R（0，），直线lAC，直线l解析式为y=x+，而直线lAC，直线lAC，且CR=CQ，N到AC的距离等于直线l与直线AC间的距离，即P在直线l上，此时ACP的面积等于ANC的面积，将抛物线L1沿水平方向平移得到抛物线L2，且抛物线L1：y=-x2-2x+3顶点为（-1，4），在y=x

31、+中，令y=4得x=，即得P（，4），综上所述，P的坐标为：（-，4）或（，4）【点睛】本题考查了二次函数综合应用，涉及待定系数法、三角形面积、抛物线平移等知识，解题的关键是掌握和熟练运用同底等高的三角形面积相等10（2021湖北黄石市中考模拟预测）如图1，已知抛物线过点，（1）求抛物线的解析式及其顶点C的坐标；（2）设点D是x轴上一点，当时，求点D的坐标；（3）如图2，抛物线与y轴交于点E，点P是该抛物线上位于第二象限的点，线段PA交BE于点M，交y轴于点N，和的面积相等时，求P的坐标【答案】（1），C坐标为（-1,4）；（2）（17,0），（-19,0）；（3）【分析】（1）利用待定系数法

32、，即可求出抛物线解析式，将抛物线解析式化为顶点式即可确定顶点C的坐标；（2）先求出抛物线对称轴为x=-1，OA=1，OC=，当点D位于点A右侧时，根据题意得到COD1AOC，即可求出点D1坐标，当点D位于点A右左侧时，证明CD2O=CD1O，得到点D2和D1关于直线x=-1对称，即可求出点D2坐标；（3）设P（a，a22a+3），用含a的式子表示出PA解析式，进而确定点N的坐标为（0，a+3），根据和面积相等，得到四边形BPNO面积=BOE面积= ，构造关于a的方程，求解即可得到点P坐标【详解】解：（1）把，代入抛物线得，解得 ，抛物线解析式为，将抛物线配成顶点式为，抛物线顶点C坐标为（-1,

33、4）；（2）如图1，设抛物线对称轴交x轴于点H，由题意得抛物线对称轴为x=-1，OA=1，OC=，如图1，当点D位于点A右侧时，CD1O=ACO，COD1=AOC，COD1AOC，即，D1O=17，点D1坐标为（17,0）；当点D位于点A左侧时，CD1O=ACO，CD2O=ACO，CD2O=CD1O，CD2= CD1，CHD2D1，点D2和D1关于直线x=-1对称，点D2坐标为（-19,0）；满足条件的点D的坐标有两个，分别为（17,0），（-19,0）；（3）设P（a，a22a+3），直线PA解析式为ykx+b（k0），将P（a，a22a+3），A（1，0）代入ykx+b，得，解得，ka3，

34、ba+3，直线PA解析式为y（a3）x+a+3，当x0时，ya+3，N（0，a+3），抛物线解析式为，点E坐标为（0,3），和面积相等，面积+四边形BONM面积=面积+四边形BONM面积，四边形BPNO面积=BOE面积= ，连接OP，则，解得（不合题意，舍去），当时，点P坐标为（，）【点睛】本题为二次函数综合题，考查了二次函数、勾股定理、等腰三角形等知识，综合性较强，理解函数图象上点的坐标特点，运用好转化、分类的数学思想是解题的关键11（2021重庆中考三模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线交x轴于点A、B，交y轴于点C（1）求线段BC的长；（2）点P为第三象限内抛物线上一点，连接BP，过

35、点C作交x轴于点E，连接PE，求面积的最大值及此时点P的坐标；（3）在（2）的条件下，以y轴为对称轴，将抛物线对称，对称后点P的对应点为点，点M为对称后的抛物线对称轴上一点，N为平面内一点，是否存在以点A、M、N为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出点N的坐标，若不存在，则请说明理由【答案】（1）（2）面积的最大值为4；此时P的坐标为（3）或【分析】（1）由抛物线表达式，求出点B的坐标，当时求出点C的坐标，然后根据勾股定理即可求出BC的长度（2）由把的面积转化为BPC的面积，作PFy轴交BC于点F，交x轴于点H，根据点B和点C的坐标求出BC所在直线的表达式，然后设出点P和F的坐标，表示出BPC

36、的面积，根据二次函数的最值求解即可（3）分A是菱形的边长或对角线时两种情况讨论，首先根据点A和点的坐标求出A的长度，然后设出点M的坐标，根据菱形的临边相等列出方程求出点M的坐标，最后根据菱形对角线互相平分，利用中点坐标公式列出方程即可求出点N的坐标【详解】（1）抛物线交x轴于点A、B，当y=0时，即，整理得：，解得：A点坐标为，B点坐标为OB=4当时，y=-2，C点坐标为，OC=2（2）如图所示，连接PC，作PFy轴交BC于点F，交x轴于点H，BPE和BPC是同底等高的三角形，求BPE面积的最大值即求BPC面积的最大值B，C，设BC所在直线表达式为，将B，C两点代入得：，解得：BC所在直线表达

37、式为设P点坐标为，F点坐标为，即，面积的最大值为4，将m=-2代入得，此时P点坐标为（3）抛物线表达式为，对称轴，以y轴为对称轴，将抛物线对称，对称后的抛物线的对称轴对称后点P的对应点为点，点P的坐标为，点的坐标为，又A点坐标为，设M点坐标为，分两种情况，当A是菱形的边长时，如图所示，四边形AMNP是菱形，解得：，四边形AMNP是菱形，对角线AN和互相平分，根据平面直角坐标系中中点坐标公式可得：，代入可得：或，解得：，当A是菱形的对角线时，如图所示，四边形是菱形，解得：，又，此时M点在线段上，以点A、M、N为顶点构不成菱形，故此种情况不存在综上所述，N点的坐标为或【点睛】此题考查了二次函数综合，二次函数中三角形面积最值问题，菱形存在性问题，解题的关键是根据题意作出辅助线，找到坐标和线段长度之间的关系