专题27.1 相似（全章知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年九年级数学下册全章复习与专题突破讲与练（人教版）.docx

1、专题27.1 相似（全章知识梳理与考点分类讲解）【知识点1】比例线段定义：在四条线段中，如果与的比等于与的比，即，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段【知识点2】比例线段的性质（1）基本性质：；（2）合比性质：； （3）等比性质：；【知识点3】平行线分线段成比例定理两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.即如图所示，若l3l4l5，则，.【知识点4】平行线分线段成比例推论推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.即如图所示，若，则，.【知识点5】黄金分割点把线段分成两条线段和，如果，那么线段被点黄金分割其中点叫做线段的黄金分割点，与的比叫做黄

2、金比【知识点6】相似多边形的性质（1）相似多边形的对应角相等，对应边成比例.（2）相似多边形的周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方.【知识点7】相似多边形的判定(1) 两角对应相等的两个三角形相似.(2) 两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似(3) 三边对应成比例的两个三角形相似(4) 满足斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似.【知识点8】相似三角形的性质（1）对应角相等，对应边成比例（2）周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方（3）相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比等于相似比【知识点9】相似三角形的应用测量物体的高度：利用影长、利用标杆、利用镜

3、子.【知识点10】相似三角形的常见模型“A”型斜“A”型“母子型”字型 “X”型斜“X”（蝴蝶）型射影定理模型一线三直角型一线三等角【知识点11】位似图形的定义性质与画法1. 定义 如果两个图形不仅形状相似，而且每组对应顶点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比.2. 位似图形性质：位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比.3. 位似图形的画法：（1）确定位似中心；（2）确定原图形中的关键点关于位似中心的对应点；（3）描出新图形.【考点一】比例的基本性质与成比例线段【例1】（2023上海九年级假期作业）如图，在中，

4、已知，且，求，的长【答案】【分析】根据平行线分线段成比例即可求解解：设，则，【点拨】本题考查平行线分线段成比例熟记相关结论即可【举一反三】【变式1】（2018上广东深圳九年级校联考期末）已知，则的值是（）ABCD【答案】D【分析】根据可设，代入分式计算化简即可得出答案解：，可设，故选：D【点拨】本题考查比例的性质，熟悉等比设参的方法是解题的关键【变式2】（2023上海九年级假期作业）（1）是和的比例中项，则 ；（2）是和的比例中项，则 ；（3）线段厘米，厘米，则线段和的比例中项是 【答案】 厘米【分析】（1）根据比例中项的定义求出a与b的积，再整体代入求解即可（2）根据比例中项的定义即可求解（

5、3）根据比例中项的定义即可求解解：（1）由题意可知，由此，所以；故答案为：（2）由题意可知，可解得；故答案为：（3）因为、都为线段，因此其比例中项只能是线段，取正值，即为（厘米）故答案为：厘米【点拨】本题考查了比例中项的定义，注意线段比例中项和数字比例中项的区别【考点二】黄金分割【例2】（2022上四川宜宾九年级四川省宜宾市第二中学校校考期中）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即：如图，点P是线段上一点，若满足，则称点P是的黄金分割点现设的长为1（1）求的长；（2）若令，记，求的值【答案】（1）；（2）5050【分析】（1）根据可得方程，解方程即可求解；（2）由，可得，通分化简

6、可得：，依据规律可得：，即问题得解解：（1），整理有，解得：，（负值不符合题意，舍去）即的长为：；（2），同理可得：，即答案为：5050【点拨】本题主要考查了解一元二次方程，分式的化简求值以及黄金分割的概念等知识，掌握分式的化简求值是解答本题的关键【举一反三】【变式1】（2023上浙江绍兴九年级统考期末）在学习画线段的黄金分割点时，小明过点B作的垂线，取的中点M，以点B为圆心，为半径画弧交射线于点D，连接，再以点D为圆心，为半径画弧，前后所画的两弧分别与交于E，F两点，最后，以A为圆心，“”的长度为半径画弧交于点H，点H即为的其中一个黄金分割点，这里的“”指的是线段（）A B C D 【答案】

7、A【分析】根据作图可知，设，则，求出，得出，即可得出结论解：根据作图可知，设，则，根据勾股定理可得：，以A为圆心，“”的长度为半径画弧交于点H，点H即为的其中一个黄金分割点，故A 正确故选：A【点拨】本题主要考查了勾股定理，黄金分割，解的关键是求出【变式2】（2022上四川成都九年级统考期末）若a、b、c满足，且，则的值为 【答案】【分析】由可设设 则再代入求解的值，可得的值，从而可得答案.解： 设 则 解得： 故答案为：【点拨】本题考查的是比例的基本性质，掌握设参数的方法解决比例问题是解题的关键.【考点三】平行线分线段成比例及其推论【例3】（2021山东济南统考一模）如图，平行四边形中，点为

8、延长线上点，连接交于点、交于点，已知，. （1）求证：四边形为正方形；（2）若，求的长.【答案】（1）证明见分析；（2）【分析】（1）先由邻边相等的平行四边形判定菱形，再根据判定为正方形；（2）再由平行线分线段成比例，可推出和，进而得到，代入数据即可求解.解：（1）证明：四边形是平行四边形， ，四边形是菱形，四边形为正方形；（2），.【点拨】本题考查正方形的判定，平行线分线段成比例，根据平行线分线段成比例进行等比代换，是本题的关键.【举一反三】【变式1】（2021山东德州中考真题）将含有的三角板按如图所示放置，点在直线上，其中，分别过点，作直线的平行线，点到直线，的距离分别为，则的值为（）A1

9、BCD【答案】B【分析】设交于点，由，得三角形BCM为等腰直角三角形，再由含30度角直角三角形三边长比及等腰直角三角形的边长比，设BC为x，可得MA为，再由平行线分线段成比例求解解：设交于点，三角形为等腰直角三角形，在RtABC中，设长为，则，故选：B【点拨】本题考查平行线的性质，含特殊角直角三角形的性质及平行线分线段成比例，解题关键是掌握含特殊角的直角三角形的边长比【变式2】（2018上上海浦东新九年级统考期中）如图，已知，那么线段的长度等于 【答案】【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入数值进行计算即可.解：ABCDEF , AD=6，DF=3，BC=7，,CE=.故答案为：.

10、【点拨】本题考查平行线分线段成比例定理，找准对应关系是解答此题的关键.【考点四】多边形的性质及判定【例4】（2011下九年级单元测试）如图，把一个矩形划分成三个全等的小矩形（1）若原矩形的长，宽问：每个小矩形与原矩形相似吗？请说明理由（2）若原矩形的长，宽，且每个小矩形与原矩形相似，求矩形长与宽应满足的关系式【答案】（1）不相似；证明过程见详解；（2）【分析】（1）根据划分后小矩形的长为，宽为，可得，进而可判断结论；（2）根据划分后小矩形的长为，宽为，再根据每个小矩形与原矩形相似，可得，从而可得与的关系式（1）解：不相似理由如下：原矩形的长，宽，划分后小矩形的长为，宽为，又，即原矩形与每个小矩

11、形的边不成比例，每个小矩形与原矩形不相似（2）原矩形的长，宽，划分后小矩形的长为，宽为，又每个小矩形与原矩形相似，即【点拨】本题考查了相似多边形的性质，本题的关键是根据两矩形相似得到比例式【举一反三】【变式1】（2021天津南开统考一模）如图，在矩形中，点E为的中点，将沿折叠，使点B落在矩形内点F处，则下列说法错误的是（ ）A直线为线段的垂直平分线BCD【答案】D【分析】根据折叠的性质可得：AB=AF，BE=FE，所以AE垂直平分线段BF，从而可判断选项A正确；由E是BC的中点，则BE=EC，故有BE=FE=EC ，从而可分别判断选项B、C均正确，从而选项D错误解：根据折叠的性质可得：AB=A

12、F，BE=FEAE垂直平分线段BF选项A正确E是BC的中点BE=ECBE=FE=EC选项C正确FE=ECEFC=ECF选项B正确则选项D错误事实上，过点E作EGFC于点GCF=2GF，FEG=CEG 根据折叠的性质，可得：BEA=FEA，AFE=B=90 2FEA+2FEG=180FEA+FEG=90FEA+EAF=AFE=90FEG=EAFFEGEAF FE=BE=3，AB=4在RtABE中，由勾股定理得：AE=5CF=2GF=则选项D错误故选：D【点拨】本题主要考查了图形折叠的性质、三角形相似的判定与性质，关键是抓住折叠中的不变量【变式2】（2022上陕西西安九年级校考期末）如图，已知矩形

13、ABCD，AB：BC1：2，P为线段AB上的一点，以BP为边作矩形EFBP，使点F在线段CB的延长线上，矩形ABCD矩形EFBP，设EFa，ABb，当EP平分AEC时，则 【答案】【分析】设AB与CE交于点G，根据等腰三角形三线合一的性质可表示出PG，进而得到BG，然后根据平行线分线段成比例定理列出比例式，变形求解即可解：如图，AB与CE交于点G，EP平分AEC，EPAG，AEP=GEP，APE=GPE=90EAP=EGPEA=EGAPPGba，BGa（ba）2ab，PECF， ，矩形ABCD矩形EFBP，整理得：，a0，b0，故答案是：【点拨】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的判定和性质、相

14、似图形的性质以及平行线分线段成比例定理，根据三线合一表示出PG、BG的长是解答此题的关键【考点五】相似三角形的性质及判定【例5】（2018下安徽芜湖九年级统考期中）如图所示，在平行四边形中，于，平分交线段于（1）如果，求证：；（2）一般的情况下，如果，试探究线段、与之间的所满足的等量关系（其中，是已知数）【答案】（1）证明见分析；（2）nCD=mAF+nBE【分析】（1）延长EA到G，使得 ，连接DG，根据四边形ABCD是平行四边形，推出，求出 ，根据SAA证明 ，推出 ， ，求出 ，推出 即可；（2）延长EA到G，使得 ，连接DG，根据两边对应成比例，且夹角相等，两三角形相似，推出 ，推出

15、，代入即可求出答案解：（1）过D作DHBC的延长线于H点，并截取HG=AF，连接DG四边形ABCD是平行四边形 于点E 在ABE和DGA中 四边形ABCD是平行四边形 （2）nCD = mAF + nBE.理由是：延长EA到G，使得，连接DG，即因为四边形ABCD是平行四边形所以AB=CD，AD=BC，因为于点E所以AEB=AEC=90所以AEB=DAG=90所以DAG=90，即AEB=GAD=90因为所以所以1=2，所以GFD=90-3因为DF平分ADC所以3=4所以GDF=2+3=1+4=180-FAD-3=90-3所以GDF=GFD所以DG=GF因为，AB=CD（已证）所以nCD=mDG

16、=m 即nCD= mAF + nBE.【点拨】本题考查了三角形综合问题，掌握平行四边形的性质、全等三角形的性质以及判定定理、相似三角形的性质以及判定定理是解题的关键【举一反三】【变式1】（2022广东深圳统考三模）如图所示，等腰的三个顶点A、B、C分别在直线上，AC与交于E点，与之间的距离为6，与之间的距离为2，则的值为（）ABCD【答案】A【分析】过点C做于点D，交于点G，过B做于F，证明，通过勾股定理求得BC，然后根据相似三角形的判定与性质可得，由此可求出GE，从而可得BE，即可得出答案解：如图，过点C做于点D，交于点G，过B做于F则为等腰直角三角形由勾股定理得：解得则故选：A【点拨】本题

17、考查了三角形全等的判定定理与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识点，通过作辅助线，构造两个全等三角形是解题关键【变式2】（2020上安徽滁州九年级校联考阶段练习）如图，在中，过点作，且，过作，交于点，是上的动点，当的周长最小时，的长为 【答案】【分析】根据，得到，再根据，得到点在线段的垂直平分线上，从而得到，因此得到当与重合时，最小，根据，可得，根据，由相似三角形的判定定理得到，从而可得DP的长解：如图，连接，又，DE是线段AC的垂直平分线，点在线段的垂直平分线上，要使的周长最小，只要最小即可，当与重合时，最小，即故答案为：【点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质，最短路径问题，垂直平

18、分线的判定与性质等知识正确作出辅助线是解题的关键【考点六】位似图形【例6】（2021上四川攀枝花九年级校考期中）如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F为AM上一点，EFAM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N（1）试探究ABM与EDN是否相似，并说明理由（2）如果F是AM的中点且AB12，BM5，求CN的长【答案】（1）相似，理由见分析；（2）【分析】（1）由正方形的性质得出EDN=B=90，由余角的性质得出DEN=BAM，即可得出结论；（2）由勾股定理求出AM，得出AF，由ABMEFA得出比例式，求出AE，得出DE的长，再根据ABMEDN求出DN的长即可求解解：证明：四边形AB

19、CD是正方形，EDN=B=90，BAM+DAF=90，EFAM，AFE =90，E+DAF=90，E=BAM，ABMEDN；（2）B=90，AB=12，BM=5，AM=13，AD=12，F是AM的中点，AF=AM=，E=BAM，AFE=B=90，ABMEFA，即，AE=，DE=AE-AD=-12=， ABMEDN，即，DN=，CN=CD-DN=12-=【点拨】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键【举一反三】【变式1】（2022上辽宁阜新九年级阜新实验中学校考期中）如图，平面直角坐标系中，A（4，0），点B为y轴上一点，

20、连接AB，tanBAO2，点C，D为OB，AB的中点，点E为射线CD上一个动点、当AEB为直角三角形时，点E的坐标为（）A（4，4）或（22，4）B（4，4）或（22，4）C（12，4）或（22，4）D（12，4）或（22，4）【答案】C【分析】根据已知可得OA=4，OB = 8，从而利用勾股定理可求出AB，然后分两种情况，当AE1B=90，当BAE2=90，进行计算即可解答解：A（4，0），OA=4，在RtABO中，tanBAO=，OB =2OA=8，点C，D为OB，AB的中点，如图，分两种情况：当AE1B=90，点D为AB的中点，DE1，E1（，4 ），当BAE2=90，过点E2作E2Fx

21、轴，BAO+E2AF= 90，BOA90，ABO+BAO=90，ABOE2AF，BOAAFE2=90，BOAAFE2，AF=8，OF=OA+AF=12，E2（12，4）综上所述，当AEB为直角三角形时，点E的坐标为（，4 ）或（12，4）【点拨】本题考查了解直角三角形，相似三角形的判定与性质，三角形的中位线定理，勾股定理的逆定理，坐标与图形的性质，熟练掌握一线三等角构造相似模型是解题的关键，同时渗透了分类讨论的数学思想【变式2】（2023上吉林长春九年级校考阶段练习）如图,ABC与ABC关于y轴对称,已知A（1,4）,B（3,1）,C（3,3）,若以原点O为位似中心,相似比为作ABC的缩小的位

22、似图形ABC,则A的坐标是 . 【答案】【分析】先根据ABC与ABC关于y轴对称，A（1，4），即可得出A（-1，4），再根据以原点O为位似中心，相似比为 作ABC的缩小的位似图形ABC，可得A的坐标解：如图所示，ABC与ABC关于y轴对称，A（1，4），A（-1，4），相似比为，A（-，2）或（，-2）故答案为（-，2）或（，-2）【点拨】本题考查位似变换以及轴对称变换的运用，解题关键是：画一个图形的位似图形时，位似中心的选择是任意的，这个点可以在图形的内部或外部或在图形上，对于具体问题要考虑画图方便且符合要求由于位似中心选择的任意性，因此作已知图形的位似图形的结果是不唯一的【考点六】相似三

23、角形综合几何模型【例7】（2023上海南省直辖县级单位八年级统考期中）点为在线段上一点，和都是等边三角形，交于点，交于点（1）求证：；（2）求的度数；（3）判断的形状，并说明理由【答案】（1）见分析；（2）；（3）见分析【分析】此题考查了等边三角形的判定与性质，三角形内角和定理以及全等三角形的判定与性质（1）由三角形与三角形都为等边三角形，利用等边三角形的性质得到两条边对应相等，两个角相等都为，利用 “”即可得到三角形与三角形全等；（2）根据全等三角形的性质和三角形的内角和定理计算即可；（3）三角形为等边三角形，理由为：由第一问三角形与三角形全等，利用全等三角形的对应角相等得到一对角相等，再由

24、，利用平角的定义得到，再由，利用 “”可得出三角形与三角形全等，利用全等三角形的对应边相等得到，再由，利用有一个角为的等腰三角形为等边三角形可得出三角形为等边三角形解：（1）证明：和都是等边三角形，由平角的定义得，在和中，；（2）由（1）得， 在中，在中，；（3）为等边三角形，理由为：证明：，又，即，在和中，则为等边三角形【举一反三】【变式1】（2022下浙江丽水八年级统考期末）如图，在正方形中，点，分别是射线，射线上的点，与交于点过点作，交直线于点，则的长是（）A8BC6D【答案】B【分析】首先根据正方形的性质，得出，然后再根据线段的关系，得出，再根据，得出，再根据全等三角形的性质，得出，然

25、后再根据两直线平行，同位角相等，得出，再根据等量代换，得出，结合，得出，再根据相似三角形的性质，得出，进而算出的长，再根据线段之间的关系，即可得出的长解：四边形ABCD是正方形，又，在和中，又，又，解得：，故选：B【点拨】本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质与判定、平行线的性质、相似三角形的性质与判定，解本题的关键在熟练掌握相关的性质与定理【变式2】（2019山东枣庄统考二模）如图，在平面直角坐标系中，直线yx1分别交x轴、y轴于A、B两点，点P（a，b）是反比例函数y在第一象限内的任意一点，过点P分别作PMx轴于点M，PNy轴于点N，PM、PN分别交直线AB于点E、点F，下列结论：AFB

26、E；SOEF（ab1）；a+b的最小值为；AOFBEO 其中正确的结论是 【答案】【分析】由P的坐标及四边形PNOM为矩形，确定出EM和NF，表示出PE及PF，根据SEOF=S矩形MONP-SEMO-SFNO-SEPF，整理后即可求出三角形OEF的面积，可对选项进行判断；利用勾股定理求出BE与AF的长，即可判断；根据，求出，列得，根据二次函数的性质得到当时，a+b有最小值，此时，即可求出a+b的最小值为，判断；求出OA=OB=1，证得AOB为等腰直角三角形，得到FAO=EBO=45，由2ab=1，得到AFBE=， 推出，证得AOFBEO，即可判断选项，综上，得到所有正确的选项解：P（a，b），

27、OM=a，PM=b，点E的横坐标为a，F的纵坐标为b，又E和F都在直线y=-x+1上，点E（a，1-a），点F（1-b，b），即OM=a，EM=1-a，ON=b，NF=1-b，PE=PM-EM=b-（1-a）=a+b-1，PF=PN-NF=a-（1-b）=a+b-1，SEOF=S矩形MONP-SEMO-SFNO-SEPF，=ab- a（1-a）-b（1-b）-（a+b-1）2=（a+b-1），选项正确；BE=，AF=， BE与AF不一定相等，选项错误；P（a，b），是反比例函数y在第一象限内的任意一点，当时，a+b有最小值，此时，a+b的最小值为，故正确；直线y=-x+1分别交x轴、y轴于A，B两点，令x=0，求出y=1，即B（0，1）；令y=0，求出x=1，即A（1，0），OA=OB=1，且AOB=90，即AOB为等腰直角三角形，FAO=EBO=45，点P（a，b）是曲线y=上一点，2ab=1，即AFBE=， 又OAOB=1，AOFBEO，选项正确，综上，正确选项的序号有：故答案为：【点拨】此题属于反比例函数的综合题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，二次函数的最值，点的坐标与平面图形，以及两点间的距离公式，是一道中考常考的题型