专题27.2.3相似三角形的判定（知识解读）-2022-2023学年九年级数学下册《同步考点解读•专题训练》（人教版）.docx

1、 专题27.2.3 相似三角形的判定（知识解读）【直击考点】 【学习目标】1、了解相似三角形的概念， 掌握相似三角形的表示方法及判定方法；2、进一步探索相似三角形的判定及其应用，提高运用“类比”思想的自觉性，提高推理能力.【知识点梳理】考点1 相似三角形的相关概念在和中，如果我们就说与相似，记作 .k就是它们的相似比，“”读作“相似于”.注意：(1)书写两个三角形相似时，要注意对应点的位置要一致，即，则说明点A的对应点是A，点B的对应点是B，点C的对应点是C；(2)对于相似比，要注意顺序和对应的问题，如果两个三角形相似，那么第一个三角形的一边和第二个三角形的对应边的比叫做第一个三角形和第二个三

2、角形的相似比.当相似比为1时，两个三角形全等.考点2 相似三角形的判定1判定方法（1）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似.2判定方法（2）：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.3判定方法（3）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似.注意：此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的.4 判定方法（4）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.注意：要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角

3、形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似.考点3 相似三角形的判定与性质的综合应用考点4 射影定理射影定理直角三角形斜边上的高是它分斜边所得两条线段的比例中项；且每条直角边都是它在斜边上的射影和斜边的比例中项。 如图（）：t中，若为高，则有DAD、或。【典例分析】【考点1 相似三角形的概念】【典例1】如图，若每两个三角形相似，构成一组相似三角形，那么图中相似的三角形共有_组【变式1】如图，在中，、是中线，它们相交于点F，交于点G（1）找出图中的一对相似三角形，并说明理由；（2）求与的比【考点2 三边对应成比例，两三角形相似】【典例2】如图，已知求证

4、：【变式2】如图，D、E、F分别是的三边的中点求证：【考点3两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似】【典例3】（2021秋广南县期末）在ABC中，D、E分别是AC、BC边上的点，BC6，AC4，CE2，AD1求证：ABCEDC【变式3-1】（2021秋文山市期末）如图，在ABC中，AB6，AC8，D、E分别在AB、AC上，BD2，CE5求证：AEDABC【变式3-2】（2020秋潜江月考）如图，ACEDF，CF4，CDAD6；（1）求AE的长（2）求证：ADEDFE【变式3-3】（2021秋信丰县期末）如图，ABCD，AC与BD交于点E，且ACB90，AB6，BC6，CE3（1）求CD的长；（

5、2）求证：CDEBDC【考点4 两角对应相等，两三角形相似】【典例4】（2021秋晋江市校级期末）如图，在ABC中，点D在BC边上，点E在AC边上，且ADAB，DECB求证：AEDADC【变式4-1】（2021秋任丘市期末）如图，在ABC中，ABAC，BAC120，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且ADE30，求证：ABDDCE【变式4-2】（2022东西湖区模拟）如图，在ABC中，BDAC于点D，DEAB于点E，BDDEBECD求证：BCDBDE【变式4-3】（2021秋槐荫区期末）如图，在平行四边形ABCD中，E为AB边上一点，连接CE，F为CE上一点，且DFEA求证：DCFCEB【考

6、点5 动点中的相似判定】【典例5】（2021秋青龙县期中）如图，在ABC中，C90，BC8cm，AC：AB3：5，动点P、Q分别从点C、点A同时出发，点P以3cm/s的速度沿CB向点B移动，点Q以1cm/s的速度沿AC向点C移动经过多少秒，以C，P，Q为顶点的三角形与ABC相似？【变式5-1】（2021秋将乐县期中）如图，点A（10，0），B（0，20），连接AB，动点M、N分别同时从点A，O出发，以1单位长度/秒和2单位长度/秒的速度向终点O、B移动，当其中一点到达终点时停止运动，移动时间为t秒（1）用含t的代数式表示点M的坐标为（ ，），点N的坐标为（ ，）；（2）当t为何值时，MON与A

7、OB相似【变式5-2】（2021秋历下区期中）如图所示，在矩形ABCD中，AB12cm，BC6cm点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/秒的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/秒的速度移动，如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动的时间（0t6），那么：（1）点Q运动多少秒时，APQ的面积为5cm2；（2）当t为何值时，QAP与ABC相似？【考点2 相似三角形的性质与判定综合应用】【典例6】（2022杭州）如图，在ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，连接DE，EF已知四边形BFED是平行四边形，（1）若AB8，求线段AD的长（2）若ADE的面积为1，求平行四边形BFED

8、的面积【变式6-1】（2022江西）如图，四边形ABCD为菱形，点E在AC的延长线上，ACDABE（1）求证：ABCAEB；（2）当AB6，AC4时，求AE的长【变式6-2】（2022春海淀区校级期中）如图，四边形ABCD为平行四边形，ABC的角平分线BE交AD于点E，连接AC交BE于点F（1）求证：BCCD+ED；（2）若ABAC，AF3，AC8，求AE的长【变式6-3】（2022长沙县一模）如图，四边形ABCD是平行四边形，F为BC边上一点，连接DF并延长，交AB的延长线于E，且EDBC（1）求证：ADEDBE；（2）若DC10cm，BE18cm，求DE的长【典例7】（2021秋南京期末）

9、如图，在RtABC中，ACB90，点D在AB上，且（1）求证ACDABC；（2）若AD3，BD2，求CD的长【变式7-1】（2022义乌市校级开学）如图，在ABC中，ACB90，CDAB，若AD4，BD8，则CD的长为（）A4B4C4D【变式7-2】（2021秋江都区期末）如图，RtABC中，ACB90，CDAB于点D（1）求证：AC2ABAD；（2）若BD9，AC6，求AD的长【典例8】（2022龙岗区模拟）如图，在ABC中，ADBC于点D，E为BD上一点，过点E作EFBC交AB于点F，过点F作FGEF分别交AD，AC于点N，G，过点G作GHEF交BC于点H（1）求证：AFGABC；（2）若

10、AD3，BC9，设EF的长度为x，四边形EFGH的面积为y，求y与x之间的函数表达式，并求y的最大值【变式8-1】（2020蔡甸区模拟）在锐角ABC中，边BC长为18，高AD长为12（1）如图，矩形EFCH的边GH在BC边上，其余两个顶点E、F分别在AB、AC边上，EF交AD于点K，求的值；（2）设EHx，矩形EFGH的面积为S，求S与x的函数关系式，并求S的最大值【变式8-2】（2021秋金川区校级期末）如图，在ABC中，BC120，高AD60，四边形EFGH一边在BC上，点E，F分别在AB，AC上，AD交EF于点N；（1）如图1，若四边形EFGH是正方形，求AN的长度；（2）如图2，若四边

11、形EFGH是矩形，则EH的长为多少时，它的面积最大？最大面积为多少？ 专题27.2.3 相似三角形的判定（知识解读）【直击考点】 【学习目标】1、了解相似三角形的概念， 掌握相似三角形的表示方法及判定方法；2、进一步探索相似三角形的判定及其应用，提高运用“类比”思想的自觉性，提高推理能力.【知识点梳理】考点1 相似三角形的相关概念在和中，如果我们就说与相似，记作 .k就是它们的相似比，“”读作“相似于”.注意：(1)书写两个三角形相似时，要注意对应点的位置要一致，即，则说明点A的对应点是A，点B的对应点是B，点C的对应点是C；(2)对于相似比，要注意顺序和对应的问题，如果两个三角形相似，那么第

12、一个三角形的一边和第二个三角形的对应边的比叫做第一个三角形和第二个三角形的相似比.当相似比为1时，两个三角形全等.考点2 相似三角形的判定1判定方法（1）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似.2判定方法（2）：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.3判定方法（3）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似.注意：此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的.5 判定方法（4）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么

13、这两个三角形相似.注意：要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似.考点3 相似三角形的判定与性质的综合应用考点4 射影定理射影定理直角三角形斜边上的高是它分斜边所得两条线段的比例中项；且每条直角边都是它在斜边上的射影和斜边的比例中项。 如图（）：t中，若为高，则有DAD、或。【典例分析】【考点1 相似三角形的概念】【典例1】如图，若每两个三角形相似，构成一组相似三角形，那么图中相似的三角形共有_组【答案】3【解答】解：，DEAFGABCA，一共有3组相似三角形，故答案为：3【变式1】如图，在中，、是中线，

14、它们相交于点F，交于点G（1）找出图中的一对相似三角形，并说明理由；（2）求与的比【解答】解：（1），理由：，又，；（2）、是的中线，为的中位线，【考点2 三边对应成比例，两三角形相似】【典例2】如图，已知求证：【解答】证明：，在中， ， ,在中， 在ABC和DEF中，三边对应成比例,【变式2】如图，D、E、F分别是的三边的中点求证：【解答】解：，分别是的三边，的中点，、为的中位线，【考点3两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似】【典例3】（2021秋广南县期末）在ABC中，D、E分别是AC、BC边上的点，BC6，AC4，CE2，AD1求证：ABCEDC【解答】证明：BC6，AC4，CE2，A

15、D1，CDACAD413，CC，ABCEDC【变式3-1】（2021秋文山市期末）如图，在ABC中，AB6，AC8，D、E分别在AB、AC上，BD2，CE5求证：AEDABC【解答】证明：AB6，BD2，AD4，AC8，CE5，AE3，EADBAC，AEDABC【变式3-2】（2020秋潜江月考）如图，ACEDF，CF4，CDAD6；（1）求AE的长（2）求证：ADEDFE【解答】（1）解：CEDF，C+CFD+CDF180，EDF+ADE+CDF180，ADECFD，CA，ADECFD，CF4，CDAD6，AE9（2）证明：AE9，AD6，ADECFD，AEDF，ADEDFE【变式3-3】（

16、2021秋信丰县期末）如图，ABCD，AC与BD交于点E，且ACB90，AB6，BC6，CE3（1）求CD的长；（2）求证：CDEBDC【解答】（1）解：ACB90AB6，BC6，AC12；AEACCE9，ABCD，CDEABE；，CD2，（2）证明：ACB90，CE3，BC6，BE3，ABCD，CDEABE，DE，BD4，DD，CDEBDC【考点4 两角对应相等，两三角形相似】【典例4】（2021秋晋江市校级期末）如图，在ABC中，点D在BC边上，点E在AC边上，且ADAB，DECB求证：AEDADC【解答】解：ADAB，BADB，DECB，ADBDEC，180ADB180DEC，ADCAE

17、D，DAECAD，AEDADC【变式4-1】（2021秋任丘市期末）如图，在ABC中，ABAC，BAC120，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且ADE30，求证：ABDDCE【解答】证明：ABAC，且BAC120，ABDACB30，ADE30，ABDADE30，ADCADE+EDCABD+DAB，EDCDAB，ABDDCE【变式4-2】（2022东西湖区模拟）如图，在ABC中，BDAC于点D，DEAB于点E，BDDEBECD求证：BCDBDE【解答】证明：点BDAC于点D，DEAB于点E，BDCBED90，BDDEBECD，BCDBDE【变式4-3】（2021秋槐荫区期末）如图，在平行四边

18、形ABCD中，E为AB边上一点，连接CE，F为CE上一点，且DFEA求证：DCFCEB【解答】证明：四边形ABCD是平行四边形，ADBC，DCAB，A+B180，DCFBECDFC+DFE180，DFEA，DFCB，DCFCEB【考点5 动点中的相似判定】【典例5】（2021秋青龙县期中）如图，在ABC中，C90，BC8cm，AC：AB3：5，动点P、Q分别从点C、点A同时出发，点P以3cm/s的速度沿CB向点B移动，点Q以1cm/s的速度沿AC向点C移动经过多少秒，以C，P，Q为顶点的三角形与ABC相似？【解答】解：BC8cm，AC：AB3：5，C90，AC6cm，AB10cm，设经过t秒，

19、以C，P，Q为顶点的三角形与ABC相似，此时，CP3t，CQ6t，（1）若QPCABC，则：，即：，t；（2）若PQCABC，则：，即：，t1.2秒后，P是定点，和点B重合，点Q向点C移动的过程中，没有相似的可能所以，经过秒或1.2秒时，以C，P，Q为顶点的三角形与ABC相似【变式5-1】（2021秋将乐县期中）如图，点A（10，0），B（0，20），连接AB，动点M、N分别同时从点A，O出发，以1单位长度/秒和2单位长度/秒的速度向终点O、B移动，当其中一点到达终点时停止运动，移动时间为t秒（1）用含t的代数式表示点M的坐标为（ ，），点N的坐标为（ ，）；（2）当t为何值时，MON与AOB

20、相似【解答】解：（1）ON2tcm，OM（10t）cm，N（0，2t），M（10t，0）；故答案为：10t，0，0，2t；（2）MONAOB90，当时，MONAOB，即，解得t5；当时，MONBOA，即，解得t2，当t5或2时，MON与AOB相似【变式5-2】（2021秋历下区期中）如图所示，在矩形ABCD中，AB12cm，BC6cm点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/秒的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/秒的速度移动，如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动的时间（0t6），那么：（1）点Q运动多少秒时，APQ的面积为5cm2；（2）当t为何值时，QAP与ABC相似？【解答】解

21、：（1）当运动时间为ts时，AP2tcm，AQ（6t）cm，依题意得：2t（6t）5，整理得：t26t+50，解得：t11，t25答：当t为1或5时，QAP的面积等于5cm2；（2）AP2tcm，DQtcm，AB12cm，AD6cm，AQ（6t）cm，AA，当时，AQPBCA，解得：t3；当时，AQPBAC，解得：t1.2当t3或1.2时，APQ与ABC相似【考点2 相似三角形的性质与判定综合应用】【典例6】（2022杭州）如图，在ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，连接DE，EF已知四边形BFED是平行四边形，（1）若AB8，求线段AD的长（2）若ADE的面积为1，求平行四边形

22、BFED的面积【解答】解：（1）四边形BFED是平行四边形，DEBF，DEBC，ADEABC，AB8，AD2；（2）ADEABC，（）2（）2，ADE的面积为1，ABC的面积是16，四边形BFED是平行四边形，EFAB，EFCABC，（）2，EFC的面积9，平行四边形BFED的面积16916【变式6-1】（2022江西）如图，四边形ABCD为菱形，点E在AC的延长线上，ACDABE（1）求证：ABCAEB；（2）当AB6，AC4时，求AE的长【解答】（1）证明：四边形ABCD为菱形，ACDBCA，ACDABE，BCAABE，BACEAB，ABCAEB；（2）解：ABCAEB，AB6，AC4，A

23、E9【变式6-2】（2022春海淀区校级期中）如图，四边形ABCD为平行四边形，ABC的角平分线BE交AD于点E，连接AC交BE于点F（1）求证：BCCD+ED；（2）若ABAC，AF3，AC8，求AE的长【解答】（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，ADBC，ABCD，ADBC，AEBEBC，BE平分ABC，ABEEBC，ABEAEB，ABAE，AECD，ADAE+DE，BCCD+ED；（2）AF3，AC8，CFACAF835，AEBEBC，AFEBFC，AFECFB，设AE3x，BC5x，ABAE3x，ABAC，BAC90，AB2+AC2BC2，（3x）2+82（5x）2，x2或x2（舍

24、去），AE3x6，AE的长为6【变式6-3】（2022长沙县一模）如图，四边形ABCD是平行四边形，F为BC边上一点，连接DF并延长，交AB的延长线于E，且EDBC（1）求证：ADEDBE；（2）若DC10cm，BE18cm，求DE的长【解答】（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，AC，EDBC，AEDB，又EE，ADEDBE；（2）解：四边形ABCD是平行四边形，DCAB，由（1）得ADEDBE，DC10cm，BE18cm，ABDC10cm，AEAB+BE28cm，即 ，DE6（cm）【典例7】（2021秋南京期末）如图，在RtABC中，ACB90，点D在AB上，且（1）求证ACDABC；

25、（2）若AD3，BD2，求CD的长【解答】（1）证明：，AA，ACDABC；（2）解：ACDABC，ACDB，ACB90，A+B90，A+ACD90，ADC90，ADCBDC，ACDB，ACDCBD，CD【变式7-1】（2022义乌市校级开学）如图，在ABC中，ACB90，CDAB，若AD4，BD8，则CD的长为（）A4B4C4D【解答】解：ACB90，A+B90，CDAB，DCB+B90，ADCB，ADCCDB90，ADCCDB，即，解得：CD4，故选：A【变式7-2】（2021秋江都区期末）如图，RtABC中，ACB90，CDAB于点D（1）求证：AC2ABAD；（2）若BD9，AC6，求

26、AD的长【解答】（1）证明：ACB90，CDAB，ACBADC，ACD+A90，B+A90，ACDB，ADCACB，AC2ABAD；（2）解：AC2ABAD，BD9，AC6，36（AD+9）AD，解得：AD13，AD212（舍去），则AD的长为3【典例8】（2022龙岗区模拟）如图，在ABC中，ADBC于点D，E为BD上一点，过点E作EFBC交AB于点F，过点F作FGEF分别交AD，AC于点N，G，过点G作GHEF交BC于点H（1）求证：AFGABC；（2）若AD3，BC9，设EF的长度为x，四边形EFGH的面积为y，求y与x之间的函数表达式，并求y的最大值【解答】（1）证明：EFBC，FGE

27、F，EFGH为矩形，FGBC，BACFAG，AFGABC；（2）解：EFBC，GHEF，FEH90，GHBC，GHE90，又FGEF，ADBC，EFGADB90，四边形EFGH，EFND都是矩形，NDEF，ANFG，EFx，AD3，NDEFx，ANADND3x由（1）得AFGABC，即，FG93x，S四边形EFGHEFFG，yx（93x）3x2+9x3（x）2+（0x3），当x时，y取得最大值，最大值为【变式8-1】（2020蔡甸区模拟）在锐角ABC中，边BC长为18，高AD长为12（1）如图，矩形EFCH的边GH在BC边上，其余两个顶点E、F分别在AB、AC边上，EF交AD于点K，求的值；（

28、2）设EHx，矩形EFGH的面积为S，求S与x的函数关系式，并求S的最大值【解答】解：（1）AEFABC，边BC长为18，高AD长为12，；（2）EHKDx，AK12x，EF（12x），Sx（12x）（x6）2+54，当x6时，S有最大值为54【变式8-2】（2021秋金川区校级期末）如图，在ABC中，BC120，高AD60，四边形EFGH一边在BC上，点E，F分别在AB，AC上，AD交EF于点N；（1）如图1，若四边形EFGH是正方形，求AN的长度；（2）如图2，若四边形EFGH是矩形，则EH的长为多少时，它的面积最大？最大面积为多少？【解答】解：（1）设正方形EFGH的边长EFEHx，四边形EFGH是正方形，HEFEHG90，EFBC，AEFABC，AD是ABC的高，HDN90，四边形EHDN是矩形，DNEHx，AEFABC，BC120，AD60，AN60x，解得：x40，AN60x604020；（2）设矩形EFGH的边长EHy，同理可证AEFABC，EF1202y，S矩形EFGHEFEHy（1202y）2（y30）2+1800，当y30时，矩形EFGH有最大面积，当EH30时，矩形EFGH有最大面积，最大面积为1800