专题29 圆的有关概念(原卷版).docx

1、专题29 圆的有关概念 【专题目录】技巧1：巧用圆的基本性质解圆的五种关系技巧2：垂径定理的四种应用技巧技巧3：圆中常见的计算题型【题型】一、 圆的周长与面积问题【题型】二、利用垂径定理进行计算【题型】三、垂径定理的实际应用【题型】四、利用弧、弦、圆心角的关系求解【题型】五、利用弧、弦、圆心角的关系求证【题型】六、同弧或等弧所对的圆周角相等【题型】七、直径所对的圆周角是直角【考纲要求】1.理解圆的有关概念和性质，了解圆心角、弧、弦之间的关系2.了解圆心角与圆周角的关系，掌握垂径定理及推论. 【考点总结】一、 圆的有关概念及性质（1）圆:平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆,圆既是

2、轴对称图形也是中心对称图形.（2）圆具有对称性和旋转不变性.（3）不共线的三点确定一个圆.（4）圆上各点到圆心的距离都等于半径.（5）圆上任意两点间的部分叫做弧,大于半圆周的弧称为优弧,小于半圆周的弧称为劣弧.（6）连接圆上任意两点的线段叫做弦,经过圆心的弦叫做直径.（7）弧、弦、圆心角的关系定理：在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等.推论：在同圆或等圆中,两个圆心角、两条弧、两条弦中如果有一组量相等,则它们所对应的其余各组量也分别相等.【考点总结】二、垂径定理（1）定理：垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.（2）推论1：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分

3、弦所对的两条弧. 弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧. 平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧.（3）推论2:圆的两条平行弦所夹的弧相等.注意:轴对称性是圆的基本性质,垂径定理及其推论就是根据圆的轴对称性总结出来的,它们是证明线段相等、角相等、垂直关系、弧相等和一条弦是直径的重要依据.遇弦作弦心距是圆中常用的辅助线.【考点总结】三、与圆有关的角及其性质（1）圆心角:顶点在圆心,角的两边和圆相交的角叫做圆心角.圆周角:顶点在圆上且角的两边和圆相交的角叫做圆周角.（2）圆周角定理定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.推论： 同弧或等弧所对的圆周角相等

4、. 半圆(或直径)所对的圆周角是直径,90的圆周角所对的弦是圆的直径. 圆内接四边形的对角互补.【考点总结】四、圆周长、弧长计算（1）半径为R的圆周长：C=d=2R.（2）半径为R的圆中,n的圆心角所对的弧长为l,则l=.【考点总结】五、圆、扇形面积计算（1）半径为R的圆面积S=（2）半径为R的圆中,圆心角为n的扇形面积为S扇=或S扇=.【考点总结】六、圆柱、圆锥的有关计算（1）圆柱的侧面展开图是长方形,圆柱侧面积S=2Rh,全面积S=2Rh+2R2(R表示底面圆的半径,h表示圆柱的高).（2）圆锥的侧面展开图是扇形,圆锥侧面积S=Rl,全面积S=Rl+R2(R表示底面圆的半径,l表示圆锥的母

5、线).（3）圆柱的体积=底面积高,即V=Sh=R2h.圆锥的体积=底面积高,即V=R2h.【考点总结】七、正多边形与圆（1）正多边形:各边相等,各角相等的多边形叫做正多边形.（2）圆与正多边形的有关概念:一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心,外接圆的半径叫做正多边形的半径;正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角,中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距.（3）正多边形的内角和=(n-2)180;正多边形的每个内角=;正多边形的周长=边长边数;正多边形的面积=周长边心距.【技巧归纳】技巧1：巧用圆的基本性质解圆的五种关系类型一：弦、弧之间的关系1如图，在O中，2，则下列

6、结论正确的是()(第1题)AAB2CDBAB2CDCAB2CDD以上都不正确2如图，在O中，弦ADBC，求证：.(第2题)类型二： 圆周角、圆心角之间的关系3如图，AB，AC，BC都是O的弦，且CABCBA，求证：COBCOA.(第3题)类型三：弧、圆周角之间的关系4如图，AB是O的直径，点C，D在O上，BAC50，求ADC的度数(第4题)类型四：弦、圆心角之间的关系5如图，以等边三角形ABC的边BC为直径作O交AB于D，交AC于E，连接DE.试判断BD，DE，EC之间的大小关系，并说明理由(第5题)类型五：弦、弧、圆心角之间的关系6如图，在O中，AOB90，且C，D是的三等分点，AB分别交O

7、C，OD于点E，F.求证：AEBFCD.(第6题)技巧2：垂径定理的四种应用技巧类型一：巧用垂径定理求点的坐标1如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是(10，0)，点B的坐标是(8，0)，点C，D在以OA为直径的半圆M上， 且四边形OCDB是平行四边形，求点C的坐标(第1题)类型二：巧用垂径定理解决最值问题(对称思想)2如图，AB，CD是半径为5的O的两条弦，AB8，CD6，MN是直径，ABMN于点E，CDMN于点F，P为直线EF上的任意一点，求PAPC的最小值(第2题)类型三：巧用垂径定理计算3如图，CD为O的直径，CDAB，垂足为点F，AOBC，垂足为E，BC2.求：(1)AB的长；(2)

8、O的半径(第3题)类型四：巧用垂径定理解决实际问题(建模思想)4某地有一座拱桥，它的桥拱是圆弧形，桥下的水面宽度为7.2 m，拱顶高出水面2.4 m，现有一艘宽3 m，船舱顶部为长方形并高出水面2 m的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座拱桥吗？技巧3：圆中常见的计算题型类型一：有关角度的计算1如图，在O中，AB，CD是直径，BE是切线，B为切点，连接AD，BC，BD.(1)求证：ABDCDB；(2)若DBE37，求ADC的度数(第1题)类型二：半径、弦长的计算(第2题)2如图，在O中，CD是直径，弦ABCD，垂足为E，连接BC，若AB2 cm，BCD2230，则O的半径为_3如图，已知O中直

9、径AB与弦AC的夹角为30，过点C作O的切线交AB的延长线于点D，OD30 cm.求直径AB的长(第3题)类型三：面积的计算 利用“作差法”求面积4如图，在ABC中，ABAC，以AB为直径的O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作O的切线DF，交AC于点F.(1)求证：DFAC；(2)若O的半径为4，CDF22.5，求阴影部分的面积(第4题) 利用“等积法”求面积5如图，在BCE中，点A是边BE上一点，以AB为直径的O与CE相切于点D，ADOC，点F为OC与O的交点，连接AF.(1)求证：CB是O的切线；(2)若ECB60，AB6，求图中阴影部分的面积(第5题) 利用“平移法”求面积6如图，两

10、个半圆中，O为大半圆的圆心，长为18的弦AB与直径CD平行且与小半圆相切，那么图中阴影部分的面积等于多少？(第6题) 利用“割补法”求面积7如图，O的直径AB10，弦AC6，ACB的平分线交O于D，过点D作DEAB交CA的延长线于点E，连接AD，BD.(1)由AB，BD，围成的曲边三角形的面积是_；(2)求证：DE是O的切线；(3)求线段DE的长(第7题)类型四：实际应用的计算 利用垂径定理解决台风问题8如图，台风中心位于点P，并沿东北方向PQ移动，已知台风移动的速度为30 km/h，受影响区域的半径为200 km，B市位于点P北偏东75的方向上，距离P点320 km处(1)试说明台风是否会影

11、响B市；(2)若B市受台风的影响，求台风影响B市的时间(第8题) 利用圆周角知识解决足球射门问题(转化思想)9如图，在“世界杯”足球比赛中，队员甲带球向对方球门PQ进攻，当他带球冲到A点时，同伴队员乙已经助攻冲到B点，现有两种射门方式：一是由队员甲直接射门；二是队员甲将球迅速传给队员乙，由队员乙射门从射门角度考虑，你认为选择哪种射门方式较好？为什么？(第9题) 利用直线与圆的位置关系解决范围问题10如图，已知A，B两地相距1 km.要在A，B两地之间修建一条笔直的水渠(即图中的线段AB)，经测量在A地的北偏东60方向，B地的北偏西45方向的C处有一个以C为圆心，350 m为半径的圆形公园，则修

12、建的这条水渠会不会穿过公园？为什么？(第10题)【题型讲解】【题型】一、 圆的周长与面积问题例1、如图，O的半径为，分别以的直径上的两个四等分点，为圆心，为半径作圆，则图中阴影部分的面积为（ ）ABCD例2、图案的地砖，要求灰、白两种颜色面积大致相同，那么下面最符合要求的是（ ）ABCD【题型】二、利用垂径定理进行计算例3、如图，O的直径CD20，AB是O的弦，ABCD，垂足为M，OM：OD3：5，则AB的长为（）A8B12C16D2例4、如图，点在O上，垂足为E若，则（ ）A2B4CD【题型】三、垂径定理的实际应用例5、往直径为的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽，则水的最大

13、深度为（ ）ABCD例6、我国古代数学经典著作九章算术中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小以锯锯之，深一寸，锯道长一尺问径几何？”意思是：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小用锯去锯这木材，锯口深寸，锯道长尺（1尺寸）问这根圆形木材的直径是_寸【题型】四、利用弧、弦、圆心角的关系求解例7、如图，是O的直径，点，在O上，AB=AD，交于点若则的度数为（ ）ABCD例8、如图，AB是O的直径，BC=CD=DE，COD=34，则AEO的度数是（ ）A51B56C68D78【题型】五、利用弧、弦、圆心角的关系求证例9、如图，是半圆的直径，是半圆上不同于的两点与相交于点是半圆

14、所任圆的切线，与的延长线相交于点，求证：；若求平分【答案】证明见解析；证明见解析【提示】利用证明利用为直径，证明结合已知条件可得结论；例10、如图，已知BC是O的直径，半径OABC，点D在劣弧AC上（不与点A，点C重合），BD与OA交于点E设AED，AOD，则（）A3+180B2+180C390D290例11、如图，点在圆上，若弦的长度等于圆半径的倍，则的度数是( )A22.5B30C45D60【题型】六、同弧或等弧所对的圆周角相等例12、如图，四边形的外接圆为，则的度数为（ ）ABCD例13、如图，点A、B、C、D在O上，点B是AC的中点，则的度数是（ ）ABCD【题型】七、直径所对的圆周角

15、是直角例14、如图，是圆上一点，是直径，点在圆上且平分弧，则的长为（ ）ABCD例15、如图，AB是半圆的直径，C、D是半圆上的两点，ADC106，则CAB等于（）A10B14C16D26圆的有关概念（达标训练）一、单选题1如图，点，在上，连接交于点，则的度数是（）A108B109C110D1122如图，四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，A、B、O是小正方形顶点，O的半径为1，P是O上的点，且位于右上方的小正方形内，则sinAPB等于（）ABCD13如图，CD是圆O的直径，AB是圆O的弦，且AB=10，若CDAB于点E，则AE的长为（）A4B5C6D84如图，O的直径AB垂直于弦CD，垂

16、足为点E，连接AC，CAB=22.5，AB=12，则CD的长为（）A3B6C6D65如图，CD是O的直径，弦ABCD于点E，则下列结论不一定成立的是（）AAEBEBOEDECD6如图，AB是O的弦，OCAB，交O于点C，连接OA，OB，BC，若，则AOB的度数是（）A40B50C60D807如图，为的直径，为的弦，为优弧的中点，垂足为，则的半径为（）ABCD8已知点在线段上（点与点不重合），过点的圆记为圆，过点的圆记为圆，过点的圆记为圆，则下列说法中正确的是（）A圆可以经过点B点可以在圆的内部C点可以在圆的内部D点可以在圆内部9如图，为的直径，点C为上的一点，过点C作的切线，交直径的延长线于点

17、D；若，则的度数是（ ）A23B44C46D5710如图，已知四边形ABCD内接于O，BDC130，则BOC的度数为（）A130B120C110D10011在平面内与点的距离为1cm的点的个数为（）A无数个B3个C2个D1个二、填空题12如图，ABC 是O 的内接正三角形，已知O 的半径为 6，则图中阴影部分的面积是_三、解答题13等腰ABC中，以AB为直径作圆交BC于点D，请仅用无刻度的直尺根据下列条件分别在图1、图2中画一条弦，使这条弦的长度等于弦BD（保留作图痕迹，不写作法，用虚线表示画图过程，实线表示画图结果）（1）如图1，；（2）如图2，14如图，AB是O的直径，CD是O的一条弦，且

18、CDAB于E，连接AC，OC，BC（1）求证：1=2；（2）若，求O的半径的长圆的有关概念（提升测评）一、单选题1如图，AB为的直径，点C，D在上若，则的度数是（）A15B20C25D302如图，在半径为R的O中，AB是直径，AC是弦，D为弧AC的中点，AC与BD交于点E，已知A36，则AED的度数为（）A36B56C63D723如图，点，在上，且，若，则的度数为（）A35B40C45D504如图，AB是的弦，半径于点D，点P在圆周上，则等于（）A27B30C32D365如图，已知是的直径，弦，垂足为，且，则的半径长为（）A2BC4D106是的直径，弦，则（）AB2CD47如图，是的直径，弦，

19、若，则的度数为（）A30B40C50D608如图，反比例函数的一个分支与 有两个交点，且平分这个圆，以下说法正确的是（） A劣弧等于B反比例函数的这个分支平分圆的周长C反比例函数的这个分支平分圆的面积D反比例函数图象必过圆心9如图所示，量角器的圆心O在矩形ABCD的边AD上，直径经过点C，则OCB的度数为（）A30B40C50D6010如图，一块直角三角板的角的顶点落在上，两边分别交于两点，连结，则的度数是（）ABCD11下列说法正确的是（）A过一点有且只有一条直线与已知直线垂直B相等的圆心角所对的弧相等C若，则D一组数据，的中位数、众数都是二、填空题12如图，的半径为2，则弦的长为_三、解答题13如图，四边形是的内接四边形平分，连接(1)求证：；(2)若，求的度数14如图，外接于，延长交于点，过点作交于点(1)求证：(2)若，求的半径