专题2二次函数与直角三角形问题-挑战2023年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘（原卷版）.docx

1、挑战2023年中考数学压轴题之学霸秘笈大揭秘专题2二次函数与直角三角形问题解直角三角形的存在性问题，一般分三步走，第一步寻找分类标准，第二步列方程，第三步解方程并验根一般情况下，按照直角顶点或者斜边分类，然后按照三角比或勾股定理列方程有时根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列方程更简便解直角三角形的问题，常常和相似三角形、三角比的问题联系在一起如果直角边与坐标轴不平行，那么过三个顶点作与坐标轴平行的直线，可以构造两个新的相似直角三角形，这样列比例方程比较简便 我们先看三个问题：1已知线段AB，以线段AB为直角边的直角三角形ABC有多少个？顶点C的轨迹是什么？2已知线段AB，以线段AB为斜边

2、的直角三角形ABC有多少个？顶点C的轨迹是什么？3已知点A(4,0)，如果OAB是等腰直角三角形，求符合条件的点B的坐标图1 图2 图3如图1，点C在垂线上，垂足除外如图2，点C在以AB为直径的圆上，A、B两点除外如图3，以OA为边画两个正方形，除了O、A两点以外的顶点和正方形对角线的交点，都是符合题意的点B，共6个如图4，已知A(3, 0)，B(1,4)，如果直角三角形ABC的顶点C在y轴上，求点C的坐标我们可以用几何的方法，作AB为直径的圆，快速找到两个符合条件的点C如果作BDy轴于D，那么AOCCDB来源:学科网来源:Zxxk.Com设OCm，那么这个方程有两个解，分别对应图中圆与y轴的

3、两个交点对于代数法，可以采用两条直线的斜率之积来解决. 【例1】（2022滨州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线yx22x3与x轴相交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，连接AC、BC（1）求线段AC的长；（2）若点P为该抛物线对称轴上的一个动点，当PAPC时，求点P的坐标；（3）若点M为该抛物线上的一个动点，当BCM为直角三角形时，求点M的坐标【例2】（2022辽宁）如图，抛物线yax23x+c与x轴交于A（4，0），B两点，与y轴交于点C（0，4），点D为x轴上方抛物线上的动点，射线OD交直线AC于点E，将射线OD绕点O逆时针旋转45得到射线OP，OP交直线AC于点F，连接D

4、F（1）求抛物线的解析式；（2）当点D在第二象限且时，求点D的坐标；（3）当ODF为直角三角形时，请直接写出点D的坐标【例3】（2022广安）如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax2+x+m（a0）的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，其中点B坐标为（0，4），点C坐标为（2，0）（1）求此抛物线的函数解析式（2）点D是直线AB下方抛物线上一个动点，连接AD、BD，探究是否存在点D，使得ABD的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由（3）点P为该抛物线对称轴上的动点，使得PAB为直角三角形，请求出点P的坐标【例4】（2022柳州）已知抛物线yx2+bx+c与x轴交于A（

5、1，0），B（m，0）两点，与y轴交于点C（0，5）（1）求b，c，m的值；（2）如图1，点D是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，且点D在第一象限内，过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作EFx轴，垂足为点F，当四边形DEFG的周长最大时，求点D的坐标；（3）如图2，点M是抛物线的顶点，将MBC沿BC翻折得到NBC，NB与y轴交于点Q，在对称轴上找一点P，使得PQB是以QB为直角边的直角三角形，求出所有符合条件的点P的坐标1（2022公安县模拟）如图，已知二次函数yx2+bx+c经过A，B两点，BCx轴于点C，且点A（1，0），C（2，0），ACBC（1）求抛

6、物线的解析式；（2）点E是抛物线AB之间的一个动点（不与A，B重合），求SABE的最大值以及此时E点的坐标；（3）根据问题（2）的条件，判断是否存在点E使得ABE为直角三角形，如果存在，求出E点的坐标，如果不存在，说明理由2（2022高邮市模拟）如图，抛物线yax2+bx3经过A（1，0），与y轴交于点C，过点C作BCx轴，交抛物线于点B，连接AC、AB，AB交y轴于点D，若（1）求点B的坐标；（2）点P为抛物线对称轴上一点，且位于x轴上方，连接PA、PC，若PAC是以AC为直角边的直角三角形，求点P的坐标3（2022碑林区校级模拟）如图，已知抛物线yx2+bx+c与x轴交于A（2，0），B（

7、4，0）两点（1）求b，c的值；（2）点E为抛物线yx2+bx+c上一点，且点E在x轴上方，连接BE，以点E为直角顶点，BE为直角边，作等直角BED，使得点D恰好落在直线yx上，求出满足条件的所有点E的坐标4（2022雁峰区校级模拟）如图，抛物线yx2+bx+c经过A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，直线yx+1与x轴交于点E，与y轴交于点D（1）求抛物线的解析式；（2）P为抛物线上的点，连接OP交直线DE于Q，当Q是OP中点时，求点P的坐标；（3）M在直线DE上，当CDM为直角三角形时，求出点M的坐标5（2022平南县二模）如图，二次函数yx2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点

8、，与y轴交于点C，且A（1，0），对称轴为直线x2（1）求该抛物线的表达式；（2）直线l过点A与抛物线交于点P，当PAB45时，求点P的坐标；（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使得BCQ是直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由6（2022太原一模）综合与实践如图，抛物线yx2+2x8与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C点D在直线AC下方的抛物线上运动，过点D作y轴的平行线交AC于点E（1）求直线AC的函数表达式；（2）求线段DE的最大值；（3）当点F在抛物线的对称轴上运动，以点A，C，F为顶点的三角形是直角三角形时，直接写出点F的坐标7（2022

9、桐梓县模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y与x轴交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C，它的对称轴与x轴交于点D，直线L经过C，D两点，连接AC（1）求A，B两点的坐标及直线L的函数表达式；（2）探索直线L上是否存在点E，使ACE为直角三角形，若存在，求出点E的坐标；若不存在，说明理由8（2022沈阳模拟）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线yax2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（3，0），与y轴交于点C（0，3）（1）求抛物线的解析式（2）若点M是抛物线上B，C之间的一个动点，线段MA绕点M逆时针旋转90得到MN，当点N恰好落在y轴上时，求点M，点N的坐标（3）如图2

10、，若点E坐标为（2，0），EFx轴交直线BC于点F，将BEF沿直线BC平移得到BEF，在BEF移动过程中，是否存在使ACE为直角三角形的情况？若存在，请直接写出所有符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由9（2022东坡区校级模拟）如图，抛物线yx2（m+2）x+4的顶点C在x轴的正半轴上，直线yx+2与抛物线交于A，B两点，且点A在点B的左侧（1）求m的值；（2）点P是抛物线yx2（m+2）x+4上一点，当PAB的面积是ABC面积的2倍时，求点P的坐标；（3）将直线AB向下平移k（k0）个单位长度，平移后的直线与抛物线交于D，E两点（点D在点E的左侧），当DEC为直角三角形时，求k的值10

11、（2022海沧区二模）抛物线y1ax22ax+c（a2且a0）与x轴交于A（1，0），B两点，抛物线的对称轴与x轴交于点D，点M（m，n）在该抛物线上，点P是抛物线的最低点（1）若m2，n3，求a的值；（2）记PMB面积为S，证明：当1m3时，S2；（3）将直线BP向上平移t个单位长度得直线y2kx+b（k0），与y轴交于点C，与抛物线交于点E，当x1时，总有y1y2当1x1时，总有y1y2是否存在t4，使得CDE是直角三角形，若存在，求t的值；若不存在，请说明理由11（2021葫芦岛模拟）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC，点A在y轴上，点C在x轴上，其中B（2，3），已知抛物线yx2+

12、bx+c经过点A和点B（1）求抛物线解析式；（2）如图1，点D（2，1）在直线BC上，点E为y轴右侧抛物线上一点，连接BE、AE，DE，若SBDE4SABE，求E点坐标；（3）如图2，在（2）的条件下，P为射线DB上一点，作PQ直线DE于点Q，连接AP，AQ，PQ，若APQ为直角三角形，请直接写出P点坐标12（2021和平区一模）如图，抛物线yax2+bx，交y轴于点A，交x轴于B（1，0），C（5，0）两点，抛物线的顶点为D，连接AC，CD（1）求直线AC的函数表达式；（2）求抛物线的函数表达式及顶点D的坐标；（3）过点D作x轴的垂线交AC于点G，点H为线段CD上一动点，连接GH，将DGH沿

13、GH翻折到GHR（点R，点G分别位于直线CD的两侧），GR交CD于点K，当GHK为直角三角形时请直接写出线段HK的长为；将此RtGHK绕点H逆时针旋转，旋转角为（0180），得到MHN，若直线MN分别与直线CD，直线DG交于点P，Q，当DPQ是以PQ为腰的等腰三角形时，请直接写出点P的纵坐标为或13（2021莱芜区三模）二次函数yax2+bx+c交x轴于点A（1，0）和点B（3，0），交y轴于点C（0，3）（1）求二次函数的解析式；（2）如图1，点E为抛物线的顶点，点T（0，t）为y轴负半轴上的一点，将抛物线绕点T旋转180，得到新的抛物线，其中B，E旋转后的对应点分别记为B，E，当四边形BE

14、BE的面积为12时，求t的值；（3）如图2，过点C作CDx轴，交抛物线于另一点D点M是直线CD上的一个动点，过点M作x轴的垂线，交抛物线于点P当以点B、C、P为顶点的三角形是直角三角形时，求所有满足条件的点M的坐标14（2021雁塔区校级模拟）已知二次函数yx2+bx+c经过A、B两点，BC垂直x轴于点C，且A（1，0），C（4，0），ACBC（1）求抛物线的解析式；（2）请画出抛物线的图象；（3）点P是抛物线对称轴上一个动点，是否存在这样的点P，使三角形ABP为直角三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由15（2021武汉模拟）如图，抛物线yx2+bx+12（b0）与x轴交于A，B

15、两点（A点在B点左侧），且OB3OA（1）请直接写出b8，A点的坐标是（2，0），B点的坐标是（6，0）；（2）如图（1），D点从原点出发，向y轴正方向运动，速度为2个单位长度/秒，直线BD交抛物线于点E，若BE5DE，求D点运动时间；（3）如图（2），F点是抛物线顶点，过点F作x轴平行线MN，点C是对称轴右侧的抛物线上的一定点，P点在直线MN上运动若恰好存在3个P点使得PAC为直角三角形，请求出C点坐标，并直接写出P点的坐标16（2021北碚区校级模拟）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线yx+2与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点P为直线BC上方抛物线上一动点（1）求

16、直线BC的解析式；（2）过点A作ADBC交抛物线于D，连接CA，CD，PC，PB，记四边形ACPB的面积为S1，BCD的面积为S2，当S1S2的值最大时，求P点的坐标和S1S2的最大值；（3）如图2，将抛物线水平向右平移，使得平移后的抛物线经过点O，G为平移后的抛物线的对称轴直线l上一动点，将线段AC沿直线BC平移，平移过程中的线段记为AC（线段AC始终在直线l左侧），是否存在以A，C，G为顶点的等腰直角ACG？若存在，请写出满足要求的所有点G的坐标并写出其中一种结果的求解过程，若不存在，请说明理由17（2021广东模拟）如图，直线yx3与x轴，y轴分别交于B、C两点抛物线yx2+bx+c经过

17、点B、C，与x轴另一交点为A，顶点为D（1）求抛物线的解析式；（2）设点P从点D出发，沿对称轴向上以每秒1个单位长度的速度匀速运动设运动的时间为t秒点P在运动过程中，若CBP15，求t的值；当t为何值时，以P，A，C为顶点的三角形是直角三角形？求出所有符合条件的t值18.（2021巴中）已知抛物线yax2+bx+c与x轴交于A（2，0）、B（6，0）两点，与y轴交于点C（0，3）（1）求抛物线的表达式；（2）点P在直线BC下方的抛物线上，连接AP交BC于点M，当最大时，求点P的坐标及的最大值；（3）在（2）的条件下，过点P作x轴的垂线l，在l上是否存在点D，使BCD是直角三角形，若存在，请直接

18、写出点D的坐标；若不存在，请说明理由19.（2021毕节市）如图，抛物线yx2+bx+c与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，对称轴为直线x2，顶点为D，点B的坐标为（3，0）（1）填空：点A的坐标为 （1，0），点D的坐标为 （2，1），抛物线的解析式为 yx24x+3；（2）当二次函数yx2+bx+c的自变量x满足mxm+2时，函数y的最小值为，求m的值；（3）P是抛物线对称轴上一动点，是否存在点P，使PAC是以AC为斜边的直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由20.（2021兰溪市模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数ya（xm）2m+4图象的顶点为C，其中m0，与x轴相交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点D，点M的坐标为（0，4）（1）当m2时，抛物线ya（xm）2m+4（m0）经过原点，求a的值；（2）当a1时，若点M，点D，点C三点组成的三角形是直角三角形，求此时点D的坐标设反比例函数y（x0）与抛物线ya（xm）2m+4（m0）相交于点E（p，q）当2p4时，求m的取值范围