数学人教B版必修5学案：名师导航 3.DOC

1、3.3 一元二次不等式及其解法知识梳理1.一元一次不等式axb的解集(1)若a0,解集为xx;（2）若a0,解集为xx;(3)若a=0,b0时，解集为，a=0,b0时，解集为R.2.一元二次不等式ax2+bx+c0(a0)的解集，其中=b2-4ac，x1,x2是方程ax2+bx+c=0(a0)的两个根，且x1x2.（1）当a0时，若0,解集为xxx1或xx2;若=0,解集为xxx1,xR;若0,解集为R.(2)当a0时，若0,解集为xx2xx1;若=0,解集为;若0,解集为.3.一元二次不等式ax2+bx+c0恒成立的充要条件是a0,0.一元二次不等式ax2+bx+c0恒成立的充要条件是a0,

2、0.知识导学 一元二次不等式的解集与二次函数的图象、一元二次方程的根密切相联系，解一元二次不等式要从函数、方程、不等式的综合角度来认识，利用数形结合的方法，画出二次函数的图象，写出不等式的解集.含有参数的不等式要注意分类讨论.分式不等式、高次不等式要注意同解变形，向一次、二次不等式转化.疑难突破1.怎样解决含参数的一元二次不等式恒成立问题.剖析：含参数的不等式恒成立问题中,求参数的取值范围的实质是已知不等式的解集求参数的取值范围.一般遇到这类问题时，较难找到解题的切入点和突破口，下面介绍解决这类问题的策略和方法：（1）分离变量法 如果能够将不等式进行同解变形，将不等式中的变量和参数进行分离，即

3、使变量和参数分别位于不等式的左、右两边，然后通过求函数值域的方法将问题化归为解关于参数不等式的问题.一般地分离变量后有下列几种情形：f（x）g（k）f（x）ming（k）;f（x）g（k）f（x）ming(k);f（x）g（k）f（x）maxg（k）;f（x）g（k）f（x）maxg（k）.（2）数形结合 对于含参数的不等式恒成立问题，当不等式两边的函数图象形状明显时，可以作出它们的图象，利用图象运动变化的特点进行转化，化归为某一极端情形如端点、相切等，从而得到关于参数k的不等式.（3）分类讨论法 当不等式中左、右两边的函数具有某些不确定因素时，应用分类讨论的方法来处理，分类讨论可使原问题中的

4、不确定因素变成确定因素，为问题的解决提供新的条件.（4）利用判别式 可化为一元二次不等式在实数集上恒成立的问题，利用判别式来求解. 以上介绍了不等式恒成立求参数的取值范围问题的处理方法，在具体解题中可能要用到两种方式或两种以上的方法，应灵活处理.2.怎样解已知含有参数的二次不等式或者方程的解,求另一与此有关的方程或者不等式问题.剖析：在解决与已知变量相关的二次不等式(或方程)问题时可以从以下几个方面考虑:（1）利用二次方程根与系数的关系(韦达定理):它在解决二次方程相关系数问题时可以起到桥梁的作用,可以沟通已知和待求问题之间的联系.所以,在利用代数方法求解此类问题时首先可以考虑此法.（2）利用二次函数的图象(数形结合):有些方程或不等式问题用纯代数式运算比较麻烦或者计算量较大,可以考虑该问题与二次函数的关系,根据条件设出对应的二次函数,画出二次函数的图形,由图形(主要是二次函数与x轴的交点)情况判断待求问题的解,也可以根据图形直接解不等式(尤其是含有参数或者绝对值的不等式).（3）分解因式法:有些虽然不是二次方程或者不等式,或变量的系数含有字母,但是却能进行因式分解,这样可以先考虑因式分解,把已知或者待求式子先进行因式分解找出作为方程的解,再对解的情况进行讨论即可.