专题3.14 圆中的几何模型-四点共圆（专项练习）.docx

1、 专题3.14 圆中的几何模型-四点共圆（专项练习）知识点回顾：四点共圆的内涵：如果在同一平面内，有四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为四点共圆。四点共圆常见的有以下四种形式：1. 对角互补的四边形，四点共圆； 2. 外角等于内对角的四边形，四点共圆； 3. 同底同侧的顶角相等的两个三角形，四点共圆； 4.到定点的距离等于定长的四个点，四点共圆。 一、单选题1如图，在中，AB=AC=5，点在上，且，点E是AB上的动点，连结，点，G分别是BC，DE的中点，连接，当AG=FG时，线段长为（ ）ABCD42如图，四边形内接于，为中点，则等于（ ）ABCD3如图，圆上有、四点，其中，若弧、

2、弧的长度分别为、，则弧的长度为（ ）ABCD4如图，已知AB=AC=AD，CAD=20，则CBD的度数是（）A10B15C20D25二、填空题5如图，已知在扇形中，半径P为弧上的动点，过点P作于点M，于点N，点M，N分别在半径上，连接点D是的外心，则点D运动的路径长为_6如图，是和的公共斜边，AC=BC，E是的中点，联结DE、CE、CD，那么_7如图，将绕点顺时针旋转25得到，EF交BC于点N，连接AN，若，则 _8如图，四边形ABCD是O的内接四边形，若O半径为4，且C2A，则的长为_三、解答题9如图，四边形是圆的内接四边形，延长、相交于点，已知（1）求证：；（2）若是四边形外接圆的直径，求

3、证：10如图所示，正方形中，为对角线，点为上一点，过作，交于，求证：.11如图所示，求.12如图所示中，分别在边和上，且，垂足分别为，求的长. 13如图所示，在平行四边形中，点为，的垂直平分线的交点，若，求. 14如图，ABC中，BEAC，CFAB，垂足分别为E、F，M为BC的中点（1）求证：ME=MF（2）若A=50，求FME的度数15如图，ABAC，AEAF，BACEAF90，BE、CF交于M，连AM求证：BECF；求证：BECF；求AMC的度数16. 如图，四边形内接于，对角线，垂足为，于点，直线与直线于点（1）若点在内，如图1，求证：和关于直线对称；（2）连接，若，且与相切，如图2，求

4、的度数17在边长为12cm的正方形ABCD中，点E从点D出发，沿边DC以1cm/s的速度向点C运动，同时，点F从点C出发，沿边CB以1cm/s的速度向点B运动，当点E达到点C时，两点同时停止运动，连接AE、DF交于点P，设点EF运动时间为t秒回答下列问题：(1)如图1，当t为多少时，EF的长等于cm?(2)如图2，在点E、F运动过程中，求证：点A、B、F、P在同一个圆(O)上；是否存在这样的t值，使得问题中的O与正方形ABCD的一边相切?若存在，求出t值；若不存在，请说明理由；请直接写出问题中，圆心O的运动的路径长为_18（1）如图，的顶点O重合，且，则AOB+COD=_；（直接写出结果）（2

5、）连接，若分别是四边形的四个内角的平分线.如图，如果，那么的度数为_；（直接写出结果）如图，若，与平行吗？为什么？19如图，等腰三角形ABC中，BAC=120，AB=3（1）求BC的长（2）如图，点D在CA的延长线上，DEAB于E，DFBC于F，连EF求EF的最小值20我们知道：有一内角为直角的三角形叫做直角三角形类似地我们定义：有一内角为45的三角形叫做半直角三角形如图，在平面直角坐标系中，O为原点，A（4，0），B（4，0），D是y轴上的一个动点，ADC=90(A、D、C按顺时针方向排列)， BC与经过A、B、D三点的M交于点E，DE平分ADC，连结AE，BD显然DCE、DEF、DAE是半

6、直角三角形（1）求证：ABC是半直角三角形；（2）求证：DEC=DEA；（3）若点D的坐标为（0，8），求AE的长；（4）BC交y轴于点N，问的值是否发生变化？若不发生变化，请求出其值；若发生变化，请说明理由.21（问题提出）如图，已知ABC是等边三角形，点E在线段AB上，点D在直线BC上，且ED=EC，将BCE绕点C顺时针旋转60至ACF连接EF试证明：AB=DB+AF（类比探究）（1）如图，如果点E在线段AB的延长线上，其他条件不变，线段AB，DB，AF之间又有怎样的数量关系？请说明理由（2）如果点E在线段BA的延长线上，其他条件不变，请在图的基础上将图形补充完整，并写出AB，DB，AF之

7、间的数量关系，不必说明理由22在平行四边形ABCD中，已知A45，ADBD，点E为线段BC上的一点，连接DE，以线段DE为直角边构造等腰RtDEF，EF交线段AB于点G，连接AF、DG（1）如图1，若AB12，BE5，则DE的长为多少？（2）如图2，若点H，K分别为线段BG，DE的中点，连接HK，求证：AG2HK；（3）如图3，在（2）的条件下，若BE2，BG2，以点G为圆心，AG为半径作G，点M为G上一点，连接MK，取MK的中点P，连接AP，请直接写出线段AP的取值范围参考答案1A【分析】连接DF，EF，过点F作FNAC，FMAB，结合直角三角形斜边中线等于斜边的一半求得点A，D，F，E四点

8、共圆，DFE=90，然后根据勾股定理及正方形的判定和性质求得AE的长度，从而求解解：连接DF，EF，过点F作FNAC，FMAB在中，点G是DE的中点，AG=DG=EG又AG=FG点A，D，F，E四点共圆，且DE是圆的直径DFE=90在RtABC中，AB=AC=5，点是BC的中点，CF=BF=，FN=FM=又FNAC，FMAB，四边形NAMF是正方形AN=AM=FN=又，NFDMFEME=DN=AN-AD=AE=AM+ME=3在RtDAE中，DE=故选：A【点拨】本题考查直径所对的圆周角是90，四点共圆及正方形的判定和性质和用勾股定理解直角三角形，掌握相关性质定理正确推理计算是解题关键2A【分析

9、】根据，为中点求出CBD=ADB=ABD，再根据圆内接四边形的性质得到ABC+ADC=180，即可求出答案解：为中点，,ADB=ABD，AB=AD，CBD=ADB=ABD，四边形内接于，ABC+ADC=180，3ADB+60=180，=40，故选：A【点拨】此题考查圆周角定理：在同圆中等弧所对的圆周角相等、相等的弦所对的圆周角相等，圆内接四边形的性质：对角互补3C【分析】先求出圆的周长，再根据圆内接四边形的性质可得，然后根据圆周角定理可得弧所对圆心角的度数，最后根据弧长的定义即可得解：弧、弧的长度分别为、圆的周长为（圆内接四边形的对角互补）弧所对圆心角的度数为则弧的长度为故选：C【点拨】本题考

10、查了圆周角定理、弧长的定义、圆内接四边形的性质，熟记圆的相关定理与性质是解题关键4A解：如图，AB=AC=AD，故选A5【分析】根据点在弧上运动，其路径也是一段弧，由题意可得，点运动路径所对的圆心角是，连接，取的中点，连接，根据在和中，点是斜边的中点，可证得点，四点均在同一个圆，即上，过点作，垂足为点，由垂径定理，可求得，再根据点和点重合，得到点运动路径所对的圆心角是，根据弧长公式可求解解：点在弧上运动，其路径也是一段弧，由题意可知，当点与点重合时，当点与点重合时，点运动路径所对的圆心角是，如图，连接，取的中点，连接，在和中，点是斜边的中点，根据圆的定义可知，点，四点均在同一个圆，即上，又，过

11、点作，垂足为点，由垂径定理得，在中，则，是的外接圆的圆心，即：点和点重合，如图2，点是以点为圆心为半径，点运动路径所对的圆心角是，点运动路径所对的圆心角是，点运动的路径长为故答案是：【点拨】本题考查了直径所对的圆周角是直角，弧长公式，三角形的外心的性质，理解题意熟悉公式是解题的关键613【分析】先证明A、C、B、D四点共圆，得到DCB与BAD的是同弧所对的圆周角的关系，得到DCB的度数，再证ECB=45，得出结论解：AB是RtABC和RtABD的公共斜边，E是AB中点，AE=EB=EC=ED，A、C、B、D在以E为圆心的圆上，BAD=32，DCB=BAD=32，又AC=BC，E是RtABC的中

12、点，ECB=45，ECD=ECB-DCB=13故答案为：13【点拨】本题考查直角三角形的性质、等腰三角形性质、圆周角定理和四点共圆问题，综合性较强7102.5【分析】先根据旋转的性质得到，得到点A、N、F、C共圆，再利用，根据平角的性质即可得到答案；解：如图，AF与CB相交于点O，连接CF，根据旋转的性质得到：AC=AF，点A、N、F、C共圆，又点A、N、F、C共圆，（平角的性质），故答案为：102.5【点拨】本题主要考查了旋转的性质、平角的性质、点共圆的判定，掌握平移的性质是解题的关键；84【分析】连接OB，OD，利用内接四边形的性质得出A=60，进而得出BOD=120，利用含30的直角三角

13、形的性质解答即可解：连接OB，OD，过O作OEBD，四边形ABCD是O的内接四边形，C=2A，C+A=3A=180，解得：A=60，BOD=120，在RtBEO中，OB=4，BE=2，AC=4，故答案为：4【点拨】此题考查内接四边形的性质，关键是利用内接四边形的性质得出A=609（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）根据圆内接四边形对角互补证得BC，从而利用等角对等边证得ABAC；（2）连接AE，将证明弧相等转化为弧相对的圆周角相等来实现解：（1）四边形ABED是圆内接四边形，B+ADE=180又EDC+ADE=180EDC=B又EDC=CB=CAB=AC（2）连接AEAB是圆的直径AEB=

14、90又AB=ACAE平分BACBAE=EAD【点拨】本题考查圆内接四边形及圆的有关性质，解题的关键是知道圆内接四边形及圆的有关性质10【分析】先根据正方形的性质可得CDA=90，再根据得到AEF=90，从而得证，共圆，继而得出AE=FE.解：在正方形ABCD中，,BDC=45ADC+AEF=180，共圆，.【点拨】本题考查了正方形的性质，四点共圆，以及等腰三角形的判定，熟练掌握相关知识是解题的关键1130.【分析】由AB=AC=AD，可得B，C，D在以A为圆心，AB为半径的圆上，然后由圆周角定理，证得CAD=2CBD，BAC=2BDC，继而可得CAD=2BAC解：AB=AC=AD，B，C，D在

15、以A为圆心，AB为半径的圆上，CAD=2CBD，BAC=2BDC，CBD=2BDC，BAC=60，CAD=2BAC=120BDC=30.【点拨】此题考查了圆周角定理注意得到B，C，D在以A为圆心，AB为半径的圆上是解此题的关键12【分析】本题关键要建立未知线段和已知线段的关系，由，共圆，和为直径，于是在中便可以建立和的关系，求出的长即求出的长.解：连结，由圆的定义知点，在以为圆心，为半径的圆上，作出辅助圆，延长交圆于，连结， 在中， 【点拨】双直角三角形是典型的共圆图，解题中注意灵活应用.13【分析】由点为，的垂直平分线的交点知，所以，在以为圆心，为半径的圆上，由圆的性质知，再由平行四边形的性

16、质，问题得解.解：连结，点为，的垂直平分线的交点，在以为圆心，为半径的圆上，作出辅助圆，由圆的性质知，又平行四边形中， 【点拨】作辅助圆，可以将直线型问题转化为曲线型问题，为我们解决问题时提供更开阔思路，更简捷的方法.14（1）证明见解析（2）80解：试题分析：（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到ME=BC，MF=BC，得到答案；（2）根据四点共圆的判定得到B、C、E、F四点共圆，根据圆周角定理得到答案试题解析：（1）证明：BEAC，CFAB，M为BC的中点，ME=BC，MF=BC，ME=MF；（2）解：CFAB，A=50，ACF=40，BEAC，CFAB，B、C、E、F四点共圆

17、，FME=2ACF=80考点：1直角三角形斜边上的中线；2等腰三角形的判定与性质15(1)见解析；（2）见解析；（3）135解：试题分析：证BEACFAABEACF，CMBCAB90作AGBE于G，AHCF于H，证AGBAHC，AGAH，AMG45，可得AMC135试题解析：（1）BAC=EAF=90BAE=CAF AE=AF，AB=AC，三角形BAE 全等于 三角形CAF， BE=CF（2）AEB=AFC设CF与AE相交于点H 则MHE = AHF三角形EMH与三角形 HAF的内角和都为180 EMF = EAF 即BECF（3）ABE=ACF A，B，C，M四点共圆 AMC+ABC=180

18、AB=AC，BAC=90,ABC=45 AMC=180-ABC=135也可以作AGBE于G，AHCF于H，证AGBAHC，AGAH，AMG45，可得AMC135.考点：16（1）见解析；（2）【分析】（1）根据垂直及同弧所对圆周角相等性质，可得，可证与全等，得到，进一步即可证点和关于直线成轴对称；（2）作出相应辅助线如解析图，可得与全等，利用全等三角形的性质及切线的性质，可得，根据平行线的性质及三角形内角和即可得出答案（1）证明：，又同弧所对圆周角相等，在与中，又，点和关于直线成轴对称；（2）如图，延长交于点，连接，、四点共圆，、四点共圆，在与中，为等腰直角三角形，又，与相切，【点拨】题目主要

19、考查圆的有关性质、三角形全等、成轴对称、平行线性质等，作出相应辅助线及对各知识点的熟练运用是解题的关键17（1）t=4或8；（2）证明见解析；存在，t=3或12；6cm【分析】（1）由题意易得DE=CF=t，则有EC=12-t，然后利用勾股定理求解即可；（2）由题意易证ADEDCF，则有CDF=DAE，然后根据平行线的性质可得APF=90，进而可得B+APF=180，则问题得证；由题意可知当O与正方形ABCD的一边相切时，可分两种情况进行分类讨论求解：一是当圆与AD相切时，一是当圆与边DC相切时；由动点E、F在特殊位置时得出圆心O的运动轨迹，进而求解即可解：（1）由题意易得：DE=CF=t，四

20、边形ABCD是正方形，AB=CD=BC=AD=12cm，C=B=ADC=DAB=90， EC=12-t， EF的长等于cm，在RtCEF中，即解得；（2）由（1）可得AB=CD=BC=AD=12cm，C=B=ADC=DAB=90，DE=CF=t，ADEDCF，CDF=DAE，CDF+PDA=90，DAE+PDA=90，ADP=APF=90，APF+B=180，由四边形APFB内角和为360可得：PAB+PFB=180，点A、B、F、P在同一个圆(O)上；由题意易得：当O与正方形ABCD的一边相切时，只有两种情况；a、当O与正方形ABCD的边AD相切时，如图所示：由题意可得AB为O的直径，t=1

21、2；b、当O与正方形ABCD的边DC相切于点G时，连接OG并延长交AB于点M，过点O作OHBC交BC于点H，连接OF，如图所示：OGDC，GMAB，HF=HB，四边形OMBH、GOHC是矩形，OH=BM=GC，OG=HC，AB=BC=12cm，OH=6，CF=t，BF=12-t，在RtFOH中，即，解得：；综上所述：当或t=12时，O与正方形ABCD的边相切；由（1）（2）可得：当点E与点D重合及点F与点C重合时，圆心在正方形的中心上；当点E与点C重合及点F与点B重合时，圆心在AB的中点上，故圆心的运动轨迹为一条线段，如图所示：OP即为圆心的运动轨迹，即OP=6cm故答案为6cm【点拨】本题主

22、要考查圆的综合，熟练掌握圆的性质及切线定理解题的关键，注意运用分类讨论思想解决问题18（1）180；（2）；，理由见解析.【分析】（1）结合三角形三角和为，利用题目已知条件，计算结果，即可.（2）利用第一问的结果，计算，即可.利用四边形四角和为，计算得出的度数，结合角平分线定理，得到的和，利用平行直线的判定，证明，即可得出.解：（1）,可得；（2）结合,可得 ；，理由是：因为分别是四边形的四个内角的平分线，所以.所以在四边形中，.所以在中，.在中，.所以.所以所以.因为，所以在中，.因为，所以.所以.所以【点拨】考查三角形内角和及平行线的判定，得到和的关系是解题的关键.19（1）BC=；（2）

23、EF的最小值为【分析】（1）过点A作AMBC于点M，根据等腰三角形的性质得B=30，BM=CM，由直角三角形的性质得BM=，进而即可求解；（2）连接BD，取BD的中点O，连接OE，OF，易得B，D，E，F四点共圆，从而得OEF是等边三角形，进而得EF=BD，由BDCD时， BD的值最小，进而即可求解解：（1）过点A作AMBC于点M，等腰三角形ABC中，BAC=120，AB=3，B=(180-120)2=30，BM=CM，BM=32=，BC=2 BM=2=3；（2）连接BD，取BD的中点O，连接OE，OF，DEAB于E，DFBC于F，在RtBDF与RtBDE中，OB=OD=OE=OF=BD，B，

24、D，E，F四点共圆，EOF=2EBF=230=60，OEF是等边三角形，EF=OF=BD，C=EBF =30，当BDCD时，BD=BC=，此时，BD的值最小，EF的最小值=BD =【点拨】本题主要考查圆的基本性质以及等腰三角形，直角三角形的性质定理，添加辅助线，构造四边形的外接圆，是解题的关键20（1）见解析；（2）见解析；（3）；（4）不变，为 .【分析】（1）先求得ADE=45，由同弧所对的圆周角可知：ABE=ADE=45，根据定义得：ABC是半直角三角形；（2）根据垂直平分线的性质得：AD=BD，由等角对等边得：DAB=DBA，由D、B、A、E四点共圆，则DBA+DEA=180，可得结论

25、；（3）设M的半径为r，根据勾股定理列方程为：（8-r）2+42=r2，可得M的半径为5，由同弧所对的圆心角和圆周角的关系可得EMA=2ABE=90，根据勾股定理可得结论；（4）过点C作CHDO于H，过点C作CQBA于Q,通过证明RtHDCRtADO，推出HC=OD，DH=OA，推出CQ= BQ，得出CBQ=45，推出HCN为等腰直角三角形即可.解：（1）ADC=90，DE平分ADC，ABE=ADE=45ABC是半直角三角形（2）OMAB，OA=OB，AD=BD，DAB=DBA，DEB=DAB，DBA=DEB，D、B、A、E四点共圆，DBA+DEA=180，DEB+DEC=180，DEA=DE

26、C；（3）如图，连接AM，ME，设M的半径为r，点D的坐标为（0,8）OM=8-r由得解得r=5 M 的半径为5ABE=45EMA=2ABE=90，EA2=MA2+ME2=52+52=50（4）不变，为 过点C作CHDO于H，过点C作CQBA于Q，CDH+ODA=90，CDH+CDH=90，ODA=CDA，在HDC和ADO中， RtHDCRtADO（AAS），HC=OD，DH=OA， 又BO=AO，HO=DH+DO=OB+CH，而CH=OQ，HO=CQ，CQ=OB+OQ=BQ，CBQ=45，又CHBA，HCN=45，HCN为等腰直角三角形，=【点拨】本题考查圆综合题、圆的有关性质、等腰直角三角

27、形的性质，三角形全等的性质和判定，等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会设未知数列方程解决问题，属于中考压轴题21证明见解析；（1）AB=BDAF；（2）AF=AB+BD【分析】（1）根据旋转的性质得出EDB与FEA全等的条件BE=AF，再结合已知条件和旋转的性质推出D=AEF，EBD=EAF=120，得出EDBFEA，所以BD=AF，等量代换即可得出结论（2）先画出图形证明DEBEFA，方法类似于（1）；（3）画出图形根据图形直接写出结论即可解：（1）证明：DE=CE=CF，BCE由旋转60得ACF，ECF=60，BE=AF，CE=CF，CEF是等边三角形，EF=CE，

28、DE=EF，CAF=BAC=60，EAF=BAC+CAF=120，DBE=120，EAF=DBE，又A，E，C，F四点共圆，AEF=ACF，又ED=DC，D=BCE，BCE=ACF，D=AEF，EDBFEA，BD=AF，AB=AE+BF，AB=BD+AF类比探究（1）DE=CE=CF，BCE由旋转60得ACF，ECF=60，BE=AF，CE=CF，CEF是等边三角形，EF=CE，DE=EF，EFC=BAC=60，EFC=FGC+FCG，BAC=FGC+FEA，FCG=FEA，又FCG=EADD=EAD，D=FEA，由旋转知CBE=CAF=120，DBE=FAE=60DEBEFA，BD=AE，

29、EB=AF，BD=FA+AB即AB=BD-AF（2）AF=BD+AB（或AB=AF-BD）如图，ED=EC=CF，BCE绕点C顺时针旋转60至ACF，ECF=60，BE=AF，EC=CF，BC=AC，CEF是等边三角形，EF=EC，又ED=EC，ED=EF，AB=AC，BC=AC，ABC是等边三角形，ABC=60，又CBE=CAF，CAF=60，EAF=180-CAF-BAC=180-60-60=60DBE=EAF；ED=EC，ECD=EDC，BDE=ECD+DEC=EDC+DEC，又EDC=EBC+BED，BDE=EBC+BED+DEC=60+BEC，AEF=CEF+BEC=60+BEC，B

30、DE=AEF，在EDB和FEA中， EDBFEA（AAS），BD=AE，EB=AF，BE=AB+AE，AF=AB+BD，即AB，DB，AF之间的数量关系是：AF=AB+BD考点：旋转变化，等边三角形，三角形全等，22（1）DE13；（2）见解析；（3）2AP+2【分析】（1）借助三角形全等，求线段的长度（2）借助模型“对边平行+中点”构造全等三角形将AG转化为GM；（3）主动点M在圆上运动，从动点P也在圆上运动，利用中位线找到P的运动轨迹解：（1）A45，且ADBD，ADB90，ABD为等腰直角三角形，又,BD12，四边形ABCD是平行四边形，ADBC，DBEADB90，在RtBED中，BD1

31、2，BE5，DBE90，DE 13；（2）如图2，连接GK，BK，延长BK 交AD于M，连接GM，ADBC，EBKDMK，KEBMDK，又DKKE，BEKMDK（AAS），DKKE，又BHGH，KHGM，DEF是等腰直角三角形，EDFADB90，DEDF，DFEDEF45，EDB+BDFFDA+BDF，EDBFDA，ADB90，BAD45，ABD90BAD45，ABDBAD，DBDA，ADFBDE（SAS），DAFDBE90，AFBEDAGDFG45，A、F、G、D四点共圆，DGEDAF90，在RtDGE中，K是DE的中点，GKDE，在RtDKE 中，同理可得：KBDE，GKKB，又BHGH，

32、KHBG，KHMG，MGAB，AGM90，BAD45，AMGBAD45，AGGM，KHGMAG（3）作ENAB于N，在RtBEN中，EBN180ABC45，BE2，ENBN，在RtGEN中，GNGB+BN3，EN，GE2，DEGE2，在RtDBE中，BE2，DE2，BD6，ABBD6，AGABBG4连接MG，取GK的中点I，作IQAB于Q，P是MK的中点，PI2，点P在以I为圆心，半径为2的I上运动由（2）知：KHAG2，IQ是KGH的中位线，IQKH，在RtAIQ 中，AQAG+GQ4+，IQKH=，AI，AIPIAPAI+PI，2AP+2【点拨】本题主要考查等腰三角形与直角三角形、圆的有关概念及性质、三角形的全等和圆的综合运用，解题关键是确定P点的轨迹并且要灵活运用转化思想、推理能力、模型思想和创新意识