专题3.21 勾股定理中的方程思想（分层练习）-2023-2024学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（苏科版）.docx

1、专题3.21 勾股定理中的方程思想（分层练习）1的三边长分别为，若该三角形是以为斜边的直角三角形，求的值2在中，、的边分别为a、b、c(1) 若，求a，b的值(2) 若，求a的值3如图，在中，动点P从点B出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为t秒(1) 用含t的代数式表示 当点P在线段上时，_ 当点P在线段的延长线上时，_(2) 当为直角三角形时，求t的值； 4春天到了，奇奇和妙妙一同去春游如图，有一座景观桥，他俩一同坐在离桥头A的凉亭D处，准备从桥的不同方向到达景点C奇奇先走到桥尾B到岸边后再坐船到景点C，妙妙先走到桥头A到岸边，再沿与桥垂直的小路走到达景点C，若距离均以直线计算，且两人所经

2、过的距离相等，请利用所学知识计算桥的长是多少？ 5一条东西走向的公路上有A，B两个站点（视为直线上的两点）相距，C，D为两村庄（视为两个点），于点A，于点（如图），已知，现在要在公路上建一个土特产储藏仓库P，使得C，D两村庄到储藏仓库P的直线距离相等，请求出储藏仓库P到A站点的距离（精确到） 6如图，有一只摆钟，摆锤看作一个点，当摆锤静止时，它离底座的垂直高度，当摆锤摆动到最高位置时，它离底座的垂直高度，此时摆锤与静止位置时的水平距离时，求钟摆的长度 7如图，在中，长比长大1，D是上一点，(1) 求证：；(2) 求长 8在中，已知，求代数式的值.9如图，中，将折叠，使点恰好落在斜边上，与点重合

3、，为折痕，求的长 10如图，一棵大树在一次强台风中在离地某处折断倒下，树尖落在离树底部12米处，已知原树高是18米，你能求出大树在离地多少米的位置折断吗？ 11如图，某斜拉桥的主梁垂直于桥面与点D，主梁上有两根拉索分别为(1)若拉索的长度分别为10米、26米，则拉索_米，主梁_米；(2)若的长分别为13米、20米，且固定点B、C之间的距离为21米，求主梁AD的高度12九章算术卷九“勾股”中记载：今有立木，系索其末，委地四尺，引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？译文：今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有4尺牵着绳索（绳索头与地面接触）退行，在

4、距木根部8尺处时绳索用尽，问绳索长是多少？根据题意求出绳索长13同学们想利用升旗的绳子、卷尺，测算学校旗杆的高度爱动脑的小华设计了这样一个方案：如图，将升旗的绳子拉直刚好触底，此时测得绳子末端C到旗杆AB的底端B的距离为1米，然后将绳子末端拉直到距离旗杆5米的点E处，此时测得绳子末端E距离地面的高度为1米请你根据小华的测量方案和测量数据，求出学校旗杆的高度14如图所示，有一根高为的电线杆在处断裂，电线杆顶部C落在地面离电线杆底部B点远的地方，求电线杆断裂处A离地面的距离.15光武大桥是我市中心城区的首座斜拉大桥，为纪念故乡南阳的东汉光武帝刘秀而命名，若一根斜拉钢梁竖直垂下时底端在桥下面的5米处

5、，当点固定在桥面上的处时，距离点15米，求这根钢梁的长度16如图，小巷左右两侧是竖直的高度相等的墙，一根竹竿斜靠在左墙时，竹竿底端O到左墙角的距离为米，顶端B距墙顶的距离为米若保持竹竿底端位置不动，将竹竿斜靠在右墙时，竹竿底端到右墙角的距离为米，顶端E距墙项D的距离为1米，点A、B、C在一条直线上，点D、E、F在一条直线上，求：(1)墙的高度；(2)竹竿的长度17九章算术是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（门槛）一尺，不合四寸，问门广几何？其大意：如图，推开双门（大小相同），双门间隙寸，点C、点D与门槛的距离尺（1尺=10寸），O是的中点，连接(1)求的长，(2)求门槛的长18铁路上

6、A,B两站（视为直线上的两点）相距50km，C,D为两村庄（视为两个点），DAAB于点A，CBAB于点B（如图）.已知DA=20km,CB=10km,现在要在铁路AB上建一个土特产收购站E,使得C,D两村庄到收购站E的直线距离相等，请你设计出收购站的位置，并计算出收购站E到A站的距离.19在ABC中，AB15，BC14，AC13，求ABC的面积某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程20已知在等腰三角形中，当底边上的高增加，腰长增加时，底却保持不变，请确定的值.21八年级(3)班开展了手工制作竞赛，每名同学都需在规定时间内完成一件手工作品陈莉同学在制作手

7、工作品时的第一、二个步骤是：如图17，先裁下一张长BC20 cm，宽AB16 cm 的长方形纸片ABCD；将纸片沿着直线AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处请你根据步骤解答下列问题：(1)找出图中FEC的余角；(2)求EC的长22已知：如图，ABC中，AB=AC=10，BC=16，点D在BC上，DACA于A求：BD的长23如图，在ABC中，AB=15，BC=14，AC=13，求ABC的面积 某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路，完成解答过程(1)作ADBC于D，设BD=x，用含x的代数式表示CD，则CD=_；(2)请根据勾股定理，利用AD作为“桥梁”建立方程，

8、并求出x的值； (3)利用勾股定理求出AD的长，再计算三角形的面积参考答案1【分析】利用直角三角形勾股定理得性质，列出方程，借用方程解出x即可解：该三角形是以为斜边的直角三角形，【点拨】本题考查了勾股定理，能利用勾股定理列出方程是解答此题的关键2(1)，；(2)30【分析】（1）设，则，再根据勾股定理求出的值，进而可得出结论（2）根据勾股定理可得，的数量关系，再把已知条件代入即可求出的值（1）解：中，、的对边分别为、，且，设，则，即，解得（负值舍去），；（2）中，的对边分别为，解得：【点拨】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的

9、关键3(1) ；(2)或【分析】（1）先根据勾股定理求出的长度，然后再根据图形求解即可；（2）当为直角三角形时，分两种情况：当为直角时，当为直角时，分别求出此时的t值即可解：（1），动点P从点B出发沿射线以的速度移动，当点P在线段上时，当点P在线段的延长线上时，故答案为：；（2）当为直角时，点P与点C重合，即；当为直角时，在中，在中，即：，解得，故当为直角三角形时，或；【点拨】本题考查了勾股定理，解答本题的关键是掌握勾股定理，以及分情况讨论4桥长【分析】设桥长为，则，利用两人所经过的距离相等，求得，在中，利用勾股定理列式计算即可求解.解：设桥长为，则，由题可知，为直角三角形，解得，答：桥长【点

10、拨】本题考查了勾股定理的应用，能从实际问题中抽象出勾股定理并应用解决问题是关键5【分析】由题意得，再由勾股定理得，设AP为x km，则，得方程，解方程即可解：、D两村到储藏仓库P的直线距离相等，在和中，由勾股定理得：，设，则，解得：，答：储藏仓库P到A站点的距离约为【点拨】本题考查了勾股定理的应用，由勾股定理得出方程是解题的关键6【分析】设，表示出的长，然后利用勾股定理列方程求解即可解：设，由题意得， ，【点拨】此题考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时，勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图领会数形结合的思想的应用7

11、(1)见分析；(2)13【分析】（1）根据，得到，根据勾股定理逆定理即可得到，问题得证；（2）设，则，根据勾股定理得到，解方程即可求解解：（1）证明：， ，；（2）解：由题意得，设，则，解得：，即【点拨】本题考查了勾股定理及其逆定理，熟知两个定理并根据题意灵活应用是解题关键89或7【分析】分两种情况讨论当是斜边时，当是斜边时，即可求解解：由题意得：，当是斜边时，则，即，解得：，当是斜边时，则，即，解得：，综上所述：代数式的值为9或7【点拨】本题考查了求代数式的值，核心是考查勾股定理，掌握分类讨论思想是解题关键9【分析】根据勾股定理得到，由折叠的性质得到，设，则，根据勾股定理即可得到结论解：在中

12、，将折叠，使点B恰好落在斜边上，与点重合，设，则，在中，解得，【点拨】本题考查了翻折变换-折叠问题，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键105米【分析】设大树在离地米处折断，则折断处离树尖的距离为米，再根据勾股定理建立方程求解即可解：设大树在离地米处折断，由勾股定理得：，解得答：大树在离地5米的位置折断【点拨】本题主要考查了勾股定理的实际应用，正确理解题意并熟知勾股定理是解题的关键11(1)24，；(2)主梁的高度为12米【分析】（1）根据勾股定理可求得，再根据等面积法可求得；（2）设米，则米，由题意可得，则、可得解得：，最后在中运用勾股定理即可解答（1）解：的长度分别为10米、26米，（

13、米），解得：（米）（2）解：设米，则米，主梁垂直于桥面于点，根据勾股定理可得：，解得：，答：主梁的高度为12米【点拨】本题主要考查了运用勾股定理解直角三角形、勾股定理的的应用等知识点，根据勾股定理建立方程是解答本题的关键12绳索长为10尺【分析】设绳索长为x尺，利用勾股定理进行求解即可解：设绳索长为x尺，根据题意得：，解得：，答：绳索长为10尺【点拨】本题考查勾股定理的应用熟练掌握勾股定理，是解题的关键1312.5米【分析】过点E作，垂足为F，在和中，根据勾股定理得出，根据，得出，求出的长即可解：过点E作，垂足为F，如图所示：由题意可知：四边形是长方形，和是直角三角形，在和中，根据勾股定理可得

14、：，即，又，解得：答：学校旗杆的高度为12.5米【点拨】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是根据勾股定理列出关于方程14【分析】根据题意，设，则运用勾股定理，列方程求解即可解：设，则根据勾股定理，得,，解得：【点拨】本题考查了勾股定理的应用，根据题意建列方程是解题的关键15这根钢梁的长度为25米【分析】设米，由题意得到：，根据一根斜拉钢梁竖直垂下，利用勾股定理建立等式求解解：设米，由题意得到：，一根斜拉钢梁竖直垂下，解得：米答：这根钢梁的长度为25米【点拨】本题考查了勾股定理，解题的关键是得出是直角三角形，利用勾股定理求解16(1)墙高3米；(2)竹竿的长米【分析】（1）设墙高x米，在，

15、根据勾股定理即可表示出竹竿长度的平方 ，联立即可得到答案；（2）把（1）中的x代入勾股定理即可得到答案（1）解：设墙高x米， ，在，根据勾股定理可得， ， ，解得： ，答：墙高3米；（2）由（1得）， ， ， 答：竹竿的长米【点拨】本题考查勾股定理实际应用题，解题的关键时根据两种不同状态竹竿长不变列等式及正确计算17(1)；(2)【分析】（1）根据题意得到，然后根据勾股定理求解即可；（2）由题意可得，设，则，利用勾股定理即可求解（1）解：O是的中点；（2）设，则 ， 尺寸解得：【点拨】本题考查了勾股定理的应用，弄清题意，构建直角三角形是解题关键18收购站E到A站的距离为22km解：连接CD,并

16、作线段CD的垂直平分线,垂直平分线到端点距离相等，再利用勾股定理求EA长. 【点拨】如图,连接CD,并作线段CD的垂直平分线,与AB相交于点E,点E即为所建土特产收购站的地点.连接DE,CE ，设AE=x km, 则BE=(50-x) km ,在RtADE中, , 在RtBCE中, ,又DE=CE, ,解得x=22.收购站E到A站的距离为22km. 点睛：勾股定理：在平面上的一个直角三角形中，两个直角边边长的平方加起来等于斜边长的平方.1984.解：作ADBC于D，如图所示：设BD = x，则在RtABD中，由勾股定理得：，在RtACD中，由勾股定理得：， ，解之得： 20.【分析】过点作于点

17、.先根据勾股定理求出AD的长，然后根据变化后的边长利用勾股定理列方程解答即可解：过点作于点.因为，所以.在中，所以.根据题意得，所以.【点拨】此题考查勾股定理，关键是根据勾股定理和等腰三角形的性质解答在直角三角形中，如果两条直角边分别为a和b，斜边为c，那么a2+b2=c2.也就是说，直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.21(1)CFE，BAF；(2) EC的长为6cm.解：(1)CFE,BAF,(2)由折叠的性质,得AFAD20cm,EFDE.设ECxcm,则EFDE(16x)cm,在RtABF中,BF2AF2AB2202162144,所以BF12(cm),所以FCBCBF20128

18、(cm),在RtEFC中,由勾股定理,得EF2FC2EC2,即(16x)282x2,解得x6,所以EC的长为6cm.22 【分析】先根据等腰三角形的性质和勾股定理求出AE=6，设BD=x，则DE=8x，DC=16x在RtADE和RtADC中利用勾股定理得：AD2=AE2+DE2=DC2AC2，继而代入求出x的值即可解：如图,过点A作AEBC于点E，AB=AC=10，BC=16，BE=CE=8，在RtACE中，利用勾股定理可知：AE=6，设BD=x，则DE=8x，DC=16x，又DACA，在RtADE和RtADC中分别利用勾股定理得：AD2=AE2+DE2=DC2AC2，代入为：62+（8x）2

19、=（16x）2102，解得：x=即BD=【点拨】本题考查了勾股定理及等腰三角形的性质，解题的关键是在RtADE和RtADC中分别利用勾股定理，列出等式AD2=AE2+DE2=DC2AC223（1）14x;(2)9；（3）84【分析】（1）已知BC=14，设BD=x，则CD=BC-BD=14-x；（2）在 RtABD 中，根据勾股定理求得AD2，在 RtACD 中，根据勾股定理求得AD，代入数据列出方程，解方程即可；（3）在（2）的基础上求得AD的长，再利用三角形的面积公式求解即可.试题解析解：（1）CD=(14-x)（2） AD 是 BC 边上的高，ABD 和ACD都是直角三角形在 RtABD 中，根据勾股定理，AD2=AB2-BD2=152-x2在 RtACD 中，根据勾股定理，得AD2=AC2-CD2=132-（14-x）2152-x2=132-（14-x）2解得：x=9，即BD=9.（3）AD2=152-92=225-81=144，AD=12所以【点拨】本题考查了勾股定理这个知识点，解决本题的关键在于利用两个直角三角形的公共边为突破点，利用了勾股定理列方程进行解答