专题30 新定义与阅读理解创新型问题（共12道）（教师版）（02期）-2023年中考数学真题分类训练.docx

1、专题 30 新定义与阅读理解创新型问题(12 道)一、单选题1(2023湖南娄底统考中考真题)从 n 个不同元素中取出m mn个元素的所有组合的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数，用符号mnC 表示，12111mnn nnnmCm m(nm，n、m 为正整数)；例如：255 42 1C，388 7 63 2 1C ，则4599CC()A69CB410CC510CD610C【答案】C【分析】根据新定义分别进行计算比较即可得解【详解】解：12111mnn nnnmCm m，45999 8 7 69 8 7 6 5126 1262524 3 2 15 4 3 2 1CC ，A 选

2、项，699 8 7 6 5 4846 5 4 3 2 1C ，B 选项，410109 87210432 1C ，C 选项，510109 8762525432 1C ，D 选项，61010 9 8 7 6 52106 5 4 3 2 1C ，故选 C【点睛】本题考查了新定义运算以及求代数式的值正确理解新定义是解题的关键2(2023湖南娄底统考中考真题)我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作数学九章一书中，给出了这样的一个结论：三边分别为 a、b、c 的 ABC 的面积为222222122ABCabcSa b ABC 的边 a、b、c所对的角分别是A、B、C，则111sinsinsin222ABCSa

3、bCacBbcA下列结论中正确的是()A222cos2abcCabB222cos2abcCab C222cos2abcCacD222cos2abcCbc【答案】A【分析】本题利用三角函数间的关系和面积相等进行变形解题即可【详解】解：222222122ABCabcSa b，1sin2ABCSabC，22222211sin222abca babC即222222222sin2abca ba bC，22222221 sin2abca bC，22222cos2abcCab，222cos2abcCab故选：A【点睛】本题考查等式利用等式的性质解题化简，熟悉22sincos1CC 是解题的关键二、填空题3(

4、2023湖南娄底统考中考真题)若干个同学参加课后社团舞蹈活动，一次排练中，先到的 n 个同学均匀排成一个以 O 点为圆心，r 为半径的圆圈(每个同学对应圆周上一个点)，又来了两个同学，先到的同学都沿各自所在半径往后移 a 米，再左右调整位置，使这2n个同学之间的距离与原来 n 个同学之间的距离(即在圆周上两人之间的圆弧的长)相等这2n个同学排成圆圈后，又有一个同学要加入队伍，重复前面的操作，则每人须往后移米(请用关于 a 的代数式表示)，才能使得这3n个同学之间的距离与原来 n个同学之间的距离相等【答案】2a【分析】由第一次操作可得：222rarnn，则2rna，设第二次操作时每位同学向后移动

5、了 x 米，可得2223raraxnn，解得2raxn，再代入化简即可【详解】解：由第一次操作可得：222rarnn，2rna，设第二次操作时每位同学向后移动了 x 米，则2223raraxnn，22222a rararaaxrnara，故答案为：2a【点睛】本题考查的是一元一次方程的应用，分式的化简，准确的理解题意确定相等关系是解本题的关键4(2023四川德阳统考中考真题)在初中数学文化节游园活动中，被称为“数学小王子”的王小明参加了“智取九宫格”游戏比赛，活动规则是：在九宫格中，除了已经填写的三个数之外的每一个方格中，填入一个数，使每一横行、每一竖列以及两条对角线上的 3 个数之和分别相等

6、，且均为 m王小明抽取到的题目如图所示，他运用初中所学的数学知识，很快就完成了这个游戏，则m 1674【答案】39【分析】设第一列中间的数为 x，则三个数之和为16420 xx，再一次把表格的每一个数据填好，从而可得答案【详解】解：如图，设第一列中间的数为 x，则三个数之和为16420 xx，可得：1613xx13746x1016 13 1039m，故答案为：39【点睛】本题考查的是列代数式，整式的加减运算的应用，理解题意，设出合适的未知数是解本题的关键5(2023湖南统考中考真题)毛主席在七律二首送瘟神中写道“坐地日行八万里，巡天遥看一千河”，我们把地球赤道看成一个圆，这个圆的周长大约为“八

7、万里”对宇宙千百年来的探索与追问，是中华民族矢志不渝的航天梦想从古代诗人屈原发出的天问，到如今我国首次火星探测任务被命名为“天问一号”，太空探索无上境，伟大梦想不止步2021 年 5 月 15 日，我国成功实现火星着陆科学家已经探明火星的半径大约是地球半径的 12，若把经过火星球心的截面看成是圆形的，则该圆的周长大约为万里【答案】4【分析】先求出地球的半径，再根据火星的半径大约是地球半径的 12，即可求出答案【详解】解：设地球的半径为 r 万里，则 28r，解得4r，火星的半径为 2 万里，经过火星球心的截面的圆的周长大约为2 24(万里)故答案为：4【点睛】本题考查了圆的周长，熟练掌握圆的周

8、长公式是关键三、多选题6(2023山东潍坊统考中考真题)发动机的曲柄连杆将直线运动转化为圆周运动，图是发动机的实物剖面图，图是其示意图图中，点 A 在直线 l 上往复运动，推动点 B 做圆周运动形成O，AB 与 BO表示曲柄连杆的两直杆，点 C、D 是直线 l 与O 的交点；当点 A 运动到 E 时，点 B 到达 C；当点 A 运动到 F时，点 B 到达 D若12AB，5OB，则下列结论正确的是()A2FC B12EF C当 AB 与O 相切时，4EA D当OBCD时，EAAF【答案】AC【分析】如图，由题意可得：12ABCE，17ABBOOE，12FDAB，5OCOBOD，从而可判断 A，B

9、，如图，当 AB 与O 相切时，求解2213AOABOB，可得17 134EAEOAO，可判断 C；当OBCD时，如图，可得22125119AO，17119AEEOAO，119251197AFAOOF，可判断 D；从而可得答案【详解】解：如图，由题意可得：12ABCE，17ABBOOE，12FDAB，5OCOBOD，12 102FCFDCD，故 A 符合题意；12210EFCECF，故 B 不符合题意；如图，当 AB 与O 相切时，90ABO，2213AOABOB，17 134EAEOAO，故 C 符合题意；当OBCD时，如图，22125119AO，17119AEEOAO，119251197A

10、FAOOF，AEAF，故 D 不符合题意；故选 AC【点睛】本题考查的是线段的和差运算，圆的切线的性质，勾股定理的应用，理解题意熟练的利用数形结合的方法解题是关键四、解答题7(2023江苏南通统考中考真题)定义：平面直角坐标系 xOy 中，点,P a b，点,Q cd，若c ka，dkb，其中k 为常数，且0k，则称点Q 是点 P 的“k 级变换点”例如，点4,6是点2,3 的“2 级变换点”(1)函数4yx 的图象上是否存在点1,2 的“k 级变换点”?若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由；(2)点1,22A tt与其“k 级变换点”B 分别在直线 1l，2l 上，在 1l，2l 上分别

11、取点21,my，22,my若2k ，求证：122yy；(3)关于 x 的二次函数2450ynxnxn x的图象上恰有两个点，这两个点的“1 级变换点”都在直线5yx 上，求 n 的取值范围【答案】(1)存在，2k (2)见解析(3)n 的取值范围为01n 且16n【分析】(1)根据“k 级变换点”定义求解即可；(2)求出点 B 的坐标为1,22ktktk，得到直线 1l，2l 的解析式分别为122yx和122yxk，根据2k 进行证明(3)由题意得，二次函数2450ynxnxn x的图象上的点的“1 级变换点”都在函数2450ynxnxn x 的图象上，得到函数245ynxnxn 的图象与直线

12、5yx 必有公共点分当0n 时和当0n，0 x 时分类讨论即可【详解】(1)解：函数4yx 的图象上存在点1,2 的“k 级变换点”根据“k 级变换点”定义，点1,2 的“k 级变换点”为,2kk，把点,2kk代入4yx 中，得24kk ，解得2k (2)证明：点 B 为点1,22A tt的“k 级变换点”，点 B 的坐标为1,22ktktk直线 1l，2l 的解析式分别为122yx和122yxk 当2xm时，2221211222222yymmkmk 2k ，222k20m，2222mk122yy(3)解：由题意得，二次函数2450ynxnxn x的图象上的点的“1 级变换点”都在函数2450

13、ynxnxn x 的图象上由2455nxnxnx ，整理得2415 50nxnxn 2224145536121610nnnnnn ，函数245ynxnxn 的图象与直线5yx 必有公共点由24551ynxnxnn xx 得该公共点为5,0 当0n 时，由2610n 得16n 又55n 得1n ，01n 且16n 当0n，0 x 时，两图象仅有一个公共点，不合题意，舍去综上，n 的取值范围为01n 且16n【点睛】本题考查解一元一次不等式，根据题意理解新定义是解题的关键8(2023陕西统考中考真题)(1)如图，在 OAB 中，OAOB，120AOB，24AB 若O 的半径为4，点 P 在O 上，

14、点 M 在 AB 上，连接 PM，求线段 PM 的最小值；(2)如图所示，五边形 ABCDE 是某市工业新区的外环路，新区管委会在点 B 处，点 E 处是该市的一个交通枢纽已知：90AABCAED ，10000mABAE，6000mBCDE根据新区的自然环境及实际需求，现要在矩形 AFDE 区域内(含边界)修一个半径为30m 的圆型环道O；过圆心O，作OMAB，垂足为 M，与O 交于点 N 连接 BN，点 P 在O 上，连接 EP其中，线段 BN、EP及MN 是要修的三条道路，要在所修道路 BN、EP之和最短的情况下，使所修道路 MN 最短，试求此时环道O 的圆心O 到 AB的距离OM 的长【

15、答案】(1)4 34(2)4047.91m【分析】(1)连接OP，OM，过点O 作OMAB，垂足为 M，则44PMOMOM，由直角三角形的性质得出tan304 3OMAM，则可得出答案；(2)分别在 BC，AE 上作 30 mBBAAr，连接 A B，B O、OP、OE、B E证出四边形 BB ON是平行四边形由平行四边形的性质得出BNB O当点O 在 B E上时，BNPE取得最小值作O，使圆心O在 B E上，半径30 mr，作OMAB，垂足为 M，并与 A B 交于点 H 证明 B O H B EA，由相似三角形的性质得出 O HB HEAB A，求出O H的长可得出答案【详解】解：(1)如

16、图，连接OP，OM，过点O 作OMAB，垂足为 M，则OPPMOMO 半径为 4，44PMOMOM，OAOB120AOB，30A ，tan3012tan304 3OMAM，44 34PMOM，线段 PM 的最小值为4 34；(2)如图，分别在 BC，AE 上作 30BBAArm，连接 A B，B O、OP、OE、B EOMAB，BBAB，ONBB，四边形 BB ON是平行四边形BNB OB OOPPEB OOEB E，BNPEB Er，当点O 在 B E上时，BNPE取得最小值作O，使圆心O在 B E上，半径30 mr，作O MAB，垂足为 M，并与 A B 交于点 H O HA E，B O

17、H B EA，O HB HEAB A，O 在矩形 AFDE 区域内(含边界)，当O与 FD相切时，B H最短，即 100006000304030 mB H 此时，O H也最短M NO H ，M N 也最短 100003040304017.91 m10000EA B HO HB A，304047.91 mO MO H，此时环道O 的圆心O 到 AB 的距离OM 的长为4047.91m【点睛】本题是圆的综合题，考查了等腰三角形的性质，切线的性质，平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握以上知识是解题的关键9(2023山东济南统考中考真题)综合与实践如图 1，某兴趣小组

18、计划开垦一个面积为28m 的矩形地块 ABCD种植农作物，地块一边靠墙，另外三边用木栏围住，木栏总长为2ma【问题提出】小组同学提出这样一个问题：若10a，能否围出矩形地块？【问题探究】小颖尝试从“函数图象”的角度解决这个问题：设 AB 为 mx，BC 为 my由矩形地块面积为28m，得到8xy，满足条件的,x y 可看成是反比例函数8yx的图象在第一象限内点的坐标；木栏总长为10m，得到210 xy，满足条件的,x y 可看成一次函数210yx 的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的,x y 就可以看成两个函数图象交点的坐标如图 2，反比例函数80yxx的图象与直线 1l：210y

19、x 的交点坐标为1,8 和_，因此，木栏总长为10m时，能围出矩形地块，分别为：1mAB，8mBC；或 AB _m，BC _m(1)根据小颖的分析思路，完成上面的填空【类比探究】(2)若6a，能否围出矩形地块？请仿照小颖的方法，在图 2 中画出一次函数图象并说明理由【问题延伸】当木栏总长为 ma时，小颖建立了一次函数2yxa 发现直线2yxa 可以看成是直线2yx 通过平移得到的，在平移过程中，当过点2,4 时，直线2yxa 与反比例函数80yxx的图象有唯一交点(3)请在图 2 中画出直线2yxa 过点2,4 时的图象，并求出a 的值【拓展应用】小颖从以上探究中发现“能否围成矩形地块问题”可

20、以转化为“2yxa 与8yx图象在第一象限内交点的存在问题”(4)若要围出满足条件的矩形地块，且 AB 和 BC 的长均不小于1m，请直接写出a 的取值范围【答案】(1)4,2；4；2(2)不能围出，理由见解析(3)图见解析，8a；(4)817a【分析】(1)联立反比例函数和一次函数表达式，求出交点坐标，即可解答；(2)根据6a 得出，26yx，在图中画出26yx 的图象，观察是否与反比例函数图像有交点，若有交点，则能围成，否则，不能围成；(3)过点2,4 作 1l 的平行线，即可作出直线2yxa 的图象，将点2,4 代入2yxa，即可求出 a 的值；(4)根据存在交点，得出方程820 xaa

21、x有实数根，根据根的判别式得出8a，再得出反比例函数图象经过点1,8，8,1，则当2yxa 与8yx图象在点1,8 左边，点8,1 右边存在交点时，满足题意；根据图象，即可写出取值范围【详解】解：(1)反比例函数80yxx，直线 1l：210yx，联立得：8210yxyx，解得：1118xy，2242xy，反比例函与直线 1l：210yx 的交点坐标为1,8 和4,2，当木栏总长为10m时，能围出矩形地块，分别为：1mAB，8mBC；或4mAB，2mBC 故答案为：4,2 4；2(2)不能围出木栏总长为 6m，26xy，则26yx，画出直线26yx 的图象，如图中 2l 所示：2l 与函数8y

22、x图象没有交点，不能围出面积为28m 的矩形；(3)如图中直线 3l 所示，3l 即为2yxa 图象，将点2,4 代入2yxa，得：42 2a ，解得8a；(4)根据题意可得 若要围出满足条件的矩形地块，2yxa 与8yx图象在第一象限内交点的存在问题，即方程820 xaax有实数根，整理得：2280 xax，24 2 80a ，解得：8a，把1x 代入8yx得：188y，反比例函数图象经过点1,8，把1y 代入8yx得：81x，解得：8x，反比例函数图象经过点8,1，令 1,8A，8,1B，过点 1,8A，8,1B分别作直线 3l 的平行线，由图可知，当2yxa 与8yx图象在点 A 左边，

23、点 B 右边存在交点时，满足题意；把8,1 代入2yxa 得：116a，解得：17a，817a【点睛】本题主要考查了反比例函数和一次函数综合，解题的关键是正确理解题意，根据题意得出等量关系，掌握待定系数法，会根据函数图形获取数据10(2023浙江统考中考真题)根据以下素材，探究完成任务如何把实心球掷得更远？素材 1小林在练习投掷实心球，其示意图如图，第一次练习时，球从点 A 处被抛出，其路线是抛物线点 A 距离地面1.6m，当球到 OA 的水平距离为1m时，达到最大高度为1.8m素材 2根据体育老师建议，第二次练习时，小林在正前方1m处(如图)架起距离地面高为2.45m的横线球从点 A处被抛出

24、，恰好越过横线，测得投掷距离8mOC 问题解决任务 1计算投掷距离建立合适的直角坐标系，求素材 1 中的投掷距离OB 任务 2探求高度变化求素材 2 和素材 1 中球的最大高度的变化量任务 3提出训练建议为了把球掷得更远，请给小林提出一条合理的训练建议【答案】任务一：4m；任务二：22 m15；任务三：应该尽量提高掷出点的高度、尽量提高掷出点的速度、选择适当的掷出仰角【分析】任务一：建立直角坐标系，由题意得：抛物线的顶点坐标为1,1.8，设抛物线的解析式为211.8ya x，过点0,1.6，利用待定系数法求出解析式，当0y 时求出 x 的值即可得到OB；任务二：建立直角坐标系，求出任务二的抛物

25、线解析式，得到顶点纵坐标，与任务一的纵坐标相减即可；任务三：根据题意给出合理的建议即可【详解】任务一：建立如图所示的直角坐标系，由题意得：抛物线的顶点坐标为1,1.8，设抛物线的解析式为211.8ya x，过点0,1.6，1.81.6a，解得0.2a ，20.211.8yx，当0y 时，20.211.80 x，得14,2xx (舍去)，素材 1 中的投掷距离OB 为 4m；(2)建立直角坐标系，如图，设素材 2 中抛物线的解析式为2yaxbxc，由题意得，过点 0,1.6,1,2.45,8,0，1.62.456480cabcabc，解得0.1511.6abc ，20.151.6yxx 顶点纵坐

26、标为2240.151.6 1449440.1515acba ，49221.81515(m)，素材 2 和素材 1 中球的最大高度的变化量为 22 m15；任务三：应该尽量提高掷出点的高度、尽量提高掷出点的速度、选择适当的掷出仰角【点睛】此题考查了二次函数的实际应用，求函数解析式，求抛物线与坐标轴的距离，正确理解题意建立恰当的直角坐标系是解题的关键11(2023江苏宿迁统考中考真题)规定：若函数1y 的图像与函数2y 的图像有三个不同的公共点，则称这两个函数互为“兄弟函数”，其公共点称为“兄弟点”(1)下列三个函数1yx；3yx；21yx ，其中与二次函数2243yxx 互为“兄弟函数”的是_(

27、填写序号)；(2)若函数21520yaxxa与21yx 互为“兄弟函数”，1x 是其中一个“兄弟点”的横坐标求实数 a 的值；直接写出另外两个“兄弟点”的横坐标是_、_；(3)若函数1yxm(m 为常数)与22yx 互为“兄弟函数”，三个“兄弟点”的横坐标分别为1x、2x、3x，且123xxx，求22312xxx的取值范围【答案】(1)(2)2a；31744、31744(3)2231216xxx【分析】(1)在平面直角坐标系中作出1yx；3yx；21yx ；2243yxx 图像，结合“兄弟函数”定义即可得到答案；(2)根据“兄弟函数”定义，当1x 时，求出 y 值，列方程求解即可得到答案；联立

28、方程组求解即可得到答案；(3)根据“兄弟函数”定义，联立方程组，分类讨论，由2231282xxxm，按照讨论结果求解，即可得到答案【详解】(1)解：作出1yx；3yx；21yx ；2243yxx 图像，如图所示：3yx 与2243yxx 图像有三个不同的公共点，根据“兄弟函数”定义，与二次函数2243yxx 互为“兄弟函数”的是，故答案为：；(2)解：函数21520yaxxa与21yx 互为“兄弟函数”，1x 是其中一个“兄弟点”的横坐标，123,1yay ，则31a ，解得2a；联立2122521yxxyx，即3225210 xxx，1x 是其中一个解，因式分解得21 2310 xxx，则2

29、2310 xx，解得3174x，另外两个“兄弟点”的横坐标是 31744、31744；(3)解：在平面直角坐标系中作出1yxm(m 为常数)与22yx 图像，如图所示：联立122yxmyx，即2xmx，当0 xm时，2xmx，即220 xmx，当280m 时，282mmx；当0 xm时，2xmx，即220 xmx，由中280m，则280m，282mmx；由图可知，两个函数的交点只能在第二象限，从而0 x，再根据三个“兄弟点”的横坐标分别为1x、2x、3x，且123xxx，2182mmx，2282mmx，2382mmx，2222232188822222xxmmmmmmx 228mmm228m28

30、m，由280m 得到2816m，即2231216xxx【点睛】本题考查函数综合，涉及新定义函数，搞懂题意，按照“兄弟函数”、“兄弟点”定义数形结合是解决问题的关键12(2023湖南统考中考真题)我们约定：若关于 x 的二次函数21111ya xb xc与22222ya xb xc同时满足220232121211200acbbcabb（），则称函数1y 与函数2y 互为“美美与共”函数根据该约定，解答下列问题：(1)若关于 x 的二次函数2123yxkx与22ymxxn 互为“美美与共”函数，求 k，m，n 的值；(2)对于任意非零实数r，s，点Pr t，与点Q strs，始终在关于x的函数21

31、2yxrxs 的图像上运动，函数1y 与2y 互为“美美与共”函数求函数2y 的图像的对称轴；函数2y 的图像是否经过某两个定点？若经过某两个定点，求出这两个定点的坐标；否则，请说明理由；(3)在同一平面直角坐标系中，若关于 x 的二次函数21yaxbxc 与它的“美美与共”函数2y 的图像顶点分别为点 A，点 B，函数1y 的图像与 x 轴交于不同两点 C，D，函数2y 的图像与 x 轴交于不同两点 E，F当CD EF时，以 A，B，C，D 为顶点的四边形能否为正方形？若能，求出该正方形面积的取值范围；若不请说明理由【答案】(1)k 的值为 1，m 的值为 3，n 的值为 2(2)函数 y2

32、 的图像的对称轴为13x=-；函数2y 的图像过两个定点0 1，2,13，理由见解析(3)能构成正方形，此时2S【分析】(1)根据题意得到2212120acacbb，即可解答；(2)求出1y 的对称轴，得到3sr，表示出2y 的解析式即可求解；222321321yrxrxxx r ，令2320 xx求解即可；(3)由题意可知21yaxbxc，22ycxbxa得到 A、B 的坐标，表示出CD EF，根据CDEF且240bac，得到 ac，分ac 和ac两种情况求解即可【详解】(1)解：由题意可知：2212120acacbb，321mnk，答：k 的值为 1，m 的值为 3，n 的值为 2(2)解

33、：点 P rt，与点Q strs，始终在关于 x 的函数212yxrxs 的图像上运动，对称轴为222rsrx，3sr，2221ysxrx，对称轴为2123rrxss 答：函数2y 的图像的对称轴为13x=-222321321yrxrxxx r ，令2320 xx，解得1220,3xx，过定点0 1，2,13答：函数 y2 的图像过定点0 1，2,13(3)解：由题意可知21yaxbxc，22ycxbxa，224,2,4244bacbbacbABaacc，24bacCDa，24bacEFc，CDEF且240bac，ac；若ac ，则2212,yaxbxa yaxbxa，要使以 A，B，C，D 为顶点的四边形能构成正方形，则 CAD CBD，为等腰直角三角形，2ACDy，2222442|4baabaa，2222244baba，2244ba，2222222114142222bacbaSCDaaa正，22440ba，201a，2S正；若ac，则 A、B 关于 y 轴对称，以 A，B，C，D 为顶点的四边形不能构成正方形，综上，以 A，B，C，D 为顶点的四边形能构成正方形，此时2S【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用、正方形的性质等知识点，解题的关键是利用分类讨论的思想解决问题