专题31二次函数与圆压轴问题-【压轴必刷】2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案（解析版）.docx

1、【压轴必刷】2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案专题31二次函数与圆压轴问题经典例题【例1】（2022江苏常州校考二模）已知二次函数图象的顶点坐标为A2,0，且与y轴交于点0,1，B点坐标为2,2，点C为抛物线上一动点，以C为圆心，CB为半径的圆交x轴于M，N两点（M在N的左侧）(1)求此二次函数的表达式；(2)当点C在抛物线上运动时，弦MN的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不发生变化，求出弦MN的长；(3)当ABM与ABN相似时，求出M点的坐标【答案】(1)y=14x22(2)不变，4(3)M0,0,22,0,22,0【分析】（1）设抛物线的表达式为y=ax22，然后将0,1代入

2、可求得a的值，从而可求得二次函数的表达式；（2）过点C作CHx轴，垂足为H，连接BC、CN，由勾股定理可知HC2=CN2CH2=BC2CH2，依据两点间的距离公式可求得HN=2，结合垂径定理可求得MN的长；（3）分为点C与点A重合，点C在点A的左侧，点C在点A的右侧三种情况画出图形，然后依据相似三角形的对应边成比例可求得AM的距离，从而可求得点M的坐标【详解】（1）设抛物线的表达式为y=ax22，将0,1代入得：4a=1，解得：a=14抛物线的表达式为：y=14x22（2）MN的长不发生变化理由：如图1所示，过点C作CHx轴，垂足为H，连接BC、CN设点C的坐标为a,14a22CHMN，MH=

3、HN，HN2=CN2CH2=CB2CH2，HN2=214a222+（a2）214a222=4HN=2，MN=4，MN不发生变化（3）如图2所示：当点C与点A重合时MN经过点C，MN为圆C的直径，MC=2，点C2,0，M0,0如图3所示：ABMANB，ABAM=ANAB，即AB2=AMAN，设AM=a，则4=aa+4，解得：a1=2+22,a2=222（舍去），又点A2,0，2+2+22=22，点M的坐标为22,0如图4所示：ABNAMB，AB2=AMAN，设AM=a，则4=aa+4，解得：a1=2+22,a2=222（舍去），又点A2,0，22+22=22，点M的坐标为22,0【点睛】本题主要

4、考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数函数的解析式、垂径定理、两点间的距离公式、勾股定理、相似三角形的性质，分为点C与点A重合，点C在点A的左侧，点C在点A的右侧三种情况画出图形，并由相似三角形的性质求得AM的长是解题的关键【例2】（2022湖南岳阳模拟预测）已知：二次函数yax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，其中点A为（1，0），与y轴负半轴交于点C（0，2），其对称轴是直线x32(1)求二次函数yax2+bx+c的解析式；(2)圆O经过点ABC的外接圆，点E是AC延长线上一点，BCE的平分线CD交圆O于点D，连接AD、BD，求ACD的面积；(3)在（2）

5、的条件下，二次函数yax2+bx+c的图象上是否存在点P，使得PDBCAD？如果存在，请求出所有符合条件的P点坐标；如果不存在，请说明理由【答案】(1)y12x232x2(2)54(3)存在，点P的坐标为（4+62，694）或（72+212，32+21）【分析】（1）根据抛物线具有对称性，可以求出点B的坐标，再用待定系数法求解析式即可（2）根据AOCCOB以及圆的相关性质，可知ABD为等腰直角三角形，从而得出OD与AB的数量关系，列式求解即可（3）使得PDB=CAD的点P存在两种情况，利用相似导出线段之间的比值，再用直线和抛物线解析式联立求得相关点的坐标（1）解：A（1，0），对称轴为直线x3

6、2，B（4，0），把点A（1，0），B（4，0），C（0，2），代入得c=2ab+c=016a+4b+c=0，解得a=12b=32c=2，抛物线的解析式为y12x232x2（2）解A（1，0），B（4，0），C（0，2），OA1，OB4，OC2，OCOA=OBOC，又AOCCOB90，AOCCOB，BACBCO，ACB90，AB为圆O的直径，O点坐标为（32，0），ADB90，又CD平分BCE，BCDECD45，BAD45，ADB为等腰直角三角形，连接OD，则DO12AB，DOAB，DO52，D的坐标为（32，52），设AD与y轴交于点F，DAB45，OFOA1，CF1，过D作DH垂直于y轴，

7、D（32，52），DH32，OH52，SACDSACF+SDCF1211+1213254（3）解抛物线上存在点P，使得PDBCAD，分两种情况讨论：过D作MNBC，交y轴于点M，MNBC，BDNCBD，OCBHMD，又CBDCAD，BDNCAD，直线MN与抛物线在D点右侧的交点即为点P，OCBHMD，COBMHD90，HDMOCB，MHDH=OCOB=24，DH32，MH43，M（0，134）设直线MD的解析式为ymx+n，则有32m+n=52n=134，解得m=12n=134，直线MD的解析式为y=12x134，联立得y=12x232x2y=12x134，解得x1=4+62y1=694，x2

8、=462y2=6+94（舍去），P14+62,694过点D作ODGOBC，交x轴于点G点，ODBOBD45，GDBCBDCAD，即直线DG与抛物线在点D右侧的交点即为P点，又DOGCOB，OGDOCB，OBOD=OCOG，452=2OG，OG54 ，G（114，0），设直线DG的解析式为ykx+b，则有0=114k+b52=32k+b，解得k=2b=112直线DG的解析式为y2x112，联立得y=2x112y=12x232x2，解得x1=72212y1=3221（舍去），x2=72+212y2=32+21，P72+212,32+21，综上所述，点P的坐标为（4+62，694）或（72+212，

9、32+21）【点睛】此题考查了待定系数法求函数解析式，以及几何图形和二次函数相结合的应用，利用相似找到线段之间的比例关系，从而求出点坐标是解题关键【例3】（2022江苏徐州统考二模）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴交于A1,0，B2,0两点，与y轴交于点0,2(1)求此二次函数的表达式；(2)点Q在以BC为直径的圆上（点Q与点O，点B，点C均不重合），试探究QO，QB、QC的数量关系，并说明理由(3)E点为该图像在第一象限内的一动点，过点E作直线BC的平行线，交x轴于点F若点E从点C出发，沿着抛物线运动到点B，则点F经过的路程为_【答案】(1)y=x2+x+2(2)当Q在第一

10、象限内的圆弧上时，QC+QB=2OQ，当Q在OC上时QBQC=2OQ当Q在OB上时，QCQB=2OQ理由见解析(3)2【分析】(1)把过点的坐标代入解析式，确定a、b、c值即可(2)分点Q在第一象限内的弧上、弧OC和弧OB上，三种情况求解(3) 设直线BC的解析式为y=kx+b，确定其解析式，根据直线与抛物线相切时，点F运动最远，确定水平值，结合题意确定距离即可【详解】（1）设y=ax+1x2将0,2代入得a=1y=x2+x+2（2）如图1，当Q在余下第一象限半圆上时，QC+QB=2OQ.点C(0，2)，点B(2，0)，OB=OC=2，BC=OC2+OB2=22，设QO与BC交于点D，BOD=

11、QOB，OCB=OBD=OQB=45，OBDOQB，OBOQ=ODOB=BDQB，OQ=OB2OD=4OD，QB=BDOQOB=BDOQ2同理可证，OCDOQC，OCOQ=CDQC，QC=OQCDOC=OQCD2，QB+QC=BDOQ2+CDOQ2=(BD+CD)OQ2=CBOQ2=22OQ2=2OQ；如图2，当Q在OC上时QBQC=2OQ在QB上截取QP=QC，连接CP，并延长，交圆于点N，连接BN，BC是圆的直径，CQP=PNB=90，QCP=QPC=BPN=PBN=45，PN=BN，PB=2PN，OB=OC，OQB=OCB=OBC=45，OQB=BPN，QOPN，QC=ON，OQC+QC

12、P=180，QCN=ONC，OQC=135，QCN=ONC=45，BPN=ONC=45，QPON，四边形PQON是平行四边形，PN=QO，PB=2QO，QB-QP=2QO，QB-QC=2QO如图3，当Q在OB上时，QCQB=2OQ在QC上截取CN=QB，连接ON， BC是圆的直径，COB=90，CON+NOB=90，OB=OC，OCN=OBQ，CN=BQ，OCNOBQ，ON=OQ，O=CON=BOQ，BOQ +NOB=90，NOQ=90，NQ=2QO，QC-CN=2QO，QC-QB=2QO（3）如图4，设直线BC的解析式为y=kx+b，根据题意，得2k+b=0b=2，解得k=1b=2，解析式为

13、y=-x+2，设E的坐标为(n，n2+n+2)，EFBC，设直线EF的解析式为y=-x+p，n2+n+2= -n+p，p=n2+2n+2，设直线EF的解析式为y=-xn2+2n+2，当直线EF与抛物线相切时，F到达最远位置，此时，-xn2+2n+2=x2+x+2的判别式为0，故x22xn2+2n=0的判别式为0，(2)24(n2+2n)=0，解得n=1，EF的解析式为y=-x+3，令y=0，得-x+3=0，解得x=3，此时点F水平运动的最大距离为3，实际运动距离为3-2=1；当E经过这个位置后，点F向左运动，回到B位置，此时运动距离也是1，故F运动的距离为1+1=2【点睛】本题考查了抛物线的解

14、析式，圆的基本性质，判别式的应用，三角形的相似和性质，熟练掌握待定系数法，三角形相似和根的判别式是解题的关键【例4】（2022云南德宏统考一模）二次函数y=34x2+bx+c的图象经过点A（1，0）和点C（0，3）与x轴的另一交点为点B(1)求b，c的值；(2)定义：在平面直角坐标系xOy中，经过该二次函数图象与坐标轴交点的圆，称为该二次函数的坐标圆问：在该二次函数图象的对称轴上是否存在一点Q，以点Q为圆心，5610为半径作Q，使Q是二次函数y=34x2+bx+c的坐标圆？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；(3)如图所示，点M是线段BC上一点，过点M作MP/y轴，交二次函数的图象于

15、点P，以M为圆心，MP为半径作M，当M与坐标轴相切时，求出CMMB的值【答案】(1)b=94，c=3(2)存在，圆心Q的坐标为(32，56)(3)CMMB值是2或13【分析】（1）把点坐标代入解析式求解即可；（2）先求出二次函数与坐标轴的交点坐标，在通过ABC两边中垂线的交点确定圆心Q，在计算半径即可；（3）分两种情况设出点坐标，利用坐标表示出线段，再分别计算出结果即可【详解】（1）解：把点A (1，0)和点C (0，3)代入y=34x2+bx+c得：0=34b+cc=3 ，解方程组得：b=94c=3，b=94，c=3；（2）存在，理由如下：如图所示，由（1）可知二次函数的解析式为：y=34x

16、294x3，令34x294x3=0，解得：x1=1，x2=4，所以点A (1，0)，点B (4，0)点C (0，3)AB=BC=5ABC是等腰三角形根据坐标圆的定义，Q经过点A、B、C ，圆心Q为AB的垂直平分线与AC的垂直平分线的交点AB的垂直平分线即为二次函数的对称轴x=32，可求得AC的中点F的坐标为(12,32)，所以AC垂直平分线BF的解析式为y=13x43，求得点Q坐标为(32，56)在RtQNB中，根据勾股定理求得QB=5106所以存在符合题意的坐标圆，其圆心Q的坐标为(32，56)（3）设BC直线的解析式为：ykx+b，把B (4，0)、C (0，3)的坐标代入ykx+b得：0

17、=4k+bb=3解得：k=34b=3，BC直线的解析式为：y=34x3，M与坐标轴相切，有两种情况，当M与y轴相切时，如图所示：过点M作MDy轴，垂足为点D，则点D为M与y轴的切点，即PMDM=x，设P(x，34x294x3)，M(x，34x3)，则PM(34x3) (34x294x3)，(34x3)(34x294x3)x解得：x183，x20，当x=0时，点M与点C重合，不合题意舍去；M的半径为DM83，M（83，1）CDMCOB，根据相似三角形的性质，解得CM =103， MB=5103= 53CMMB=2当M与x轴相切时，如图所示：延长PM交x轴于点E，由题意可知：点E为M与x轴的切点，

18、所以PMME，设P(x，34x294x3)，M(x，34x3)，则PM(34x3) (34x294x3)，PE=34 x+3(34x3)(34x294x3)34 x+3，解得：x11，x24当x=4时，点M与点B重合，所以不合题意舍去，M的半径为：PM=ME34+394；M（1，94）MEBCOB，根据相似三角形的性质，解得CM =54MB=554= 154CMMB=13综上所述，CMMB值是2或13【点睛】本题考查二次函数综合，圆切线的性质，确定圆的条件，理清知识点，求出点坐标，转化为线段，结合函数表达式进行求解是解题的关键培优训练1（2023秋湖北武汉九年级华中科技大学附属中学校考阶段练习

19、）如图，已知抛物线经过点A(1,0)，B(3,0)，C(0,3)三点，点D是直线BC绕点B逆时针旋转90后与y轴的交点，点M是线段AB上的一个动点，设点M的坐标为m,0，过点M作x轴的垂线交抛物线于点E，交直线BD于点F(1)求该抛物线所表示的二次函数的解析式；(2)在点M运动过程中，若存在以EF为直径的圆恰好与y轴相切，求m的值；(3)连接AC，将AOC绕平面内某点G旋转180后，得到A1O1C1，点A、O、C的对应点分别是点A1、O1、C1，是否存在点G使得AOC旋转后得到的A1O1C1的两个顶点恰好落在抛物线上，若存在，直接写出G点的坐标；若不存在，请说明理由【答案】(1)y=x2+2x

20、+3；(2)m=2；(3)点G的坐标为12,32或14,158【分析】（1）抛物线的表达式为：y=ax+1x3，将C(0,3)代入求出a的值，即可求解；（2）以EF为直径的圆与y轴相切，则EF=2OM，即可求解；（3）分点A1、C1在抛物线上、O1、C1在抛物线上、O1、A1在抛物线上三种情况，分别求解即可【详解】（1）解：设抛物线的表达式为：y=ax+1x3，将C(0,3)代入得3a=3，解得：a=1，故抛物线的表达式为：y=x2+2x+3；（2）解：点C(0,3)，由题意得点D(0,3)，由B、D的坐标得：直线BD的表达式为：y=x3，设点M的坐标为m,0，则点Em,m2+2m+3，点Fm

21、,m3，以EF为直径的圆与y轴相切，则EF=2OM，即：EF=m2+2m+3m3=m2+m+6，m2+m+6=2m，解得：m=2或3（舍去）；综上，m=2；（3）A(1,0)，B(3,0)，C(0,3)，OA=1，OC=3，设点A1的坐标为：x,y，则点O1x1,y，点C1x1,y3，当点A1、C1在抛物线上时，将这两个点的坐标代入抛物线表达式得：y=x2+2x+3y3=(x1)2+2(x1)+3，解得：x=0y=3，故点A10,3，点A、A1的中点坐标为：12,32，G点的坐标为12,32；当点O1、C1在抛物线上时，将这两个点的坐标代入抛物线表达式得：y=(x1)2+2(x1)+3y3=(

22、x1)2+2(x1)+3，方程无解，故此种情况不存在；当点O1、A1在抛物线上时，将这两个点的坐标代入抛物线表达式得：y=x2+2x+3y=(x1)2+2(x1)+3，解得：x=32y=154，故点A132,154，点A、A1的中点坐标为：14,158，G点的坐标为14,158；综上，点G的坐标为12,32或14,158【点睛】本题是二次函数综合题，考查了一次函数的性质、二次函数的性质、圆的基本知识、图形的旋转等，解题的关键是掌握二次函数的性质，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏2（2022春全国九年级专题练习）如图，一次函数y=2x的图象与二次函数y=x2+3x图象的对称轴交于点B(1)写

23、出点B的坐标 ；(2)将直线y=2x沿y轴向上平移，分别交x轴于点C、交y轴于点D，点A是该抛物线与该动直线的一个公共点，试求当AOB的面积取最大值时，点C的坐标；(3)已知点P是二次函数y=x2+3x图象在y轴右侧部分上的一个动点，若PCD的外接圆直径为PC，试问：以P、C、D为顶点的三角形与COD能否相似？若能，请求出点P的坐标；若不能，请说明理由【答案】(1)32,3(2)点C的坐标为258,0(3)相似，点P的坐标为2,2或12,54【分析】（1）由抛物线解析式求出对称轴，再代入y=2x即可求出点B的坐标；（2）如图1，由题意可设直线DC的解析式为y=2x+b，要是AOB的面积最大，只

24、需直线DC与抛物线相切，由此可求出b的值，即可求得点C的坐标；（3）过点P作PHy轴，如图2，由题意可设直线的解析式为y=2x+b，从而可得OC=b2，OD=b，DC=5b2，由PCD的外接圆直径为PC可得PDC=90，易证PHDDOC，根据相似三角形的性质可得PHDO=DHCO=PDDC，然后分两种情况讨论：PDCDOC，PDCCOD，用含b的代数式表示点P的坐标，然后代入抛物线的解析式，求出b，即可得到点P的坐标【详解】（1）解：抛物线y=x2+3x的对称轴为x=321=32，当x=32时，y=2x=232=3，则点B的坐标为32,3故答案为：32,3；（2）解：如图1，设直线DC的解析式

25、为y=2x+b，联立y=2x+by=x2+3x，消去y并整理得，x25x+b=0，当直线y=2x+b与抛物线y=x2+3x相切时，=5241b=254b=0，解得b=254，此时直线DC的解析式为y=2x+254，令y=0，可得x=258，AOB的面积最大时，点C的坐标为258,0；（3）解：过点P作PHy轴，如图2设直线的解析式为y=2x+b，则有Cb2,0，D0,b，从而可得OC=b2，OD=b，DC=5b2PCD的外接圆直径为PC，PDC=90，PDH+ODC=90DOC=90，OCD+ODC=90，PDH=OCDPHD=DOC=90，PHDDOC， PHDO=DHCO=PDDC若PDC

26、DOC，则有DPDC=ODOC=2 PHDO=DHCO=2，PH=2DO=2b，DH=2CO=b，OH=b+b=2b，点P的坐标为2b,2b点P在抛物线y=x2+3x上，2b=2b2+32b，解得：b1=0（舍去），b2=1，点P的坐标为2,2；若PDCCOD，则有DPDC=OCOD=12 PHDO=DHCO=12，PH=12DO=12b，DH=12CO=14b，OH=b+14b=54b，点P的坐标为12b,54b点P在抛物线y=x2+3x上， 54b=12b2+312b，解得：b1=0（舍去），b2=1，点P的坐标为12，54综上所述：点P的坐标为2,2或12，54【点睛】本题是二次函数的综

27、合题，主要考查了抛物线的对称轴，抛物线与直线的交点的坐标特征，相似三角形的判定与性质，圆周角定理，解一元二次方程，运用分类讨论和构造K型相似是解题的关键3（2023春福建泉州九年级泉州七中校考期末）如图(1)所示，y关于x的二次函数y=33m(x+m)(x3m) m0图象的顶点为M，图象交x轴于A、B两点，交y轴正半轴于D点以AB为直径作圆，圆心为C定点E的坐标为(3,0)，连接ED(1)写出A、B、D三点的坐标；(2)当m为何值时M点在直线ED上?判定此时直线与圆的位置关系；(3)当m变化时，用m表示AED的面积S，并在给出的直角坐标系中画出S关于m的函数图象的示意图【答案】(1)A(m,0

28、)，B(3m,0)，D(0,3m)(2)m=1 时，直线ED与C相切相切，理由见解析(3)S=32m2+332m(0m3).，图像见解析【分析】（1）根据x轴，y轴上点的坐标特征代入即可求出A、B、D三点的坐标；（2）待定系数法先求出直线ED的解析式，再根据切线的判定得出直线与圆的位置关系；（3）分当0m3时两种情况讨论求得关于m的函数【详解】（1）解：令y=0，则33m(x+m)(x3m)=0，解得x1=m，x2=3m；令x=0，则y=33m(0+m)(03m)=3m故A(m,0)，B(3m,0)，D(0,3m)（2）解：设直线ED的解析式为y=kx+b，将E(3,0)，D(0,3m)代入得

29、：3k+b=0b=3m解得，k=33m，b=3m直线ED的解析式为y=33mx+3m将y=33m(x+m)(x3m)化为顶点式：y=33m(xm)2+433m顶点M的坐标为(m,433m)代入y=33mx+3m得：m2=mm0，m=1所以，当m=1时，M点在直线DE上连接CD，C为AB中点，C点坐标为C(m,0)，OD=3，OC=1，CD=2，D点在圆上又OE=3，DE2=OD2+OE2=12，EC2=16，CD2=4，CD2+DE2=EC2EDC=90直线ED与C相切；（3）解：当0m90，CBD90，OB45，显然，PCB和BCD中不存在两个相等的角，即不可能相似；如图3，PCB中不存在4

30、5的角，所以PCB和BCD中不存在两个相等的角，即不可能相似；如图4，当点P在点C下方，CPB=45时，CPBDCB，CPCD=CBBD，OP2102=25522，OP=4，P0，4；如图5，当点P在点C下方，CBP=45时，CPBDBC，CPBD=CBCD，OP2522=25102，OP=12，P0，12；综上可知，P点坐标为0，4或0，12【点睛】此题考查了待定系数法求函数解析式，以及几何图形和二次函数相结合的应用，数形结合是解题关键6（2022春九年级课时练习）如图，二次函数y=56x2+bx+c与x轴的一个交点A的坐标为3,0，以点A为圆心作圆A，与该二次函数的图象相交于点B，C，点B

31、，C的横坐标分别为2，5，连接AB，AC，并且满足ABAC过点B作BMx轴于点M，过点C作CNx轴于点N(1)求该二次函数的关系式；(2)经过点B作直线BD，在A点右侧与x轴交于点D，与二次函数的图象交于点E，使得ADB=ABM，连接AE，求证：AE=AD；(3)若直线y=kx+1与圆A相切，请求出k的值【答案】(1)y=56x2376x11(2)见解析(3)12或2【分析】（1）证明ACNBAMAAS，求出CN=AM=23=1，BM=AN=35=2，得到点B，C的坐标，然后利用待定系数法求解即可；（2）证明ABMBDM，求出DM=4，可得出点D坐标，进而求出直线BD的解析式，联立一次函数和二

32、次函数解析式求出点E坐标，利用勾股定理求出AE即可得出结论；（3）分两种情况：当直线y=kx+1与A的切点在x轴上方时，记切点为G，则AG=AB=5，证明四边形POQG是矩形，AQGFPGAAS，得到AQ=PF，GQ=PG，设点Gm,km+1，表示出AQ=m+3，PF=km，PG=m，GQ=km+1，得出关于k，m的方程组，解方程组可得答案； 当切点在x轴下方时，同的方法求解即可【详解】（1）解：BMx轴于M，CNx轴于N，ANC=BMA=90，ABM+BAM=90，ACAB，CAN+BAM=90，ABM=CAN，A过点B，C，AC=AB，ACNBAMAAS，CN=AM=23=1，BM=AN=

33、35=2，B2,2，C5,1，将点B，C代入y=56x2+bx+c得：5642b+c=256255b+c=1，解得：b=376c=11，抛物线的解析式为y=56x2376x11；（2）解：BMx轴于点M，AMB=BMD=90，ADB=ABM，ABMBDM，AMBM=BMDM，即12=2DM，DM=4，D2,0，AD=5，设直线BD的解析式为y=kx+bk0，代入B2,2，D2,0得2k+b=22k+b=0，解得：k=12b=1，直线BD的解析式为y=12x1，联立y=12x1y=56x2376x11，解得：x=6y=1或x=2y=2（舍），E6,4，AE=6+32+402=5，AE=AD；（3

34、）解：点B2,2在A上，A的半径为：AB=3+22+22=5，如图2，记直线y=kx+1与y轴相交于F，令x=0，则y=1，F0,1，OF=1，当直线y=kx+1与A的切点在x轴上方时，记切点为G，则AG=AB=5，AGF=90，连接AF，在RtAOF中，OA=3，OF=1，AF=10，在RtAGF中，根据勾股定理得，FG=AF2AG2=5=AG，过点G作GPy轴于P，过点G作GQx轴于Q，AQG=GQO=FPG=POQ=90，四边形POQG是矩形，PGQ=90，AGQ=FGP，AQGFPGAAS，AQ=PF，GQ=PG，设点Gm,km+1，AQ=m+3，PF=km+11=km，PG=m，GQ

35、=km+1，m+3=km，km+1=m，联立解得，m=2k=12，当切点在x轴下方时，同的方法可得，k=2；综上：直线y=kx+1与圆A相切时，k的值为12或2【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法的应用，三垂线判定两三角形全等，求函数图象的交点坐标，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解一元二次方程，切线的性质，矩形的判定和性质等知识，熟练掌握“一线三等角模型”，证明三角形全等是解题的关键7（2022秋全国九年级专题练习）如图，二次函数y=ax2+4的图象与x轴交于点A和点B(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，且OA=OC(1)求二次函数的解析式；(2)若以点O为圆心的圆与直线A

36、C相切于点D，求点D的坐标；(3)在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P使得以P、A、D、O为顶点的四边形是直角梯形？若存在，直接写出点P坐标；若不存在，请说明理由【答案】(1)y=14x2+4(2)点D的坐标为2,2(3)存在，点P的坐标为8,12或225,225【分析】（1）由题意可知C坐标，根据题意得到三角形AOC为等腰直角三角形，确定出A坐标，代入二次函数解析式求出a的值，即可确定出解析式；（2）由题意连接OD，作DEy轴，交x轴于点E，DFx轴，交y轴于点F，如图1所示，由圆O与直线AC相切于点D，得到OD垂直于AC，由OA=OC，利用三线合一得到D为AC中点，进而求出DE与DF的长

37、，确定出D坐标即可；（3）根据题意分两种情况考虑：经过点A且与直线OD平行的直线的解析式为y=x4，与抛物线解析式联立求出P坐标；经过点O且与直线AC平行的直线的解析式为y=x，与抛物线解析式联立求出P坐标即可【详解】（1）解：二次函数y=ax2+4的图象与y轴交于点C，点C的坐标为0,4，二次函数y=ax2+4的图象与x轴交于点A，tanOAC=1，CAO=45，OA=OC=4，点A的坐标为4,0，0=a42+4，a=14，二次函数的解析式为y=14x2+4；（2）连接OD，作DE轴，交x轴于点E，DF轴，交y轴于点F，如图1所示，O与直线AC相切于点D，ODAC，OA=OC=4，点D是AC

38、的中点，DE=12OC=2，DF=12OA=2，点D的坐标为2,2；（3）点D的坐标为2,2；则直线OD的解析式为y=x，如图2所示，则经过点A且与直线OD平行的直线的解析式为y=x4，解方程组y=x4y=14x2+4，消去y，得x24x32=0，即x8x+4=0，x1=8，x2=4(舍去)，y=-12，点P1的坐标为8,12；直线AC的解析式为y=x+4，则经过点O且与直线AC平行的直线的解析式为y=x，解方程组y=xy=14x2+4，消去y，得x2+4x16=0，即x=2+25，x1=225，x2=2+25(舍去)，y=225，点P2的坐标为225,225综上所述，点P的坐标为8,12或2

39、25,225【点睛】本题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定二次函数解析式，坐标与图形性质，直线与抛物线的交点，直线与圆相切的性质，锐角三角函数定义，以及等腰直角三角形的性质，熟练掌握二次函数8（2020秋北京朝阳九年级校考期中）定义：在平面直角坐标系中，图形 G 上点 P（x，y）的纵坐标 y 与其横坐标 x 的差 yx 称为 P 点的“坐标差”，而图形 G 上所有点的“坐标差”中的最大值称为图形 G 的“特征值”(1)点 A（1，3）的“坐标差”为 ；抛物线 y=x2+3x+3的“特征值”为 ；(2)某二次函数y=x2+bx+cc0的“特征值”为1，点 B（m，0）与点 C 分

40、别是此二次函数的图象与 x 轴和 y 轴的交点，且点 B 与点 C 的“坐标差”相等直接写出 m ；（用含 c 的式子表示）求此二次函数的表达式(3)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，以 M（2，3）为圆心，2 为半径的圆与直线 yx 相交于点 D、E，请直接写出M 的“特征值”为 【答案】(1)2；4；(2)mc；y=x2+3x2；(3)122【分析】（1）根据“坐标差”，“特征值”的定义计算即可；（2）因为点B与点C的“坐标差”相等，推出B（c，0），把（c，0）代入y=x2+bx+c，得到：0=c2bc+c，推出c1b，因为二次函数y=x2+bx+c（c0）的“特征值”为1，所以yx=

41、x2+b1x+1b的最大值为1，可得 41bb1241，解得b3，由此即可解决问题；（3）如图，设M（2，3），作MKx轴于K，交M于N，MJy轴于J，作JMN的平分线交M于T，观察图象，根据“特征值”的定义，可知点T的“坐标差”的值最大（1）点A（1，3）的“坐标差”为312，故答案为2；设P（x,y）为抛物线y=x2+3x+3上一点，坐标差x2+2x+3=x12+4，最大值为4，所以抛物线y=x2+3x+3的“特征值”为4故答案为4（2）由题意：0mc0，可得mc.C（0，c），又点B与点C的“坐标差”相等，B（c,0），把（c,0）代入yx2bxc,得到：0c2bcc,c1b,二次函数y

42、=x2+bx+c（c0）的“特征值”为1所以yx=x2+b1x+1b的最大值为1，41bb1241，解得b3，c2，二次函数的解析式为y=x2+3x2（3）如图，设M（2，3），作MKx轴于K，交M于N，MJy轴于J，作JMN的平分线交M于T，观察图象，根据“特征值”的定义，可知点T的“坐标差”的值最大作TFx轴于E交MJ于F易知TMF是等腰直角三角形，TFFM2，EFKM3，EKFKM2，OEOKEK22，TE32，半径为2的圆的“特征值”为32（22）122故答案为122【点睛】本题考查二次函数综合题、“坐标差”，“特征值”的定义、等腰直角三角形的性质、圆的有关知识，解题的关键是理解题意，

43、学会利用参数解决问题，学会构建函数解决最值问题，属于中考压轴题9（2022秋湖南长沙九年级校考阶段练习）如图，已知抛物线经过点A1,0，B3,0，C0,3三点，点D是直线BC绕点B逆时针旋转90后与y轴的交点，点M是线段AB上的一个动点，设点M的坐标为m,0，过点M作x轴的垂线交抛物线于点E，交直线BD于点F(1)求该抛物线所表示的二次函数的解析式；(2)在点M运动过程中，若存在以EF为直径的圆恰好与y轴相切，求m的值；(3)连接AC，将AOC绕平面内某点G旋转180后，得到A1O1C1，点A、O、C的对应点分别是点A1、O1、C1，是否存在点G使得AOC旋转后得到的A1O1C1的两个顶点恰好

44、落在抛物线上，若存在，求出G点的坐标；若不存在，请说明理由【答案】(1)y=x2+2x+3(2)2(3)G14,158或12,32【分析】（1）设y=ax+1x3（a0），待定系数法求二次函数解析式即可求解；（2）设Em,m2+2m+3，Fm,m3（1m3）得出EF=m2+m+6，则OM=m，根据以EF为直径的圆与y轴相切，得出m2+m+6=2m，解方程即可求解；（3）设Ga,b，由对称可得：A12a+1,2b，O12a,2b，C12a,2b3，分情况讨论，若A1、O1在抛物线上，若A1、C1在抛物线上由O1、C1横坐标相同，所以不可能都在抛物线上，即可求解【详解】（1）设y=ax+1x3（a

45、0），将0,3代入得：3a=3，解得：a=1，y=x+1x3，即y=x2+2x+3；（2）在RtOBC中，OB=OC，OCB=45，由旋转可得：CBD=90，BCD为等腰直角三角形，OD=OC=3，D0,3，BD：y=x3，设Em,m2+2m+3，Fm,m3（1m3），EF=m2+2m+3m3=m2+m+6，OM=m，以EF为直径的圆与y轴相切，EF=2OM，即m2+m+6=2m，解得：m1=2，m2=3（舍），m3=3+332（舍），m4=3332（舍），m=2；（3）设Ga,b，A1,0，O0,0，C0,3，关于Ga,b中心对称，A12a+1,2b，O12a,2b，C12a,2b3，若A1

46、、O1在抛物线上，则A1、O1关于对称轴对称，对称轴：x=1，2a+1+2a2=1，解得：a=14，O112,154，即2b=154，解得：b=158，G14,158，若A1、C1在抛物线上，2a+12+22a+1+3=2b2a2+22a+3=2b3，解得：a=12b=32，G12,32，O1、C1横坐标相同，所以不可能都在抛物线上，综上，G14,158或12,32【点睛】本题考查了二次函数与圆综合，切线的性质，综合运用二次函数与切线的性质是解题的关键10（2022秋全国九年级专题练习）如图，已知二次函数y=ax2+bx+3的图象与x轴交于点A（1，0）、B（3，0），与y轴的正半轴交于点C(

47、1)求二次函数y=ax2+bx+3的表达式；(2)点D是线段OB上一动点，过点D作y轴的平行线，与BC交于点E，与抛物线交于点F，连接CF，探究是否存在点D使得CEF为直角三角形？若存在，求点D的坐标；若不存在，说明理由；(3)若点P在二次函数图象上，是否存在以P为圆心，2为半径的圆与直线BC相切，若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由【答案】(1)y=x22x+3(2)存在，点D坐标为（-2，0）或（-1，0）(3)存在，点P坐标为(-1，4)或(-2，3)或(3+172，1+172)或(3172，1172)【分析】（1）将A、B坐标代入二次函数解析式求解即可；（2）求得C点坐标，从而得到

48、BC解析式，由此可知CEF=45，因此可分CFE=90、ECF=90两种情况讨论；（3）过点P作PGBC，过点P作PHBC，过点P作x轴的垂线，交BC于点N，交x轴于点M，求出PH的解析式，联立直线PH和二次函数解析式，求解即可【详解】（1）解：将点A1，0、B3，0代入y=ax2+bx+3，得：a+b+3=09a3b+3=0，解得：a=1b=2，二次函数解析式为y=x22x+3（2）解：二次函数解析式为y=x22x+3点C的坐标为（0，3），直线BC的解析式为y=x+3 当CFE=90时，CFOB点C，F关于抛物线对称轴直线x=1对称，点F（-2，3），此时点D坐标为（-2，0）当ECF=9

49、0时，作FGy轴于G，由OB=OC，BOC=90，可知BCO=45CFCB，FCG=45，CFG是等腰直角三角形，设CG=a，则点F坐标为(-a,a+3)，代入y=x22x+3得：a+3=(a)22(a)+3解得a1=1，a2=0（舍去）点F（-1，4），此时点D坐标为（-1，0）综上所述：存在这样的点D，点D坐标为（-2，0）或（-1，0）（3）解： 当点P在BC上方时，过点P作PGBC于点G，作PMx轴，交BC于点N ，过点P 作直线PHBC则PNG是等腰直角三角形，PG=2，PN=2，PMx轴，直线PH由直线BC向上平移两个单位长度得到，直线PH的解析式为y=x+5联立直线PH和抛物线的

50、解析式，得：y=x22x+3y=x+5，解得：x=1y=4或x=2y=3点P坐标为(-1，4)或(-2，3) 当点P在BC下方时，同理可得直线PH由直线BC向下平移两个单位长度得到，直线PH的解析式为y=x+1y=x22x+3y=x+1，解得：x=3+172y=1+172 或x=3172y=1172点P坐标为(3+172，1+172)或(3172，1172)综上所述：点P坐标为(-1，4)或(-2，3)或(3+172，1+172)或(3172，1172)【点睛】此题考查了二次函数的综合应用，涉及了待定系数法求解析式，二次函数的性质，圆的切线的性质，解题的关键是熟练掌握并灵活应用相关性质进行求解

51、，难度适中11（2022春广东深圳九年级校考阶段练习）如图，已知二次函数yax2+bx+c（a0，c0）与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，且以AB为直径的圆经过点C(1)若点A（4，0），点B（16，0），求C点坐标和函数关系式(2)若点D是圆与抛物线的交点（D与A、B、C不重合），在（1）的条件下，坐标轴上是否存在一点P，使得以P、B、C为顶点的三角形与CBD相似？若存在，请求点P坐标；若不存在，请说明理由【答案】(1)y=18x2+32x+8(2)存在，P点坐标为（4，0）或（323，0）或（0，56）或（443，0）【分析】（1）由题意可知圆的圆心坐标为G（6，0），半径为10，则CG

52、10，可求C（0，8），再将A（4，0），B（16，0）代入yax2+bx+8，即可求得解析式；（2）由对称性可求出D（12，8），分四种情况讨论：如图1，当CPBCDB时，BCDCBP；如图2，当CDBCPB时，BCDPBC；如图3，当P点在BD的延长线上时，BCDBPC；如图4，当DCBPBC时，BCDPBC，求出点P坐标即可（1）解：A（4，0），B（16，0），AB20，AB的中点G（6，0），CG10，令x0，则yc，C（0，c），36+c2100，c8，c0，c8，C（0，8），将A（4，0），B（16，0）代入yax2+bx+8，16a4b+8=0256a+16b+8=0，解得a

53、=18b=32，y=18x2+32x+8；（2）坐标轴上存在一点P，使得以P、B、C为顶点的三角形与CBD相似，理由如下：y=18x2+32x+8=18（x6）2+252，抛物线的对称轴为直线x6，G的圆心为（6，0），C点与D点关于直线x6对称，D（12，8），CD12，B（16，0），C（0，8），BD45，BC85，当P点在x轴上，BPCD，BCDCBP，如图1，当CPBCDB时，BCDCBP，DBCBCP，四边形CDBP是平行四边形，CDBP12，P（4，0）；如图2，当CDBCPB时，BCDPBC，CDBC=BDPC=BCPB，1285=85PB，PB=803，P（323，0）；当P

54、点在y轴上时，A、B、C、D四点共圆，CAB+CDB180，COAB，ACBC，CAOBCO，OCB+CDB180，PCBCDB，如图3，当P点在BD的延长线上时，BCDBPC，BCBP=CDCP=BDBC，12CP=2585，CP48，P（0，56）；如图4，当DCBPBC时，BCDPBC，BCPB=CDBC=BDPC，1285=25PC，PC=203，P（443，0）；综上所在：P点坐标为（4，0）或（323，0）或（0，56）或（443，0）【点睛】本题考查了二次函数的图象以及性质，熟练掌握二次函数图象及性质，圆的性质，三角形相似的判定及性质是解题关键12（2022山东济宁济宁学院附属中

55、学校考二模）如图，已知二次函数y=ax2+bx+3的图象与x轴交于点A(1,0)、B(3,0)，与y轴的正半轴交于点C(1)求二次函数y=ax2+bx+3的表达式(2)点D是线段OB上一动点，过点D作y轴的平行线，与BC交于点E，与抛物线交于点F，连接CF，BF，探究是否存在点D使得四边形ACFB的面积最大？若存在，求点D的坐标；若不存在，说明理由(3)若点P在二次函数图象上，是否存在以P为圆心，2为半径的圆与直线BC相切，若存在，直接写点P的坐标；若不存在，说明理由【答案】(1)y=x22x+3；(2)D(32,0)；(3)点P的坐标为(1,4)或(2,3)或(3+172，1+172)或(3

56、172,1172)【分析】（1）将A、B坐标代入二次函数解析式求解即可；（2）求得C点坐标，从而得到BC解析式，设D（m，0），则E(m,m+3)，F(m,m22m+3)，根据S四边形ACFB=SABC+SBCF求解即可；（3）过点P作PGBC，过点P作PHBC，过点P作x轴的垂线，交BC于点N，交x轴于点M，求出PH的解析式，联立直线PH和二次函数解析式，求解即可(1)解：将点A(1,0)、B(3,0)代入y=ax2+bx+3可得a+b+3=09a3b+3=0，解得a=1b=2即解析式为：y=x22x+3；(2)解：由y=x22x+3可得C（0，3），由B（-3，0），C（0，3）可得BC解

57、析式为：y=x+3，设D（m，0），则E(m,m+3)，F(m,m22m+3)，S四边形ACFB=SABC+SBCF=12ABOC+12EFOB=1243+12(m22m+3m3)3=32m292+6320，m=32时，S四边形ACFB最大，此时D(32,0)，(3)解：过点P作PGBC，过点P作PHBC，过点P作x轴的垂线，交BC于点N，交x轴于点M，如图：由题意可得：OB=OC，OBC=45PNG=45PG=NG当以P为圆心，2为半径的圆与直线BC相切，可得PG=2，PG=NG=2PN=PG2+NG2=2，即BC沿y轴向上或向下平移了2个单位，所以PH的解析式为y=x+1或y=x+5，联立

58、直线PH和二次函数解析式可得：y=x22x+3y=x+5或y=x22x+3y=x+1解得：x=1y=4或x=2y=3或x=3+172y=1+172或x=3172y=1172点P的坐标为(1,4)或(2,3)或(3+172，1+172)或(3172,1172)【点睛】此题考查了二次函数的综合应用，涉及了待定系数法求解析式，二次函数的性质，圆的切线的性质，图象的平移，勾股定理，解题的关键是熟练掌握并灵活应用相关性质进行求解，难度始终13（2022秋全国九年级专题练习）已知二次函数的图象交x轴于点A（3，0），B（1，0），交y轴于点C（0，3），P这抛物线上一动点，设点P的横坐标为m(1)求抛物线

59、的解析式：(2)当PAC是以AC为直角边的直角三角形时，求点P的坐标：(3)抛物线上是否存在点P，使得以点P为圆心，2为半径的圆既与x轴相切，又与抛物线的对称轴相交？若存在，求出点P的坐标，并求出抛物线的对称轴所截的弦MN的长度；若不存在，请说明理由（写出过程）【答案】(1)y=x22x3(2)点P的坐标为（-2，5）或（1，-4）；(3)点P的坐标为12，2或1+2，2，抛物线的对称轴所截的弦MN的长度为22【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）分当PAC=90时，当PCA=90时，两种情况讨论求解即可；（3）由圆P的半径为2，且圆P与抛物线对称轴有交点，且与x轴相切，可得点P的纵坐标

60、为-2，由此求出点P的坐标即可；过点P作PEMN于E，由垂径定理可得MN=2ME，利用勾股定理求出ME即可得到答案【详解】（1）解：设抛物线解析式为y=ax+1x3，把点C（0，-3）代入得，a0+103=3，a=1，抛物线解析式为y=x+1x3=x22x3；（2）解：如图所示，当PAC=90时，设PA与y轴交点为D，点A坐标为（3，0），点C坐标为（0，-3），OA=OC=3，AOC=90，CAO=45，DAO=45，OA=OD=3，点D的坐标为（0，3），设直线AD的解析式为y=kx+b，3k+b=0b=3，k=1b=3，直线AD的解析式为y=x+3，联立y=x+3y=x22x3，解得x=

61、2y=5或x=3y=0（舍去），点P的坐标为（-2，5）；当PCA=90，设直线PC与x轴的交点为E，同理可证ECO=45，即OE=OC，点E的坐标为（-3，0），同理可以求出直线PC的解析式为y=x3，联立y=x3y=x22x3，解得x=1y=4或x=0y=3（舍去），点P的坐标为（1，-4），综上所述，点P的坐标为（-2，5）或（1，-4）；（3）解：抛物线解析式为y=x22x3=x124，抛物线对称轴为直线x=1，点A和点B到抛物线的对称轴的距离都为2，圆P的半径为2，且圆P与抛物线对称轴有交点，且与x轴相切，点P的纵坐标为-2，当y=2时，x22x3=2，解得x1=12，x2=1+2，

62、点P的坐标为12，2或1+2，2，过点P作PEME交抛物线对称轴于E，PE=1+21=2或112=2，MN=2ME，ME=MP2PE2=2，MN=22，点P的坐标为12，2或1+2，2，抛物线的对称轴所截的弦MN的长度为22【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，圆与函数综合，待定系数法求函数解析式等等，正确理解题意，利用分类讨论和数学结合的思想求解是解题的关键14（2022江苏盐城校考一模）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A、B为抛物线yx2上的两个动点，且OAOB(1)若点B的坐标是（2，m），则点A的坐标是 ；(2)过点B作BCx轴，垂足为C，若AOB与OBC

63、相似，求cosOBA(3)在（1）问的条件下，若点E为二次函数第一象限内抛物线上一动点，EH垂直于X轴于点H，交线段AB于点F，以EF为直径的圆M与AB交于点R，求当EFR周长取最大值时E点的坐标；(4)在（3）问的条件下，以BH为直径作圆N，点P为圆N上一动点，连接AP，Q为AP上一点且AQ=12AP，连接HQ，求OQ的最小值；【答案】(1)A（12，14）(2)22（要分类讨论）(3)E（34,916）(4)3731628116【分析】（1）设Ax,x2x0，过点A作AEx轴于点E，勾股定理求得OB，证明OAEBOC,根据相似三角形的性质，列出方程，解方程求解即可；（2）过点A作AEx轴于

64、点E，过点O作OFAB于点F，BCx轴，垂足为C，设A(a，a2) ，B(b，b2)，若AOB与OBC相似，分两种情况讨论，根据相似三角形的性质求得BOC = BAO，可得OC=OE，四边形AECB是矩形，OF =OC= BC，根据三角形内角和定理可得OBC=cos45，然后求特殊角的三角函数值即可，第种情况同求得；（3）直线AB的解析式为y=32x+1，设AFH=，根据题意不变，则sin,cos为定值，根据圆周角定理可得EFR是直角三角形，则EF取得最大值时，EFR周长最大，二次函数的性质求得EF的最大值时，m=34，即可求得点E的坐标，（4）连接PN,AN,取AN的中点S，根据题意找到Q的

65、轨迹是在以14BH为半径的S上，进而根据勾股定理求得OS,PH的长，根据点圆关系求最值即可(1)设Ax,x2x0，过点A作AEx轴于点E，则OE=-x,AE=x2所以OA=x2+x22=x1+x2B2,m代入y=x2，m=22=4，B(2，4)，OC = 2,BC = 4,OB=OC2+BC2=25AOB = 90,AOE BOC = 90,OEA =BCO = 90AOEOAE = 90OAE =BOC,OAEBOC,OEBC=OAOBx4=x1+x2251+x2=52x0)的图象的顶点为D点，与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点， A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），OBOC ，ta

66、nACO13(1)求这个二次函数的表达式；(2)经过C、D两点的直线，与x轴交于点E，在该抛物线上是否存在这样的点F，使以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；(3)若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点，且以MN为直径的圆与x轴相切，求该圆半径的长度【答案】(1)y=x22x3(2)存在点F，坐标为（2，-3）(3)1712【分析】（1）先求得抛物线与x轴的交点坐标，再由两点式求得二次函数的表达式（2）先求得所有满足条件的点F的坐标，再代入抛物线表达式检验即可（3）分别讨论直线MN在x轴上方和下方时圆对应的半径即可(1)解：由已知得：

67、C（0，-3），A（-1，0）设二次函数的表达式为：y=ax+1x3将C点坐标代入得：a=1这个二次函数的表达式为y=x22x3(2)解：由函数的顶点式得：D（1，-4）直线CD的解析式为：y=x3 E点的坐标为(-3，0)以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形F点的坐标为（2，-3）或（-3，-3）或（-4，3）代入抛物线表达式检验，只有（2，-3）符合存在这样点F（2，-3）(3)如图：当直线MN在x轴上方时，设圆的半径为R（R0），则点N坐标为(R+1，R)，代入抛物线表达式，解得R=1+172 当直线MN在x轴的下方时，设圆的半径为r（r0），则点N坐标为（r+1，-r），代入抛物

68、线表达式，解得r=1+172 综上，圆的半径为1+172或1+172【点睛】本题考查了二次函数与一次函数、平行四边形、圆的综合，熟练掌握各知识点的性质定理，数形结合分析题目是解题的关键17（2022新疆乌鲁木齐统考一模）如图，已知二次函数y=14x2+32x+4 的图像与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，顶点为D，连接BC；(1)求顶点D的坐标；(2)求直线BC的解析式；(3)点E是第一象限内抛物线上的动点，连接BE，CE，求BCE面积的最大值；(4)以AB为直径，M为圆心作圆M，试判断直线CD与圆M的位置关系，并说明理由【答案】(1)(3,254)(2)y=12x+4(3)16(4)直线与圆

69、M相交，理由见解析【分析】（1）利用配方法将一般式解析式转化为顶点式解析式；（2）先解得A(2,0),B(8,0)， C(0,4)，再利用待定系数法，代入点B、C的坐标即可解答；（3）根据中点公式解得点M的坐标，再利用两点间的距离公式解得CM，MD的长，比较MDCM，得到直线与圆M有两个交点，据此解答【详解】（1）解：y=14x2+32x+4=14(x26x)+4=14(x26x+99)+4=14(x3)2+254即顶点D的坐标(3,254)；（2）由（1）知C(0,4)令y=0得14(x3)2+254=0解得x1=8,x2=2A(2,0),B(8,0)设直线BC的解析式：y=kx+b，代入点

70、B、Cb=48k+b=0k=12b=4y=12x+4（3）如图，设E(x,14x2+32x+4)（0x8），过点E作EHx于H，SBCE=S四边形COBESBOC=SBHE+S梯形COHESBOC=12BHEH+(EH+CO)OH212BOCO=12(8x)(14x2+32x+4)+(14x2+32x+4+4)x21284=x2+8x=(x4)2+16即当x=4时，BCE面积的最大值为16；（4）直线与圆M的位置是相交，理由如下，如图，M为BC的中点，M(0+82,0+42)即M(4,2)CM=(04)2+(42)2=25,MD=(34)2+(2542)2=305425=3204,305432

71、04MDMC直线CD与圆M有两个交点，即直线与圆M的位置是相交【点睛】本题考查二次函数与一次函数的综合，涉及配方法、待定系数法求一次函数的解析式、直线与圆的位置关系、勾股定理、中点公式、两点距离公式等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键18（2021浙江嘉兴统考二模）定义：平面直角坐标系xOy中，过二次函数图像与坐标轴交点的圆，称为该二次函数的坐标圆(1)已知点P（2，2），以P为圆心，5为半径作圆请判断P是不是二次函数yx24x+3的坐标圆，并说明理由；(2)已知二次函数yx24x+4图像的顶点为A，坐标圆的圆心为P，如图1，求POA周长的最小值；(3)已知二次函数yax24x+4（0a

72、1）图像交x轴于点A，B，交y轴于点C，与坐标圆的第四个交点为D，连接PC，PD，如图2若CPD120，求a的值【答案】(1)P是二次函数yx24x+3的坐标圆，理由见解析(2)POA周长的最小值为6(3)a=43+312【分析】（1）先求出二次函数y=x2-4x+3图像与x轴、y轴的交点，再计算这三个交点是否在以P（2，2）为圆心，5为半径的圆上，即可作出判断（2）由题意可得，二次函数y=x2-4x+4图像的顶点A（2，0），与y轴的交点H（0，4），所以POA周长=PO+PA+OA=PO+PH+2OH+2，即可得出最小值（3）连接CD，PA，设二次函数y=ax2-4x+4图像的对称轴l与C

73、D交于点E，与x轴交于点F，由对称性知，对称轴l经过点P，且lCD，设PE=m，由CPD=120，可得PA=PC=2m，CE=3m，PF=4-m，表示出AB、AF=BF，在RtPAF中，利用勾股定理建立方程，求得m的值，进而得出a的值【详解】（1）对于二次函数yx24x+3，当x0时，y3；当y0时，解得x1或x3，二次函数图像与x轴交点为A（1，0），B（3，0），与y轴交点为C（0，3），点P（2，2），PAPBPC5，P是二次函数yx24x+3的坐标圆（2）如图1，连接PH，二次函数yx24x+4图像的顶点为A，坐标圆的圆心为P，A（2，0），与y轴的交点H（0，4），POA周长PO+P

74、A+OAPO+PH+2OH+26，POA周长的最小值为6（3）如图2，连接CD，PA，设二次函数yax24x+4图像的对称轴l与CD交于点E，与x轴交于点F，由对称性知，对称轴l经过点P，且lCD，AB1616aa=41aa，AFBF21aa，CPD120，PCPD，C（0，4），PCDPDC30，设PEm，则PAPC2m，CE3m，PF4m，二次函数yax24x+4图像的对称轴l为x=2a，3m=2a，即a=23m，在RtPAF中，PA2PF2+AF2，4m2=(4m)2+(21aa)2，即4m2=(4m)2+4(123m)43m2，化简，得(8+23)m=16，解得m=84+3，a=23m

75、=43+312【点睛】此题是二次函数与圆的综合题，主要考查了二次函数的性质、圆的基本性质、解直角三角形、勾股定理等知识以及方程的思想，添加辅助线构造直角三角形是解答本题的关键19（2022湖南长沙模拟预测）已知二次函数的图象经过点A（2，0），B（4，0），C（0，4），点F为二次函数第二象限内抛物线上一动点，FHx轴于点H，交直线BC于点D，以FD为直径的圆M与BC交于点E（1）求这个二次函数的关系式；（2）当三角形EFD周长最大时求此时点F点坐标及三角形EFD的周长；（3）在（2）的条件下，点N为M上一动点，连接BN，点Q为BN的中点，连接HQ，求HQ的取值范围【答案】（1）y=12x2x

76、+4；（2）F（2，4），EFD的周长为22+2；（3）1312HQ 13+12【分析】（1）根据A、B点的坐标可设交点式，然后代入C点坐标求解即可；（2）由题意可直接判断出FDEBCO，从而可知CFDECBCO=FDBC，然后通过设点表示出FD的长度，从而列出关于FDE周长的二次函数解析式，利用二次函数的性质进行求解判断求解即可；（3）连接ON，根据（2）的条件可确定出HQ为BON的中位线，由此可先确定ON的取值范围，从而确定HQ的取值范围即可【详解】（1）抛物线与x轴交于A（2，0），B（4，0）两点，设抛物线的解析式为：y=ax2x+4，由抛物线经过C（0，4），将C（0，4）代入y=a

77、x2x+4，解得：a=12，抛物线的解析式为：y=12x2x+4，即：y=12x2x+4；（2）FHx轴，FHy轴，FDE=BCO，FDEBCO，则CFDECBCO=FDBC，根据B（4，0），C（0，4），可得直线BC的解析式为：y=x+4，设Fm,12m2m+4，则Dm,m+4，FD=yFyD=12m22m，在BCO中，OB=OC=4，BC=42，CBCO=8+42，CFDE8+42=12m22m42，整理得：CFDE=2+12m+22+22+2，2120，当m=2时，CFDE取得最大值，最大值为22+2，将m=2代入抛物线解析式可得：y=4，点F的坐标为F（2，4），EFD的周长为22+

78、2；（3）由（2）可知，F（2，4），D（-2，2），H（-2,0），BH=OH，即H为BO的中点，FD为M的直径，M（-2，3），Q为BN的中点，如图所示，连接ON，则HQ为BON的中位线，HQ=12ON，即求出ON的取值范围即可，点N在M运动，当O、M、N三点共线的时候，ON最长，如图所示，此时，ON=OM+MN，OM=MH2+OH2=32+22=13，MN=MD=1，ON=13+1；当O、N、M三点共线时，ON最短，如图所示，此时，ON=OM-MN，即：ON=131，可得ON的取值范围是：13+1ON131，由HQ=12ON，得HQ的取值范围是：13+12HQ1312【点睛】本题考查二次

79、函数的综合问题，相似三角形的判定与性质，灵活求解函数解析式，熟练掌握函数法求几何图形面积或周长的最值问题，以及数形结合的思想进行转化是解题关键20（2022江苏无锡校考一模）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A和B3,0两点，与y轴交于C0,2，对称轴为直线x=54，连接BC，在直线BC上有一动点P，过点P作y轴的平行线交二次函数的图像于点N，交x轴于点M，(1)求抛物线与直线BC的函数解析式；(2)设点M的坐标为m,0，求当以PN为直径的圆与y轴相切时m的值：(3)若点P在线段BC上运动，则是否存在这样的点P，使得CPN与BPM相似，若存在请直接写出点P的坐标，若不存在，

80、请写出理由【答案】(1)抛物线解析式为y=43x2103x2，直线BC解析式为y=23x2(2)32或92(3)存在，52,13或118,1312【分析】（1）根据二次函数y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=54，可得5a=2b，再利用待定系数法，即可求解；（2）根据以PN为直径的圆与y轴相切，可得2OM=PN ，然后分两种情况：当点P在点N上方时和当点P在点N下方时，即可求解；（3）设点Ms,0 ，则点Ps,23s2 ，Ns,43s2103s2 ，然后分两种情况：当PNC=PMB=90时和当PCN=PMB=90时，即可求解【详解】（1）解：二次函数y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=54

81、，b2a=54 ，即5a=2b ，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于B3,0，与y轴交于C0,2，9a+3b+c=0c=25a=2b ，解得：a=43b=103c=2 ，二次函数的解析式为y=43x2103x2，设直线BC的解析式为y=kx+nk0 ，把点B3,0，C0,2代入得：3m+n=0n=2 ，解得：m=23n=2 ，直线BC解析式为y=23x2；（2）解： 根据题意得：点Pm,23m2 ，Nm,43m2103m2 ，以PN为直径的圆与y轴相切，2OM=PN ，当点P在点N上方时，PN=23m243m2103m2=43m2+4m ，2m=43m2+4m ，解得：m=32 或m

82、=0（舍去），当点P在点N下方时，PN=43m2103m223m2=43m24m，2m=43m24m，解得：m=92或m=0（舍去），当以PN为直径的圆与y轴相切时m的值为32或92；（3）解：存在，理由如下： 设点Ms,0 ，则点Ps,23s2 ，Ns,43s2103s2 ，PM=023s2=23s+2，PC=s2+23s222=133s ，BM=3s ，PN=23s243s2103s2=43s2+4s ，根据题意得：CPN=BPM，当PNC=PMB=90时，PBMPCN，CNx轴，43s2103s2=2，解得：s=52 或s=0 （舍去），点P52,13 ，当PCN=PMB=90时，PBMPNC， SPBMSPCN=PMPC2 ，123s23s+212s43s2+4s=23s+2133s2 ，解得：s=118 或s=3 （舍去），点P118,1312 ，综上所述，存在这样的点P 52,13或118,1312，使得CPN与BPM相似【点睛】本题主要考查了二次函数与相似三角形以及圆的综合题，熟练掌握相关知识点，并利用数形结合思想和分类讨论思想解答是解题的关键