专题32 三角形相似-2022-2023学年初中数学学科素养能力培优竞赛试题精选专练（解析版）.docx

1、专题32 三角形相似一、平行相似【学霸笔记】在求有关线段的比或有关比例式的证明时，添设平行线，构造基本图形是一种常用的重要方法。在作辅助线时，要把握两个原则：作辅助线后能直接或间接出现所要求的比，尽可能多地与已知条件和求证（解）结论产生联系；作辅助线时要从比的前项、后项中的共点线出发，弄清过哪一点作哪一条直线的平行线。【典例】如图，在ABC中，AD是BC边上中线，F是AD上一点，且AF：FD1：5，连接CF并延长交AB于E，则AE：EB等于（）A1：6B1：8C1：9D1：10【解答】解：过点D作GDEC交AB于G，AD是BC边上中线，BGGE=BDDC=1，即BGGE，又GDEC，AEEG=

2、AFFD=15，AE=EG5，AE：EB=EG5：2EG1：10；故选：D【巩固】如图，四边形ABCD中，P为对角线BD上一点，过点P作PEAB，交AD于点E，过点P作PFCD，交BC于点F，则下列所给的结论中，不一定正确的是（）APEAB=PFCDBAEDE=BFCFCPFCD=AEADDPEAB+PFCD=1【解答】解：PEAB，DEFDAB，PEAB=DPDB，PFCD，BPFBDC，PFCD=BPBD，PEAB+PFCD=DPDB+BPBD=1，所以A选项符合题意，D选项不符合题意；PEAB，AEDE=BPPD，PFCD，BFCF=BPPD，AEDE=BFCF，所以B选项不符合题意；P

3、EAB，AEAD=BPBD，PFCD=BPBD，AEAD=PFCD，所以C选项不符合题意故选：A二、相似的判定与应用【典例】如图，在边长为a的等边ABC中，分别取ABC三边的中点A1，B1，C1，得A1B1C1；再分别取A1B1C1三边的中点A2，B2，C2，得A2B2C2；这样依次下去，经过第2022次操作后得A2022B2022C2022，则A2022B2022C2022的面积为 【解答】解：点A1、B1分别是CA、CB的中点，点A1B1是ABC的中位线，A1B1=12AB=12a，同理可得：A2B2=12A1B1=122a，则A2022B2022=122022a，SA2022B2022C

4、2022=34（122022a）2=324046a2，故答案为：324046a2【巩固】如图，正方形ABCD，点F在边AB上，且AFFB=12，CEDF，垂足为点M，且交AD于点E，AC与DF交于点N，延长CB至G，使BG=12BC，连接GM有如下结论：AEBF；AN=24AD；ADFGMF；SANF=19SABC，上述结论中，正确的是（）ABCD【解答】解：四边形ABCD是正方形，ADABCDBC，CDEDAF90，CEDF，DCE+CDFADF+CDF90，ADFDCE，在ADF与DCE中，DAF=CDEAD=CDADF=DCE，ADFDCE（ASA），DEAF，ADDEBCAF，即AEB

5、F，故正确；ABCD，AFCD=ANCN，AF：FB1：2，AF：ABAF：CD1：3，ANCN=13，ANAC=14，AC=2AD，AN=24AD；故正确；作GHCE于H，设AFDEa，BF2a，则ABCDBC3a，EC=10a，由CMDCDE，可得CM=91010a，由GHCCDE，可得CH=91020a，CHMH=12CM，GHCM，GMGC，GMHGCH，FMG+GMH90，DCE+GCM90，FMGDCE，ADFDCE，ADFGMF；故正确，设ANF的面积为m，AFCD，AFCD=FNDN=13，AFNCDN，ADN的面积为3m，DCN的面积为9m，ADC的面积ABC的面积12m，S

6、ANF：SABC1：12，故错误，故选：C三、动态几何中的相似问题【典例】如图，矩形ABCD中，AB20，BC10，点P为AB边上一动点，DP交AC于点Q（1）求证：APQCDQ；（2）P点从A点出发沿AB边以每秒1个单位长度的速度向B点移动，移动时间为t秒当t为何值时，DPAC？设SAPQ+SDCQy，写出y与t之间的函数解析式，并探究P点运动到第几秒到第几秒之间时，y取得最小值【解答】（1）证明：四边形ABCD是矩形，ABCD，QPAQDC，QAPQCD，APQCDQ（2）解：当DPAC时，QCD+QDC90，ADQ+QDC90，DCAADP，ADCDAP90，ADCPAD，ADPA=DC

7、AD，10PA=2010，解得 PA5，t5设AQP的边AP上的高h，则QDC的边DC上的高为（10h）APQCDQ，h10-h=APDC=t20，解得 h=10t20+t，10h=20020+t，SAPQ=12APh=5t220+t，SDCQ=12DC(10-h)=200020+t，ySAPQ+SDCQ=5t220+t+200020+t=5t2+200020+t（0t20）探究：t0，y100；t1，y95.48；t2，y91.82；t3，y88.91；t4，y86.67；t5，y85；t6，y83.85；t7，y83.15；t8，y82.86；t9，y82.93；t10，y83.33；t1

8、1，y84.03；t12，y85；t13，y86.21；t14，y87.65；t15，y89.29；t16，y91.11；t17，y93.11；t18，y95.26；t19，y97.56；t20，y100；观察数据知：当0t8时，y随t的增大而减小；当9t20时，y随t的增大而增大；故y在第8秒到第9秒之间取得最小值【巩固】如图，在ABC中，C90，AC6cm，BC8cm，D、E分别是AC、AB的中点，连接DE点P从点D出发，沿DE方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为2cm/s，当点P停止运动时，点Q也停止运动连接PQ，设运动时间为t（0t4）s解答

9、下列问题：（1）当t为何值时，以点E、P、Q为顶点的三角形与ADE相似？（2）当t为何值时，EPQ为等腰三角形？（直接写出答案即可）；（3）当点Q在B、E之间运动时，是否存在某一时刻t，使得PQ分四边形BCDE所成的两部分的面积之比为SPQE：S五边形PQBCD1：29？若存在，求出此时t的值以及点E到PQ的距离h；若不存在，请说明理由【解答】解：（1）如图1中，在RtABC中，AC6，BC8AB=62+82=10D、E分别是AC、AB的中点ADDC3，AEEB5，DEBC且DE=12BC4，PQAB时，PQBADE90，AEDPEQ，PQEADE，PEAE=QEDE，由题意得：PE4t，QE

10、2t5，即 4-t5=2t-54，解得t=4114；如图2中，当PQDE时，PQEDAE，PEED=QEAE，4-t4=2t-55，t=4013，当t为4114s或4013s时，以点E、P、Q为顶点的三角形与ADE相似（2）如图3中，当点Q在线段BE上时，由EPEQ，可得4t52t，t1如图4中，当点Q在线段AE上时，由EQEP，可得4t2t5，解得t3如图5中，当点Q在线段AE上时，由EQQP，可得 12（4t）：（2t5）4：5，解得t=207如图6中，当点Q在线段AE上时，由PQEP，可得 12（2t5）：（4t）4：5，解得t=196综上所述，t1或3或 207或 196秒时，PQE是

11、等腰三角形（3）假设存在时刻t，使SPQE：S五边形PQBCD1：29，则此时SPQE=130S梯形DCBE，35t2-3910t+6=13018，即2t213t+180，解得t12，t2=92（舍去）当t2时，如图，作PMAB于MPM=35（42）=65，ME=45（42）=85，EQ5221，MQME+EQ=85+1=135，PQ=PM2+MQ2=(65)2+(135)2=205512PQh=35，h=655205=6205205此时t的值为2s，h=6205205巩固练习1如图，在ABC中，D、E分别为BC，AB中点，F在AC上且AF2FC，AD与EF交于点G，则SAEGS四边形DCFG

12、=（）A3：7B4：9C5：11D6：13【解答】解：连接DE，如图，AF2FC，则AF=23AC，D、E分别为BC，AB中点，DE为ABC的中位线，DEAC，DE=12AC，DEAF，DGAG=EGGF=DEAF=12AC23AC=34，设SDEG3x，则SAEG4x，SAEGSAGF=EGGF=34，SAGF=163x，AEBE，SABD2SADE2（3x+4x）14x，BDCD，SADCSABD14x，S四边形CDGF14x-163x=263x，SAEGS四边形DCFG=4x263x=613故选：D2如图，RtABC中，BCA90，ACBC，点D是BC的中点，点F在线段AD上，DFCD，

13、BF交CA于E点，过点A作DA的垂线交CF的延长线于点G，下列结论：CF2EFBF；AG2DC；AEEF；AFECEFEB其中正确的结论有（）ABCD【解答】解：DFCD，DCFDFC，ACBC，点D是BC的中点，DFDBDC，DBFDFB，又DBF+DFB+DFC+DCF180，BFC=1218090，CFBE，RtBCFRtCEF，CFEF=BFCF，CF2EFBF，故正确；AGAD，G+AFG90，又ACG+DCF90，DCFDFCAFG，GACG，AGAC，ACBC，AGBC，点D是BC的中点，BC2DC，AG2DC，故正确；根据角的互余关系，EAF+ADC90，AFE+DFC90，t

14、anADC2，ADC60，DCFDFC，FDCDFC，EAFEFA，AEEF，故错误；ACB90，CFBE，CEFBCE，ECEB=EFEC，EC2EFEB，BCEAGF（已证），AFEC，AFECEFEB，故正确；所以，正确的结论有故选：B3如图，平面直角坐标系中，A（8，0），B（8，4），C（0，4），反比例函数y=kx的图象分别与线段AB，BC交于点D，E连接DE若点B关于DE的对称点恰好在OA上，则K 【解答】解：过点E作EGOA，垂足为G，设点B关于DE的对称点为F，连接DF、EF、BF，如图所示：则BDEFDE，BDFD，BEFE，DFEDBE90易证ADFGFEAFEG=DFF

15、E，AF：EGBD：BE，A（8，0），B（8，4），C（0，4），ABOCEG4，OABC8，D、E在反比例函数y=kx的图象上，E（k4，4）、D（8，-k8）OGEC=-k4，AD=-k8，BD4+k8，BE8+k8，BDBE=4+k88+k4=12=DFFE=AFEG，AF=12EG2，在RtADF中，由勾股定理：AD2+AF2DF2即：（-k8）2+22（4+k8）2解得：k12故答案为：124如图，点E、F分别在矩形ABCD的边BC、CD上，DE与AF相交于点N已知DF6，AN56若将矩形ABCD沿AF折叠后，点D恰好与点E重合，则ABE的面积为 【解答】解：由折叠可知，DNAF，

16、EFDF，AEAD，ADF90，FDN+ADN90，ADN+DAN90，FDNDAN，DFNAFD，DFAF=FNDF，DF6，AN56，6NF+56=NF6，NF=6，AF66，在RtADF中，AD=AF2-DF2=(66)2-62=65，ADAE65，AEF90，AEB+EFC90，AEB+EAB90，EFCEAB，CEFBAE，FEAE=CFBE，EF6，FEAE=15，BE=5CF，在RtBAE中，AE2AB2+BE2，（65）2（6+CF）2+（5CF）2，CF4，AB10，EB45，SAEB=12ABEB=121045=205，故答案为2055如图是一个常见铁夹的剖面图，OA，OB

17、表示铁夹的两个面，C是轴，CDOA，垂足为D，DA15mm，DO24mm，DC10mm，且铁夹的剖面图是轴对称图形，求A，B两点间的距离【解答】解：连接AB，延长OC交AB于H，如图，在RtOCD中，OC=CD2+OD2=102+242=26，铁夹的剖面图是轴对称图形，CHAB，AHBH，DOCHOA，OCDOAH，CDAH=OCOA，即10AH=2639，AH15，AB2AH30（mm）答：A，B两点间的距离为30mm6某天小明和小亮去某影视基地游玩，当小明给站在城楼上的小亮照相时发现他自己的眼睛、凉亭顶端、小亮头顶三点恰好在一条直线上（如图）已知小明的眼睛离地面1.6米，凉亭顶端离地面1.

18、9米，小明到凉亭的距离为2米，凉亭离城楼底部的距离为38米，小亮身高为1.7米请根据以上数据求出城楼的高度【解答】解：过点A作AMEF于点M，交CD于点N，由题意得：AN2米，CN1.91.60.3（米），MN38米，CNEM，ACNAEM，CNEM=ANAM，0.3EM=240，EM6，ABMF1.7米，城楼的高度为：6+1.61.75.9（米）7如图，在ABC中，点D在边BC上，联结AD，ADBCDE，DE交边AC于点E，DE交BA延长线于点F，且AD2DEDF（1）求证：BFDCAD；（2）求证：BFDEABAD【解答】证明：（1）AD2DEDF，ADDE=DFAD，ADFEDA，ADF

19、EDA，FDAE，又ADBCDE，ADB+ADFCDE+ADF，即BDFCDA，BFDCAD；（2）BFDCAD，BFAC=DFAD，ADDE=DFAD，BFAC=ADDE，BFDCAD，BC，ABAC，BFAB=ADDE，BFDEABAD8如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，抛物线yx2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点B坐标是（3，0）抛物线与y轴交于点C（0，3），点P是抛物线的顶点，连接PC（1）求抛物线的函数表达式并直接写出顶点P的坐标（2）直线BC与抛物线对称轴交于点D，点Q为直线BC上一动点当QAB的面积等于PCD面积的2倍时，求点Q的坐标；在的条件下，当点

20、Q在x轴上方时，过点Q作直线l垂直于AQ，直线y=13x-73交直线l于点F，点G在直线y=13x-73上，且AGAQ时，请直接写出GF的长【解答】解（1）由题意得，c=3，-9+3b+c=0，b2，yx2+2x+3（x1）2+4，P（1，4）（2）如图1，作CEPD于E，C （0，3），B （3，0），直线BC：yx+3，D（1，2），可设Q（a，3a），CEPEDE，PCD是等腰直角三角形，SPCD=12PDCE=12211，12AB|3a|2，124|3a|2，a2或a4Q（2，1）或（4，1）如图2，设G（m，13m-73），由AG2AQ2得，（m+1）2+(13m-73)2=（2+1

21、）2+12，化简，得5m2+2m160，m12，m2=85，G1（2，3），G2（85，-95），作QHAB于H，AQQF，AHQQHM，QH2AHHM，即：123HM，HM=13，M（73，0），设直线QM是：ykx+b，2k+b=173k+b=0，k3，b7，y3x+7，由y=-3x+7y=13x-73得，x=145，y=-75F（145，-75）G1F=(145+2)2+(3-75)2=8510，G2F=(145-85)2+(95-75)2=25109如图，在平面直角坐标系xOy中，直角ABC的顶点A，B在函数y=kx（k0，x0）图象上，ACx轴，线段AB的垂直平分线交CB于点M，交A

22、C的延长线于点E，点A纵坐标为2，点B横坐标为1，CE1（1）求点C和点E的坐标及k的值；（2）连接BE，求MBE的面积【解答】解：（1）由题意得点A的坐标为（k2，2），点B的坐标为（1，k），又ACx轴，且ACB为直角三角形，点C的坐标为（1，2），又CE1，点E的坐标为（2，2），点E在线段AB的垂直平分线上，EAEB，在RtBCE中，EB2BC2+CE2，1+（k2）2=(k2-2)2，k2或23，当k2时，点A，B，C三点重合，不能构成三角形，故舍去，k=23，C（1，2），E（2，2），k=23；（2）由（1）可得，AC=23，BC=43，CE1，设AB的中点为D，AB=AC2+B

23、C2=235，BD=12AB=53，ABCMBD，BDMBCA90，BDMBCA，BMBA=BDBC，BM=5343253=56，SMBE=12BMCE=12561=51210如图1所示，在ABC中，点O是AC上一点，过点O的直线与AB，BC的延长线分别相交于点M，N【问题引入】（1）若点O是AC的中点，AMBM=13，求CNBN的值；温馨提示：过点A作MN的平行线交BN的延长线于点G【探索研究】（2）若点O是AC上任意一点（不与A，C重合），求证：AMMBBNNCCOOA=1；【拓展应用】（3）如图2所示，点P是ABC内任意一点，射线AP，BP，CP分别交BC，AC，AB于点D，E，F，若A

24、FBF=13，BDCD=12，求AECE的值【解答】解：（1）方法一：过点A作MN的平行线交BN的延长线于点G，AMBM=NGBN=13，设NGx，则BN3x，O是AC中点，且AGMN，ON是ACG中位线，CNNGx，CNBN=13；方法二：过点A作AGMN交BN延长线于点G，GBNM，又BB，ABGMBN，BGBN=ABMB，BGBN-1=ABMB-1，BG-BNBN=AB-MBMB，即NGBN=AMMB，同理，在ACG和OCN中，NGCN=AOCO，COAO=CNNG，O为AC中点，AOCO，NGCN，CNBN=NGBN=AMBM=13；（2）由（1）知，NGBN=AMMB、COAO=CN

25、NG，AMMBBNNCCOOA=NGBNBNNCCNNG=1；（3）在ABD中，点P是AD上的一点，过点P的直线与AC、BD的延长线相交于点C，由（2）得AFBFBCCDDPPA=1，在ACD中，点P是AD上一点，过点P的直线与AC、CD的延长线分别相交于点E、B，由（2）得AEECCBBDDPPA=1，AFBFBCCDDPPA=AEECCBBDDPPA，AEEC=AFBFBCCDBDCB=AFFBBDCD=1312=1611如图1，抛物线yax2+bx（a0）与双曲线y=kx相交于点A，B已知点A的坐标为（1，4），点B在第三象限内，且AOB的面积为3（O为坐标原点）（1）求实数a，b，k的

26、值；（2）如图2，过抛物线上点A作直线ACx轴，交抛物线于另一点C，求所有满足COEBOA的点E的坐标（提示：C点的对应点为B）【解答】解：（1）反比例函数经过A（1，4），k144，即y=4x；设B（m，4m），已知A（1，4），可求得直线AB：y=-4mx+4+4m；SBOA=12（4+4m）（1m）3，2m2+3m20，即m2（正值舍去）；B（2，2）由于抛物线经过A、B两点，则有：a+b=44a-2b=-2，解得a=1b=3；yx2+3x故a1，b3，k4（2）设抛物线与x轴负半轴的交点为D；直线ACx轴，且A（1，4），C（4，4）；已求得B（2，2），则有：CODBOD45，即BO

27、C90；将BOA绕点O顺时针旋转90得到B1OA1，作AMx轴于M，作A1Nx轴于NA的坐标是（1，4），即AM4，OM1，AOM+NOA190，OAM+AOM90OAMNOA1，又OAOA1，AMOA1NOAOMOA1N，A1NOM1，ONAM4A1的坐标是（4，1），此时B1是OC的中点，延长OA1至E1，使得OE2OA1，则COE1B1OA1BOA；则E1（8，2）；以OC所在直线为对称轴，作B1OA1的对称图形B1OA2，延长OA2至E2，使得OE22OA2，则COE2COE1BOA；易知A2（1，4），则E2（2，8）；故存在两个符合条件的E点，且坐标为E1（8，2），E2（2，8）