专题32 几何图形中的最值问题（含隐圆）（原卷版）.docx

1、模块二 常见模型专练 专题32 几何图形中的最值问题（含隐圆） 最值问题一 阿氏圆问题例1 （2020广西中考真题）如图，在Rt中，ABAC4，点E，F分别是AB，AC的中点，点P是扇形AEF的上任意一点，连接BP，CP，则BP+CP的最小值是_例2 （2019山东统考中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，直线y5x+5与x轴，y轴分别交于A，C两点，抛物线yx2+bx+c经过A，C两点，与x轴的另一交点为B（1）求抛物线解析式及B点坐标；（2）若点M为x轴下方抛物线上一动点，连接MA、MB、BC，当点M运动到某一位置时，四边形AMBC面积最大，求此时点M的坐标及四边形AMBC的面积；（3）如

2、图2，若P点是半径为2的B上一动点，连接PC、PA，当点P运动到某一位置时，PC+PA的值最小，请求出这个最小值，并说明理由模型建立：已知平面上两点A、B，则所有符合k（k0且k1）的点P会组成一个圆这个结论最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，称阿氏圆阿氏圆基本解法：构造三角形相似模型解读：如图1所示，O 的半径为 r，点 A、B 都在O 外，P 为O 上的动点， 已知 rkOB连接 PA、PB，则当“PAkPB”的值最小时，P 点的位置如何确定？1：连接动点至圆心0（将系数不为1的线段两端点分别与圆心相连接），即连接OP、OB；2：计算连接线段OP、OB长度；3：计算两线段长度的比值；4：在O

3、B上截取一点C，使得构建母子型相似：5：连接AC，与圆0交点为P，即AC线段长为PAK*PB的最小值本题的关键在于如何确定“kPB”的大小，（如图 2）在线段 OB上截取 OC 使 OCkr，则可说明BPO 与PCO 相似，即 kPBPC本题求“PAkPB”的最小值转化为求“PAPC”的最小值，即 A、P、C 三点共线时最小（如图 3），时AC线段长即所求最小值【变式1】（2022全国九年级专题练习）如图，已知正方形ABCD的边长为4，B的半径为2，点P是B上的一个动点，则PDPC的最大值为_【变式2】（2022全国九年级专题练习）如图，在ABC中，ACB=90，BC=12，AC=9，以点C为

4、圆心，6为半径的圆上有一个动点D.连接AD、BD、CD，则2AD+3BD的最小值是_.【变式3】（2022秋浙江九年级专题练习）如图所示，半径为2的圆内切于为圆上一动点，过点作、分别垂直于的两边，垂足为、，则的取值范围为 _【变式4】（2021全国九年级专题练习）如图1，在RTABC中，ACB90，CB4，CA6，圆C的半径为2，点P为圆上一动点，连接AP，BP，求：，的最小值最值问题二 胡不归问题例1 （2022内蒙古鄂尔多斯统考中考真题）如图，在ABC中，ABAC4，CAB30，ADBC，垂足为D，P为线段AD上的一动点，连接PB、PC则PA+2PB的最小值为 _例2 （2022广西梧州统

5、考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x，y轴交于点A，B，抛物线恰好经过这两点(1)求此抛物线的解析式；(2)若点C的坐标是，将绕着点C逆时针旋转90得到，点A的对应点是点E写出点E的坐标，并判断点E是否在此抛物线上；若点P是y轴上的任一点，求取最小值时，点P的坐标“PAkPB”型的最值问题，当k1时通常为轴对称之最短路径问题，而当k0时，若以常规的轴对称的方式解决，则无法进行，因此必须转换思路 1. 当点P在直线上如图，直线BM，BN交于点B，P为BM上的动点，点A在射线BM，BN同侧，已知sinMBNk过点A作ACBN于点C，交BM于点P，此时PAkPB取最小值，最小值即为AC

6、的长 证明 如图，在BM上任取一点Q，连结AQ，作QDBN于点D由sinMBNk，可得QD kQB所以QAkQBQAQDAC，即得证2 当点P在圆上如图，O的半径为r，点A，B都在O外，P为O上的动点，已知rkOB在OB上取一点C，使得OC kr，连结AC交O于点P，此时PAkPB取最小值，最小值即为AC的长 证明 如图，在O上任取一点Q，连结AQ，BQ，连结CQ，OQ则OC kOQ，OQ kOB而COQQOB，所以COQQOB，所以QC kQB所以QA kQB QAQCAC，即得证【变式1】（2022湖北武汉校联考一模）如图，在中，半径为的经过点，是圆的切线，且圆的直径在线段上，设点是线段上

7、任意一点不含端点，则的最小值为_【变式2】（2022秋浙江九年级专题练习）如图，正方形ABCD的边长为4，点E为边AD上一个动点，点F在边CD上，且线段EF4，点G为线段EF的中点，连接BG、CG，则BG+CG的最小值为 _【变式3】（2021春全国九年级专题练习）如图，在边长为4的正方形ABCD内有一动点P，且BP连接CP，将线段PC绕点P逆时针旋转90得到线段PQ连接CQ、DQ，则DQ+CQ的最小值为 _【变式4】（2021秋四川达州九年级达州市第一中学校校考期中）如图，矩形的顶点、分别在、轴的正半轴上，点的坐标为，一次函数的图象与边、轴分别交于点、，并且满足，点是线段上的一个动点（1）求

8、的值；（2）连接，若的面积与四边形的面积之比为，求点的坐标；（3）求的最小值最值问题三 隐圆问题例1 （2022山东泰安统考中考真题）如图，四边形为矩形，点P是线段上一动点，点M为线段上一点，则的最小值为（）ABCD例2 （2021湖北十堰中考真题）如图，四边形是正方形，是等边三角形，为对角线（不含点）上任意一点，将绕点逆时针旋转得到，连接、（1）求证：；（2）当点在何处时，的值最小；当点在何处时，的值最小，并说明理由；（3）当的最小值为时，求正方形的边长【模型一：定弦定角的“前世今生” 】【模型二：动点到定点定长】【模型三：直角所对的是直径】【模型四：四点共圆】牢记口诀：定点定长走圆周，定线

9、定角跑双弧。直角必有外接圆，对角互补也共圆。【变式1】（2022秋江苏泰州八年级泰州市第二中学附属初中校考期中）ABC中，ABAC5，BC6，D是BC的中点，E为AB上一动点，点B关于DE的对称点在ABC内（不含ABC的边上），则BE长的范围为_【变式2】（2022全国九年级专题练习）如图，点A，B的坐标分别为为坐标平面内一点，M为线段的中点，连接，当取最大值时，点M的坐标为_【变式3】（2022秋九年级课时练习）如图，在矩形中，点、分别是边、上的动点，且，点是的中点，、，则四边形面积的最小值为_【变式4】（2022秋山东菏泽九年级校考阶段练习）如图，在等腰和等腰中，为的中点，为的中点，连接，

10、(1)若，求的长度；(2)若将绕点旋转到如图所示的位置，请证明，；(3)如图，在绕点旋转的过程中，再将绕点逆时针旋转到，连接，若，请直接写出的最大值最值问题四 将军饮马问题例1 （2020江苏南通统考中考真题）如图，在ABC中，AB2，ABC60，ACB45，D是BC的中点，直线l经过点D，AEl，BFl，垂足分别为E，F，则AE+BF的最大值为（）AB2C2D3例2 （2020山东泰安中考真题）如图，点A，B的坐标分别为，点C为坐标平面内一点，点M为线段的中点，连接，则的最大值为（ ）ABCD例3 （2021青海统考中考真题）如图，正方形ABCD的边长为8，点M在DC上且DM2，N是AC上的

11、一动点，则DNMN的最小值是_模型1：当两定点A、B在直线l异侧时，在直线l上找一点P，使PAPB最小 连接AB交直线l于点P，点P即为所求作的点PAPB的最小值为AB.模型2：当两定点A、B在直线l同侧时，在直线l上找一点P，使得PAPB最小 作点B关于直线l的对称点B，连接AB交直线l于点P，点P即为所求作的点PAPB的最小值为AB模型3：当两定点A、B在直线l同侧时，在直线l上找一点P，使得最大 连接AB并延长交直线l于点P，点P即为所求作的点，的最大值为AB模型4：当两定点A、B在直线l异侧时，在直线l上找一点P，使得最大 作点B关于直线I的对称点B，连接AB并延长交直线l于点P，点P

12、即为所求作的点的最大值为AB模型5：当两定点A、B在直线l同侧时，在直线l上找一点P，使得最小连接AB，作AB的垂直平分线交直线l于点P，点P即为所求作的点的最小值为0模型6：点P在AOB内部，在OB边上找点D，OA边上找点C，使得PCD周长最小 分别作点P关于OA、OB的对称点P、P，连接PP，交OA、OB于点C、D，点C、D即为所求PCD周长的最小值为PP模型7：点P在AOB内部，在OB边上找点D，OA边上找点C，使得PDCD最小 作点P关于OB的对称点P，过P作PCOA交OB，PDCD的最小值为PC【变式1】（2022秋黑龙江佳木斯九年级抚远市第三中学校考期末）如图，抛物线与x轴分别交于

13、两点（点在点的左侧），与轴交于点，在其对称轴上有一动点，连接，则周长的最小值是_【变式2】（2022秋安徽滁州八年级校联考期中）如图，直线与轴，轴分别交于和，点、分别为线段、的中点，为上一动点，当的值最小时，点的坐标为 _【变式3】（2022秋全国八年级专题练习）如图，点是内任意一点，点和点分别是射线和射线上的动点，则周长的最小值是_【变式4】（2023秋内蒙古通辽九年级校考期中）如图，抛物线与x轴交于两点(1)求该抛物线的解析式；(2)观察函数图象，直接写出当x取何值时，？(3)设（1）题中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存

14、在，请说明理由最值问题五 费马点问题例1 （2019湖北武汉统考中考真题）问题背景：如图，将绕点逆时针旋转60得到，与交于点，可推出结论：问题解决：如图，在中，点是内一点，则点到三个顶点的距离和的最小值是_模型解读：APCAQE，且APQ为等边三角形，PC=QE，AP=PQAP+BP+CP=BP+PQ+QE当B、P、Q、E共线时，AP+BP+CP和最小【变式1】（2021秋四川成都九年级成都实外校考阶段练习）如图，在中，P是内一点，求的最小值为_【变式2】（2022广东广州一模）如图，在RtABC中，BAC=90，AB=AC，点P是AB边上一动点，作PDBC于点D，线段AD上存在一点Q，当QA

15、+QB+QC的值取得最小值，且AQ=2时，则PD=_【变式3】（2022秋全国九年级专题练习）如图，已知矩形ABCD，AB4，BC6，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则MAMDME的最小值为_【变式4】（2022春全国九年级专题练习）如图，正方形的边长为4，点是正方形内部一点，求的最小值【培优练习】1（2022秋重庆沙坪坝八年级重庆市凤鸣山中学校联考期末）如图，为正方形边上一点，为对角线上一个动点，则的最小值为（）A5BCD102（2022秋浙江九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于A、C两点，与x轴交于点，若P是x轴上一动点，点D的坐标为，连接PD，则的

16、最小值是（）A4BCD3（2022河南校联考三模）如图1，正方形中，点是的中点，点是对角线上的一个动点，设，当点从向点运动时，与的函数关系如图2所示，其中点是函数图象的最低点，则点的坐标是（）ABCD4（2022秋河北邢台九年级统考期末）如图，的半径是，P是上一动点，A是内部一点，且，则下列说法正确的是（）PA的最小值为；PA的最大值为；当时，PAO是等腰直角三角形；PAO面积最大为ABCD5（2022春九年级单元测试）如图，在Rt和Rt中，AB=AE=5连接BD，CE，将绕点A旋转一周，在旋转的过程中当最大时，ACE的面积为（）A6BC9D6（2022福建厦门福建省厦门集美中学校考一模）如图

17、，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴相交于点A、B，点E、F分别是正方形OACD的边OD、AC上的动点，且，过原点O作，垂足为H，连接HA、HB，则面积的最大值为（）AB12CD7（2022山东济南统考一模）正方形ABCD中，AB=4，点E、F分别是CD、BC边上的动点，且始终满足DE=CF，DF、AE相交于点G.以AG为斜边在AG下方作等腰直角AHG使得AHG=90，连接BH则BH的最小值为（） ABCD8（2022安徽蚌埠统考一模）如图，中，P是内部的一个动点，满足，则线段CP长的最小值为（）AB2CD9（2022秋浙江九年级专题练习）如图，在中，点A、点在上，点在上，且，点是的中点

18、，点是劣弧上的动点，则的最小值为 _10（2022秋浙江九年级专题练习）如图所示的平面直角坐标系中，是第一象限内一动点，连接、，则的最小值是 _11（2022秋浙江九年级专题练习）如图，中，为边上一点，则的最小值为_12（2022秋九年级课时练习）在现实生活中，我们经常会看到许多“标准”的矩形，如我们的课本封面、A4的打印纸等，其实这些矩形的长与宽之比都为，我们不妨就把这样的矩形称为“标准矩形”，在“标准矩形”中，如图所示，点在上，且，若为边上一动点，当的周长最小时，则的值为_13（2022广东汕头统考一模）如图，在ABC中，C90，AC8，AB10，D是AC上一点，且CD3，E是BC边上一点

19、，将DCE沿DE折叠，使点C落在点F处，连接BF，则BF的最小值为_14（2022春山东枣庄九年级校考阶段练习）如图，菱形ABCD 的边长为6，ABC120，M是BC边的一个三等分点，P是对角线AC上的动点，当 PBPM 的值最小时，PM的长是_15（2022秋新疆乌鲁木齐九年级乌鲁木齐市第九中学校考期中）如图，在ACE中，CACE，CAE30，半径为5的O经过点C，CE是圆O的切线，且圆的直径AB在线段AE上，设点D是线段AC上任意一点（不含端点），则ODCD的最小值为 _16（2022全国九年级专题练习）如图，已知，外心为，分别以，为腰向形外作等腰直角三角形与，连接，交于点，则的最小值是_

20、17（2022秋江西上饶八年级统考阶段练习）在棋盘中建立如图所示的平面直角坐标系，其中处各有一颗棋子(1)如图1，依次连接A，B，C，A，得到一个等腰三角形（BC为底边），请在图中画出该图形的对称轴(2)如图2，现x轴上有两颗棋子P，Q，且（P在Q的左边），依次连接A，P，Q，B，使得 的长度最短，请在图2中标出棋子P，Q的位置，并写出P，Q的坐标18（2022四川成都四川省成都市七中育才学校校考模拟预测）抛物线分别交x轴于点，交y轴于点C，抛物线的对称轴与x轴相交于点D，点M为线段OC上的动点，点N为线段AC上的动点，且(1)求抛物线的表达式；(2)线段MN，NC在数量上有何关系，请写出你的

21、理由；(3)在M，N移动的过程中，DMMC是否有最小值，如果有，请写出理由19（2022秋辽宁营口九年级校联考期中）如图1，与都是等边三角形，边长分别为4和，连接为高，连接，N为的中点(1)求证：；(2)将绕点A旋转，当点E在上时，如图2，与交于点G，连接，求线段的长；(3)连接，在绕点A旋转过程中，求的最大值20（2022春吉林松原八年级统考期中）教材呈现：下图是华师版八年级下册数学教材第111页的部分内容(1)问题解决：请结合图，写出例1的完整解答过程(2)问题探究：在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB4，BAD2ABC过点D作DE/AC交BC的延长线于点E如图，连结OE，则

22、OE的长为_(3)如图，若点P是对角线BD上的一个动点，连结PC、PE，则PCPE的最小值为_45，ECH90，连接AE(1)如图1，若点E在CB延长线上，连接AH，且AH6，求AE的长；(2)如图2，若点E在AC上，F为AE的中点，连接BF、BH，当BH2BF，EHB+HBF45时，求证：AECE；(3)如图3，若点E在线段AC上运动，取AE的中点F，作FHBC交AB于H，连接BE并延长到D，使得BEDE，连接AD、CD；在线段BC上取一点G，使得CGAF，并连接EG；若点E在线段AC上运动的过程中，当ACD的周长取得最小值时，AED的面积为25，请直接写出GE+BH的值22（2022春重庆

23、开州八年级统考期末）如图，直线经过、两点，直线与直线交于点C，与x轴交于点D(1)求点C的坐标；(2)点P是y轴上一点，当四边形PDCB的周长最小时，求四边形PDCB的面积；(3)把直线沿y轴向上平移9个单位长度，得到新直线与直线交于点E，试探究在x轴上是否存在点Q，在平面内存在点F使得以点D，Q，E，F为顶点的四边形是菱形（含正方形）？若存在，直接写出符合条件的点Q的坐标；若不存在，说明理由23（2022春重庆八年级统考期末）已知，在正方形ABCD中，点E，F分别为AD上的两点，连接BE、CF，并延长交于点G，连接DG，H为CF上一点，连接BH、DH，(1)如图1，若H为CF的中点，且，求线

24、段AB的长；(2)如图2，若，过点B作于点I，求证：；(3)如图2，在（1）的条件下，P为线段AD（包含端点A、D）上一动点，连接CP，过点B作于点Q，将沿BC翻折得，N为直线AB上一动点，连接MN，当面积最大时，直接写出的最小值24（2022秋九年级单元测试）如图，四边形ABCD中，ADBC，B90，AB8，BC20，AD18，点Q为BC中点，动点P在线段AD边上以每秒2个单位的速度由点A向点D运动，设动点P的运动时间为t秒(1)当t为何值时，四边形PBQD是平行四边形，请说明理由?(2)在AD边上是否存在一点R，使得B、Q、R、P四点为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出t的值：若不存在，请说明理由(3)在线段PD上有一点M，且PM10，当点P从点A向右运动_秒时，四边形BCMP的周长最小，其最小值为_