专题33 三角形的四心-2022-2023学年初中数学学科素养能力培优竞赛试题精选专练（解析版）.docx

1、专题33 三角形的四心一、三角形的外心【学霸笔记】1.三角形三边垂直平分线的交点叫三角形的外心。如图，设O是ABC的外心，则：（1）OA=OB=OC.（2）BOC=2BAC；AOC=2ABC；AOB=2ACB.【典例】如图，四边形ABCD为圆内接四边形，对角线AC、BD交于点E，延长DA、CB交于点F，且CAD60，DCDE求证：（1）ABAF；（2）A为BEF的外心（即BEF外接圆的圆心）【解答】证明：（1）ABFADC120ACD120DEC120（60+ADE）60ADE，而F60ACF，因为ACFADE，所以ABFF，所以ABAF（2）四边形ABCD内接于圆，所以ABDACD，又DED

2、C，所以DCEDECAEB，所以ABDAEB，所以ABAEABAF，ABAFAE，即A是三角形BEF的外心【巩固】已知，如图，ABC内接于O，AB是直径，弦CEAB于点F，C是AD的中点，连接BD并延长交EC的延长线于点G，连接AD，分别交CE，BC于点P，Q，求证：点P是ACQ的外心【解答】证明：C是AD的中点，AC=CD，CADABC，AB是O的直径，ACB90CAD+AQC90，又CEAB，ABC+PCQ90，AQCPCQ，在PCQ中，PCPQ，CE直径AB，AC=CE，AE=CD，CADACE在APC中，有PAPC，PAPCPQ，P是ACQ的外心二、三角形的内心【学霸笔记】三角形三条内

3、角平分线的交点叫三角形的内心，如图，设I是ABC的内心，则：（1）I到三角形各边距离相等；（2）【典例】已知ACECDE90，点B在CE上，CACBCD，经A、C、D三点的圆交AB于F（如图）求证：F为CDE的内心【解答】证明：如图，连DF，则由已知，CDFCAB45=12CDE，DF为CDE的平分线，连BD、CF，由CDCB，知FBDCBD45CDB45FDB，得FBFD，即F到B、D和距离相等，F在线段BD的垂直平分线上，从而也在等腰三角形CBD的顶角平分线上，CF是ECD的平分线F是CDE上两条角平分线的交点，就是CDE的内心【巩固】已知M是ABC内一点，且BMC90+12BAC，又直线

4、经过BMC的外接圆的圆心O，试证明：点M是ABC内切圆的圆心【解答】证明：如图，设BAC2，则BMC90+，BOC2BPC2（180BMC）2180（90+）1802，BAC+BOC180，A、B、O、C四点共圆，于是ABCAOC2MPC，MPCMBC，ABC2MBC，即12ABCMBC，BM平分ABC同理可证CM平分ACB，点M是ABC的内心三、三角形的垂心【学霸笔记】三角形三边高所在直线的交点叫三角形的垂心，如图，设H是ABC的垂心，则：（）AHBC,BHAC,CHAB.（2）A,F,H,E；B,D,H,F；C,E,H,D；B，C,E,F；C,A,F,D；A,B,D,E共六组四点共圆。【典

5、例】如图，点H为ABC的垂心，以AB为直径的O1和BCH的外接圆O2相交于点D，延长AD交CH于点P，求证：点P为CH的中点【解答】证明：如图，延长AP交O2于点Q，连接AH，BD，QB，QC，QH因为AB为O1的直径，所以ADBBDQ90（5分）故BQ为O2的直径于是CQBC，BHHQ（10分）又因为点H为ABC的垂心，所以AHBC，BHAC所以AHCQ，ACHQ，四边形ACQH为平行四边形（15分）所以点P为CH的中点（20分）【巩固】如图，已知AB为O的弦，点M为AB的中点，P为O上任意一点，以点P为圆心、2MO为半径作圆交O于C，D两点，AC，BD交于点Q（1）求证：点Q是PAB的垂心

6、；（2）判断点Q是否在P上，并证明你的结论【解答】（1）证明：如图，作O的直径BE，连接OM、PD、DE、EABE为O直径，BAE90，而M为AB的中点，所以OMAB，AEMO，AE2MO而PD2OM，AEPD，DEPEPA，DEAP，又BDE90，即BDDE，所以，BDPA，即点Q在PAB的顶点B到底边PA的垂线上连接PE、PC同理可得ACPB，即点Q在PAB的顶点A到底边PB的垂线上Q是PAB两条高的交点，故Q为PAB的垂心（2）解：点Q在P上理由如下：连接PQPQAB，而AEAB，PQAE又PEAC，即有PEAQ，四边形AQPE为平行四边形PQAEPC2MO故点Q在P上四、三角形的重心【

7、学霸笔记】三角形的三条中线的交点叫三角形的重心。如图，设G是ABC的重心，则：（1）；（2）.【典例】如图，在ABC中，ACB90，AC6cm、BC8cm，点I为ABC的重心，HIBC于点H，求HI的长【解答】解：点I为ABC的重心，BI=23BD，CD=12AC3cmACB90，HIBC，ACBC，HIAC，BIHBDC，HICD=BIBD，HI3=23，HI2cm【巩固】证明：三角形任一顶点至垂心的距离等于外心到它的对边的距离的2倍把条件改写一下：已知AD、BE为ABC的两高线，其交点为H，OM、ON分别为BC、CA的中垂线且交于O须证：AH2OM，BH2ON【解答】证明：方法一：（中位线

8、定理）取AH、BH中点F、G，连接FG，则FGAB，FG=12AB连接MN，则MNFG，MN=12AB故MNFG因FDBC，OMBC，故FDOM，即FHOM从而HFGOMN同理HGFONM于是HFGOMNOMFH=12AN，ONGH=12BH即AH2OM，BH2ON方法二：（中位线定理）连接CH，取CH中点F，连接NF、MF，则NF12AH，同理MF12BH，但BEON（因BE、ON同垂直于BC）故MFON同理NFOM从而OMFN是平行四边形于是OMNF=12AH即AH2OM，BH2ON方法三：（利用相似），连接MN，则MNAB，MN=12AB因ADOM（AD、OM同垂直于BC），BEON故A

9、BHMNO，AHOM=BHON=ABNM=21于是AH20M，BH20N巩固练习1如图，是10个相同的正六边形紧密排列在同一平面上的情形根据图中各点的位置，判断O点是下列哪一个三角形的外心？（）AABDBBCDCACDDADE【解答】答：因为三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，所以我们可以从O点出发，确定点O分别到A，B，C，D，E的距离，只有OAOCOD故选：C2如图，在RtABC中，ACB90，内切圆I切AC、BC于E、F，射线BI、AI交直线EF于点M、N，设SAIBS1，SMINS2，则S1S2的值为（）A32B2C52D3【解答】解：连接IE、IF、IG，IC与EF交于H，设内

10、切圆I的半径为r，C90，它的内切圆I分别与边AC、BC相切于点E、F，四边形CEIF是正方形，HI=12IC=22r，CEF是等腰直角三角形，CEFCFE45，NFBCFE45，MEACEF45，NIBAIMIAB+IBA=12（CAB+CBA）45，MCANIAB，NCBMIBA，NIMBIA，S1S2=（IGIH）2（r22r）22，故选：B3如图，O是ABC的外接圆的圆心，ABC60，BF，CE分别是AC，AB边上的高且交于点H，CE交O于M，D，G分别在边BC，AB上，且BDBH，BGBO，下列结论：ABOHBC；ABBC2BFBH；BMBD；GBD为等边三角形，其中正确结论的序号是

11、（）ABCD【解答】解：延长AO交圆于点N，连接BN，则ABN90，又ACBBNA，ABOBAO，所以ABOHBC因此正确；原式可写成ABBF=2BHBC，ABC60，那么BC2BE，因此BHBE=ABBF，所以本题的结论也是正确的ABNBFC（一组直角，OBAOABFBC）ABBF=ANBC=2OBBC，BDBOBHBG，BMBD连接NC，在三角形ANC中ANCABC60，AN2NC，BE：ECtan30，在直角三角形ANC中，NC：ACtan30，BMAC=NCAC，BMNCBOBD因此该结论也成立在中已经得出了BDBGBOBH，而ABC60，因此三角形BGD是等边三角形本结论也成立因此四

12、个结论都成立，故选：D4三角形的四心是指三角形的重心、外心、内心、垂心三角形的外心是三角形三边的垂直平分线的交点（或三角形外接圆的圆心），三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点（或内切圆的圆心），三角形的垂心是三角形三边上的高所在直线的交点，三角形的重心是三角形三条中线的交点三角形的四心具有丰富的数学知识与内在联系当且仅当三角形是正三角形的时候，重心、垂心、内心、外心四心合一，称作正三角形的中心如图，H是ABC的垂心，AH、BH、CH分别交BC、AC、AB于D、E、F，则H是DEF的（）A内心B外心C重心D垂心【解答】解：H是ABC的垂心，ADBC，CFAB，ADCAFC90，点A，F，D，

13、C四点共圆，FDAFCA，H是ABC的垂心，ADBC，BEAC，ADCBEC90，ADC+BEC180，点H，D，C，E四点共圆，FCAHDE，FDAHDE，即DH平分FDE，同理：FH平分EFD，EH平分FED，点H是DEF的内心，故选：A5已知点I是锐角三角形ABC的内心，A1、B1、C1分别是点I关于边BC，CA，AB的对称点，若点B在A1B1C1的外接圆上，则ABC等于 【解答】解：I是锐角三角形ABC的内心，DBI=12ABC，A1、B1、C1分别是点I关于边BC，CA，AB的对称点，IDA1D=12IA1，BDI90，点B在A1B1C1的外接圆上，IBIA1，ID=12IB，IBD

14、30，ABC60故答案为：606如图，在ABC中，C90，A和B的平分线相交于P点，又PEAB于点E，若BC2，AC3，则AEEB 【解答】解：设RtABC内切圆P的半径为rAB=AC2+BC2=32+22=13AEAMACr3r，BEBNBCr2rABAE+BE（3r）+（2r）52r13=5-2r，即r=5-132AEBE（3r）（2r）（3-5-132）（2-5-132）=13+1213-12=13-14=3故答案为37如图，已知RtABC中，CD是斜边AB上的高，O、O1、O2分别是ABC，ACD、BCD的角平分线的交点，求证：（1）O1OCO2；（2）OCO1O2【解答】解：（1）A

15、DCB，EACO2CB，EAC+ACEO2CB+ACE90，即AEC90，O1OCO2；（2）连接AO1并延长交CD于点E，连接CO1，BO2并延长交CO1于点F，点O1O2分别在ACD和DCB的平分线上，O1CO245，由（1）O1EC90，CEO1E，同理可证O2FCF，OO2E45，O2EEO，CEOO2EO1，CEOO1EO2，COO1O28锐角三角形ABC的外心为O，外接圆半径为R，延长AO，BO，CO，分别与对边BC，CA，AB交于D，E，F；证明：1AD+1BE+1CF=2R【解答】证明：延长AD交O于M，由于AD，BE，CF共点O，ODAD=SOBCSABC，OEBE=SOAC

16、SBAC，OFCF=SOABSCAB，则ODAD+OEBE+OFCF=1而ODAD=R-DM2R-DM=1-R2R-DM=1-RAD，同理有，OEBE=1-RBE，OFCF=1-RCF，代入得，(1-RAD)+(1-RBE)+(1-RCF)=1所以 1AD+1BE+1CF=2R9我们知道，三角形的三条中线一定会交于一点，这一点就叫做三角形的重心重心有很多美妙的性质，如关于线段比，面积比就有一些“漂亮”的结论，利用这些性质可以解决三角形中的若干问题请你利用重心的概念完成如下问题：（1）若O是ABC的重心（如图），连结AO并延长交BC于点D，求证：AOAD=23；（2）若AD是ABC的一条中线（如

17、图），O是AD上一点，且满足AOAD=23，试判断O是ABC的重心吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由【解答】（1）证明：如图所示，连接CO并延长，交AB于点E点O是ABC的重心，CE是ABC的中线，点E是AB的中点DE是ABC的中位线，DEAC，且DE=12ACDEAC，AOCDOE，AOOD=ACDE=2ADAO+OD，AOAD=23；（2）解：点O是ABC的重心理由如下：如图所示，作ABC的中线CE，与AD交于点Q，则点Q为ABC的重心由（1）可知，AQAD=23，而AOAD=23，点Q与点O重合（是同一个点），点O是ABC的重心10如图，ABC中，ABAC，A100，I是内心，BI的延长线交AC于点D，过A、B、D三点作O交BC于E点求证：BCBD+AD【解答】证明：如图，连接DE 在ABC中，A100，ABCC=12（180A）40又I是内心，BI平分ABC，ABDDBC=12ABC20ADB180AABD60在O中，A+BED180，BED180A80BDE180DBCBED80，BEDBDE，BDBE又C40BED80，CDEBEDC40CCDE，CEDE又ABDDBC，AD=DE，ADDE，ADCEBCBE+CEBD+AD