专题33 圆中的重要模型之圆幂定理模型（原卷版）.docx

1、专题33 圆中的重要模型之圆幂定理模型圆幂定理是一个总结性的定理，是对相交弦定理、切割线定理、割线定理、弦切角定理、托勒密定理以及它们推论的统一与归纳。可能是在19世纪由德国数学家施泰纳（Steiner）或者法国数学家普朗克雷（Poncelet）提出的。圆幂定理的用法：可以利用圆幂定理求解与圆有关的线段比例、角度、面积等问题。模型1.相交弦模型条件：在圆O中，弦AB与弦CD交于点E，点E在圆O内。结论：。例1（2023江苏无锡校联考三模）如图，点，在上，若，则的长是 例2（2023山东济宁一模）如图，边长为6的等边三角形ABC内接于O，点D为AC上的动点（点A、C除外），BD的延长线交O于点E

2、，连接CE(1)求证；(2)当时，求CE的长例3（2023江西宜春统考模拟预测）阅读与思考：九年级学生小刚喜欢看书，他在学习了圆后，在家里突然看到某本数学书上居然还有一个相交弦定理（圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等），下面是书上的证明过程，请仔细阅读，并完成相应的任务圆的两条弦相交，这两条弦被交点分成的两条线段的积相等已知：如图1，的两弦相交于点P求证：证明：如图1，连接，（根据），两条弦相交，被交点分成的两条线段的积相等任务：(1)请将上述证明过程补充完整根据：_；：_(2)小刚又看到一道课后习题，如图2，AB是的弦，P是上一点，求的半径模型2.双割线模型条件：如图，割线CH

3、与弦CF交圆O于点E和点G。结论：例1（2023辽宁葫芦岛一模）已知：如图，、是的割线，.则= .例2（2023四川成都九年级校考阶段练习）如图，为的割线，且，交于点C，若，则的半径的长为 例3（2022河南洛阳统考一模）我们知道，直线与圆有三种位置关系：相交、相切、相离当直线与圆有两个公共点（即直线与圆相交）时，这条直线就叫做圆的割线割线也有一些相关的定理比如，割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的距离的积相等下面给出了不完整的定理“证明一”，请补充完整已知：如图，过外一点作的两条割线，一条交于、点，另一条交于、点求证：证明一：连接、，和为所对的圆周角，_又，_，_即

4、研究后发现，如图，如果连接、，即可得到学习过的圆内接四边形那么或许割线定理也可以用圆内接四边形的性质来证明请根据提示，独立完成证明二证明二：连接、，模型3.切割线模型条件：如图，CB是圆O的切线，CA是圆O的割线。结论：例1（2023江苏南通中考模拟）如图，已知是的切线，为切点，与相交于两点，则的长等于（)AB16cmCD例2（2023河南郑州一模）复习巩固，切线：直线和圆只有一个公共点，这时这条直线和圆相切，我们把这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点割线：直线和圆有两个公共点，这时这条直线和圆相交，我们把这条直线叫做圆的割线切线长：过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的

5、切线长阅读材料：几何原本是古希腊数学家欧几里得所著的一部数学著作它是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛地认为是历史上学习数学几何部分最成功的教科书其中第三卷命题362圆幂定理（切割线定理）内容如下：切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项为了说明材料中定理的正确性，需要对其进行证明，下面已经写了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出证明过程已知：如图，A是O外一点， 求证： 例3（2022河南驻马店校考二模）在数学课上，当老师讲到直线与圆的位置关系时，张明同学突发奇想，特殊线与圆在不同的位置情况下会有怎样的数量关系呢？于是在课

6、下他查阅了老师推荐他的几何原本，这本书是古希腊数学家欧几里得所著的一部数学著作它是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛地认为是历史上学习数学几何部分最成功的教科书其中第三卷命题36-2圆幂定理（切割线定理）内容如下：切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长比例中项（比例中项的定义：如果、三个量成连比例即，则叫做和的比例中项）(1)为了说明材料中定理的正确性，需要对其进行证明，下面已经写了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出证明过程已知：如图，是圆外一点，是圆的切线，直线为圆的割线求证： 证明： (2)已知，则的长度是 模型4.弦切角模型

7、条件：如图，CB是圆O的切线，AB是圆O的直径。结论：1）；2）；3）。例1（2023河南三门峡统考二模）小锐同学是一个数学学习爱好者，他在一本数学课外读物上看到一个课本上没有的与圆相关的角-弦切角（弦切角的定义：把顶点在圆上，一边与圆相切，另一边和圆相交的角叫做弦切角），并尝试用所学的知识研究弦切角的有关性质（1）如图，直线与O相切于点，为O上不同于的两点，连接，请你写出图中的两个弦切角_；（不添加新的字母和线段）（2）小锐目测和可能相等，并通过测量的方法验证了他的结论，你能帮小锐用几何推理的方法证明结论的正确性吗？已知：如图，直线与O相切于点，为圆上不同于的两点，连接，求证：（3）如果我们

8、把上述结论称为弦切角定理，请你用一句话概括弦切角定理_例2（2023河南洛阳统考三模）人类会作圆并且真正了解圆的性质是在2000多年前，由我国的墨子给出圆的概念：“圆，一中同长也”意思是说，圆有一个圆心，圆心到圆周的长都相等，这个定义比古希腊数学家欧几里得给圆下的定义要早100多年与圆有关的定理有很多，弦切角定理就是其中之一我们把顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹弧所对的圆周角度数(1)如图1，是的切线点C，D在上求证：；(2)如图2，是的切线连接交于点D，为的直径若，的半径为5，求的长例3（2023四川绵阳九年级统考期中）定义：顶点在圆上

9、，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角如图1，为的切线，点为切点，为内一条弦，即为弦切角(1)古希腊数学家欧几里得的几何原本是一部不朽的数学巨著，全书共13卷，以第1卷的23个定义、5个公设和5个公理作为基本出发点，给出了119个定义和465个命题及证明第三卷中命题32一弦切角定理的内容是：“弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角度数的一半，等于它所夹的弧所对的圆周角度数”如下给出了弦切角定理不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”过程已知：如图2，为的切线，点为切点，为内一条弦，点在上，连接，求证：证明：(2)如图3，为的切线，为切点，点是上一动点，过点作于点，交于，连接

10、，若，求弦的长模型5.托勒密定理模型条件：如图，AB、CD是圆O的两条弦； 结论：例1（2023山西晋中九年级统考期末）阅读以下材料，并完成相应任务：托勒密（Ptolemy）（公元90年公元168年），希腊著名的天文学家，他的著作天文学大成被后人称为“伟大的数学书”，托勒密有时把它叫作数学文集，托勒密从书中摘出并加以完善，得到了著名的托勒密（Ptolemy）定理托勒密定理：圆内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和已知：如图1，四边形内接于求证： 下面是该结论的证明过程：证明：如图2，作，交于点E（依据1） （依据2） 即 任务：（1）上述证明过程中的“依据1”“依据2”分别是指什么

11、？依据1：_依据2：_（2）如图3，四边形内接于，为的直径，点D为的中点，求的长例2（2023江苏盐城九年级统考期中）【旧知再现】圆内接四边形的对角 . 如图，四边形是的内接四边形，若，则 . 【问题创新】圆内接四边形的边会有特殊性质吗？如图，某数学兴趣小组进行深入研究发现：证明：如图，作，交于点.，即（请按他们的思路继续完成证明）【应用迁移】如图，已知等边外接圆，点为 上一点，且，求的长.课后专项训练1（2023山东九年级课时练习）如图AB与圆O相切于A，D是圆O内一点，DB与圆相交于C已知BCDC3，OD2，AB6，则圆的半径为 2（2022秋浙江宁波九年级校考期中）如图，两个同心圆，过大

12、圆上一点A作小圆的割线，交小圆于B、C两点，且图中圆环的面积为，则 4（2023重庆九年级期末）如图，从圆外一点引圆的切线，点为切点，割线交于点、已知，则 4（2023浙江杭州模拟预测）如图，过点引圆的两条割线和，分别交圆于点和，连结，则在下列各比例式中，；，成立的有 （把你认为成立的比例式的序号都填上）5（2023浙江绍兴模拟预测）四边形内接于圆，对角线交点为E，若、都是整数，则的值为 6（2023广东珠海统考一模）如图，为正的外接圆，为劣弧上任一点，的延长线和的延长线交于点(1)求；(2)求证：7（2023广东汕头校考一模）如图，是的直径，点C，D在上，平分，过点D作的垂线交的延长线于点E

13、，交的延长线于点F，连接(1)求证：是的切线；(2)求证：(3)若，求的长8（2023云南昆明统考一模）如图，P是以O为圆心的两个同心圆外一点，过P点的两条直线分别与大圆O交于A、B、C、D四个点，其中一条直线交小圆O于F点，F为线段的中点，垂足为E(1)求证：为小圆O的切线；(2)若，求大圆的半径9（2023广东揭阳统考一模）欧几里德，古希腊著名数学家被称为“几何之父”他最著名的著作几何原本是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛地认为是历史上最成功的教科书他在第三卷中提出这样一个命题：“由已知点作直线切于已知圆”如图1，设点是已知点，圆是已知圆，对于上述命题，我们可以进行如下尺规作

14、图：连接，作线段的中点；以为圆心，以为半径作圆，与圆交于两点和；连接、，则、是圆的切线(1)按照上述作图步骤在图1中补全图形；(2)为了说明上述作图的正确性，需要对其证明，请写出证明“、是圆的切线”的过程；(3)如图2，连接并延长交圆于点，连接，已知，求圆的半径10（2023山东聊城九年级统考期中）顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角如图所示：PA切O于点A，AB是O的一条弦，PAB就是O的一个弦切角经研究发现：弦切角等于它夹弧所对的圆周角根据下面的“已知”和“求证”，写出“证明”过程，并回答后面的问题（1）如图1，PA是O的切线，A为切点，AC为直径，PAB夹弧所对的圆周角

15、为C求证：PABC（2）如图2，PA是O的切线，A为切点，PAB夹弧所对的圆周角为D求证：PABD（3）如图3，AB为半O的直径，O为圆心，C，D为半O上两点，过点C作半O的切线CE交AD的延长线于点E，若CEAD，且BC1，AB3，求DE的长11（2023黑龙江绥化统考中考真题）如图，为O的直径，且，与为圆内的一组平行弦，弦交于点H点A在上，点B在上，(1)求证：(2)求证：(3)在O中，沿弦所在的直线作劣弧的轴对称图形，使其交直径于点G若，求的长12（2022湖南长沙统考中考真题）如图，四边形内接于，对角线，相交于点E，点F在边上，连接(1)求证：；(2)当时，则_；_；_（直接将结果填写

16、在相应的横线上）(3)记四边形，的面积依次为，若满足，试判断，的形状，并说明理由当，时，试用含m，n，p的式子表示13（2023春北京通州九年级统考开学考试）在与圆有关的比例线段探究学习中，某兴趣小组发现有三种不同情况，并完成了情况一的证明请你选择情况二或者情况三中的一种情况进行证明为上的点，直线相交于点证明情况一点P在O内时，连接（如图1）：，即情况二点P在O外时（如图2）：情况三当点A和点B重合时（如图3）14（2023辽宁大连模拟预测）如图1，内接于，点D为圆外上方一点，连接，若(1)求证：是的切线；(2)如图2，连接若，求的半径（注：本题不允许使用弦切角定理）15（2023秋山西吕梁九

17、年级校考期末）阅读与思考：阅读下列材料，并完成相应的任务米勒定理米勒（）是德国的数学家，是欧洲最有影响的数学家之一，米勒发表的三角全书，是使得三角学在欧洲取得独立地位的第一部系统性著作下面是米勒定理（又称切割线定理）的证明过程已知：如图1，与相切于点A，与相交于点B，C求证：证明：如图2，连接为的切线，任务：(1)请完成剩余的证明过程(2)应用：如图3，是的切线，经过的圆心O，且，割线交于点D，E，求的长16（2023江苏九年级专题练习）阅读下列材料，完成相应任务：弗朗索瓦韦达，法国杰出数学家第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂，带来了代数学理论研究的重大进步，在欧洲被尊

18、称为“代数学之父”他还发现从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项（切割线定理）如图1，P是外一点，是的切线，是的一条割线，与的另一个交点为B，则证明：如图2，连接、，过点C作的直径，连接是的切线，即任务：(1)请按照上面证明思路写出该证明的剩余部分(2)如图3，与相切于点A，连接并延长与交于点B、C，连接与的位置关系是 求的长17（2022山西三模）阅读与思考：请阅读下列材料，并完成相应的任务人们在研究圆与直线的位置和数量关系时，发现存在这样一个关系：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点构成的两条线段长的比例中项这个几何关系也叫圆的切割线

19、定理喜欢探究的小明尝试给出了该定理的如下证明：已知：如图1，P为O外一点，切线PA与圆相切于点A，割线PBC与圆相交于点B，C求证： 证明：如图2，连接AB，AC，BO，AOPA切O于点A，即，任务：(1)请帮助小明补充完成以上证明过程(2)如图，割线PDE与圆交于点D，E，且，连接BE，过点C向下作交PE的延长线于点F，求EF的长18（2023河南周口校考三模）阅读与思考学习了圆的相关知识后，某数学兴趣小组的同学们进行了如下探究活动，请仔细阅读，并完成相应任务割线定理如图，A是外一点，过点A作直线分别交于点B，C，D，E，则有 证明：如图，连接（依据：_），_任务：(1)上述阅读材料中处应填

20、的内容是_，处应填的内容是_(2)兴趣小组的同学们继续思考，当直线AE与圆相切时，是否仍有类似的结论请将下列已知、求证补充完整，并给出证明已知：如图，A是外一点，过点A的直线交于点B，C，_求证： _19（2023广东九年级期中）探究问题：(1)阅读理解：如图A，在所在平面上存在一点P，若它到三个顶点的距离之和最小，则称点P为的费马点，此时的值为的费马距离如图B，若四边形的四个顶点在同一个圆上，则有，此为托勒密定理知识迁移：请你利用托勒密定理解决如下问题：如图C，已知点P为等边外接圆的上任意一点求证：；根据（2）的结论，我们有如下探寻（其中均小于）的费马点和费马距离的方法：第一步：如图D，在的

21、外部以为一边作等边及其外接圆；第二步：在上任取一点，连接易知_；第三步：请你根据（1）中定义，在图D中找出的费马点P，则线段_的长度即为的费马距离(2)知识应用：今年以来某市持续干旱，许多村庄出现了人、畜饮水困难的问题，为解决老百姓的饮水问题，解放军某部来到该市某地打井取水已知三村庄A、B、C构成了如图E所示的（其中，均小于），现选取一点P打水井，使从水井P到三村庄A、B、C所铺设的输水管总长度最小，求输水管总长度的最小值20（2023山西临汾九年级统考期末）阅读下列材料，并完成相应任务托勒密，古希腊天问学家、地理学家和光学家，而他在数学方面也有重大贡献，下面就是托勒密发现的一个定理，圆内接四

22、边形的两组对边乘积之和等于两条对角线的乘积下面是该定理的证明过程（部分）已知：如图四边形是的内接四边形；求证： 证明：以C顶点，为一边作交于点E，使得 又 ， 又， ， 即任务：(1)请将“托勒密”定理的证明过程补充完整；(2)当圆内接四边形是矩形时，托勒密定理就是我们非常熟知的一个定理： (3)如图若，试探究线段之间的数量关系，并利用托勒密定理证明这个结论 21（2023湖南岳阳统考二模）请阅读下列材料，解答问题：克罗狄斯托勒密（约90年168年），是希腊数学家，天文学家，地理学家和占星家在数学方面，他还论证了四边形的特性，即有名的托勒密定理托勒密定理：圆的内接四边形的两条对角线的乘积等于两组对边乘积的和如图，正五边形ABCDE内接于，则对角线BD的长为