专题33 旋转综合题中的线段问题(解析版).docx

1、专题33 旋转综合题中的线段问题 【题型演练】一、单选题1（2022山西省运城市实验中学九年级阶段练习）如图，在中，点D，E分别是，上的一点，将沿直线折叠，点A落在处，若四边形是菱形，则的度数为（）ABCD【答案】B【分析】由折叠的性质，可得，由菱形的性质可得，由等腰三角形的性质即可求解【详解】解：将沿直线折叠，点A落在处，四边形是菱形，故选：B【点睛】本题主要考查了折叠的性质、菱形的性质和等腰三角形的性质，解题的关键是利用灵活应用相关性质解题2（2022广东佛山九年级期中）如图，在正方形中，点E，F分别在边上，若将四边形沿折叠，点恰好落在边上，则的长度为（）A1BCD2【答案】D【分析】由正

2、方形的性质得出，由折叠的性质得出，设，则，由直角三角形的性质可得：，解方程求出x即可得出答案【详解】四边形是正方形，将四边形沿折叠，点恰好落在边上，设，则，解得故选：D【点睛】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，含角的直角三角形的性质等知识点，能综合性运用性质进行推理是解此题的关键3（2022安徽怀远县刘圩初级中学九年级期中）如图，在RtABC纸片中，ACB90，AC4，BC3，点D，E分别在BC，AB边上，连接DE，将BDE沿DE翻折，使点B落在点F的位置，连接AF，若四边形BEFD是菱形，则AF的长的最小值为（）ABCD【答案】A【分析】连接BF交ED于点0，设EF与AC交于点G根据菱形的

3、性质可得点F在ABC的平分线上运动，从而得到当AFBF时，AF的长最小再证明BEOBAF，可得，再证明AGEACB，从而得到GF=1，再由勾股定理，即可求解【详解】解：如图，连接BF交ED于点O，设EF与AC交于点G四边形BEFD是菱形，BF平分ABC，点F在ABC的平分线上运动，当AFBF时，AF的长最小在菱形BEFD中，BFED，OB=OF，EFBC，EOAF，BEOBAF，在中，AC=4，BC=3，AB=5，BE=AE=2.5，AFBF，EF=2.5，EFBC，AGEACB，GF=EF-EG=1，AGF=AGE=90，故选：A【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质

4、，菱形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，菱形的性质，准确得到点F在ABC的平分线上运动是解题的关键4（2022全国九年级专题练习）如图，将平行四边形沿对角线折叠，使点A落在E处若，则的度数为()ABCD【答案】C【分析】先根据平行四边形的性质，得出，根据平行线的性质，得出，根据折叠得出，根据三角形内角和得出A的度数即可【详解】解：四边形ABCD为平行四边形，根据折叠可知，故C正确故选：C【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，折叠性质，根据已知条件求出是解题的关键5（2022河北大名县束馆镇束馆中学三模）如图，矩形ABCD沿EF折叠后，若

5、DEF70，则1的度数是（）A70B55C40D35【答案】C【分析】根据矩形的性质可得，根据平行线的性质可得，根据折叠的性质以及平角的定义即可求解【详解】解：四边形是矩形，DEF70，折叠的性质，1故选：C【点睛】本题考查了矩形与折叠问题，平行线的性质，掌握折叠的性质与平行线的性质是解题的关键6（2022广西平果市教研室九年级期末）如图，在中，点D在边上，连接，如果将沿翻折后，点B的对应点为点E，那么点E到直线的距离为（）AB4CD【答案】A【分析】先证是等边三角形，可得，由折叠的性质可得，由直角三角形的性质可求解【详解】解：如图，过点E作于N，又，是等边三角形，将沿翻折后，点B的对应点为点

6、E，即点E到直线的距离为，故A正确故选：A【点睛】本题主要考查了翻折变换，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键7（2022重庆忠县花桥镇初级中学校九年级阶段练习）如图，在中，点D是边上一点（点D不与点B，C重合），将沿翻折，点C的对应点为点E，交于点F，若，则点B到线段的距离为（）ABCD【答案】B【分析】过A作于G，过B作于H，依据等腰三角形的性质，平行线的性质以及折叠的性质，即可得到的长，再根据勾股定理即可得到的长，最后依据面积法即可得出的长，进而得到点B到线段的距离【详解】解：如图，过A作于G，过B作于H， ， ， ， ， 由折叠的性质得：， ，

7、 ， ， ， 中， ， 故选：B【点睛】本题考查了翻折变换的性质、勾股定理的运用，二次根式的除法运算，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等8（2022重庆西南大学附中九年级阶段练习）如图，在中，点D是AB的中点，将沿着CD翻折到的位置，若，则（）AB10C15D【答案】C【分析】设相交于点O，根据直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半可得：，由翻折的性质得，根据平行线的性质可得，利用可得,则，根据勾股定理求出，即可得的值【详解】解：设相交于点O，如图所示：在中，点D是AB的中点，由翻折得，在和中，故选：C【点睛】本题考查翻折变换，直角三角

8、形的斜边中线的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握其相关的性质9（2022全国九年级课时练习）如图，矩形ABCO，点A、C在坐标轴上，点B的坐标为将ABC沿AC翻折，得到ADC，则点D的坐标是（）ABCD【答案】A【分析】如图，过作轴于点，延长交于，由题意知，四边形是矩形，由翻折的性质可知，则，证明，则，即，计算求出、的长，进而可得点坐标【详解】解：如图，过作轴于点，延长交于，由题意知，四边形是矩形，由翻折的性质可知，即，解得，故选A【点睛】本题考查了翻折的性质，矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质解题的关键在于构造、，利用相似的判定与性质求出线段、的长10（

9、2022河南洛阳二模）如图，正方形的边长为4，点F为边的中点，点P是边上不与端点重合的一动点，连接将沿翻折，点A的对应点为点E，则线段长的最小值为（）ABCD【答案】B【分析】先确定线段EF的最小值的临界点，然后结合正方形的性质，折叠的性质，以及勾股定理，即可求出答案【详解】解：连接BF，则EFBFBE，当点B、E、F在同一条直线上时，EF的长度有最小值，如图由翻折的性质，BE=AB=4，在正方形ABCD中，BC=CD=4，C=90，点F为边的中点，CF=2，；故选：B【点睛】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，最短路径问题，解题的关键掌握所学的知识，正确找出线段最小值的临界点，从而

10、进行解题11（2022吉林长春力旺实验初级中学九年级阶段练习）在如图所示的纸片中，D是斜边AB的中点，把纸片沿着CD折叠，点B到点E的位置，连接AE若，则等于（）ABCD【答案】B【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可知CD=BD=AD，根据折叠的性质可知B=DCB=DCE=EDC=，根据平行线的性质，可得出AED=EDC，根据等边对等角即可求得EAD的度数，最后=EAD-CAD即可求出【详解】D是斜边AB的中点，ABC为直角三角形，CD=BD=AD，CDE由CDB沿CD折叠得到，CDECDB，则CD=BD=AD=ED，B=DCB=DCE=DEC=，EDC=180-2，AED=E

11、DC=180-2，ED=AD，EAD=AED=180-2，B=，ABC为直角三角形，CAD=90-，=EAD-CAD=180-2-（90-）=90-，故选：B【点睛】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，折叠的性质，等腰三角形的性质以及直角三角形两个锐角互余，熟练地掌握相关知识是解题的关键12（2022全国九年级期中）如图，四边形是边长为的正方形纸片，为边上的点，将纸片沿某条直线折叠，使点落在点处，点的对应点为，折痕分别与，边交于点、，则的长是（）ABCD【答案】B【分析】连接BM，依据MN垂直平分，即可得到，设AMx，则DM9x，依据勾股定理可得方程92x262（9x）2，即可

12、得到AM的长【详解】解：如图，连接BM，由折叠可得，B，关于MN对称，即MN垂直平分，设AMx，则DM9x，RtABM中，BM292x2，中，92x262（9x）2，解得x2，AM2，故B正确故选：B【点睛】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理以及轴对称的性质的运用，解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案13（2022山西九年级专题练习）如图，在ABC中，ABAC，C45，AB5，BC4，点D在AC上运动，连接BD，把BCD沿BD折叠得到，交AC于点E，则图中阴影部分的面积是（）ABCD

13、【答案】D【分析】作AFBC，利用等腰直角三角形和勾股定理求出AC，再利用ABEACB求出AE，从而利用求出DE和CD，作BGAC，求出BG，即可求解【详解】解：如图，过点A作AFBC于点F，AFBAFC90，C45，AFCF，ACCF，AB5，BC4，BFBCCF4CF，在RtABF中，AB2BF2+AF2，即52（4CF）2+CF2，解得：CF或，ABAC，AFCF，ACCF7，BCD沿BD折叠得到BCD，CDAB，ABEC45，ABCABE+CBE45+CBE，ABEC+CBE45+CBE，ABCABE，ABCAEB，即，AE，CEACAE，CDCDCEDEDE，CDAB，即 ，解得：D

14、E，SABCAFBC414，如图，过点B作BGAC于点G，SABCACBG，147BG，BG4，S阴影部分DEBG4故选：D【点睛】本题考查图形折叠的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，三角形的面积，解题的关键是正确作出辅助线，依次求出AF，AC，DE，BG二、填空题14（2022山东济南九年级期中）如图，在矩形中，点E在上，将矩形沿折叠，点D恰好落在边上的点F处，则的值为 _【答案】#【分析】先根据矩形的性质得，再根据折叠的性质得，在中，利用勾股定理计算出，则，设，则，然后在中根据勾股定理得到，解方程即可得到x，进一步得到的长，再根据正弦函数的定义即可求解【详解】解：四边形为矩形，矩形沿

15、直线折叠，顶点D恰好落在边上的F处，在中，设，则，在中，解得，故答案为：【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，矩形的性质，轴对称的性质，锐角三角函数的应用，熟练的掌握轴对称的性质结合方程思想解题是关键15（2022重庆一中九年级开学考试）如图，在三角形中，点、点分别为线段、上的点，连接将沿折叠，使点A落在的延长线上的点处，此时恰好有，则的长度为 _【答案】【分析】过点作于点，由勾股定理得出，设，利用含30度角的直角三角形的性质得出，利用折叠的性质得出，再由相似三角形的判定和性质及图中线段间的数量关系求解即可【详解】解：过点作于点，设，由折叠得：，解得：，故答案为：【点睛】题目主要考查勾股定理解三

16、角形，相似三角形的判定和性质，折叠的性质，含30度角的直角三角形的性质等，理解题意，综合运用这些知识点并结合图形求解是解题关键16（2022广东丰顺县建桥中学九年级阶段练习）如图，已知在菱形中，点是上的一个动点，过点作交于点，交于点，将沿折叠，使点落在点处，当是直角三角形时，的长为_【答案】或【分析】分两种情形当与O重合时，是直角三角形，此时当时，是直角三角形，此时，列出方程即可解决问题【详解】解：如图，连接交于O四边形是菱形，是由翻折得到，当与O重合时，是直角三角形，此时当时，是直角三角形，此时，综上所述，满足条件的的长为或【点睛】本题考查翻折变换、菱形的性质、锐角三角函数等知识，解题的关键

17、是学会用分类讨论的思想思考问题，是由中考填空题中的压轴题三、解答题17（2022山西省运城市实验中学九年级阶段练习）综合与实践问题情境：如图1，在中，点D是的中点，连接，将沿直线折叠，点B落在点E处，连接独立思考：(1)在图1中，若，则的长为_；实践探究：(2)在图1中，请你判断与的位置关系，并说明理由；问题解决：(3)如图2，在中，点D是的中点，连接，将沿直线折叠，点B落在点E处，连接请判断四边形的形状，并说明理由【答案】(1)(2)，理由见解析(3)四边形是菱形，理由见解析【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到的长，再根据勾股定理即可求解；（2）根据折叠的性质以及等

18、腰三角形等边对等角可得，结合三角形的内角和即可得出结论；（3）先根据有一组对边平行且相等 的四边形是平行四边形，证明四边形为平行四边形，再根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形即可得出结论【详解】（1）解：在中，点D是的中点，根据勾股定理可得：，故答案为：（2）理由如下：方法一：，设，则，由折叠可得：，方法二：，设，则，由折叠可得：，（3）四边形CDAE是菱形方法一：，是等边三角形，由折叠可得：，四边形是平行四边形，四边形是菱形方法二：，是等边三角形，由折叠可知：，四边形是平行四边形，四边形是菱形【点睛】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线，折叠的性质，等腰三角形的性质，以及平行线的判定和菱形的

19、判定；解题的关键是熟练掌握各个知识点，明确折叠前后对应边对应角相等，等腰三角形等边对等角，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，以及平行线的判定定理和菱形的判定定理18（2022四川成都西川中学九年级阶段练习）如图1，在正方形中，分别为，的中点，连接，交点为(1)求证：；(2)将沿对折，得到（如图，延长交的延长线于点，求的值【答案】(1)证明过程见详解(2)【分析】（1）运用，再利用角的关系求得求证；（2）沿对折，得到，利用角的关系求出，解出，求解【详解】（1）证明：，分别是正方形边，的中点，在和中，又，（2）解：根据题意得，令，点是的中点，则，在中，设，则，【点睛】本题主要考查正方形的性质，

20、勾股定理，锐角三角函数的计算，解题的关键是掌握正方形的性质，全等三角形的判断，解直角三角形的综合应用19（2022河南郑州外国语中学九年级期中）如图，在四边形纸片中，将纸片沿过点D的直线折叠，使点C落在上的点处，折痕交于点E，连接(1)请确定四边形的形状，并说明理由；(2)若，过点作于F，连接交于点M，连接：四边形的面积为_；=_【答案】(1)四边形是菱形，理由见解析(2)2；【分析】（1）依题意，又，则，则，则，则四边相等，可得四边形CDCE是菱形；（2）过点D作，根据菱形的性质以及含30度的直角三角形性质即可得出，进而求出菱形的面积；根据菱形的性质得出，根据勾股定理得出，然后可知，根据勾股

21、定理可得，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，进而可得【详解】（1）四边形是菱形理由如下：根据折叠的性质，可得：，四边形为菱形（2）过点D作，四边形为菱形，菱形的面积为，故答案为：2四边形是菱形， ， ，故答案为：【点睛】本题考查菱形的判定与性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线，折叠的性质，正确理解题意是解题的关键20（2022广东丰顺县北斗镇千顷中学九年级阶段练习）如图，在菱形 中，将菱形折叠，使点 恰好落在对角线 上的点 处（不与 ， 重合），折痕为 ，若 ，则 的长为_【答案】#【分析】过点作于， 根据菱形的性质可证明是等边三角形，进而可得到，设，利用勾股定理求解即可【详解】解

22、：过点作于，则由折叠性质得，在菱形 中，,，是等边三角形，即，设，则，在中，由得，解得，【点睛】本题考查了菱形的性质、折叠性质、等边三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键21（2022全国九年级专题练习）如图，四边形ABCD中，(1)求ABC的度数；(2)把BCD沿BC翻折得到BCE，过点A作，垂足为F，求证：；(3)在（2）的条件下，连接DE，若四边形ABCD的面积为45，求DE的长【答案】(1)(2)见解析(3)12【分析】（1）以点A为圆心，AC为半径作圆A，根据题意得，即可得点B在圆A上，根据圆的性质得，则是等腰直角三角形，

23、即可得；（2）过点A作交BD于点G，则，由等腰直角三角形的性质得，由折叠的性质得，设，则，根据得，即可得，利用AAS可证，即，即可得；（3）作交于点M，交于点N，延长BC交DE于点H，则，根据题意运用勾股定理即可得，即可得三角形ABC的面积，即可得CN的长度，在中，根据勾股定理即可得AN的长度，用AAS证明，即可得，即可得三角形BCD的面积为，可得，即可得【详解】（1）解：如图所示，以点A为圆心，AC为半径作圆A，点B在圆A上，是等腰直角三角形，；（2）证明：如图所示，过点A作交BD于点G，则，由（1）得，由折叠的性质得，设，则，在和，（AAS），；（3）解：如图所示，作交于点M，交于点N，延

24、长BC交DE于点H，则，是等腰直角三角形，四边形ABCD的面积为45，在中，根据勾股定理得，在和中，（AAS），即，即【点睛】本题考查了翻折的性质，圆的性质，圆周角定理，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形面积问题，勾股定理，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的判定与性质和翻折的性质，本题综合性强22（2022湖北武汉市新洲区阳逻街第一初级中学三模）（1）如图，在正方形中，是上一动点，将正方形沿着折叠，点落在点处，连接，并延长交于点求证：；（2）在（1）的条件下，如图，延长交边于点若，求的值；（3）如图，四边形为矩形，同样沿着折叠，连接，延长分别交于两点，若，则的值为_（直接

25、写出结果）【答案】（1）见解析；（2）；（3）【分析】根据证明三角形全等即可；如图中，连接根据，求出即可解决问题；如图中，连接由，可以设，根据相似三角形的判定和性质可得，则，利用勾股定理构建方程求解即可【详解】证明：如图中，是由折叠得到，四边形是正方形，在和中，；解：如图中，连接，由折叠可知，四边形是正方形，设，则，设，由折叠可知，或舍弃，；解：如图中，连接由，设，由知，由折叠可知， ，或舍弃，【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决

26、问题，属于中考压轴题23（2022浙江宁波外国语学校九年级阶段练习）已知一个直角三角形纸片，其中，点、分别是、边上的一动点，连接，将纸片的一角沿折叠(1)若折叠后点落在边上的点处（如图，且，求的长；(2)若，折叠后点的对应点为点（如图，连结若点恰好在边上（如图，求的长求的最小值【答案】(1)(2)，【分析】（1）由折叠的性质得出，得出，由已知得出，证明，得出，即可求出的长；（2）如图3中，漏解交于点证明四边形是菱形，求出菱形的边长，再利用相似三角形的性质求解即可；由可知，四边形是菱形，推出，推出点的运动轨迹是的角平分线，推出当时，的值最小【详解】（1）如图1中，的一角沿折叠，折叠后点落在边上的

27、点处，在中，即，；（2）如图3中，连接交于点，四边形是菱形，设，则，；如图，由中图形可知，四边形是菱形，点的运动轨迹是的角平分线，当时，的值最小，此时【点睛】本题是四边形综合题，考查了折叠的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、菱形的判定和性质等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形相似和运用勾股定理得出方程是解决问题的关键，属于中考常考题型24（2022吉林长春市第一八学校九年级期中）教材呈现如图是华师版九年级上册数学教材第103页的部分内容例2 如图，在中，是斜边上的中线求证： 证明：延长至点E，使，连接(1)请根据教材提示，结合图1，写出完整的证明过程(2)结论应用如图2，直角三角

28、形纸片中，点D是边上的中点，连接，将沿折叠，点A落在点E处，此时恰好有若，那么 (3)如图3，在中，是边上的高线，是边上的中线，G是的中点，若，则 【答案】(1)见解析(2)(3)【分析】（1）如图1中，延长到E，使，连接、，证得四边形是矩形，根据矩形的性质即可证得结论；（2）如图2中，设交于点O证明，求出，证明，可得结论；（3）连接，证明，利用等腰三角形的三线合一的性质证明，利用勾股定理求出，可得结论【详解】（1）证明：延长到E，使，连接，则是斜边上的中线，四边形是平行四边形，平行四边形是矩形，；（2）解：如图2中，设交于点O，由翻折的性质可知，故答案为：；（3）解：如图3中，连接，故答案为

29、：【点睛】本题属于三角形综合题，考查了矩形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用直角三角形斜边中线等于斜边一半，解决问题25（2020新疆师范大学附属中学九年级期中）在平行四边形中，已知，将沿翻折至，连接交边于点O(1)如图，若，求的度数；(2)若，当的长为多少时，四边形是矩形设，求y与x的关系式，并写出自变量x的取值范围【答案】(1)ACB=45；(2)当BC=4时，四边形是矩形；【分析】（1）由题意及平行四边形的性质可得ACB=ACB=CBD=ABDABC=ABDB=7530=45；（2）由四边形是矩形可得BAC=90或

30、BCA=90，再根据直角三角形的性质和勾股定理可以得到BC的值；分别过A、O作BC的垂线，垂足为E和F，然后根据勾股定理和矩形的性质可以得到y与x的关系式【详解】（1）ABC沿AC翻折至ABC，ABCABC，ACB=ACB，BC=BC，四边形ABCD是平行四边形，AD=BC，AD/BC，BC=AD，ACB=CADACB=CAD=，AO=COBO=DOCBD=BDA=（180-BOD），AOC=BOD，ACB=CBD，ACB=CBD=ABDABC=ABDB=7530=45；（2）若四边形是矩形，如图，BAC=BAC=90，在RTABC中，设BC=x，则AC=，由勾股定理可得：即，解之可得x=4或

31、-4（不符题意，舍去），即BC=4；如图，分别过A、O作BC的垂线，垂足为E和F，四边形OAEF是矩形，OA=EF，则在RTOFC中，OC=y，OF=AE=，由折叠得ACB=ACO，由平行四边形得ADBC，则OAC=ACB，OAC=OCA，OA=OC=y，FC=BC-BE-EF=x-3-y，由勾股定理可得：，整理可得：，连接交边于点O，【点睛】本题考查四边形的综合应用，熟练掌握三角形的性质、轴对称的性质、勾股定理的应用、矩形的性质和平行四边形的性质是解题关键26（2022黑龙江齐齐哈尔市铁锋区教师进修学校九年级期中）综合与实践“综合与实践”是以问题为中心，以活动为平台，以解决某一实际的数学问题

32、为目标，综合应用知识和方法解决问题，它是对数学知识的延伸和发展，是对理解、运用数学基础知识和基本技能的升华过程.请同学们运用你所学的数学知识来研究和解决以下问题吧.动手操作第一步：在图1中，测得三角形纸片中，第二步：将图1中的纸片折叠，使点落在边上的点处，然后展平，得到折痕，连结、，如图2解决问题请根据图2完成下列问题(1)_（请正确选择“”、“=”、“”中的一个填空）；(2)试判断的形状，并给予证明拓展探究(3)将图2中的纸片剪下来，在内选一点，连结、，如图3将绕点顺时针旋转得到，连结，请你直接写出线段的长；将中的绕点顺时针旋转的过程中，请你直接写出线段长的取值范围【答案】(1)=(2)等边

33、三角形，证明见解析(3)；【分析】（1）由折叠的性质可求解；（2）由等边三角形的判定可求解；（3）连接，延长交与，由等腰直角三角形的性质可求，由旋转的性质可得，可证是的垂直平分线，可得，由勾股定理和等腰直角三角形的性质可求解；当点在线段上时，有最小值为，当点在线段的延长线上时，有最大值为，即可求解【详解】（1）解：将纸片折叠，故答案为：；（2）解：是等边三角形理由为：由折叠可知，又，是等边三角形（3）解：如图3，连接，延长交与，绕点顺时针旋转得到，是等边三角形，又，是的垂直平分线，；将中的绕点顺时针旋转，点在以为圆心，为半径的圆上，当点在线段上时，有最小值为，当点在线段的延长线上时，有最大值为【点睛】本题是几何变换综合题，考查了折叠的性质，旋转的性质，等边三角形的性质，线段垂直平分线的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键