专题35 运用错位相减法求和（教师版）.docx

1、专题35 运用错位相减法求和 用错位相减法求和应注意的问题：(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“SnqSn”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.一、题型选讲例1、【2020年高考全国卷理数】设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项（1）求的公比；（2）若，求数列的前项和【解析】（1）设的公比为，由题设得 即.所以 解得（舍去），.故的公比为.（2）设为的前n项和.由（1）及题设可得，.所以，.可得 所以.例2、【202

2、0年高考全国III卷理数】设数列an满足a1=3，（1）计算a2，a3，猜想an的通项公式并加以证明；（2）求数列2nan的前n项和Sn【解析】（1） 猜想 由已知可得，.因为，所以（2）由（1）得，所以. 从而. 得，所以 例3、（2020届山东省烟台市高三上期末）已知数列的前项和满足，且.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【解析】（1）因为,所以,两式相减得,整理得, 即,所以为常数列,所以, 所以 （2）由（1）,所以 两式相减得：， ， 化简得例4、（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）已知等比数列满足成等差数列，且；等差数列的前n项和.求：（1）；（2）数列的前项

3、和.【解析】（1）设的公比为q.因为成等差数列，所以，即.因为，所以.因为，所以.因此.由题意，.所以，从而.所以的公差.所以.（2）令，则.因此.又两式相减得.所以.例5、（2020届山东省潍坊市高三上学期统考）设数列的前项和为，且，在正项等比数列中， （1）求和的通项公式；（2）设，求数列的前项和【解析】（1）当时，当时，=，所以所以，于是，解得或（舍）所以=（2）由以上结论可得，所以其前n项和= = -得，=所以=例6、【2018年高考浙江卷】已知等比数列an的公比q1，且a3+a4+a5=28，a4+2是a3，a5的等差中项数列bn满足b1=1，数列（bn+1bn）an的前n项和为2n

4、2+n（1）求q的值；（2）求数列bn的通项公式【解析】（1）由是的等差中项得，所以，解得.由得，因为，所以.（2）设，数列前n项和为.由解得.由（1）可知，所以，故， .设，所以，因此，又，所以.例7、【江苏省如皋市2019-2020学年度高三年级第一学期教学质量调研（三)】在公差不为零的等差数列中，成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）设，求.【答案】（1）； （2）.【解析】（1）设等差数列的公差为，由，成等比数列得：，解得或（舍去），所以数列的通项公式.（2）由（1）得，所以，所以， ， -得：，所以.二、达标训练1、（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）设等差数列的前项和为，且

5、，.（）求数列的通项公式；（）设，求数列的前项和.【解析】（）设等差数列的公差为，则，解得.所以.（）因此.所以，相减得.故：.2、【2020届山西省太原市第五中学高三下学期4月模拟】已知数列an是等比数列，a2=4，a3+2是a2和a4的等差中项.（1）求数列an的通项公式；（2）设bn=2log2an1，求数列anbn的前n项和Tn.【答案】（1）an=2n；（2）Tn=6+2n32n+1.【解析】（1）设数列an的公比为q，因为a2=4，所以a3=4q，a4=4q2.因为a3+2是a2和a4的等差中项，所以2a3+2=a2+a4.即24q+2=4+4q2，化简得q22q=0.因为公比q0

6、，所以q=2.所以an=a2qn2=42n2=2nnN；（2）因为an=2n，所以bn=2log2an1=2n1，所以anbn=2n12n.则Tn=12+322+523+2n32n1+2n12n，2Tn=122+323+524+2n32n+2n12n+1，得，Tn=2+222+223+22n2n12n+1=2+2412n1122n12n+1=62n32n+1，所以Tn=6+2n32n+1.3、【云南师范大学附属中学2019-2020学年高三适应性月考（八）】已知数列an的前n项和为Sn，且2Sn=3an3（n1，nN），数列bn满足bn+1=3bn+an，b1=3.（1）求数列的通项公式an；

7、（2）令cn=bn3n，证明：数列cn为等差数列，并求数列cnan+1的前n项和Tn.【解析】解：（1）当n=1时，有2a1=3a13，解得a1=3.当n2时，由2Sn=3an3，得2Sn1=3an13，所以2an=3an33an1+3，即an=3an1n2，anan1=3n2，an为等比数列，故an=33n1=3n(nN).（2）由（1）得bn+1=3bn+3n，bn+13n+1=bn3n+13，即cn+1=cn+13.又c1=b13=1，数列cn是以1为首项，13为公差的等差数列，故cn=13(n+2)，又an+1=3n+1，所以cnan+1=13(n+2)3n+1=(n+2)3nTn=3

8、31+432+533+(n+2)3n3Tn=332+433+534+(n+1)3n+(n+2)3n+12Tn=9+(32+33+34+3n)(n+2)3n+1=9+9(13n1)13(n+2)3n+1Tn=12n+343n+1944、（江苏省徐州市2021届高三第一学期期中考试）设为数列的前n项和，满足且，成等差数列（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n项和【解析】（1）当时，即，3分由，成等差数列可知，即，解得，所以，则是以为首项，为公比的等比数列，所以的通项公式为6分（2）由（1）知，则，两式相减得，10分所以12分5、（湖北师大附中2021届高三上学期名校联考）数列an 满足 a1 +2a2 +3a3 + nan = (n -1) 2n+1+ 2( nl) ,（1）求数列an的通项公式 ；（2）设为数列bn的前n项和，求Sn.【解析】：(1)由题意，由， 得， ，得，所以又因为当时，上式也成立，所以数列的通项公式为. 6分（没有讨论的情况扣1分）(2)由题意，所以， ， ，得所以从而. 12分