专题35 锐角三角函数与圆综合（解析版）.docx

1、专题35 锐角三角函数与圆综合（解析版）第一部分 典例剖析+针对训练类型一 利用垂径定理构造直角三角形典例1（2022三水区一模）如图，已知RtABC中，BAC90，BC6，AC42，以A为圆心，AB为半径画圆，与边BC交于另一点D（1）求BD的长；（2）连接AD，求DAC的余弦值思路引领：（1）过点A作AHBD于H，利用面积法求出AH，再利用勾股定理求出BH，由垂径定理即可解决问题；（2）过点D作DMAC于M，利用面积法求出DM，再由勾股定理求出AM即可解决问题解：（1）过点A作AHBD于H，如图1所示：RtABC，BAC90，BC6，AC42，AB=BC2AC2=62(42)2=2，12A

2、BAC=12BCAH，AH=ABACBC=2426=432，BH=AB2AH2=22(432)2=23，AHBD，BHHD=23，BD=43；（2）过点D作DMAC于M，如图2所示：由（1）得：AH=432，BD=43，AB2，ADAB2，CDBCBD643=143，12AHCD=12DMAC，DM=AHCDAC=43214342=149，在RtADM中，由勾股定理得：AM=AD2DM2=22(149)2=892，cosDAC=AMAD=8922=492总结提升：本题考查了勾股定理、解直角三角形、垂径定理等知识，解题的关键是学会利用面积法解决问题，属于中考常考题型针对训练1（2021秋湖州期末

3、）如图，在RtABC中，ACB90，AC4，tanA=34以点C为圆心，CB长为半径的圆交AB于点D，则AD的长是（）A1B75C32D2思路引领：根据已知易求BC，AB的长，进而可以求出直角三角形斜边上的高，所以想到过点C作CEAB，垂足为E，利用等面积法求出CE，然后放在RtBCE中，利用勾股定理求出BE，再利用垂径定理求出BD，最后求出AD即可解：过点C作CEAB，垂足为E，在RtABC中，ACB90，AC4，tanA=34，BCAC=34，BC3，AB=AC2+BC2=32+42=5，ABC的面积=12ABCE=12ACBC，5CE12，CE=125，在RtBCE中，BE=BC2CE2

4、=32(125)2=95，CEBD，BD2BE=185，ADABBD5185=75，故选：B总结提升：本题考查了解直角三角形，垂径定理，根据题目的已知条件添加辅助线是解题的关键2（2022秋鄞州区期末）如图，O是ABC的外接圆，点D在BC延长线上，且满足CADB（1）求证：AD是O的切线；（2）若AC是BAD的平分线，sinB=35，BC4，求O的半径思路引领：（1）连接OA，OC与AB相交于点E，如图，由OAOC，可得OACOCA，根据圆周角定理可得B=12AOC，由已知CADB，可得AOC2CAD，根据三角形内角和定理可得OCA+CAO+AOC180，等量代换可得CAO+CAD90，即可得

5、出答案；（2）根据角平分线的定义可得BACDAC，由已知可得BACB，根据垂径定理可得，OCAB，BEAE，在RtBEC中，根据正弦定理可得sinB=CEBC=CE4=35，即可算出CE的长度，根据勾股定理可算出BE=BC2CE2的长度，设O的半径为r，则CEOCCEr125，在RtAOE中，OA2OE2+AE2，代入计算即可得出答案证明：（1）连接OA，OC与AB相交于点E，如图，OAOC，OACOCA，AC=AC，B=12AOC，CADB，AOC2CAD，OCA+CAO+AOC180，2CAO+2CAD180，CAO+CAD90，OAD90，OA是O的半径，AD是O的切线；解：（2）AC是

6、BAD的平分线，BACDAC，CADB，BACB，OCAB，BEAE，在RtBEC中，BC4，sinB=CEBC=CE4=35，CE=125，BE=BC2CE2=42(125)2=165，设O的半径为r，则CEOCCEr125，在RtAOE中，OA2OE2+AE2，r2（r125）2+(165)2，解得：r=103总结提升：本题主要考查了切线的性质与判定，垂径定理及解直角三角形，熟练掌握切线的性质与判定，垂径定理及解直角三角形的方法进行求解是解决本题的关键类型二 利用直径所对的圆周角是直角构造直角三角形典例2（2022通辽）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格点上，以AB

7、为直径的圆经过点C，D，则cosADC的值为（）A21313B31313C23D53思路引领：由格点构造直角三角形，由直角三角形的边角关系以及圆周角定理可得答案解：AB为直径，ACB90，又点A，B，C都在格点上，ADCABC，在RtABC中，cosABC=BCAB=332+22=31313=cosADC，故选：B总结提升：本题考查圆周角定理，直角三角形的边角关系，掌握圆周角定理以及直角三角形的边角关系是正确解答的前提针对训练1（2021东海县模拟）如图，某广场上有一块半径125米的圆形绿化空地O，城市管理部门规划在这块空地边缘顺次选择四点：A，B，C，D，建成一个从ABCDA的四边形循环健身

8、步道（步道宽度忽略不计）若A90，B53.2，AB200米（1）求步道AD的长；（2）求步道围成的四边形ABCD的面积（参考数据：sin53.20.80，cos53.20.60）思路引领：（1）根据90的圆周角所对的弦是直径可得BD是O的直径，根据勾股定理即可求解；（2）过点A作AEBC于点E，过点D作DFAE于点F，解直角三角形求出AE、BE、AF、DF的长，证出四边形CDFE是矩形，即可求得四边形ABCD的面积解：（1）连接BD，A90，BD是O的直径，BD1252250（米），AB200米，AD=BD2AB2=25022002=150（米），答：步道AD的长是150米；（2）过点A作AE

9、BC于点E，过点D作DFAE于点F，在RtABE中，B53.2，AB200米，AEABsin 53.22000.80160（米），BEABcos 53.22000.60120（米），BAE+ABEBAE+DAF90，DAFABE53.2，在RtADF 中，DFADsin 53.21500.80120（米），AF90（米），EFAEAF70（米），AEBC，DFAE，BCD90，四边形CDFE是矩形，四边形ABCD的面积为：12120160+12070+121209023400（平方米）答：步道围成的四边形ABCD的面积是23400平方米总结提升：此题主要考查了解直角三角形的应用，以及圆周角定理

10、，勾股定理的应用，关键是掌握半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径类型三 利用圆周角定理把角转化到直角三角形中典例3 （2021春中原区校级月考）如图，D是ABC的BC边上一点，连接AD，作ABD的外接圆，将ADC沿直线AD折叠，点C的对应点E落在圆O上（1）求证：AEAB；（2）填空：当CAD 时，四边形OBED是菱形当CAB90，cosADB=13，BE2时，BC 思路引领：（1）利用折叠的性质得出ACAE，CAED，再判断出CABC，得出ABAC，即可得出结论；（2）先判断出AOD是等边三角形，得出ADO60，进而求出ADE120，再求出CABCDAC30；先求出E

11、F1，再判断出AEBADB，利用锐角三角函数求出AE，进而求出AB，即可得出结论（1）证明：由折叠知，ACAE，CAED，ABCAED，CABC，ABAC，AEAB；（2）解：如图，四边形AOED是菱形，DEOAAD，连接OD，OAOD，ADOAOD，AOD是等边三角形，ADO60，同理：ODE60，ADEADO+ODE120，由折叠知，CDDE，ADCADE，ADC120，ADDE，CDAD，CADC=12（180ADC）30，故答案为：30如图，过点A作AFBE于F，由（1）知，AEAB，EF=12BE1，ADBAEB，cosADB=13，cosAEB=13，在RtAFE中，cosAEB=

12、13，AE3EF3，由（1）知，AEAB，AB3，由（1）知，ABAC，CAB90，BC=2AB32，故答案为：32总结提升：此题是圆的综合题，主要考查了折叠的性质，圆周角定理，锐角三角函数，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，求出ADC是解本题的关键针对训练1（2019临河区一模）如图，已知AB是O的直径，点C，D在O上，且AB6，BC3，则tanADC的值为思路引领：先利用圆周角定理得到ACB90，再利用勾股定理计算出AC33，利用正且的定义得到tanABC=3，然后根据圆周角定理得到ADCABC，从而得到tanADC的值解：AB是O的直径，ACB90，在RtACB中，AC=AB2BC2=

13、6232=33，tanABC=ACBC=333=3，ADCABC，tanADC=3故答案为3总结提升：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90的圆周角所对的弦是直径也考查了解直角三角形2（2019春西陵区期中）如图，已知AD是O的直径，弦BD弦BC，经过点B作O的切线交AD的延长线于点E（1）求证：EBDCAB；（2）若BC=3，AC5，求sinCBA思路引领：（1）连接OB，根据切线的性质得出OBD+EBD90，由圆周角定理得出CABBAD，ABO+OBD90，即可证得EBDABO，根据等腰三

14、角形的性质即可证得OABOBA，从而证得结论；（2）连接CD，交OB于M，根据垂径定理得出OBCD，CMDM，然后根据三角形中位线定理求得OM=52，然后G根据勾股定理得出r2（52）2（3）2（r52）2，解得r3，解直角三角形求得sinADC=ACAD=56，根据圆周角定理CBAADC，即可求得sinCBA=56（1）证明：连接OB，BE是O的切线，OBBE，OBD+EBD90，AD是O的直径，ABD90，ABO+OBD90，EBDABO，OAOB，OABOBA，OABEBD，弦BD弦BC，BC=BD，CABBAD，EBDCAB；（2）解：连接CD，交OB于M，BC=BD，OBCD，CMD

15、M，OAOD，OM=12AC=52，设圆的半径为r，BMr52，BDBC=3，OD2OM2BD2BM2，r2（52）2（3）2（r52）2，解得r3或r=12（舍去），AD2r6，AD是O的直径，ACD90，sinADC=ACAD=56，CBAADC，sinCBA=56总结提升：本题考查了切线的性质，垂径定理，圆周角定理，熟练掌握性质定理是解题的关键类型四 利用切线与相关半径的关系构造直角三角形典例4（2022通辽）如图，在RtAOB中，AOB90，以O为圆心，OB的长为半径的圆交边AB于点D，点C在边OA上且CDAC，延长CD交OB的延长线于点E（1）求证：CD是圆的切线；（2）已知sinO

16、CD=45，AB45，求AC长度及阴影部分面积思路引领：（1）根据等腰三角形的性质，直角三角形的两锐角互余以及等量代换得出ODB+BDE90，即ODEC，进而得出EC是切线；（2）根据直角三角形的边角关系可求出OD、CD、AC、OC，再根据相似三角形的性质可求出EC，根据S阴影部分SCOES扇形进行计算即可（1）证明：如图，连接OD，ACCD，AADCBDE，AOB90，A+ABO90，又OBOD，OBDODB，ODB+BDE90，即ODEC，OD是半径，EC是O的切线；（2）解：在RtCOD中，由于sinOCD=45，设OD4x，则OC5x，CD=OC2OD2=3xAC，在RtAOB中，OB

17、OD4x，OAOC+AC8x，AB45，由勾股定理得，OB2+OA2AB2，即：（4x）2+（8x）2（45）2，解得x1或x1（舍去），AC3x3，OC5x5，OBOD4x4，ODCEOC90，OCDECO，CODCEO，OCEC=CDOC，即5EC=35，EC=253，S阴影部分SCOES扇形=1225349042360 =5034=50123，答：AC3，阴影部分的面积为50123总结提升：本题考查切线的判定，扇形面积的计算以及直角三角形的边角关系，掌握切线的判定方法，直角三角形的边角关系以及扇形、三角形面积的计算方法是正确解答的前提针对训练1（2019东河区二模）如图，在ABC中，AB

18、AC，以AC边为直径作O交BC于点D，过点D作O的切线，交AB于点E，交AC的延长线于点F；若半径为3，且sinCFD=35，则线段AE的长是（）A245B5C194D225思路引领：连接OD，如图，利用等腰三角形的性质和平行线的判定得到ODAB，再根据切线的性质得到ODDF，则AEEF，接着在RtODF中利用正弦的定义求出OF5，然后在RtAEF中利用正弦定义可求出AE的长解：连接OD，如图，ABAC，BACB，OCOD，OCDODC，BODC，ODAB，DF为切线，ODDF，AEEF，在RtODF中，sinCFD=ODOF=35，OD3，OF5，在RtAEF中，sinF=AEAF=35，A

19、E=35（3+5）=245故选：A总结提升：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系也考查了解直角三角形第二部分 专题提优训练1（2022东城区二模）如图，在边长为1的正方形网格中，点A，B，D在格点上，以AB为直径的圆过C，D两点，则sinBCD的值为 思路引领：连接AD、BD，根据圆周角定理得到ADB90，BCDBAD，根据勾股定理求出AB，根据正弦的定义解答即可解：连接AD、BD，AB为圆的直径，ADB90，AB=AD2+BD2=42+32=5，sinBAD=BDAB=35，由圆周角定理得：BCDBAD，sinBCD=3

20、5，故答案为：35总结提升：本题考查的是解直角三角形、圆周角定理，熟记正弦的定义、掌握圆周角定理是解题的关键2（2022青白江区模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知RtABC可运动（平移或旋转），且C90，BC=5+4，tanA=12，若以点M（3，6）为圆心，2为半径的M始终在ABC的内部，则ABC的顶点C到原点O的距离的最小值为思路引领：如图，设M与AC相切于点J，与AB相切于点T，连接OC，MJ，MT，延长JM交AB于F解直角三角形求出CM，OM，根据OCOMCM即可解决问题解：如图，设M与AC相切于点J，与AB相切于点T，连接OC，MJ，MT，延长JM交AB于FAC，AB是O的切

21、线，MJAC，MTAB，AJMATM90，A+JMT180，JMT+FMT180，AFMT，tanAtanFMT=12，MT2，TF1，FM=MT2+FT2=22+12=5，JFMJ+MF2+5，AJ2FJ4+25，AC2BC8+25，CJ4，CJM90，CM=CJ2+MJ2=42+22=25，M（3，6），OM=32+62=35，OCOMCM，OC3525，OC5，OC的最小值为5故答案为5总结提升：本题考查解直角三角形，切线的性质，坐标由图形变化旋转等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题3（2020秋上虞区期末）如图，AB是O的直

22、径，AB4，P是AB延长线上一点，且BP1，过点P作一直线，分别交O于C，D两点，已知P30（1）求CD与PC的长；（2）连接BC，AD，求圆内接四边形ABCD的面积思路引领：（1）过点O作OHCD于点H，连接OC，解直角三角形求得OH，PH，然后根据勾股定理求得CH，进而即可求得CD和PC；（2）求得APD和PBC的面积，进而即可求得四边形ABCD的面积解：（1）过点O作OHCD于点H，连接OC，在RtOPH中，P30，OPOB+BP2+13，OH=12OP=123=32，PHOPcos30332=332，在RtOHC中，CH=OC2OH2=22(32)2=72CD2CH，CD=272=7P

23、C=PHHC=33272=3372（2）由（1）知：PD=CD+PC=7+3372=33+72，PA5，P30，SPBC=12PBPCsin30=121337212=3378，SPAD=12PDPAsin30=1233+72512=5(33+7)8，S四边形ABCD=SPADSPBC=5(33+7)83378=63+374总结提升：本题考查垂径定理，解直角三角形以及勾股定理的应用，三角形的面积，通过解直角三角形其实三角形的高是解题的关键4（2022秋思明区校级期中）如图，AB与O相切于点B，AO交O于点C，AO的延长线交O于点D，E是BCD上不与B，D重合的点，A30（1）求BED的大小；（2

24、）若点F在AB的延长线上，且BFAB，求证：DF与O相切思路引领：（1）根据切线的性质，得出ABO90，进而求出AOB60，BOD120，再根据圆周角定理得出答案；（2）根据等腰三角形的判定和性质可得ABDB，进而得出DBABBF，根据“三角形一边的中线等于这边的一半，这个三角形是直角三角形”得出ODDF即可（1）解：连接OB，AB与O相切于点B，OBAB，即ABO90，A30，AOB903060，BOD18060120，BED=12BOD60，（2）证明：连接BD，OBOD，BOD120，ODB=12（18060）30A，ABDB，又ABBF，DBABBF，ADF是直角三角形，即ADF90，

25、ODDF，OD是半径，DF是O的切线总结提升：本题考查切线的性质和判定，圆周角定理以及等腰三角形、直角三角形性质，掌握切线的性质和判定方法，圆周角定理以及等腰三角形、直角三角形的性质是正确解答的前提5（2020秋平邑县期末）如图，已知AB是O的直径，点P在BA的延长线上，PD切O于点D，过点B作BEPD，交PD的延长线于点C，连接AD并延长，交BE于点E（1）求证：ABBE；（2）如果PD23，ABC60，求BC的长思路引领：（1）连接OD，如图，根据切线的性质得到ODPC，则可判断ODBE，所以ODAE，加上ODAOAD，所以OADE，然后根据等腰三角形的判定定理得到结论；（2）利用ODBE

26、得到DOPABC60，根据含30度的直角三角形三边的关系得到OD2，PO4，则PB6，然后在RtPBC中利用P30度得到BC的长（1）证明：连接OD，如图，PD切O于点D，ODPC，PCBE，ODBE，ODAE，OAOD，ODAOAD，OADE，ABBE；（2）解：ODBE，DOPABC60，在RtPOD中，P90POC30，OD=33PD=3323=2，PO2OD4，PBPO+OB6，在RtPBC中，BC=12PB3总结提升：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径也考查了含30度的直角三角形三边的关系6（2022松阳县二模）如图，已知以AB为直径的半圆，圆心为O，弦AC平分BAD

27、，点D在半圆上，过点C作CEAD，垂足为点E，交AB的延长线于点F（1）求证：EF与半圆O相切于点C（2）若AO3，BF2，求tanACE的值思路引领：（1）根据垂直定义可得E90，再利用角平分线和等腰三角形的性质可证AEOC，然后利用平行线的性质可求出OCF90，即可解答；（2）根据已知可求出OF5，AF8，再在RtOCF中，利用勾股定理求出CF4，然后证明A字模型相似三角形FCOFEA，从而利用相似三角形的性质求出AE，EF的长，最后在RtACE中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答（1）证明：CEAD，E90，AC平分BAD，EACCAO，OAOC，CAOACO，EACACO，AEO

28、C，EOCF90，OC是半O的半径，EF与半圆O相切于点C；（2）AO3，BF2，OFOB+BF5，OC3，AFOF+OA8，OCF90，CF=OF2OC2=5232=4，EOCF90，FF，FCOFEA，FCEF=OCEA=OFAF，4EF=3EA=58，EA=245，EF=325，CEEFCF=125，在RtACE中，tanACE=AECE=245125=2，tanACE的值为2总结提升：本题考查了切线的判定，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理，熟练掌握切线的判定，以及相似三角形的判定与性质是解题的关键7（2022石家庄模拟）古希腊数学家毕达哥拉斯认为：“一切平面图形中最美的是

29、圆”，它的完美来自对称其中切弦（chordofcontact）亦称切点弦，是一条特殊弦，从圆外一点向圆引两条切线，连接这两个切点的弦称为切弦此时，圆心与已知点的连线垂直平分切弦（1）为了说明切弦性质的正确性，需要对其进行证明如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”过程已知：如图1，P是O外一点， 求证： （2）如图2，在（1）的条件下，CD是O的直径，连接AD，BC，若ADC50，BCD70，OC2，求OP的长思路引领：（1）根据命题的条件和结论即可写成已知和求证，连接OA、OB，根据切线的性质可得OAPOBP90，然后证明RtOAPRtOBP，从而可得AOPBOP，最

30、后利用等腰三角形的三线合一性质即可解答；（2）连接OA、OB，根据等腰三角形的性质求出AOD和BOC，从而求出AOB，然后在RtOBP中利用锐角三角函数进行计算即可解答解：（1）已知：如图1，P是O外一点，PA、PB与O分别相切于点A、B，连接AB，OP，求证：OP垂直平分AB，证明：连接OA、OB，PA、PB与O分别相切于点A、B，OAPOBP90，OAOB，OPOP，RtOAPRtOBP（HL），AOPBOP，OAOB，OP垂直平分AB，故答案为：PA、PB与O分别相切于点A、B，连接AB，OP；OP垂直平分AB；（2）连接OA、OB，OAOD，ADCDAO50，AOD180ADCDAO80，OBOC，DCBOBC70，BOC180DCBOBC40，AOB180AODBOC60，由（1）得：BOPAOP=12AOB30，OBP90，OBOC2，OP=OBcos30=232=433，OP的长为433总结提升：本题考查了解直角三角形，切线的性质，圆周角定理，垂径定理，全等三角形的判定与性质，根题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键