专题37 二次函数的性质综合题（4大类型）（原卷版）.docx

1、模块三 重难点题型专项训练专题37 二次函数的性质综合题（4大类型）考查类型考查类型一 交点问题考查类型二 恒成立问题考查类型三 函数值最值问题考查类型四 其他性质综合题新题速递考查类型一 交点问题例1 （2022山东烟台统考中考真题）二次函数yax2+bx+c（a0）的部分图象如图所示，其对称轴为直线x，且与x轴的一个交点坐标为（2，0）下列结论：abc0；ab；2a+c0；关于x的一元二次方程ax2+bx+c10有两个相等的实数根其中正确结论的序号是（）ABCD例2 （2022湖北荆州统考中考真题）规定：两个函数，的图象关于y轴对称，则称这两个函数互为“Y函数”例如：函数与的图象关于y轴对

2、称，则这两个函数互为“Y函数”若函数（k为常数）的“Y函数”图象与x轴只有一个交点，则其“Y函数”的解析式为_例3 （2022山西中考真题）阅读与思考下面是小宇同学的数学小论文，请仔细阅读并完成相应的任务用函数观点认识一元二次方程根的情况我们知道，一元二次方程的根就是相应的二次函数的图象（称为抛物线）与x轴交点的横坐标抛物线与x轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、无交点与此相对应，一元二次方程的根也有三种情况：有两个不相等的实数根、有两个相等的实数根、无实数根因此可用抛物线与x轴的交点个数确定一元二次方程根的情况下面根据抛物线的顶点坐标（，）和一元二次方程根的判别式，分别分和两种情况进

3、行分析：（1）时，抛物线开口向上当时，有，顶点纵坐标顶点在x轴的下方，抛物线与x轴有两个交点（如图1）当时，有，顶点纵坐标顶点在x轴上，抛物线与x轴有一个交点（如图2）一元二次方程有两个相等的实数根当时，（2）时，抛物线开口向下任务：(1)上面小论文中的分析过程，主要运用的数学思想是 （从下面选项中选出两个即可）；A数形结合B统计思想C分类讨论D转化思想(2)请参照小论文中当时的分析过程，写出中当时，一元二次方程根的情况的分析过程，并画出相应的示意图；(3)实际上，除一元二次方程外，初中数学还有一些知识也可以用函数观点来认识，例如：可用函数观点来认识一元一次方程的解请你再举出一例为二次函数与X

4、轴的交点有三种可能，分别是有两个交点、一个交点和无交点。在初中范围内，二次函数与Y轴始终有交点（当x=0时，y必有一个值）。在实际解题中，与Y轴的交点纵坐标的值，就是函数表达式中c的值。二次函数与X轴若有两个交点，则求根公式大于0，如果一个交点，则求根公式等于0，如果无交点，则求根公式小于0。通常情况下，二次函数的求解中都是有两个交点。只是要注意，不同的题型，不同的情况下求解方法也不同。总之在求解中要灵活应用各种公式，巧妙应对，解题就变得轻巧。二次函数与X轴交点的求解方法以上简要介绍二次函数与X轴的交点，而在实际情况中，更加的复杂，下面从常见的四种情况进行解析：1、无交点；如果二次函数与X轴无

5、交点，则判别公式b2-4ac0,k0则一定与X轴无交点。2、有一个交点；这种情况下求根公式等于0，函数解析式应该可以进行因式分解，并且是一个完全平方数，作为学生要对x+1,x-1,x+2,x-2等式子的完全平方式非常熟悉，一看就知道是完全平方式。常见的y=x2+2x+1,或者y=x2-2x+1都是完全平方式。3、有两个交点；这种情况下求根公式大于0，通常情况下，二次函数都是与X轴有两个交点。这两个交点也有三种可能，第一种是一个交点在正半轴，一个交点在负半轴；第二种可能是两个都在正半轴；第三种可能是都在负半轴。4、有交点；这个时候，一定要注意，有交点有两层含义，一层含义是有一个交点，第二层含义是

6、有两个交点。部分同学只注意到有两个交点，疏忽有一个交点也算是有交点，犯错的原因是对题目意思没有理解。二次函数与Y轴交点的求解方法函数与Y轴的交点，要么在Y轴的正半轴，要么在Y轴的负半轴，还有一种特别情况，就是过原点，此时的函数解析式的常数项必是0。如果与Y轴的正半轴有交点，则常数项c大于0，如果与Y轴的负半轴有交点，则常数项c小于0。通常在解题中，会出现这样的题型：已知某二次函数经过（0，c)，题目中会具体地指出c的值，这个时候，可以把函数解析式y=ax2+bx+c得c的具体值直接带入解析式中，求解更加方便。还有根据函数经过Y轴正半轴或者负半轴，可以肯定必定过哪个象限，如果经过Y轴的正半轴，则

7、必定经过第二象限。如果经过Y轴负半轴，则必定经过第三象限。【变式1】（2022福建福州福建省福州教育学院附属中学校考模拟预测）已知抛物线与轴的交点为和，点，是抛物线上不同于，的两个点，记的面积为，的面积为，有下列结论：当时，；当时，；当时，；当时，其中正确结论的序号是（）ABCD【变式2】（2022福建漳州统考模拟预测）在平面直角坐标系中，已知函数，其中a，b，c是正实数，且满足设函数，的图象与x轴的交点个数分别为，则下列说法一定正确的是（）A若，则B若，则C若，则D若，则【变式3】（2022山东青岛山东省青岛实验初级中学校考模拟预测）函数（a为常数）的图象与坐标轴只有两个交点，则_【变式4】

8、（2022浙江宁波校考模拟预测）已知关于的方程的两个根分别是，若点是二次函数的图象与轴的交点，过作轴交抛物线于另一交点，则的长为 _【变式5】（2021江苏南通统考一模）已知抛物线yx2+2mx+m21（m是常数）(1)求该抛物线与x轴交点坐标及顶点坐标（可用含m的代数式表示）；(2)将该抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移（2m1）个单位长度，若平移后的抛物线与x轴没有公共点，且当x0时，y随x的增大而减小，求m的取值范围；(3)已知A（1，1），B（3，1），若该抛物线与线段AB只有一个公共点，直接写出m的取值范围考查类型二 恒成立问题例1 （2020浙江嘉兴统考中考真题）小飞研究二次

9、函数y=-(x-m)2-m+1(m为常数)性质时如下结论：这个函数图象的顶点始终在直线y=-x+1上；存在一个m的值，使得函数图象的顶点与轴的两个交点构成等腰直角三角形；点A(x1,y1)与点B(x2,y2)在函数图象上，若x12m，则y1y2；当-1x0)顶点在线段AB上运动，形状保持不变，与x轴交于C，D两点（C在D的右侧），下列结论：c2；当x0时，一定有y随x的增大而增大；若点D横坐标的最小值为5，点C横坐标的最大值为3；当四边形ABCD为平行四边形时，a=其中正确的是（）ABCD例2 （2021内蒙古统考中考真题）已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点

10、在抛物线上，E是该抛物线对称轴上一动点当的值最小时，的面积为_例3 （2022山东日照统考中考真题）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=-x2+2mx+3m，点A（3，0）(1)当抛物线过点A时，求抛物线的解析式；(2)证明：无论m为何值，抛物线必过定点D，并求出点D的坐标；(3)在（1）的条件下，抛物线与y轴交于点B，点P是抛物线上位于第一象限的点，连接AB，PD交于点M，PD与y轴交于点N设S=SPAMSBMN，问是否存在这样的点P，使得S有最大值？若存在，请求出点P的坐标，并求出S的最大值；若不存在，请说明理由方法总结二次函数在自变量的给定范围内，对应的图象是抛物线上的一段那么最高点

11、的纵坐标即为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值。解决二次函数最值问题，若遇见对称轴和取值范围都给定，可分为对称轴在取值范围内和不在取值范围内两种情形。若对称轴在取值范围内，顶点为最值点，（开口向上为最小值，开口向下为最大值），离对称轴较远的一个端点为另一个最值点（前者是最大值则后者是最小值，否则为最大值）。【变式1】（2021宁夏吴忠校考一模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴的正半轴上，顶点的坐标为，是抛物线上一点，且在轴上方，则面积的最大值为（）ABCD【变式2】（2022山东济南统考一模）在平面直角坐标系中，若点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为雅系点已知二次函数的图象上

12、有且只有一个雅系点，且当时，函数的最小值为6，最大值为2，则的取值范围是（）ABCD【变式3】（2022安徽合肥合肥市五十中学西校校考三模）已知，点和点在二次函数的图象上，若点是该二次函数图象上任意一点，且满足（1）用含a的代数式表示b为_；（2）mn的最大值为_【变式4】（2022河北石家庄二模）在中，的顶点P在BC上滑动，PM始终过点A，且，在点P滑动的过程中：（1）当_时，；（2）BD的最大值为_【变式5】（2022吉林长春校考模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线（a为常数）(1)当在抛物线上，求m的值(2)当抛物线的最低点到直线的距离恰好是时，求a的值(3)已知、，连接当抛物线与线段有

13、交点时，记交点为P（点P不与A、B重合），将线段绕点P顺时针旋转得到线段，以、为邻边构造矩形若抛物线在矩形内部的图象的函数值y随自变量x的增大而减小时，求a的取值范围当抛物线在矩形内部（包含边界）图象所对应的函数的最大值与最小值的差为时，直接写出a的值考查类型四 其他性质综合问题例1 （2022四川宜宾统考中考真题）已知抛物线的图象与x轴交于点、，若以AB为直径的圆与在x轴下方的抛物线有交点，则a的取值范围是（）ABCD例2 （2021黑龙江齐齐哈尔统考中考真题）如图，抛物线的解析式为，点的坐标为，连接：过A1作，分别交y轴、抛物线于点、：过作，分别交y轴、抛物线于点、；过作，分别交y轴、抛物

14、线于点、：按照如此规律进行下去，则点（n为正整数）的坐标是_例3 （2022广东深圳统考中考真题）二次函数先向上平移6个单位，再向右平移3个单位，用光滑的曲线画在平面直角坐标系上(1)的值为；(2)在坐标系中画出平移后的图象并求出与的交点坐标；(3)点在新的函数图象上，且两点均在对称轴的同一侧，若则（填“”或“”或“”）一般式：（，为常数，）；函数二次函数（a、b、c为常数，a0）图象开口方向向上向下对称轴直线直线顶点坐标增减性在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而增大简记：左减右增在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当时，

15、y随x的增大而减小简记：左增右减最大(小)值抛物线有最低点，当时，y有最小值，抛物线有最高点，当时，y有最大值， 知识点：二次函数图象的平移由二次函数的性质可知，抛物线()的图象是由抛物线()的图象平移得到的.在平移时，不变(图象的形状、大小不变)，只是顶点坐标中的或发生变化(图象的位置发生变化)。平移规律是“左加右减，上加下减”，左、右沿轴平移，上、下沿轴平移，即.因此，我们在解决抛物线平移的有关问题时，首先需要化抛物线的解析式为顶点式，找出顶点坐标，再根据上面的平移规律，解决与平移有关的问题，注意：(1)a 的绝对值越大，抛物线的开口越小. (2)理解并掌握平移的过程，由，的图象与性质及上

16、下平移与左右平移的规律：将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标；保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下：平移规律：概括成八个字“左加右减，上加下减”【变式1】（2022浙江宁波一模）已知A，B两点的坐标分别为，线段上有一动点，过点M作x轴的平行线交抛物线于两点（P在Q的左侧）若恒成立，则a的取值范围为（）ABCD【变式2】（2022辽宁鞍山统考二模）如图，在正方形中，点P从点A出发沿路径向终点C运动，连接，作的垂直平分线与正方形的边交于M，N两点，设点P的运动路程为x，的面积为y，则下列图象能大致反映y与x函数关系的是（）ABCD【变式3】（2022广东模拟预测）若抛物线

17、的顶点为，抛物线的顶点为B，且满足顶点A在抛物线上，顶点B在抛物线上，则称抛物线与抛物线互为“关联抛物线”，已知顶点为M的抛物线与顶点为N的抛物线互为“关联抛物线”，直线MN与轴正半轴交于点D，如果，那么顶点为N的抛物线的表达式为_【变式4】（2021安徽阜阳统考一模）如图1，E是等边的边BC上一点（不与点B，C重合），连接AE，以AE为边向右作等边，连接已知的面积（S）与BE的长（x）之间的函数关系如图2所示（为抛物线的顶点）（1）当的面积最大时，的大小为_ （2）等边的边长为_ 【变式5】（2022山东德州校考二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与

18、y轴交于点C，顶点为点D(1)当时，直接写出点A，C，D的坐标：A_，C_，D_；(2)如图1，直线DC交x轴于点E，若，求a的值和CE的长；(3)如图2，在（2）的条件下，若点N为OC的中点，动点P在第三象限的抛物线上，过点P作x轴的垂线，垂足为Q，交AN于点F；过点F作，垂足为H设点P的横坐标为t，记用含t的代数式表示f；设，求f的最大值【培优练习】1（2021浙江九年级自主招生）已知抛物线的顶点为坐标原点，过作两条互相垂直的直线分别与抛物线交于点、，连接求边上的高的最大值为（）ABCD2（2023秋河北廊坊九年级统考期末）如图，抛物线的对称轴为直线，若关于x的一元二次方程（t为实数）在的

19、范围内有解，则t的取值范围是（）ABCD3（2023秋河北保定九年级校考期末）定义：若函数，则该函数的最大值为（）A0B2C3D44（2023秋福建泉州九年级泉州五中校联考期末）已知、是一元二次方程的两个不相等的实数根，、是一元二次方程的两个不相等的实数根，其中若，则的值为（）A8B9C12D185（2023秋河北邢台九年级邢台三中校考期末）已知二次函数的图象如图所示，点是坐标系的原点，点是图象对称轴上的点，图象与轴交于点，则下面结论：；关于的方程的解是，；当时，；当时，；周长的最小值是正确的有（）A2个B3个C4个D5个6（2022秋河南商丘九年级校考阶段练习）如图，在四边形ABCD中，动点

20、P从点D出发以每秒2个单位长度的速度沿着边运动，到达点C时停止运动；另一动点Q同时从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿着边向点C运动，到达点C时停止运动设点P的运动时间为t，的面积为S，则S关于t的函数图象是（）ABCD7（2023秋山东济南九年级校考期末）规定：在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标均为整数的点为整点对于题目：抛物线与轴分别交于、两点（点M在点N的左侧），线段与抛物线围成的封闭区域记作（包括边界），若区域内有6个整点，求的取值范围则（）ABC或D或8（2021春河南郑州八年级校考期中）如图，中，是线段上一个动点，以为边在外作等边若是的中点，则的最小值为（）A16B18C15D2

21、19（2022秋浙江温州九年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的边OA在x轴上，抛物线与OB交于C点，过点C作交AB于D点若CD过的重心G，则点G的坐标为_10（2022秋辽宁盘锦九年级校考阶段练习）如图抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是抛物线对称轴上任意一点，若点，分别是，的中点，连接，则的最小值为_11（2023秋河北石家庄九年级校考期末）在平面直角坐标系中，点，连接，抛物线经过点，且与线段恰有一个公共点（1）抛物线的对称轴为直线_；（2）的取值范围为_12（2022秋浙江温州九年级校考期中）如图，已知A，B是抛物线上的点，线段，且轴，过A，B两点作半径为5的圆（圆心在下方），

22、点P是圆上任意一点，连接，取的中点Q，将该抛物线下方的部分沿直线向上翻折，交y轴于点C，连接，则的最大值是_13（2022秋浙江宁波九年级校联考期中）已知顶点为A的抛物线与顶点为C的抛物线交于，则四边形的周长为_14（2022秋河北石家庄九年级校考期末）小明以等腰三角形底边的中垂线和所在的直线建立平面直角坐标系如图，抛物线经过A、两点，点的坐标为_；若一条与轴重合的直线以每秒3个单位长度的速度向右平移，分别交线段、和抛物线于点、和点，连接、设直线移动的时间为秒，当的面积最大时，点的坐标为_；若使是直角三角形，则_15（2022秋重庆沙坪坝九年级校考期中）某公司去年推出一种节能产品，售价元个与月

23、销量个的函数关系如下表，成本为元个，同时每月还需支出固定广告费元售价y（元/个）月销量x（个）(1)请观察题中的表格，用所学过的一次函数或反比例函数的有关知识，写出与之间的函数关系式；(2)若出售这种节能产品的月利润为元，请用含的代数式表示月利润，并求出当月销售量为个时的月利润；(3)该公司去年每个月都销售了个这种节能产品从今年一月份开始，因物价上涨，广告费每月上涨了元，产品成本增加了%，因此售价上调元，由此月销量减少结果今年一月份的月利润比去年每个月的月利润减少了元求的整数值（参考数据：，）16（2023秋广东江门九年级统考期末）已知关于x的一元二次方程(1)求证：无论a为任何实数，此方程总

24、有两个不相等的实数根；(2)如图，若抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点C，连结与对称轴交于点D求抛物线解析式和点B的坐标；若点P是抛物线上位于直线的上方一动点，连接、，过点P作轴，交于点M，求面积的最大值及此时点P的坐标17（2023秋广东惠州九年级校考期末）已知O为坐标原点，抛物线与x轴相交于点，与y轴交于点C，且O，C两点之间的距离为3，点A，C在直线上(1)求点C的坐标(2)当随着x的增大而增大时，求自变量x的取值范围(3)将抛物线向左平移个单位，记平移后y随着x的增大而增大的部分为P，直线向下平移n个单位，当平移后的直线与P没有公共点时，求的最小值18（2022秋黑龙江哈尔滨九年级

25、校考期中）已知：如图，抛物线（）交轴于、两点，交轴于点，直线：交轴于点，交轴于点(1)求抛物线的解析式；(2)若为抛物线上一点，连接、，设点的横坐标为（），的面积为，求与函数关系式；（不要求写出自变量的取值范围）(3)在（2）的条件下，点在线段上，点是第二象限抛物线上一点，且，求点的坐标19（2023秋湖南邵阳九年级统考期末）如图，抛物线与x轴交于点、B两点，顶点，过点A的直线与抛物线相交于点C，与抛物线对称轴DF交于点E，(1)求该抛物线解析式；(2)在对称轴上是否存在一点M，使以点A、E、M为顶点的三角形与相似，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由(3)点P是线段上一动点，过点P作直线轴交抛物线于点Q，当线段的长度最大时，求P点坐标与的最大值20（2023秋江西宜春九年级统考期末）如图，抛物线与y轴交于点A，过点A的直线与抛物线交于另一点B，过点B作轴，垂足为点(1)求直线AB的函数解析式(2)动点P在线段OC上，从原点O出发以每秒1个单位的速度向点C移动，过点P作轴，交直线AB于点M，交抛物线于点N，设点P移动的时间为t秒，MN的长为s个单位，求s与t的函数解析式，并写出t的取值范围(3)在（2）的条件下（不考虑点P与点O、C重合的情况），连接CM、BN，是否存在某一时刻使得四边形BCMN为菱形？若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由