专题38 几何模型问题之主从联动瓜豆原理（解析版）.docx

1、专题38 几何模型问题之主从联动瓜豆原理（解析版）典例剖析+针对训练类型一 点在直线上运动典例1（2022利州区模拟）如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且BE1，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边EFG，连接CG，则CG的最小值为（）A0.5B2.5C2D1思路引领：由题意分析可知，点F为主动点，G为从动点，所以以点E为旋转中心构造全等关系，得到点G的运动轨迹，之后通过垂线段最短构造直角三角形获得CG最小值解：由题意可知，点F是主动点，点G是从动点，点F在线段上运动，点G也一定在线段轨迹上运动将EFB绕点E旋转60，使EF与EG重合，得到EHG，连接BH，得

2、到EFBEHG从而可知EBH为等边三角形，点G在垂直于HE的直线HN上，延长HM交CD于点N则EFBEHG，HEBE1，BEH60，GHEFBE90，EBH为等边三角形四边形ABCD是矩形，FBE90，GHEFBE90，点G在垂直于HE的直线HN上，作CMHN，由垂线段最短可知，CM即为CG的最小值，作EPCM，连接BH，EH，则四边形HEPM为矩形，MPHE1，HEP90，PEC30ECBCBE3，CP=12EC=32，CMMP+CP1+32=52，即CG的最小值为52方法二：以CE为边作等边三角形CEH，连接FH，则CEGEFH，CGFH，当FHAB时，FH最小1+32=52故选：B总结提

3、升：本题考查了旋转的性质，线段极值问题，分清主动点和从动点，通过旋转构造全等，从而判断出点G的运动轨迹，是本题的关键，之后运用垂线段最短，构造图形计算，是极值问题中比较典型的类型针对训练1（2021秋鼓楼区校级期末）如图，在ABC中，ABAC，BC6，tanACB23，点P在边AC上运动（可与点A，C重合），将线段BP绕点P逆时针旋转120，得到线段DP，连接BD，CD，则CD长的最小值为 思路引领：以BC为边构建出和BPD相似的三角形，通过将CD边转化为其他边来求值解：如图所示，以BC为底边向上作等腰BQC，使BQC120，连接PQ由题意可得BQC和BPD均为顶角为120 的等腰三角形，可得

4、BQBC=BPBD=13，QBCPBD30，QBCQBDPBDQBD，PBQDBC，PBQDBC，PQDC=BQBC=13，当PQAC时，有PQ最小，即此时CD最小，如图所示，设OPAC，延长AQ与BC交K，此时QP为QP的最小值，可得AKBC，BQC中，BQC120，BC6，BK3，QBK30，QK=BK3=3，tanACB=23=AKKC，KC3，AK=23KC=63，AQAKQK=53，AC=AK2+KC2=313，APQAKC90，QAPCAK，AQPACK，AQAC=QPKC，53313=QP3，QP=53913，CD=3QP=151313总结提升：本题考查的是瓜豆原理的知识点，重难

5、点在于构造相似三角形的手拉手模型，属于难题2（2021秋忠县期末）如图，在ABC中，ACB90，点D在BC边上，BC5，CD2，点E是边AC所在直线上的一动点，连接DE，将DE绕点D顺时针方向旋转60得到DF，连接BF，则BF的最小值为 思路引领：由“SAS”可证DHEDBF，可得EHBF，则当EH有最小值时，BF有最小值，由垂线段最短可得：当EHAC时，EH有最小值，即可求解解：如图，以BD为边作等边三角形DBH，连接EH，过点H作HNBD于N，BC5，CD2，BD3，DHB是等边三角形，HNBD，DNBN=32，DBDH，HDB60，CN=72，将DE绕点D顺时针方向旋转60得到DF，DE

6、DF，EDF60，EDFHDB，EDHFDB，在DHE和DBF中，DE=DFEDH=FDBDH=DB，DHEDBF（SAS），EHBF，当EH有最小值时，BF有最小值，由垂线段最短可得：当EHAC时，EH有最小值，此时，EHAC，ACB90，HNDB，四边形CNHE是矩形，HECN=72，故答案为：72总结提升：本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键3（2021秋东台市期中）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB6，DAC60，点F在线段AO上从点A至点O运动，连接DF，以DF为边作等边三角形DFE，点E

7、和点A分别位于DF两侧，则点E运动的路程长是 思路引领：连接OE，利用SAS证明ADFODE（SAS），得OEAF，DOEDAO，则点E在射线OE上运动，且OEAF，当点F在线段AO上从点A至点O运动时，故点E的运动路程是AO，利用勾股定理求出AO的长即可解：连接OE，四边形ABCD是矩形，AODO，DAB90，DAC60，DAO是等边三角形，DADO，ADO60，DFE是等边三角形，DEDF，EDF60，ADFODE，又ADDO，DFDE，ADFODE（SAS），OEAF，DOEDAO，点E在射线OE上运动，且OEAF，当点F在线段AO上从点A至点O运动时，点E的运动路程是AO，在RtADB

8、中，设ADx，则BD2x，（2x）2x262，解得x23（负值舍去），ADAO23，即点E的运动路程为23，故答案为：23总结提升：本题主要考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，确定点E的运动路径是解题的关键类型二 点在圆上运动典例2 （2022桐梓县模拟）【发现问题】爱好数学的小明在做作业时碰到这样的一道题目：如图，点O为坐标原点，O的半径为1，点A（2，0）动点B在O上，连接AB，作等边ABC（A，B，C为顺时针顺序），求OC的最大值【解决问题】小明经过多次的尝试与探索，终于得到解题思路：在图中，连接OB，以OB为边在OB的左侧作等边三角形BOE

9、，连接AE（1）请你找出图中与OC相等的线段，并说明理由；（2）线段OC的最大值为 【灵活运用】（3）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（5，0），点P为线段AB外一动点，且PA2，PMPB，BPM90，求线段AM长的最大值及此时点P的坐标【迁移拓展】（4）如图，BC42，点D是以BC为直径的半圆上不同于B、C的一个动点，以BD为边作等边ABD，请直接写出AC的最值思路引领：（1）结论：OCAE只要证明CBOABE即可；（2）利用三角形的三边关系即可解决问题；（3）连接BM，将APM绕着点P顺时针旋转90得到PBN，连接AN，得到APN是等腰直角三角形，根据全等三角

10、形的性质得到PNPA2，BNAM，根据当N在线段BA的延长线时，线段BN取得最大值，即可得到最大值为22+3；过P作PEx轴于E，根据等腰直角三角形的性质，即可得到结论；（4）如图4中，以BC为边作等边三角形BCM，由ABCDBM，推出ACMD，推出欲求AC的最大值，只要求出DM的最大值即可，由BC42=定值，BDC90，推出点D在以BC为直径的O上运动，由图象可知，当点D在BC上方，DMBC时，DM的值最大；解：（1）如图中，结论：OCAE，理由：ABC，BOE都是等边三角形，BCBA，BOBE，CBAOBE60，CBOABE，CBOABE，OCAE（2）在AOE中，AEOE+OA，当E、O

11、、A共线，AE的最大值为3，OC的最大值为3故答案为3（3）如图1，连接BM，将APM绕着点P顺时针旋转90得到PBN，连接AN，则APN是等腰直角三角形，PNPA2，BNAM，A的坐标为（2，0），点B的坐标为（5，0），OA2，OB5，AB3，线段AM长的最大值线段BN长的最大值，当N在线段BA的延长线时，线段BN取得最大值（如图2中）最大值AB+AN，AN=2AP22，最大值为22+3；如图2，过P作PEx轴于E，APN是等腰直角三角形，PEAE=2，OEBOABAE532=22，P（22，2）（4）如图4中，以BC为边作等边三角形BCM，ABDCBM60，ABCDBM，ABDB，BCB

12、M，ABCDBM，ACMD，欲求AC的最大值，只要求出DM的最大值即可，BC42=定值，BDC90，点D在以BC为直径的半圆O上运动，由图象可知，当点D在BC上方，DMBC时，DM的值最大，最大值22+2 6，AC的最大值为22+26综上所述，当点A在线段BD的右侧时，以BC为边作等边BCM，ABDCBM60，MBDCBA，且ABDB，BCBM，ABCDBM（SAS），ACMD，欲求AC的最小值，只要求出DM的最小值即可，BC62=定值，BDC90，点D在以BC为直径的O上运动，由图象可知，当点D在BC的上方，DMBC时，DM的值最小，DM的最小值MOOD=BM2BO212BC2622，AC的

13、最小值为2622综上所述，AC的最大值为26+22，AC的最小值为2622总结提升：本题考查四边形综合题、等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、圆等知识，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键，学会用转化的思想思考问题，掌握旋转法添加辅助线，属于中考压轴题针对训练1（2022秋天宁区校级期中）已知O的半径长7cm，P为线段OA的中点，若点P在O上，则OA的长是 cm思路引领：根据点与圆的位置关系和中点定义进行解答即可解：根据点和圆的位置关系，得OP7cm，再根据线段的中点的概念，得OA2OP14cm故答案为：14总结提升：本题考查了点与圆的位置关系，中点定义，熟知

14、点和圆的位置关系与数量之间的等价关系是解决问题的关键2（2021秋嘉兴期末）如图，O的直径AB2，C为O上动点，连结CB，将CB绕点C逆时针旋转90得到CD，连结OD，则OD的最大值为 思路引领：通过证明DBOCBE，可得OD=2CE，当CE有最大值时，OD有最大值，即可求解解：如图，以OB为边在AB的下方作等腰直角三角形OBE，连接CE，BD，将CB绕点C逆时针旋转90得到CD，BCCD，DCB90，DBC45，BD=2BC，OBE是等腰直角三角形，OEBE，OBE45，OB=2BE1，BEOE=22，DBCOBE，OBDCBE，又DBCB=OBBE=2，DBOCBE，ODCE=DBCB=2

15、，OD=2CE，当CE有最大值时，OD有最大值，当点C，点O，点E三点共线时，CE有最大值为1+22，OD的最大值为2+1，总结提升：本题考查了相似三角形的判定和性质，旋转的性质，等腰直角三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造相似三角形是解题的关键3（2021秋秦淮区校级期中）如图，在RtABC中，ACB90，AC16，BC12，点P在以AB为直径的半圆上运动，由点B运动到点A，连接CP，点M是CP的中点，则点M经过的路径长为 思路引领：由AB是直径，得APB90，取BC，AC的中点E和F，连接ME，MF，EF，由三角形中位线知MEMF，即EMF90，则点M在以EF为直径的半圆上，即可得出答案

16、解：ACB90，AC16，BC12，AB=AC2+BC2=162+122=20，连接AP，BP，AB是直径，APB90，即APBP，取BC，AC的中点E和F，连接ME，MF，EF，在BPC中，M，E为PC、BC的中点，MEBP，ME=12BP，在APC中，点M、F为PC、AC的中点，MFAP，MF=12AP，MEMF，即EMF90，点M在以EF为直径的半圆上，EF=12AB10，点M的运动路径长为1225=5，故答案为：5总结提升：本题主要考查了圆周角定理，三角形中位线定理，利用定角对定弦确定点M的运动路径是解题的关键4（2018江汉区模拟）如图，线段AB为O的直径，点C在AB的延长线上，AB

17、4，BC2，点P是O上一动点，连接CP，以CP为斜边在PC的上方作RtPCD，且使DCP60，连接OD，则OD长的最大值为 思路引领：如图，作COE，使得CEO90，ECO60，则CO2CE，OE23，OCPECD，由COPCED，推出OPED=CPCD=2，即ED=12OP1（定长），由点E是定点，DE是定长，推出点D在半径为1的E上，由此即可解决问题解：如图，作COE，使得CEO90，ECO60，则CO2CE，OE23，OCPECD，CDP90，DCP60，CP2CD，COCE=CPCD=2，COPCED，OPED=CPCD=2，即ED=12OP1（定长），点E是定点，DE是定长，点D在半

18、径为1的E上，ODOE+DE23+1，OD的最大值为23+1，故答案为23+1总结提升：本题考查相似三角形的判定和性质、两圆的位置关系、轨迹等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考压轴题5（2021秋岳麓区校级月考）如图1，在平面直角坐标系中，直线y5x+5与x轴，y轴分别交于A、C两点，抛物线yx2+bx+c经过A、C两点，与x轴的另一交点为B（1）求抛物线解析式；（2）若点M为x轴下方抛物线上一动点，当点M运动到某一位置时，ABM的面积等于ABC面积的35，求此时点M的坐标；（3）如图2，以B为圆心，2为半径的B与x轴交于E、F两点（F在E右侧），若P点是B

19、上一动点，连接PA，以PA为腰作等腰RtPAD，使PAD90（P、A、D三点为逆时针顺序），连接FD求FD长度的取值范围思路引领：（1）将点A（1，0），C（0，5）代入yx2+bx+c，即可求解；（2）设M（m，m26m+5），先求AB4，则SABC10，再由题意可得SAMB6=124（m26m+5），即可求M（2，3）或M（4，3）；（3）将点B绕A点顺时针旋转90到B，连接AB，PB，BD，可证明ADBAPB（SAS），则可得D在以B为圆心，2为半径的圆上运动，又由B（1，4），F（7，0），则BF213，所以DF的最大值为61+2，DF的最小值为612，即可求2132DF213+2解：

20、（1）令x0，则y5，C（0，5），令y0，则x1，A（1，0），将点A（1，0），C（0，5）代入yx2+bx+c，得1+b+c=0c=5，b=6c=5，yx26x+5；（2）设M（m，m26m+5），令y0，则x26x+50，解得x5或x1，B（5，0），AB4，SABC=124510，ABM的面积等于ABC面积的35，SAMB6=124（m26m+5），解得m2或m4，M（2，3）或M（4，3）；（3）将点B绕A点顺时针旋转90到B，连接AB，PB，BD，BAD+BAD90，PAB+BAD90，BADPAB，ABAB，PAAD，ADBAPB（SAS），BPBD，PB2，BD2，D在以B为

21、圆心，2为半径的圆上运动，B（5，0），A（1，0），B（1，4），BF2，F（7，0），BF213，DF的最大值为213+2，DF的最小值为2132，2132DF213+2总结提升：本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象及性质，灵活应用瓜豆原理是解题的关键第二部分 专题提优训练1（2022安徽一模）如图，正方形ABCD的边长为5，E为BC上一点，且BE2，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边EFG，连接CG，则CG的最小值为（）A2B2.5C3D3.5思路引领：由题意分析可知，点F为主动点，G为从动点，所以以点E为旋转中心构造全等关系，得到点G的运动轨迹，之后

22、通过垂线段最短构造直角三角形获得CG最小值解：由题意可知，点F是主动点，点G是从动点，点F在线段上运动，点G也一定在直线轨迹上运动，将EFB绕点E旋转60，使EF与EG重合，得到EFBEHG，BEEH，BEH60，GHE90，EBH为等边三角形，点G在垂直于HE的直线HN上，作CMHN，则CM即为CG的最小值，作EPCM，可知四边形HEPM为矩形，PEC180PEHBEH180906030，PC=12CE，则CMMP+CPHE+12EC2+32=72，故选：D总结提升：本题考查了旋转的性质，线段极值问题，分清主动点和从动点，通过旋转构造全等，从而判断出点G的运动轨迹，是本题的关键，之后运用垂线

23、段最短，构造图形计算，是极值问题中比较典型的类型2（2021泰安）如图，在矩形ABCD中，AB5，BC53，点P在线段BC上运动（含B、C两点），连接AP，以点A为中心，将线段AP逆时针旋转60到AQ，连接DQ，则线段DQ的最小值为（）A52B52C533D3思路引领：如图，以AB为边向右作等边ABF，作射线FQ交AD于点E，过点D作DHQE于H利用全等三角形的性质证明AFQ90，推出AEF60，推出点Q在射线FE上运动，求出DH，可得结论解：如图，以AB为边向右作等边ABF，作射线FQ交AD于点E，过点D作DHQE于H四边形ABCD是矩形，ABPBAD90，ABF，APQ都是等边三角形，BA

24、FPAQ60，BAFA，PAQA，BAPFAQ，在BAP和FAQ中，BA=FABAP=FAQPA=QA，BAPFAQ（SAS），ABPAFQ90，FAE906030，AEF903060，ABAF5，AEAFcos30=1033，点Q在射线FE上运动，ADBC53，DEADAE=533，DHEF，DEHAEF60，DHDEsin60=53332=52，根据垂线段最短可知，当点Q与H重合时，DQ的值最小，最小值为52，故选：A总结提升：本题考查矩形的性质，旋转变换，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，本题的突破点是证

25、明点Q的在射线FE上运动，属于中考选择题中的压轴题3（2022秋惠山区校级月考）如图，A（1，1），B（1，4），C（5，4），点P是ABC边上一动点，连接OP，以OP为斜边在OP的右上方作等腰直角OPQ，当点P在ABC边且运动一周时，点Q的轨迹形成的封闭图形面积为（）A2B3C4D6思路引领：根据OPQ是等腰直角三角形，可知点Q的运动轨迹与点P的运动轨迹形状相同，且OP：OQ=2：1，得出面积比为2，求出ABC的面积即可解决问题解：OPQ是等腰直角三角形，点Q的运动轨迹与点P的运动轨迹形状相同，OP：OQ=2：1，点P的轨迹图形与点Q的轨迹图形相似比为2：1，A（1，1），B（1，4），C（

26、5，4），AB3，BC4，SABC=12BCAB=1234=6，点Q的轨迹形成的封闭图形面积为126=3，故选：B总结提升：本题主要考查了等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，正确寻找点Q的运动轨迹是解题的关键4（2021秋沭阳县校级期末）如图，线段AB2，点C为平面上一动点，且ACB90，将线段AC的中点P绕点A顺时针旋转90得到线段AQ，连接BQ，则线段BQ的最大值为 思路引领：证明ADCAEQ，求出QE=12，在RtABE中求出BE=172，进而求出答案解：如图，取AB的中点D，连接CD，过点A作AEAB，使AE=12AD=12，连接QE、BEACB90，D为AB的中点，CD=1

27、2AB=1，QAC90，EAB90，QAECAD，AQAC=12，AEAD=12，ADCAEQ，QECD=AQAC=12，QE=12CD=12，EAB90，EB=AE2+AB2=172，当点Q、E、B三点共线时，BQ最大为12+172=1+172故答案为：1+172总结提升：本题考查旋转变换，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题5（2022邗江区校级一模）如图，点A是第一象限内横坐标为2的一个定点，ANx轴于点M，交直线y=33x于点N，点P是线段ON上的一个动点，APB30，BAPA，点P在线段ON上运动时，A点不变，

28、B点随之运动，当点P从点O运动到点N时，点B运动的路径长是 思路引领：利用相似三角形AB0BnAON，求出线段B0Bn的长度，证明线段B0Bn就是点B运动的路径即可解：由题意得：OM2，点N在直线y=33x上，ANx轴于点M，则OMN为顶角30的直角三角形，ON=232=433，设动点P在O点（起点）时，点B的位置为B0，动点P在N点（终点）时，点B的位置为Bn，连接B0Bn，如图1所示：AOAB0，ANABn，OANB0ABn又AB0AOtan30，ABnANtan30，AB0：AOABn：ANtan30，AB0BnAON，且相似比为tan30，B0BnONtan30=43333=43现在来

29、证明线段B0Bn就是点B运动的路径，当点P运动至ON上的任一点时，设其对应的点B为Bi，连接AP，ABi，B0Bi，如图2所示：AOAB0，APABi，OAPB0ABi，又AB0AOtan30，ABiAPtan30，AB0：AOABi：AP，AB0BiAOP，AB0BiAOP又AB0BnAON，AB0BnAOP，AB0BiAB0Bn，点Bi在线段B0Bn上，即线段B0Bn就是点B运动的路径，综上所述，点B运动的路径是线段B0Bn，长度为43，故答案为：43总结提升：本题考查了一次函数图象、直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质、轨迹等知识；确定点B的运动路径是解题的关键6（2020春江阴市期

30、中）如图，已知点A是第一象限内的一个定点，若点P是以O为圆心，2个单位长为半径的圆上的一个动点，连接AP，以AP为边向AP右侧作等边三角形APB当点P在O上运动一周时，点B运动的路径长是 思路引领：根据已知条件得到点B的运动轨迹也为圆，根据全等三角形的性质得到OPOB2，即可求出路径长解：如图，连接AO、OP，将AO绕点A逆时针旋转60，得线段AO，连接OB、OO，AOAO，OAO60，OAO为正三角形，APB为正三角形，PAB60，PABA，PABOABOAOOAB，PAOBAO，在APO与ABO中，AO=AOPAO=BAOPA=BA，APOABO，OPOB2，O即为动点B运动的路径，当点P

31、在O上运动一周时，点B运动的路径长是4，总结提升：此题考查了动点路径长，关键在于确定从动点的运动轨迹，考查了旋转、全等知识，“瓜豆原理”7（2019秋鼓楼区期中）如图，O的半径为2，O到定点A的距离为5，点B在O上，点P是线段AB的中点，若B在O上运动一周（1）点P的运动路径是一个圆；（2）ABC始终是一个等边三角形，直接写出PC长的取值范围（1）思路引导要证点P运动的路径是一个圆，只要证点P到定点M的距离等于定长r，由图中的定点、定长可以发现M，r思路引领：（1）连接OA、OB，取OA的中点H，连接HP，则HP是ABO的中位线，得出HP=12OB1，即P点到H点的距离固定为1，即可得出结论；

32、（2）由等边三角形的性质和直角三角形的性质分别求出PC的最小值和最大值即可（1）解：连接OA、OB，取OA的中点H，连接HP，如图1所示：则HP是ABO的中位线，HP=12OB1，P点到H点的距离固定为1，B在O上运动一周，点P运动的路径是以点H为圆心，半径为1的一个圆；（2）解：连接AO并延长AO交O于点M、N，如图2所示：ABC是等边三角形，点P是线段AB的中点，PCAB，PAPB=12AB=12BC，PC=3PA=32AB，当点B运动到点M位置时，点P运动到点P位置，PC最短，AMOAOM523，AP=12AM=32，PC=332；当点B运动到点N位置时，点P运动到点P位置，PC最长，A

33、NOA+ON5+27，AP=12AN=72，PC=732；PC长的取值范围是332PC732总结提升：本题考查了轨迹、三角形中位线定理、等边三角形的性质、直角三角形的性质等知识；熟练掌握三角形中位线定理和等边三角形的性质是解题的关键8若AC4，以点C为圆心，2为半径作圆，点P为该圆上的动点，连接AP（1）如图1，取点B，使ABC为等腰直角三角形，BAC90，将点P绕点A顺时针旋转90得到AP点P的轨迹是 （填“线段”或者“圆”）；CP的最小值是 ；（2）如图2，以AP为边作等边APQ（点A、P、Q按照顺时针方向排列），在点P运动过程中，求CQ的最大值（3）如图3，将点A绕点P逆时针旋转90，得

34、到点M，连接PM，则CM的最小值为 思路引领：（1）连接CP、BP，证明ABPACP（SAS），得出BPCP2，即点P到点B的距离等于定长，即可得出答案；由等腰直角三角形的性质得出BC=2AC42，当点P在线段BC上时，得出CP最小BCBP422；（2）以AC为边长作等边ACD，连接DQ，证明ADQACP（SAS），得出DQCP2，当C、D、Q三点共线时，CQ有最大值CD+DQ6；（3）M点的轨迹是一个圆O，求出CO和圆O的半径，即可解决问题解：（1）连接CP、BP，如图1所示：ABC是等腰直角三角形，BAC90，ACAB，由旋转的性质得：APAP，PAP90，PACPAB，在ABP和ACP中

35、，AP=APPAB=PACAB=AC，ABPACP（SAS），BPCP2，即点P到点B的距离等于定长，点P的轨迹是以B为圆心，2为半径的圆；故答案为：圆；ABC是等腰直角三角形，AC4，BC=2AC42，当点P在线段BC上时，CP最小BCBP422；故答案为：422；（2）以AC为边长作等边ACD，连接DQ、CP，如图2所示：APQ和ACD是等边三角形，APAQ，ACADCD4，PAQCAD60，DAQCAP，在ADQ和ACP中，AD=ACDAQ=CAPAQ=AP，ADQACP（SAS），DQCP2，当C、D、Q三点共线时，CQ有最大值CD+DQ4+26；（3）如图3所示：M点的轨迹是以MM为

36、直径的一个圆O，则PMPA2，PMPA4+26，则CO是梯形PMMP的中位线，CO=12（2+6）4，连接MM，则MMM90，PMPM2，MMPP4，MM624MM，MMM是等腰直角三角形，MM=2MM42，OM22，CMCOOM422；故答案为：422总结提升：本题是圆的综合题目，考查了轨迹、圆的定义、旋转的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、勾股定理以及最值问题；本题综合性强，熟练掌握旋转的性质，证明三角形全等是解题的关键9已知：如图，AB是O的直径，C是O上一点，ODAC于点D，过点C作O的切线，交OD的延长线于点E，连接AE（1）求证：AE与O相切；（

37、2）连接BD，若ED：DO3：1，OA9，求AE的长；（3）若AB10，AC8，点F是O任意一点，点M是弦AF的中点，当点F在O上运动一周，则点M运动的路径长为 思路引领：（1）只要证明OECOEA，得OAEOCE90，即可证明（2）设ODa，则DE3a，由OADOEA，得OAOE=ODOA，列出方程求出a，再利用勾股定理即可解决问题（3）如图2中，连接OM，取OA的中点O，连接OM，当点F在O上运动一周，则点M运动的路径是以O为圆心2为半径的圆，由此即可解决问题（1）证明：如图1中，连接OCODAC，ADDC，EAEC，在OEC和OEA中，OE=OEOC=OAEA=EC，OECOEA，OAE

38、OCE，EC是O切线，ECOC，OCE90，OAEOCE90，OAAE，AE是O的切线（2）如图1中，设ODa，则DE3a，AODAOE，ODAOAE，OADOEA，OAOE=ODOA，4a281，a0，a=92，OE18，在RtAOE中，AE=OE2OA2=18292=93（3）如图2中，连接OM，取OA的中点O，连接OMAMMF，OMAF，AOOO，OAOB5，OM=12OA定长=52，当点F在O上运动一周，则点M运动的路径是以O为圆心52为半径的圆，点M运动的路径长为252=5故答案为5总结提升：本题考查圆综合题、垂径定理、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、轨迹等知识，解题

39、的关键是灵活运用这些知识解决问题，属于中考常考题型10（2021遵义）点A是半径为23的O上一动点，点B是O外一定点，OB6连接OA，AB（1）【阅读感知】如图，当ABC是等边三角形时，连接OC，求OC的最大值；将下列解答过程补充完整解：将线段OB绕点B顺时针旋转60到OB，连接OO，CO由旋转的性质知：OBO60，BOBO6，即OBO是等边三角形OOBO6又ABC是等边三角形ABC60，ABBCOBOABC60OBAOBC在OBA和OBC中，OB=OBOBA=OBCAB=CB OBAOBC（SAS）OAOC在OOC中，OCOO+OC当O，O，C三点共线，且点C在OO的延长线上时，OCOO+O

40、C即OCOO+OC当O，O，C三点共线，且点C在OO的延长线上时，OC取最大值，最大值是 6+23（2）【类比探究】如图，当四边形ABCD是正方形时，连接OC，求OC的最小值；（3）【理解运用】如图，当ABC是以AB为腰，顶角为120的等腰三角形时，连接OC，求OC的最小值，并直接写出此时ABC的周长思路引领：（1）第一个空根据前面提到的两个三角形以及后面的SAS知是判断这两个三角形全等；第二个空根据前面的取等条件OCOO+OC即知最大值；（2）类似地，如第（2）问解答中以OB为边作正方形，类似第（1）问做法依然证明两个三角形全等，再利用三角形两边之差小于第三边，三点共线时取等号得OC最小值；

41、（3）类似地，如第（3）问解答中以OB为腰，点B为顶点作顶角120的等腰三角形，类似第（1）问的做法依然证明两个三角形全等，再利用三角形两边之差小于第三边，三点共线时取等号得OC最小值，再求AB的长，最后得ABC的周长解：（1）将线段OB绕点B顺时针旋转60到OB，连接OO，CO由旋转的性质知：OBO60，BOBO6，即OBO是等边三角形，OOBO6，又ABC是等边三角形，ABC60，ABBC，OBOABC60，OBAOBC，在OBA和OBC中，OB=OBOBA=OBCAB=CB，OBAOBC（SAS），OAOC，在OOC中，OCOO+OC，当O，O，C三点共线，且点C在OO的延长线上时，OC

42、OO+OC，即OCOO+OC，当O，O，C三点共线，且点C在OO的延长线上时，OC取最大值，OC的最大值为6+23故答案为：OBAOBC，6+23（2）如图1中，作以OB为边的正方形OBC1D1，连接OC1，C1C，四边形OBC1D1是正方形，OBBC16，OBC190，OC1=2OB=62，四边形ABCD是正方形，BABC，ABC90，OBC1ABC，OBAC1BC，在OBA和C1BC中，OB=BC1OBA=C1BCAB=BC，OBAC1BC（SAS），CC1=OA=23，在OCC1中，根据“三角形两边之差小于第三边”，得6223=OC1CC1OC，当O，C1，C三点共线，且点C1在OC的延

43、长线上时，6223=OC1CC1=OC，即OC1CC1OC，当O，C1，C三点共线，且点C1在OC的延长线上时，OC取最小值，最小值是6223OC取最小值的图象如下所示：（3）如下图，作以OB为腰，顶点为B点，顶角为120的等腰OBC2，连接OC2，C2C，过点B作BB2OC2于点B2，OBBC26，OBC2120，BOC2OC2B30，BB2OC2，C2BB2=12OBC2=12120=60，OB2B2C2，在RtC2BB2中，32=sin60=sinC2BB2=B2C2BC2=B2C26，B2C2=33，OC2=OB2+B2C2=B2C2+B2C2=63，ABCOBC2120，OBAC2B

44、C，在OBA和C2BC中，OB=BC2OBA=C2BCAB=BC，OBAC2BC（SAS），CC2=OA=23，在OCC2中，根据“三角形两边之差小于第三边”，得6323=OC2CC2OC，即43OC，当O，C2，C三点共线，且点C2在OC的延长线上时，6323=OC2CC2=OC=43即OC2CC2OC，当O，C2，C三点共线，且点C2在OC的延长线上时，OC取最小值，最小值是6323=43，当OC取最小值时的图象如如图2中，此时过点B作BB3AC于点B3，且延长OA于点O3，使得BO3OO3，BOC2OC2B30，又OBAC2BC，AOBCC2BOC2B30，在RtOBO3中，OB6，O3

45、OBAOB30，BO3OBsin30612=3，OO3OBcos30632=33，OA=23，AO3=OO3OA=3323=3，在RtABO3中，AB=(BO3)2+(AO3)2=32+(3)2=23，BABC，ABC120，AB=BC=23，BB3AC，ABB3=12ABC=12120=60以及AB3B3C，在RtABB3中，32=sin60=sinABB3=AB3AB=AB323，AB3=3，ACAB3+B3CAB3+AB36，ABC的周长为AB+BC+AC=23+23+6=6+43总结提升：本题属于圆综合题，考查了全等三角形的判定，三角形三边不等式关系，特殊角的三角函数值，圆的性质，旋转的性质等知识点，第（1）问的做法相当于把OBA旋转到BOC上，从而顺利用上三角形三边不等式关系得OC的最值这种通过旋转转化边角关系以及类比题图作出相应的辅助线（图中是等边三角形，辅助线就做等边三角形；图中是正方形、等腰三角形，辅助线就相应的作出）的做法是中考里考查的重要思想