专题3对角互补模型-【压轴必刷】2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案（全国通用）（解析版）.docx

1、【压轴必刷】2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案专题3对角互补模型解题策略模型1：全等形90对角互补模型 模型2：全等形120对角互补模型模型3：全等形任意角对角互补模型模型4：相似形90对角互补模型 经典例题【例1】（2021全国九年级专题练习）如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，B+ADC=180，点E，F分别在四边形ABCD的边BC，CD上，EAF=12BAD，连接EF，试猜想EF，BE，DF之间的数量关系（1）思路梳理将ABE绕点A逆时针旋转至ADG，使AB与AD重合，由B+ADC=180，得FDG=180，即点F，D，G三点共线，易证AFGAFE，故EF，BE，DF之间的数

2、量关系为_；（2）类比引申如图2，在图1的条件下，若点E，F由原来的位置分别变到四边形ABCD的边CB，DC延长线上，EAF=12BAD，连接EF，试猜想EF，BE，DF之间的数量关系，并给出证明（3）联想拓展如图3，在ABC中，BAC=90，AB=AC，点D，E均在边BC上，且DAE=45，若BD=1，EC=2，直接写出DE的长为_.【答案】（1）EFBEDF；（2）EFDFBE；证明见解析；（3）5.【分析】（1）将ABE绕点A逆时针旋转至ADG，使AB与AD重合，首先证明F，D，G三点共线，求出EAFGAF，然后证明AFGAFE，根据全等三角形的性质解答；（2）将ABE绕点A逆时针旋转，

3、使AB与AD重合，得到ADE，首先证明E，D，F三点共线，求出EAFEAF，然后证明AFEAFE，根据全等三角形的性质解答；（3）将ABD绕点A逆时针旋转至ACD，使AB与AC重合，连接ED，同（1）可证AEDAED，求出ECD90，再根据勾股定理计算即可【详解】解：（1）将ABE绕点A逆时针旋转至ADG，使AB与AD重合，BADC180，FDG180，即点F，D，G三点共线，BAEDAG，EAF12BAD，EAFGAF，在AFG和AFE中，AEAGEAFGAFAFAF，AFGAFE，EFFGDGDFBEDF；（2）EFDFBE；证明：将ABE绕点A逆时针旋转，使AB与AD重合，得到ADE，则

4、ABEADE，DAEBAE，AEAE，DEBE，ADEABE，ABCADC180，ABCABE180，ADEADC，即E，D，F三点共线，EAF12BAD，EAFBAD（BAFDAE）BAD（BAFBAE）BADEAF12BAD，EAFEAF，在AEF和AEF中，AEAEEAFEAFAFAF，AFEAFE（SAS），FEFE，又FEDFDE，EFDFBE；（3）将ABD绕点A逆时针旋转至ACD，使AB与AC重合，连接ED，同（1）可证AEDAED，DEDEACBBACD45，ECD90，在RtECD中，EDEC2+DC2=EC2+BD2=5，即DE5，故答案为：5【点睛】本题考查的是旋转变换的

5、性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，灵活运用利用旋转变换作图、掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键【例2】（2019山东枣庄中考真题）在ABC中，BAC=90，AB=AC，ADBC于点D,（1）如图1，点M，N分别在AD，AB上，且BMN=90，当AMN=30，AB=2时，求线段AM的长；（2）如图2，点E，F分别在AB，AC上，且EDF=90，求证：BE=AF；（3）如图3，点M在AD的延长线上，点N在AC上，且BMN=90，求证：AB+AN=2AM;【答案】(1) AM=2233；(2)见解析；(3)见解析.【分析】（1）根据等腰三角形的性质、直角三角形的性质得到 A

6、DBDDC 2 ，求出 MBD30，根据勾股定理计算即可； （2）证明BDEADF，根据全等三角形的性质证明； （3）过点 M作 MEBC交 AB的延长线于 E，证明BMEAMN，根据全等三角形的性质得到 BEAN，根据等腰直角三角形的性质、勾股定理证明结论【详解】（1）解：BAC=90，AB=AC，ADBC，AD=BD=DC，ABC=ACB=45，BAD=CAD=45，AB=2，AD=BD=DC=2,，AMN=30，BMD=1809030=60，BMD=30，BM=2DM，由勾股定理得，BM2DM2=BD2，即(2DM)2DM2=(2)2，解得，DM=233，AM=ADDM=2233；（2）

7、证明：ADBC，EDF=90，BDE=ADF，在BDE和ADF中，B=DAFDB=DABDE=ADF，BDEADF(ASA) BE=AF；（3）证明：过点M作ME/BC交AB的延长线于E，AME=90，则AE=2AB，E=45，ME=MA，AME=90，BMN=90，BME=AMN，在BME和AMN中，E=MANME=MABME=AMN，BMEAMN(ASA)，BE=AN，AB+AN=AB+BE=AE=2AM【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形 的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键【例3】（2022江苏八年级课时练习）（1）如图，在四边

8、形ABCD中，AB=AD，B=D=90，E，F分别是边BC，CD上的点，且EAF=12BAD请直接写出线段EF，BE，FD之间的数量关系：_；（2）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，B+D=180，E，F分别是边BC，CD上的点，且EAF=12BAD，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程；（3）在四边形ABCD中，AB=AD，B+D=180，E，F分别是边BC，CD所在直线上的点，且EAF=12BAD请画出图形（除图外），并直接写出线段EF，BE，FD之间的数量关系【答案】（1）EF=BE+FD；（2）成立，理由见解析；（3）图形见解析，EF=BEFD【分析】（1）延长EB到G，使B

9、G=DF，连接AG证明AGE和AEF全等，则EF=GE，则EF=BE+DF，证明ABE和AEF中全等，那么AG=AF，1=2，1+3=2+3=EAF=12BAD从而得出EF=GE；（2）思路和作辅助线的方法同（1）；（3）根据（1）的证法，我们可得出DF=BG，GE=EF，那么EF=GE=BE-BG=BE-DF【详解】（1）延长EB至G，使BG=DF，连接AG，ABG=ABC=D=90，AB=AD，ABGADF，AG=AF，1=2，1+3=2+3=EAF=12BAD，GAE=EAF，在GAE和FAE中，AG=AFGAE=EAFAE=AE，GAEFAESAS，EG=EF，EG=BE+BG，EF=

10、BE+FD故答案为：EF=BE+FD（2）（1）中的结论仍成立，证明：延长CB至M，使BM=DF，ABC+D=180，1+ABC=180，1=D，在ABM和ADF中，AB=AD1=DBM=DF，ABMADFSAS，AF=AM，2=3,EAF=12BAD，2+4=12BAD=EAF，3+4=EAF即MAE=EAF，在AME和AFE中，AM=AFMAE=EAFAB=AE，AMEAFESAS，EF=ME，即EF=BE+BM（3）EF=BEFD，证明：在BE上截取BG使BG=DF，连接AG，B+ADC=180，ADF+ADC=180，B=ADF，在ABG和ADF中，AB=ADABG=ADFBG=DF，

11、ABGADFSAS，BAG=DAF，AG=AF，BAG+EAD=DAF+EAD =EAF=12BAD，GAE=EAF，在AEG和AEF中，AG=AFGAE=EAFAE=AE，AEGAEFSAS，EG=EF，EG=BEBG，EF=BEFD【点睛】此题主要考查了三角形全等的判定与性质，通过全等三角形来实现线段的转换是解题关键，没有明确的全等三角形时，要通过辅助线来构建与已知和所求条件相关联的全等三角形.【例4】（2022全国八年级课时练习）四边形ABCD是由等边ABC和顶角为120的等腰ABD排成，将一个60角顶点放在D处，将60角绕D点旋转，该60交两边分别交直线BC、AC于M、N，交直线AB于

12、E、F两点（1）当E、F都在线段AB上时（如图1），请证明：BM+AN=MN；（2）当点E在边BA的延长线上时（如图2），请你写出线段MB，AN和MN之间的数量关系，并证明你的结论；（3）在（1）的条件下，若AC=7，AE=2.1，请直接写出MB的长为 【答案】（1）证明见解析；（2）MB=MN+AN证明见解析；（3）2.8【分析】（1）把DBM绕点D逆时针旋转120得到DAQ，根据旋转的性质可得DM=DQ，AQ=BM，ADQ=BDM，然后求出QDN=MDN，利用“边角边”证明MND和QND全等，根据全等三角形对应边相等可得MN=QN，再根据AQ+AN=QN整理即可得证；（2）把DAN绕点D顺

13、时针旋转120得到DBP，根据旋转的性质可得DN=DP，AN=BP，根据DAN=DBP=90可知点P在BM上，然后求出MDP=60，然后利用“边角边”证明MND和MPD全等，根据全等三角形对应边相等可得MN=MP，从而得证；（3）过点M作MHAC交AB于G，交DN于H，可以证明BMG是等边三角形，根据等边三角形的性质可得BM=MG=BG，根据全等三角形对应角相等可得QND=MND，再根据两直线平行，内错角相等可得QND=MHN，然后求出MND=MHN，根据等角对等边可得MN=MH，然后求出AN=GH，再利用“角角边”证明ANE和GHE全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=GE，再根据BG=A

14、B-AE-GE代入数据进行计算即可求出BG，从而得到BM的长【详解】解：（1）证明：把DBM绕点D逆时针旋转120得到DAQ，则DM=DQ，AQ=BM，ADQ=BDM，QAD=CBD=90，点Q在直线CA上，QDN=ADQ+ADN=BDM+ADN=ABD-MDN=120-60=60，QDN=MDN=60，在MND和QND中，DMDQQDNMDNDNDN，MNDQND（SAS），MN=QN，QN=AQ+AN=BM+AN，BM+AN=MN；（2）：MB=MN+AN.理由如下：如图，把DAN绕点D顺时针旋转120得到DBP，则DN=DP，AN=BP，DAN=DBP=90，点P在BM上，MDP=ADB

15、-ADM-BDP=120-ADM-ADN=120-MDN=120-60=60，MDP=MDN=60，在MND和MPD中，DNDPMDPMDNDMDM，MNDMPD（SAS），MN=MP，BM=MP+BP，MN+AN=BM；（3）如图，过点M作MHAC交AB于G，交DN于H，ABC是等边三角形，BMG是等边三角形，BM=MG=BG，根据（1）MNDQND可得QND=MND，根据MHAC可得QND=MHN，MND=MHN，MN=MH，GH=MH-MG=MN-BM=AN，即AN=GH，在ANE和GHE中，QNDMHNAENGEHANGH，ANEGHE（AAS），AE=EG=2.1，AC=7，AB=A

16、C=7，BG=AB-AE-EG=7-2.1-2.1=2.8，BM=BG=2.8故答案为：2.8【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质及等腰三角形的性质，根据等边三角形的性质，旋转变换的性质作辅助线构造全等三角形是解题的关键，（3）作平行线并求出AN=GH是解题的关键，也是本题的难点培优训练一、解答题1（2022陕西西安市第三中学七年级期末）回答问题（1）【初步探索】如图1：在四边形ABCD中，AB=AD，B=ADC=90，E、F分别是BC、CD上的点，且EF=BE+FD，探究图中BAE、FAD、EAF之间的数量关系小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG=BE连接AG，先证明ABE

17、ADG，再证明AEFAGF，可得出结论，他的结论应是_；（2）【灵活运用】如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，B+D=180E、F分别是BC、CD上的点，且EF=BE+FD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；（3）【拓展延伸】知在四边形ABCD中，ABC+ADC=180，AB=AD，若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，如图3所示，仍然满足EF=BE+FD，请直接写出EAF与DAB的数量关系【答案】（1）BAE+FAD=EAF；（2）仍成立，理由见解析；（3）EAF=180-12DAB【分析】（1）延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，可判定ABEADG，进而得出BAE=DAG

18、，AE=AG，再判定AEFAGF，可得出EAF=GAF=DAG+DAF=BAE+DAF，据此得出结论；（2）延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，先判定ABEADG，进而得出BAE=DAG，AE=AG，再判定AEFAGF，可得出EAF=GAF=DAG+DAF=BAE+DAF；（3）在DC延长线上取一点G，使得DG=BE，连接AG，先判定ADGABE，再判定AEFAGF，得出FAE=FAG，最后根据FAE+FAG+GAE=360，推导得到2FAE+DAB=360，即可得出结论【详解】解：（1）BAE+FAD=EAF理由：如图1，延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，B=ADF=90，ADG=

19、ADF=90，B=ADG=90，又AB=AD，ABEADG（SAS），BAE=DAG，AE=AG，EF=BE+FD=DG+FD=GF，AF=AF，AEFAGF（SSS），EAF=GAF=DAG+DAF=BAE+DAF；故答案为：BAE+FAD=EAF；（2）仍成立，理由：如图2，延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，B+ADF=180，ADG+ADF=180，B=ADG，又AB=AD，ABEADG（SAS），BAE=DAG，AE=AG，EF=BE+FD=DG+FD=GF，AF=AF，AEFAGF（SSS），EAF=GAF=DAG+DAF=BAE+DAF；（3）EAF=180-12DAB证明：

20、如图3，在DC延长线上取一点G，使得DG=BE，连接AG，ABC+ADC=180，ABC+ABE=180，ADC=ABE，又AB=AD，ADGABE（SAS），AG=AE，DAG=BAE，EF=BE+FD=DG+FD=GF，AF=AF，AEFAGF（SSS），FAE=FAG，FAE+FAG+GAE=360，2FAE+（GAB+BAE）=360，2FAE+（GAB+DAG）=360，即2FAE+DAB=360，EAF=180-12DAB【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导

21、变形解题时注意：同角的补角相等2（2021陕西交大附中分校八年级开学考试）问题探究（1）如图，已知A=45，ABC=30，ADC=40，则BCD的大小为_；（2）如图，在四边形ABCD中，AB=BC，ABC=ADC=90，对角线BD=6求四边形ABCD的面积；小明这样来计算延长DC，使得CE=AD，连接BE，通过证明ABDCBE，从而可以计算四边形ABCD的面积请你将小明的方法完善并计算四边形ABCD的面积；问题解决（3）如图，四边形ABCD是正在建设的城市花园，其中AB=BC，ABC=60，ADC=30，DC=40米，AD=30米请计算出对角线BD的长度【答案】（1）115；（2）S四边形A

22、BCD=18；（3）对角线BD的长度为50米【分析】（1）利用外角的性质可求解；（2）延长DC，使得CE=AD，连接BE，通过证明ABDCBE，从而可以计算四边形ABCD的面积；（2）将BCD绕点B逆时针旋转60，得到BAF，连接FD，由旋转的性质可得BF=BD，AF=CD=40，BDC=BFA，由三角形内角和定理可求FAD=90，由勾股定理可求解【详解】解：（1）如图1，延长BC交AD于E，BCD=BED+D，BED=A+ABC，BCD=A+ABC +D =45+30+40=115，故答案为：115；（2）延长DC，使得CE=AD，连接BE， 在四边形ABCD中，ABC=ADC=90，A+B

23、CD=180，BCE+BCD=180，A=BCE，在ABD和CBE中，AB=BCA=BCEAD=CE，ABDCBE，BE=BD，ABD=CBE，SABD=SCBE，ABC=90，即ABD+DBC=90，CBE+DBC=90，即DBE=90，BD=BE=6，DBE=90，SBDE=12BEBD=18，SBDE=SCBE+SDBC=SABD+SDBC=S四边形ABCD=18；（4）如图，将BCD绕点B逆时针旋转60，得到BAF，连接FD，BCDBAF，FBD=60，BF=BD，AF=CD=40，BDC=BFA，BFD是等边三角形，BF=BD=DF，ADC=30，ADB+BDC=30，BFA+ADB

24、=30，FBD+BFA+BDA+AFD+ADF=180，60+30+AFD+ADF=180，AFD+ADF=90，FAD=90，DF=AF2+AD2=402+302=50，BD=50(米)答：对角线BD的长度为50米【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，添加辅助线构造全等三角形是本题的关键3（2021福建三明八年级期中）感知：如图，AD平分BAC，B+C=180，B=90判断DB与DC的大小关系并证明探究：如图，AD平分BAC，ABD+ACD=180，ABDAC，点E在BC上，点D在AB上，CE=CA，连接DE，ACB+ADE=180，C

25、HAB，垂足为H证明：DE+AD=23CH【答案】见解析【分析】如图，延长BA到点F，使AF=DE，连接CF、CD，根据四边形的内角和和邻补角互补可得CAF=CED，进而可根据SAS证明AFCEDC，可得CF=CD，ACF=ECD，进一步即可求得FCD=120，然后利用等腰三角形的性质和解直角三角形的知识即可证得结论【详解】证明：如图，延长BA到点F，使AF=DE，连接CF、CD，ACB+ADE=180，CAD+CED=360180=180，CAD+CAF=180，CAF=CED，AC=EC，AF=ED，AFCEDC，CF=CD，ACF=ECD，FCD=ACF+ACD=ECD+ACD=ACB=

26、120，CF=CD，CHDF，FH=DH=12DF=12DE+AD，HCD=12FCD=60，tanHCD=DHCH=3，DH=3CH，DE+AD=2DH=23CH【点睛】本题考查了四边形的内角和、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质和解直角三角形等知识，正确添加辅助线、灵活应用上述知识是解题的关键8（2020湖南湘西中考真题）问题背景：如图1，在四边形ABCD中，BAD=90，BCD=90，BA=BC，ABC=120，MBN=60，MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD、DC于E、F探究图中线段AE，CF，EF之间的数量关系小李同学探究此问题的方法是：延长FC到G，使CG=AE，连接BG，

27、先证明BCGBAE，再证明BFCBFE，可得出结论，他的结论就是_；探究延伸1：如图2，在四边形ABCD中，BAD=90，BCD=90，BA=BC，ABC=2MBN，MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD、DC于E、F上述结论是否仍然成立？请直接写出结论（直接写出“成立”或者“不成立”），不要说明理由探究延伸2：如图3，在四边形ABCD中，BA=BC，BAD+BCD=180，ABC=2MBN，MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD、DC于E、F上述结论是否仍然成立？并说明理由实际应用：如图4，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30的A处舰艇乙在指挥中心南偏东70的B处，并且两舰艇到指

28、挥中心的距离相等接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以75海里/小时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东50的方向以100海里/小时的速度前进，1.2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E、F处，且指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为70，试求此时两舰艇之间的距离【答案】EF=AE+CF探究延伸1：结论EF=AE+CF成立探究延伸2：结论EF=AE+CF仍然成立实际应用：210海里【分析】延长FC到G，使CG=AE，连接BG，先证明BCGBAE，可得BG=BE，CBG=ABE，再证明BGFBEF，可得GF=EF，即可解题；探究延伸1：延长FC到G，使CG=AE，连接BG，先证明BCGBAE，可得BG

29、=BE，CBG=ABE，再证明BGFBEF，可得GF=EF，即可解题；探究延伸2：延长FC到G，使CG=AE，连接BG，先证明BCGBAE，可得BG=BE，CBG=ABE，再证明BGFBEF，可得GF=EF，即可解题；实际应用：连接EF，延长AE，BF相交于点C，然后与探究延伸2同理可得EF=AE+CF，将AE和CF的长代入即可【详解】解：EF=AE+CF理由：延长FC到G，使CG=AE，连接BG，在BCG和BAE中，BC=BABCG=BAE=90CG=AE，BCGBAE（SAS），BG=BE，CBG=ABE，ABC=120，MBN=60，ABE+CBF=60，CBG+CBF=60，即GBF=

30、60，在BGF和BEF中，BG=BEGBF=EBFBF=BF，BGFBEF（SAS），GF=EF，GF=CG+CF=AE+CF，EF=AE+CF探究延伸1：结论EF=AE+CF成立理由：延长FC到G，使CG=AE，连接BG，在BCG和BAE中，BC=BABCG=BAE=90CG=AE，BCGBAE（SAS），BG=BE，CBG=ABE，ABC=2MBN，ABE+CBF=12ABC，CBG+CBF=12ABC，即GBF=12ABC，在BGF和BEF中，BG=BEGBF=EBFBF=BF，BGFBEF（SAS），GF=EF，GF=CG+CF=AE+CF，EF=AE+CF探究延伸2：结论EF=AE+

31、CF仍然成立理由：延长FC到G，使CG=AE，连接BG，BAD+BCD=180，BCG+BCD=180，BCG=BAD在BCG和BAE中，BC=BABCG=BAECG=AE，BCGBAE（SAS），BG=BE，CBG=ABE，ABC=2MBN，ABE+CBF=12ABC，CBG+CBF=12ABC，即GBF=12ABC，在BGF和BEF中，BG=BEGBF=EBFBF=BF，BGFBEF（SAS），GF=EF，GF=CG+CF=AE+CF，EF=AE+CF实际应用：连接EF，延长AE，BF相交于点C，AOB=30+90+(90-70)=140，EOF=70，EOF=12AOBOA=OB，OAC

32、+OBC=(90-30)+(70+50)=180，符合探索延伸中的条件结论EF= AE+CF仍然成立即EF=751.2+1001.2=210（海里）答：此时两舰艇之间的距离为210海里【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质作辅助线构造全等三角形是解题的关键9（2019重庆西南大学附中八年级阶段练习）如图1，四边形ABCD中，BDAD，E为BD上一点，AEBC，CEBD，CEED（1）已知AB10，AD6，求CD；（2）如图2，F为AD上一点，AFDE，连接BF，交BF交AE于G，过G作GHAB于H，BGH75求证：BF22GH+2EG【答案】（1）22；（2）证明见解析【分析】（1）由勾股定

33、理得出BDAB2AD28，由HL证得RtADERtBEC，得出BEAD，则CEEDBDBEBDAD2，由等腰直角三角形的性质即可得出结果；（2）连接CF，易证AFCE，ADCE，得出四边形AECF是平行四边形，则AECF，AECF，得出CFDEAD，CFBAGF，由RtADERtBEC，得出CBEEAD，推出CBECFD，证得BCF是等腰直角三角形，则BF2BC2CF2AE，FBCBFC45，推出AGF45，AGH60，GAH30，则AG2GH，得出BF2AE2（AG+EG），即可得出结论【详解】（1）解：BDAD，BDAB2AD2102628，CEBD，CEBEDA90，在RtADE和RtB

34、EC中，AE=BCED=CE，RtADERtBEC（HL），BEAD，CEEDBDBEBDAD862，CD2CE22；（2）解：连接CF，如图2所示：AFDE，DECE，AFCE，BDAD，CEBD，ADCE，四边形AECF是平行四边形，AECF，AECF，CFDEAD，CFBAGF，由（1）得：RtADERtBEC，CBEEAD，CBECFD，FBD+BFC+CFD90，FBD+BFC+CBE90，BCF90，AEBC，BCCF，BCF是等腰直角三角形，BF2BC2CF2AE，FBCBFC45，AGF45，BGH75，AGH180457560，GHAB，GAH30，AG2GH，BF2AE2（

35、AG+EG），BF22GH+2EG【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、含30角直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握直角三角形的性质、作辅助线构建平行四边形是解题的关键10（2021全国九年级专题练习）探究问题：(1)方法感悟：如图，在正方形ABCD中，点E，F分别为DC，BC边上的点，且满足BAF45，连接EF，求证DEBFEF感悟解题方法，并完成下列填空：将ADE绕点A顺时针旋转90得到ABG，此时AB与AD重合，由旋转可得：ABAD，BGDE，12，ABGD90，ABGABF9090180，因此，点G，B，F在

36、同一条直线上EAF4523BADEAF90454512，1345即GAF_又AGAE，AFAEGAF_EF，故DEBFEF(2)方法迁移：如图，将RtABC沿斜边翻折得到ADC，点E，F分别为DC，BC边上的点，且EAF12DAB试猜想DE，BF，EF之间有何数量关系，并证明你的猜想【答案】(1)EAF、EAF、GF；(2)DEBFEF.【分析】（1）利用角之间的等量代换得出GAF=FAE，再利用SAS得出GAFEAF，得出答案；（2）将ADE顺时针旋转90得到ABG，再证明AGFAEF，即可得出答案；【详解】解：（1）如图所示；根据等量代换得出GAF=FAE，利用SAS得出GAFEAF，GF

37、=EF，故答案为FAE；EAF；GF； (2)DEBFEF，理由如下：假设BAD的度数为m，将ADE绕点A顺时针旋转，m得到ABG，如图，此时AB与AD重合，由旋转可得：ABAD，BGDE，12，ABGD90，ABGABF9090180，因此，点G，B，F在同一条直线上EAF=12m，2+3=BADEAF=m12m=12m12， 1312m即GAFEAF在AGF和AEF中，AGAEGAFEAFAFAF，GAFEAF（SAS）GFEF又 GFBGBFDEBF，DEBFEF【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定和性质、以及折叠的性质和旋转变换性质等知识，证得GAFEAF是解题的关键11（2021全

38、国八年级专题练习）我们规定：一组邻边相等且对角互补的四边形叫作“完美四边形”（1）在平行四边形，菱形，矩形，正方形中，一定为“完美”四边形的是 （请填序号）；（2）在“完美”四边形ABCD中，AB=AD，B+D=180，连接AC如图1，求证：AC平分BCD；小明通过观察、实验，提出以下两种想法，证明AC平分BCD：想法一：通过B+D=180，可延长CB到E，使BE=CD，通过证明AEBACD，从而可证AC平分BCD；想法二：通过AB=AD，可将ACD绕点A顺时针旋转，使AD与AB重合，得到AEB，可证C,B,E三点在条直线上，从而可证AC平分BCD请你参考上面的想法，帮助小明证明AC平分BCD

39、；如图2，当BAD=90，用等式表示线段AC,BC,CD之间的数量关系，并证明.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；BC+CD=2AC【分析】（1）根据“完美四边形”的定义可以判断出正方形是完美四边形；（2）想法一：通过B+D=180，可延长CB到E，使BE=CD，通过证明AEBACD，从而可证AC平分BCD；想法二：通过AB=AD，可将ACD绕点A顺时针旋转，使AD与AB重合，得到AEB，可证C,B,E三点在条直线上，从而可证AC平分BCD；延长CB使BE=CD，连接AE，可得ACE为等腰三角形，因为BAD =90得EAC=90，由勾股定理可得AC,BC,CD之间的数量关系.【详解】（1

40、）（1）根据“邻等对补四边形”的定义，正方形一定是“邻等对补四边形”故答案为（2）想法一：延长CB使BE=CD，连接AEADC+ABC=180，ABE+ABC=180，ADC=ABEAD=AB，ADCABEACD=AEB;AC=AEACB=AEBACD=ACB即AC平分BCD想法二：将ACD绕点A顺时针旋转，使AD边与AB边重合，得到ABE，ADCABEADC=ABE;ACD=AEB;AC=AEADC+ABC=180，ABE+ABC=180点C,B,E在一条直线上AC=AE，ACB=AEBACD=ACB即AC平分BCD延长CB使BE=CD，连接AE，由得ADCABEAC=AEACE为等腰三角形

41、BAD =90，EAC=90CE2=2AC2 CE=2AC BC+CD=2AC【点睛】本题考查四边形综合题、全等三角形的判定和性质、角平分线的判定定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题12（2019全国九年级专题练习）如图，ABC是边长为4的等边三角形，点D是线段BC的中点，EDF=120，把EDF绕点D旋转，使EDF的两边分别与线段AB、AC交于点E、F（1）当DFAC时，求证：BE=CF；（2）在旋转过程中，BE+CF是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由【答案】（1）证明见解析；（2）是，2.【分析】（1）根据四边形内角和为360，可求D

42、EA=90，根据“AAS”可判定BDECDF，即可证BE=CF；（2）过点D作DMAB于M，作DNAC于N，如图2，易证MBDNCD，则有BM=CN，DM=DN，进而可证到EMDFND，则有EM=FN，就可得到BE+CF=BM+EM+CF=BM+FN+CF=BM+CN=2BM=2BDcos60=BD=12BC=2.【详解】（1）ABC是边长为4的等边三角形，点D是线段BC的中点，B=C=60，BD=CD，DFAC，DFA=90，A+EDF+AFD+AED=180，AED=90，DEB=DFC，且B=C=60，BD=DC，BDECDF（AAS）（2）过点D作DMAB于M，作DNAC于N，则有AM

43、D=BMD=AND=CND=90A=60，MDN=360-60-90-90=120EDF=120，MDE=NDF在MBD和NCD中，BMDCNDBCBDCD，MBDNCD（AAS）BM=CN，DM=DN在EMD和FND中，EMDFNDDMDNMDENDF，EMDFND（ASA）EM=FN，BE+CF=BM+EM+CF=BM+FN+CF=BM+CN=2BM=2BDcos60=BD=12BC=2.【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、特殊角的三角函数值等知识，通过证明三角形全等得到BM=CN，DM=DN，EM=FN是解决本题的关键13（2022全国八年级专题练习）如

44、图所示，ABC为等边三角形，边长为4，点O为BC边中点，EOF=120，其两边分别交AB和CA的延长线于E，F，求AEAF的值.【答案】6【分析】过点O作OCAB交AD于点C，根据等腰三角形的性质就可以得出OCFOBE，就可以得出CF=BE，进而可以得出结论【详解】过点O作ODAB交AC于点D，CDO=A=ACB=ABC=60，DOC=60，ADO=BOD=120CDO是等边三角形，DO=CO，DO=BO=ADABC是等边三角形，AB=AC=BCCAB=ABC=C=60，OBE=120，ODF=OBEFOB+BOE=EOF=120，DOF+FOB=BOD=120FOD=EOB在DOF和BOE中

45、，ODFOBEDOBOFODEOB，DOFBOE（ASA）FC=EBOF=OEAE=AB+BE，AE=AB+DF，AE=AB+AD+AF，AE-AF=AB+ADAB+AD=32AB，AE-AF=32ABAB=4，AE-AF=6.【点睛】本题考查了等边三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，线段中点的性质的运用，解答时正确作辅助线证明三角形全等是关键14（2019全国九年级专题练习）如图所示，ABC中，AB=BC=1，ABC=90，把一块含30角的直角三角板DEF的直角顶点D放在AC的中点上（直角三角板的短直角边为DF，长直角边为DE），将三角板DEF绕D点按逆时针方向旋转.（1）在如

46、图所见中，DE交AB于M，DF交BC于N，证明DM=DN；（2）继续旋转至如图所见，延长AB交DE于M，延长BC交DF于N，证明DM=DN.【答案】(1)见解析；（2）见解析.【分析】（1）连接BD，证明DMBDNC根据已知，全等条件已具备两个，再证出MDB=NDC，用ASA证明全等，四边形DMBN的面积不发生变化，因为它的面积始终等于ABC面积的一半；（2）同样利用（1）中的证明方法可以证出DMBDNC；（3）方法同（1）【详解】证明：（1）连接BD,AB=BC，ABC=90，点D为AC的中点BDAC，A=C=45BD=AD=CDABD=A=45MBD=C=45MDB+BDN=90NDC+B

47、DN=90MDB=NDC在MDB和NDC中MBDCBDCDMDBNDC MDBNDC（ASA）DM=DN（5分）（2）DM=DN仍然成立理由如下：连接BD，由（1）知BDAC，BD=CDABD=ACB=45ABD+MBD=180ACB+NCD=180 MBD=NCDBDACMDB+MDC=90又NDC+MDC=90MDB=NDC在MDB和NDC中MBDNCDBDCDMDBNDC MDBNDC（ASA）DM=DN.【点睛】本题主要考查学生的推理能力，题目比较典型，利用ASA求三角形全等（手拉手模型），还运用了全等三角形的性质，等腰直角三角形的性质，及等腰三角形三线合一定理等知识15（2019江西

48、南昌市第十九中学九年级阶段练习）一位同学拿了两块45三角尺MNK，ACB做了一个探究活动：将MNK的直角顶点M放在ACB的斜边AB的中点处，设AC=BC=4.（1）如图1所示，两三角尺的重叠部分为ACM，则重叠部分的面积为_，周长为_.（2）将如图1所示中的MNK绕顶点M逆时针旋转45，得到如图2所示，此时重叠部分的面积为_，周长为_.（3）如果将MNK绕M旋转到不同于如图1所示和如图2所示的图形，如图3所示，请你猜想此时重叠部分的面积为_.（4）在如图3所示情况下，若AD=1，求出重叠部分图形的周长.【答案】（1）4，4+42；（2）4，8；（3）4；（4）4+25【分析】1根据AC=BC=

49、4，ACB=90，得出AB的值，再根据M是AB的中点，得出AM=MC，求出重叠部分的面积，再根据AM，MC，AC的值即可求出周长； 2易得重叠部分是正方形，边长为12AC，面积为14AC2，周长为2AC. 3过点M分别作AC、BC的垂线MH、ME，垂足为H、E.求得RtMHDRtMEG，则阴影部分的面积等于正方形CEMH的面积. 4先过点M作MEBC于点E，MHAC于点H，根据DMH=EMH，MH=ME，得出RtDHMRtEMG，从而得出HD=GE，CE=AD，最后根据AD和DF的值，算出DM=5，即可得出答案.【详解】解：1AC=BC=4，ACB=90，AB=AC2+BC2=42+42=42

50、，M是AB的中点，AM=22，ACM=45，AM=MC，重叠部分的面积是22222=4，周长为：AM+MC+AC=22+22+4=4+42；故答案为4，4+42；2重叠部分是正方形，边长为124=2，面积为1444=4，周长为24=8故答案为4，83过点M分别作AC、BC的垂线MH、ME，垂足为H、E，M是ABC斜边AB的中点，AC=BC=4，MH=12BC，ME=12AC，MH=ME，又NMK=HME=90，NMH+HMK=90，EMG+HMK=90，HMD=EMG，在MHD和MEG中，HMD=GMEMH=MEDHM=MEG，MHDMEGASA，阴影部分的面积等于正方形CEMH的面积，正方形

51、CEMH的面积是MEMH=124124=4；阴影部分的面积是4；故答案为44如图所示，过点M作MEBC于点E，MHAC于点H，四边形MECH是矩形，MH=CE， A=45， AMH=45， AH=MH， AH=CE， 在RtDHM和RtGEM中，DMH=EMGMH=MEDHM=GEM，RtDHMRtGEM. GE=DH， AHDH=CEGE， CG=AD， AD=1， DH=1. DM=1+4=5四边形DMGC的周长为： CE+CD+DM+ME =AD+CD+2DM=4+25【点睛】此题考查了等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质，等腰直角三角形的面积公式，正方形的面积公式，全等三角形的判定

52、和性质求解16（2019江苏常州一模）我们定义：有一组对角为直角的四边形叫做“对直角四边形”（1）如图，四边形ABCD为对直角四边形，B=90，若AB2-AD2=4，求CD2-BC2的值；（2）如图，四边形ABCD中，ABC=90，AB=BC，若BD平分ADC，求证：四边形ABCD为对直角四边形；（3）在（2）的条件下，如图，连结AC，若SACDSABC=35，求tanACD的值【答案】 4；见解析 ；tanACD的值为3或13【分析】（1）利用勾股定理即可解决问题；（2）如图中，作BECD于E，BFDA交DA的延长线于F只要证明EBF=90即可解决问题；（3）如图中，设AD=x，BD=y根据

53、SACDSABC=35，构建方程即可解决问题.【详解】解：如图中，四边形ABCD为对直角四边形，B=90，D=B=90，AC2=AB2+BC2=AD2+DC2，CD2-BC2=AB2-AD2=4（2）证明：如图中，作BECD于E，BFDA交DA的延长线于FBD平分ADC，BECD，BFAD，BE=BF，BFA=BEC=90，BA=BC，BF=BE，RtBFARtBEC（HL），ABF=CBE，EBF=ABC=90，ADC=360-90-90-90=90，ABC=ADC=90，四边形ABCD为对直角四边形（3）解：如图中，设AD=x，BD=yADC=90，tanACD=xy，AC=x2+y2，A

54、B=AC，ABC=90，AB=BC=22x2+y2，SACDSABC=35，12xy14x2+y2=35，整理得：3x2-10xy+3y2，3（xy）2-10xy+3=0，xy=3或13tanACD的值为3或13【点睛】本题属于四边形综合题，考查了勾股定理，三角形的面积，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数，构建方程解决问题，属于中考压轴题17（2021全国九年级专题练习）阅读下面材料：小炎遇到这样一个问题：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，EAF=45，连结EF，则EF=BE+DF，试说明理

55、由小炎是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段相对集中她先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，最后发现线段AB，AD是共点并且相等的，于是找到解决问题的方法她的方法是将ABE绕着点A逆时针旋转90得到ADG，再利用全等的知识解决了这个问题（如图2）参考小炎同学思考问题的方法，解决下列问题：（1）如图3，四边形ABCD中，AB=AD，BAD=90点E，F分别在边BC，CD上，EAF=45若B，D都不是直角，则当B与D满足_ 关系时，仍有EF=BE+DF；（2）如图4，在ABC中，BAC=90，AB=AC，点D、E均在边BC上，且DAE=45，若BD=1， EC=2，求DE的长【答

56、案】（1）B+D=180（或互补）；（2）DE=5【详解】试题分析：(1)如图，ABE绕着点A逆时针旋转90得到ADG，利用全等的知识可知，要使EF=BE+DF，即EF=DG+DF，即要F、D、G三点共线，即ADG+ADF=180，即B+D=180 (2) 把ABD绕A点逆时针旋转90至ACG，可使AB与AC重合，通过证明AEGAED得到DE=EG，由勾股定理即可求得DE的长(1)B+D=180（或互补）(2) AB=AC， 把ABD绕A点逆时针旋转90至ACG，可使AB与AC重合则B=ACG，BD=CG，AD=AG在ABC中，BAC=90，ACB+ACG=ACB+B=90于，即ECG=90

57、EC2+CG2=EG2在AEG与AED中,EAG=EAC+CAG=EAC+BAD=90-EAD=45=EAD又AD=AG，AE=AE，AEGAED DE=EG又CG=BD, BD2+EC2=DE2DE=5考点：1面动旋转问题；2全等三角形的判定和性质；3勾股定理18（2021全国八年级专题练习）已知：ABC=ADC=90,AD=DC，求证：BC+AB=2BD【答案】见解析【分析】过点D作BA的垂线交BA的延长线于点E，过点D作BC的垂线交BC于点F，根据AAS证明DEADFC得EA=FC,ED=FD，再证明四边形EBFD是正方形，由勾股定理进一步得出结论【详解】证明：过点D作BA的垂线交BA的

58、延长线于点E，过点D作BC的垂线交BC于点F，如图易知DAB+ABC+BCD+ADC=360ABC=ADC=90，DAB+BCD=180又DAB+DAE=180，DAE=BCDDEAB,DFBC，DEB=DFC=90又AD=CD，DEADFCAAS，EA=FC,ED=FD又DEAB,DFBC，ABC=90，四边形EBFD是正方形，ED=BF=FD=EB,EB2+ED2=BD2，2EB2=BD2，EB=22BD，EB+BF=2BDEB=BA+EA,BF=BCCF，BA+EA+BCCF=2BDEA=FC，BA+BC=2BD【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，正方形的判定，勾股定理等知识，由勾股定理得出EB=22BD是解答本题的关键