专题5.16应用二元一次方程组——增收节支（知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（北师大版）.docx

1、专题5.16 应用二元一次方程组增收节支（知识梳理与考点分类讲解）【知识点1】列二元一次方程组解决增收节支问题（1） 增长（降低）率问题：增长（降低）率=增（减）量/基数100%，增长（减少）后的数量=基数【1增长（降低）率】.（2） 销售问题：销售额=售价销量，总利润=总销售额-总成本=单件的利润销量=（售价-进价）销量，利润率=利润/进价100%，打折后的价格=原价折数10（3） 储蓄问题：利息=本金利率期数.本息和=本金+利息.注意：在计算过程中要保持单位的统一.【特别提醒】1.对于增长（降低）率问题，审题时一定要看清是增长还是降低，而且要看准在哪一个量的基础上增长或降低，不要颠倒.2.

2、在储蓄问题中注意利率要根据期数而定，期数是按月算的，利率就用月利率，期数是按年算的，利率就用年利率.【考点目录】【考点1】方案问题； 【考点2】行程问题；【考点3】工程问题； 【考点4】销售与利润问题.【考点一】方案问题【例1】（2022上广东深圳八年级校考期末）现欲将一批荔枝运往外地销售，若用辆型车和辆型车载满荔枝一次可运走吨；辆型车和辆型车载满荔枝一次可运走吨现有荔枝吨，计划同时租用型车辆，型车辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物根据以上信息，解答下列问题：（1）辆型车和辆型车都载满荔枝一次可分别运送多少吨？（2）请你帮该物流公司设计租车方案【答案】（1）辆型车载满荔枝一次可运送吨，辆型车

3、载满荔枝一次可运送吨；（2）该物流公司共有种租车方案，方案：租用辆型车，辆型车；方案：租用辆型车，辆型车；方案：租用辆型车，辆型车【分析】（1）设辆型车载满荔枝一次可运送吨，辆型车载满荔枝一次可运送吨，由“用辆型车和辆型车载满荔枝一次可运走吨；辆型车和辆型车载满荔枝一次可运走吨”，列出二元一次方程组，解方程组即可得出结论；（2）由“现有荔枝吨，计划同时租用型车辆，型车辆，一次运完，且恰好每辆车都载满荔枝”，列出二元一次方程，结合、均为非负整数，即可得出各租车方案（1）解：设辆型车载满荔枝一次可运送吨，辆型车载满荔枝一次可运送吨，由题意得：，解得：，答：辆型车载满荔枝一次可运送吨，辆型车载满荔枝

4、一次可运送吨；（2）由题意得：，又、均为非负整数，或或，该物流公司共有种租车方案，方案：租用辆型车，辆型车；方案：租用辆型车，辆型车；方案：租用辆型车，辆型车【点拨】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程【举一反三】【变式1】（2023下黑龙江齐齐哈尔七年级统考期末）五四青年节某校举办歌咏比赛，为鼓励本班同学们积极参加，刘老师花了48元钱买了甲、乙两种（两种都买）碳素笔作为奖品已知甲种碳素笔每支6元，乙种碳素笔每支4元，则老师购买碳素笔的方案共有（）A4种B3种C2种D1种【答案】

5、B【分析】本题考查了二元一次方程的应用，设刘老师购买x本甲种碳素笔，本乙种碳素笔，利用总价单价数量，可得出关于，的二元一次方程，结合，均为正整数，即可得出张老师购买碳素笔的方案共有3种解：设刘老师购买本甲种碳素笔，本乙种碳素笔，根据题意得：，是正整数，或或刘老师购买碳素笔的方案共有3种故选：B【变式2】（2023下山东烟台七年级统考期中）五一小长假，小华和家人到公园游玩湖边有大小两种游船小华发现1艘大船与2艘小船一次共可以满载游客32人，2艘大船与1艘小船一次共可以满载游客46人则1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客的人数为 【答案】【分析】设1艘大船可载人，1艘小船可载人，依题意：1艘大船与

6、2艘小船一次共可以满载游客32人，2艘大船与1艘小船一次共可以满载游客46人列出二元一次方程组，求出的值即可解：设1艘大船可载人，1艘小船可载人，依题意得：，得：，即1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客的人数为26，故答案为：【点拨】此题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键【考点二】行程问题【例2】（2023下重庆渝中七年级重庆市求精中学校校考期中）甲乙两地相距240千米，一辆小车和一辆摩托车分别从甲、乙两地同时出发相向而行，1小时20分两车相遇相遇后，摩托车继续前进，小车在相遇处停留1个小时后调头按原速返回甲地，小车在返回后半小时追上了摩托车，（1）求

7、小车和摩托车的速度（2）求相遇后，摩托车继续行驶多少小时两车相距30千米？【答案】（1）小汽车和摩托车速度分别为135千米/小时，45千米/小时；（2）小时或小时或小时或小时【分析】（1）小车的速度为千米时，摩托车的速度为千米时，利用路程速度时间，结合两车速度间的关系，可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出小车和摩托车的速度；（2）设相遇后，摩托车继续行驶小时两车相距30千米，利用路程速度时间，结合两车相距30千米，可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论（1）解：1小时20分小时设小车的速度为千米时，摩托车的速度为千米时，根据题意得：，解得：答：小车的速度为135千米时，摩托车的速度为

8、45千米时；（2）设相遇后，摩托车继续行驶小时两车相距30千米，根据题意得：或或或，解得：或或或答：相遇后，摩托车继续行驶小时或小时或小时或小时两车相距30千米【点拨】本题考查了一元一次方程的实际应用，解题的关键是对于（2）要用分类讨论的思想求解，注意不要漏解【举一反三】【变式1】（2023下贵州七年级校联考阶段练习）甲、乙两地相距，小轿车从甲地出发后，大客车从乙地出发相向而行，又经过两车相遇已知小轿车比大客车每小时多行，设大客车每小时行，小轿车每小时行，则可列方程组为（）A B CD【答案】B【分析】设大客车每小时行，小轿车每小时行，根据小轿车比大客车每小时多行20千米，甲车行驶2小时，两车

9、相向行驶4小时共走了880千米，据此列方程组求解解：设大客车每小时行，小轿车每小时行，由题意得：，故选：B【点拨】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解【变式2】（2023下云南曲靖七年级统考期末）从甲地到乙地有一段上坡路与一段平路，如果上坡每小时走，平路每小时走，下坡每小时走，那么从甲地到乙地需要36分钟，从乙地到甲地需要24分钟，甲地到乙地全程是多少？根据题意，老师给出的方程组为，则方程组中x表示 【答案】从甲地到乙地的上坡路程【分析】设从甲地到乙地的上坡路为，平路为，根据保持上坡每小时走，平路每小时走，下坡每小时走

10、，那么从甲地到乙地用36分钟，从乙地到甲地用24分钟即可列出方程组，据此解答即可解：设从甲地到乙地的上坡路为，平路为，依题意得，方程组中x表示从甲地到乙地的上坡路程，故答案为：从甲地到乙地的上坡路程【点拨】根据实际问题中的条件列方程组时，要注意抓住题目中的一些关键性词语，找出等量关系，列出方程组【考点三】工程问题【例3】（2022下河北石家庄七年级校考阶段练习）现有一段长为180米的河道整治任务由A，B两个工程队先后接力完成A工程队每天整治12米，B工程队每天整治8米，共用时20天（1）根据题意，甲列出的方程组为分析甲所列的方程组，请指出未知数x，y表示的意义，x表示 ，y表示 ；（2）若设A

11、工程队共整治河道m米，B工程队共整治河道n米，请根据题意列出二元一次方程组，并求出m，n的值【答案】（1）A工程队整治河道的天数；B工程队整治河道的天数；（2）；60，120【分析】（1）根据所列的方程组，结合题意，作答即可；（2）根据有一段长为180米的河道整治任务由A，B两个工程队先后接力完成，得到，根据共用时20天得到：，即可得出方程组，再求解即可（1）解：由题意和所列方程组可知：x表示A工程队整治河道的天数，表示：B工程队整治河道的天数，故答案为：A工程队整治河道的天数；B工程队整治河道的天数；（2）设A工程队共整治河道m米，B工程队共整治河道n米，由题意，得：，解得：即m，n的值分别

12、为60，120【点拨】本题考查二元一次方程组的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程组是解题的关键【举一反三】【变式1】（2021上四川巴中八年级四川省巴中中学校考期中）某污水处理厂库池里现有待处理的污水m吨另有从城区流入库池的待处理污水（新流入污水按每小时n吨的定流量增加）若该厂同时开动2台机组，需30小时处理完污水；若同时开动3台机组，需15小时处理完污水若5小时处理完污水，则需同时开动的机组数为（）A6台B7台C8台D9台【答案】B【分析】设同时开动x台机组，每台机组每小时处理a吨污水，根据“如果同时开动2台机组要30小时刚好处理完污水，同时开动3台机组要15小时刚好处理完污水”，即可得

13、出关于m，n的二元一次方程组，解之即可得出m，n的值（用含a的代数式表示），再由5小时内将污水处理完毕，即可得出关于关于x的一元一次方程，解之可得出结论解：设同时开动x台机组，每台机组每小时处理a吨污水，依题意，得，解得：，5ax=30a+5a，x=7答：要同时开动7台机组故选：B【点拨】本题考查的是用二元一次方程组来解决实际问题，正确的理解题意是解题的关键【变式2】（2020上重庆万州八年级校考期中）一水池有一个进水管和三个完全相同的出水管，现水池中有一定量的水，打开进水管（注水速度一致），若只打开一个出水管，则1小时正好能把水池中的水放完；若打开两个出水管，则20分钟正好能把水池中的水放完

14、；问若打开三个出水管，则需要 分钟恰好能把水池中的水放完【答案】12【分析】设进水管的进水速度为x，每一个出水管的出水速度为y，水池中原有水量为a，根据题意列方程组求解解：设进水管的进水速度为x，每一个出水管的出水速度为y，水池中原有水量为a，由题意可得：，解得：设打开三个出水管需要b小时能把水池中的水放完，则时=12分故答案为：12【点拨】本题考查二元一次方程组的应用，理解题意，正确列出等量关系求解是关键【考点四】销售与利润问题【例4】（2023上全国八年级专题练习）为促进消费，某商家对商品进行打折促销打折前，2件A商品和1件B商品的总售价为30元；1件A商品和2件B商品的总售价为33元（1

15、）求每件A商品和每件B商品的售价；（2）若两种商品的折扣相同，打折后，9件A商品和8件B商品共用了141.6元求商家打几折出售这两种商品【答案】（1）每件A商品售价为9元，每件B商品的售价为12元；（2）商家打8折出售这两种商品【分析】本题考查一元一次方程，二元一次方程组的应用 （1）设每件A商品售价为x元，每件B商品的售价为y元，根据2件A商品和1件B商品的总售价为30元；1件A商品和2件B商品的总售价为33元得解方程组求解即可；（2）设商家打m折出售这两种商品，根据9件A商品和8件B商品共用了141.6元列方程求解即可解：（1）设每件A商品售价为x元，每件B商品的售价为y元，根据题意得：，

16、解得，每件A商品售价为9元，每件B商品的售价为12元；（2）设商家打m折出售这两种商品，根据题意得：，解得，答：商家打8折出售这两种商品【举一反三】【变式1】（2023下湖南益阳七年级校考期中）五一节前夕，某超市用1680元购进A，B两种商品共60件，A型商品每件24元，B型商品每件36元，设购进A型商品件，B型商品件，依题意列方程组正确的是（）ABCD【答案】B【分析】根据A、B两种商品共60件以及用1680元购进A、B两种商品，分别得出等式组成方程组即可解：设购进A型商品件，B型商品件，根据题意，得故选：B【点拨】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程组【变式2】（2023下河北秦皇岛七年级统考期中）在当地农业技术部门的指导下，小明家种植的大棚油桃喜获丰收，去年大棚油桃的利润（利润=收入-支出）为12000元，今年大棚油桃的收入比去年增加了20%，支出减少了10%，预计今年的利润比去年多11400元，设小明家去年种植大棚油桃的收入为x元，支出是y元依题意列方程组 【答案】【分析】审题，明确等量关系，建立方程组解：由题意知，今年收入为，今年支出，故故答案为：【点拨】本题考查二元一次方程组的应用，根据题意明确等量关系是解题的关键