专题6-3 双曲线方程及其性质 （专题分层练）（4种题型）解析版.docx

1、专题验收评价专题6-3 双曲线方程及其性质 内容概览A常考题不丢分一双曲线的定义（共1小题）二双曲线的标准方程（共7小题）三双曲线的性质（共11小题）四直线与双曲线的综合（共6小题）B拓展培优拿高分（压轴题）（8题）C挑战真题争满分（5题）一双曲线的定义（共1小题）1（2022春长宁区校级期末）若将方程化简为的形式，则2【分析】方程，表示点到，两点距离差的绝对值为6，由此可得双曲线的方程，从而可得结论【解答】解：方程，表示点到，两点距离差的绝对值为6，轨迹为以，为焦点的双曲线，方程为故答案为：2【点评】本题考查双曲线的定义与方程，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题二双曲线的标准方程（共7小

2、题）2（2023宝山区校级模拟）若双曲线经过点，且渐近线方程是，则这条双曲线的方程是【分析】根据题意中所给的双曲线的渐近线方，则可设双曲线的标准方程为，；将点代入方程，可得；即可得答案【解答】解：根据题意，双曲线的渐近线方程是，则可设双曲线的标准方程为，；又因为双曲线经过点，代入方程可得，；故这条双曲线的方程是；故答案为：【点评】本题考查双曲线的标准方程，要求学生掌握由渐近线方程引入，进而设双曲线方程的方法，注意标明3（2023秋宝山区校级期末）双曲线的左焦点坐标是 【分析】根据双曲线的定义求解【解答】解：因为，所以，且焦点在轴上，所以左焦点为故答案为：【点评】本题主要考查双曲线性质应用，属于

3、基础题4（2023秋虹口区校级期中）已知双曲线的离心率为，且该双曲线的焦点与椭圆的焦点重合，则这个双曲线的方程是 【分析】根据题意列方程，解方程得到，即可得到双曲线方程【解答】解：由题意得，解得，则双曲线方程为故答案为：【点评】本题考查双曲线的几何性质，考查双曲线方程的求法，是基础题5（2023秋奉贤区校级期中）以椭圆的焦点为顶点、椭圆的顶点为焦点的双曲线的标准方程是 【分析】由已知求出椭圆的顶点坐标与焦点坐标，可得双曲线的焦点坐标与顶点坐标，进一步得到与的值，则答案可求【解答】解：由椭圆的方程，得焦点坐标为，顶点坐标为、，若双曲线以椭圆的焦点为顶点，以椭圆的顶点为焦点，则双曲线的焦点坐标为，

4、顶点坐标为，则其中，则，故要求双曲线的方程为：故答案为：【点评】本题考查椭圆与双曲线的几何性质，考查双曲线标准方程的求法，是基础题6（2023春黄浦区校级期中）从某个角度观察篮球（如图，可以得到一个对称的平面图形，如图2所示，篮球的外轮形状为圆，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线的一部分，若坐标轴和双曲线与圆的交点将圆的周长八等分，且，视所在直线为轴，则双曲线的标准方程方程为 【分析】由已知结合双曲线的性质先求出，然后把已知点的坐标代入双曲线方程可求【解答】解：设所求双曲线方程为：，则根据题意可得，点在双曲线上，所求曲线方程为故答案为：【点评】本题主要考查了双曲线的性质在双曲线方程求解中的应

5、用，属于基础题7（2023春普陀区校级月考）若双曲线的一条渐近线经过点，且焦点到该渐近线的距离为2，则该双曲线的方程为 或【分析】直接利用双曲线的性质求出双曲线的方程【解答】解：当双曲线的焦点在轴上时，双曲线的渐近线方程为，由于双曲线的一条渐近线经过点，所以，由焦点到该渐近线的距离为2，整理得，解得，故，故双曲线的方程为当双曲线的焦点在轴上时，双曲线的渐近线方程为，由于双曲线的一条渐近线经过点，所以，由焦点到该渐近线的距离为2，整理得，解得，故，故双曲线的方程为故答案为：或【点评】本题考查的知识要点：双曲线的方程的求法，双曲线的性质，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题和易错题8（20

6、23春黄浦区校级期中）双曲线经过两点，则双曲线的标准方程是 【分析】可设双曲线方程为，把、两点的坐标代入组成方程组求解即可【解答】解：设双曲线方程为：，由双曲线过、两点，得，解得，所以双曲线的标准方程为：故答案为：【点评】本题考查了双曲线的标准方程求法问题，是基础题三双曲线的性质（共11小题）9（2023奉贤区校级三模）如图，直角坐标系中有4条圆锥曲线，2，3，其离心率分别为则4条圆锥曲线的离心率的大小关系是ABCD【分析】由椭圆的性质，结合双曲线的性质求解即可【解答】解：设椭圆的方程为，椭圆的方程为，由图可知，则，即，即，即，设双曲线的方程为，双曲线的方程为，由图可知，即，即，即，即故选：【

7、点评】本题考查了椭圆的性质，重点考查了双曲线的性质，属基础题10（2023浦东新区校级三模）已知双曲线的一个焦点坐标为，则双曲线的离心率为ABC2D4【分析】把双曲线方程化成标准形式，求出即可求出离心率作答【解答】解：双曲线化为：，依题意，解得，因此双曲线的实半轴长为1，所以双曲线的离心率为2故选：【点评】本题主要考查了双曲线的性质，属于基础题11（2023青浦区校级模拟）已知双曲线的离心率为，则的渐近线方程为ABCD【分析】运用离心率公式，令，则，再由渐近线方程，即可得到结论【解答】解：双曲线的离心率为，则，令，则，则双曲线的渐近线方程为，即为，故选：【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查

8、离心率公式和渐近线方程，考查运算能力，属于中档题12（2023普陀区校级三模）已知双曲线的离心率为2，的左右焦点分别为，点在的右支上，的中点在圆上，其中为半焦距，则【分析】连接，是的中位线，所以，再由双曲线的定义可得，又因为双曲线的离心率为2，所以，进而得，在中，利用余弦定理即可求得答案【解答】解：如图所示：连接，则是的中位线，又因为，所以，由双曲线的定义可得，又因为双曲线的离心率为2，所以，所以，在中，由余弦定理可得：故答案为：【点评】本题考查双曲线的几何性质，余弦定理的应用，属中档题13（2023奉贤区校级模拟）已知直线与双曲线的一条渐近线平行，且经过双曲线的一个焦点，则双曲线的标准方程为

9、 【分析】由题意可得关于，的方程组，求解与的值，则答案可求【解答】解：双曲线的渐近线方程为，由，取，得，直线与双曲线的一条渐近线平行，且经过双曲线的一个焦点，解得，双曲线的标准方程为故答案为：【点评】本题考查双曲线的几何性质，考查双曲线标准方程的求法，考查运算求解能力，是中档题14（2023虹口区二模）过原点的直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点，为的右焦点，若，且，则双曲线的方程为 【分析】由题意画出图形，设双曲线的左焦点为，连接，由对称性可得，四边形为矩形，则，结合已知求得，由双曲线的定义可得，再由隐含条件求解，则双曲线方程可求【解答】解：如图，设双曲线的左焦点为，连接，由对称性可得，四

10、边形为矩形，则，又，又，解得，即双曲线的方程为故答案为：【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查双曲线方程的求法，考查运算求解能力，是中档题15（2023闵行区校级二模）不与轴重合的直线经过点，双曲线上存在两点，关于对称，中点的横坐标为，若，则的值为 【分析】由点差法得，结合得，代入斜率公式化简并利用，即可得出答案【解答】解：设，则，两式相减得，即，即，是垂直平分线，即，整理得，故，解得故答案为：【点评】本题考查双曲线的性质，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题16（2023松江区校级模拟）已知双曲线的一条渐近线与圆相交于，两点，且，则此双曲线的离心率为 【分析】根据所截弦长与半

11、径求出圆心到渐近线距离，从而解出，的值，最后得到离心率【解答】解：由题意可知双曲线的一渐近线方程为，圆的半径为，圆心到渐近线的距离为，即（负舍），双曲线的离心率为故答案为：【点评】本题考查双曲线的性质，属于中档题17（2023宝山区校级模拟）如图，椭圆的中心在原点，长轴在轴上以、为焦点的双曲线交椭圆于、四点，且椭圆的一条弦交双曲线于，设，当时，双曲线的离心率的取值范围为 ，【分析】设，则，（其中为双曲线的半焦距，为到轴的距离），由，根据定比分点坐标公式可得点坐标设双曲线的方程为，将代入方程，得，将点，代入上式，化简整理结合，又在圆内，即可得出双曲线的离心率的取值范围【解答】解：设，则，（其中为

12、双曲线的半焦距，为到轴的距离），即点坐标为设双曲线的方程为，将代入方程，得，将，代入式，整理得，消去，得，解得，由在圆内，即，化为，又，可得，化为，解得，故答案为：，【点评】本题考查了椭圆与双曲线的标准方程及性质、定比分点坐标公式、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题18（2023宝山区校级模拟）已知双曲线的左、右焦点分别为、，为坐标原点过作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为，若，则双曲线的离心率为 【分析】先由已知双曲线方程得出一条渐近线方程，再利用点到直线的距离公式求出，进而求出，再利用余弦定理得出与的关系，进而求出离心率【解答】解：由双曲线的性质可知，双曲线的一条渐近线方

13、程为，焦点，由作该渐近线的垂线，则由点到直线的距离公式可得，所以，所以，由于与互补，所以，即，可得，则离心率故答案为：【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，离心率的求法，余弦定理的应用，是中档题19（2023杨浦区校级模拟）已知双曲线的左、右焦点分别为，的渐近线与圆在第一象限的交点为，线段与交于点，为坐标原点若，则的离心率为 【分析】由题意画出图形，求出的坐标，再由中点坐标公式求得的坐标，代入双曲线方程，整理即可得答案【解答】解：如图，联立，解得，为的中点，且，为的中点，则，代入，得，整理得：，即故答案为：【点评】本题考查双曲线的性质，考查数形结合思想，是中档题四直线与双曲线的综合（共6小题

14、）20（2023嘉定区模拟）定义两个点集、之间的距离集为，其中表示两点、之间的距离，已知、，若，则的值为 【分析】集合表示双曲线上支的点，集合表示直线上的点，故直线与渐近线平行，在渐近线下方，即，且与渐近线的距离为1，计算得到答案【解答】解：，可化为：，集合表示双曲线上支的点，集合表示直线上的点，直线与渐近线平行，在渐近线下方，即，且与渐近线的距离为1又双曲线的渐近线为，取，则，即，平行线的距离，或（舍去），故答案为：【点评】本题考查了集合的新定义，双曲线的几何性质，直线和双曲线的位置关系，属中档题21（2023黄浦区校级三模）已知双曲线的焦距为4，直线与交于两个不同的点、，且时直线与的两条渐

15、近线所围成的三角形恰为等边三角形（1）求双曲线的方程；（2）若坐标原点在以线段为直径的圆的内部，求实数的取值范围；（3）设、分别是的左、右两顶点，线段的垂直平分线交直线于点，交直线于点，求证：线段在轴上的射影长为定值【分析】（1）求得双曲线的，由等边三角形的性质可得，的方程，结合，的关系求得，进而得到双曲线的方程；（2）设，联立直线和，应用韦达定理和弦长公式，设的中点为，求得的坐标，由题意可得，应用两点的距离公式，解不等式可得所求范围；（3）求得，的坐标和的坐标，求得的垂直平分线方程和的方程，联立解得的坐标，求出，即可得证【解答】解：（1）双曲线的焦距为4，可得，时直线与的两条渐近线所围成的三

16、角形恰为等边三角形，可得，即，又，解得，则双曲线的方程为；（2）设，联立直线和，可得，即有，可得的中点，若坐标原点在以线段为直径的圆的内部，可得，即，化为，解得，即有或；（3）证明：双曲线的顶点，由（2）可得线段的垂直平分线交直线于点，直线的斜率为，可得的垂直平分线方程为，的方程为，由在双曲线上可得，即，联立解得，则线段在轴上的射影长为即为定值【点评】本题考查双曲线的方程和应用，考查直线方程和双曲线方程联立，应用韦达定理和弦长公式，以及直线方程联立求交点，考查化简运算能力，属于中档题22（2023松江区校级模拟）椭圆（1）若，求椭圆的离心率；（2）设、为椭圆的左右顶点，椭圆上一点的纵坐标为1，

17、且，求的值；（3）过椭圆上一点作斜率为的直线，与双曲线有一个公共点，求的取值范围【分析】（1）由题意可得，可求离心率；（2）由已知得，设，由已知可得，求解即可；（3）设直线，与椭圆方程联立可得，与双曲线方程联立可得，可求的取值范围【解答】解：（1）若，则，（2）由已知得，设，即，代入求得；（3）设直线，联立椭圆可得，整理得，由，联立双曲线可得，整理得，由，又，又，【点评】本题考查离心率的求法，考查椭圆与双曲线的几何性质，属中档题23（2023黄浦区二模）已知双曲线的中心在坐标原点，左焦点与右焦点都在轴上，离心率为3，过点的动直线与双曲线交于点、设（1）求双曲线的渐近线方程：（2）若点、都在双曲

18、线的右支上，求的最大值以及取最大值时的正切值；（关于求的最值，某学习小组提出了如下的思路可供参考：利用基本不等式求最值；设为，建立相应数量关系并利用它求最值；设直线的斜率为，建立相应数量关系并利用它求最值）（3）若点在双曲线的左支上（点不是该双曲线的顶点，且，求证：是等腰三角形且边的长等于双曲线的实轴长的2倍【分析】（1）由双曲线的离心率公式和，的关系，可得，的关系，进而得到渐近线方程；（2）设双曲线的方程为，运用基本不等式和双曲线的定义，锐角三角函数的定义和二倍角的正切公式，计算可得所求值；（3）设直线的方程为，将代入双曲线的方程，运用韦达定理和弦长公式，以及双曲线的定义，等腰三角形的定义，

19、可得证明【解答】解：（1）因为双曲线的中心在坐标原点，左焦点与右焦点都在轴上，离心率为3，可得设双曲线的方程为，由，可得，即有渐近线的方程为；（2）由（1）可得，所以双曲线的方程为，设，因为点，都在双曲线的右支上，所以，所以，当且仅当时取得等号，即，当时，所以，所以轴且，又双曲线的方程为，可令，解得，可得，又，所以，（3）证明：设直线的方程为，将代入双曲线的方程，可得，设，可得，由，可得，故，又，同号，所以，即，所以，解得，此时直线的斜率的绝对值为，可知直线与双曲线的两支都相交，又，所以，则，它等于双曲线实轴长的2倍，此时，所以是等腰三角形【点评】本题考查双曲线的定义、方程和性质，以及直线和双

20、曲线的位置关系，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题24（2023浦东新区校级模拟）已知坐标平面上左、右焦点为、的双曲线和圆（1）若的实轴恰为的一条直径，求的方程；（2）若的一条渐近线为，且与恰有两个公共点，求的值；（3）设若存在上的点，使得直线与恰有一个公共点，求的离心率的取值范围【分析】（1）直接利用条件求出的值，进而求出，从而求出双曲线的方程；（2）利用渐近线方程，求出与的关系，从而求出双曲线的方程，再利用双曲线和圆的对称性，将问题转化成方程只有一个解，从而求出的值；（3）利用双曲一点的切线方程，根据条件，将问题转化成双曲线与圆有公共点，从而求出结果【解答】解：（1）因为的实轴恰

21、的一条直径，所以，即，又因为双曲线的左、右焦点为，所以，故双曲线的方程为：；（2）双曲线的渐近线为，所以由题知，又，联立解得，所以双曲线的方程为，联立，消得到，因为与恰有两个公共点，所以由双曲线和圆的对称性知，即，所以；（3）设，是双曲线上一点，当过，的双曲线的切线斜率存在时，设切线方程为，由，消整理得，由于，是切点，所以是这个方程的二重实根，由韦达定理有，又因为，得到，所以，又，所以，得到，化简得到，即，又易知，所以，所以切线方程为，即，也即，又因为，在双曲线上，所以，所以切线方程为，当切线斜率不存在时，当时，过的曲线的切线方程为，当时，过的曲线的切线方程为，均满足，综上，过双曲线上一点，的

22、切线方程为，又由题知，存在上的点，使得直线，与恰有一个公共点，即为曲线的切线，所以点，是双曲线与圆的公共点，由，消得，又因为，所以，所以，即，解得，所以，得到【点评】本题考查直线与双曲线的综合问题，属于难题25（2023静安区二模）已知双曲线（其中，的左、右焦点分别为、（其中（1）若双曲线过点且一条渐近线方程为；直线的倾斜角为，在轴上的截距为直线与该双曲线交于两点、，为线段的中点，求的面积；（2）以坐标原点为圆心，为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为过作圆的切线，若切线的斜率为，求双曲线的离心率【分析】（1）根据已知条件，结合渐近线的定义，推得，再结合双曲线过点，即可求出双曲线的方程，再

23、与直线联立，并结合韦达定理，即可求解；（2）先求出圆的方程，再与双曲线联立，求出点的坐标，再结合斜率公式，以及离心率公式，即可求解【解答】解：（1）双曲线过点且一条渐近线方程为，则，双曲线过点，则，联立解得，故双曲线的方程为，直线的倾斜角为，在轴上的截距为，则的方程为，代入双曲线方程可得，设，则，为线段的中点，则，即，的面积为；（2）由题意可知，圆的方程为，联立，解得，即，切线的斜率为，则，化简整理可得，故，即，解得，故双曲线的离心率为【点评】本题主要考查直线与双曲线的综合，考查转化能力，属于难题一解答题（共8小题）1（2022上海自主招生）双曲线，焦点为，点在双曲线上，求的周长【分析】利用双

24、曲线方程求解，结合余弦定理，以及双曲线的定义，转化求解即可【解答】解：双曲线，可得，不妨设在第一象限，由双曲线的定义可知，可得，由余弦定理可得，即，解得，则的周长为：24故答案为：24【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，余弦定理以及双曲线定义的应用，是中档题2（2022上海自主招生），为双曲线两焦点（焦点在轴），直线经过且与双曲线左右两支交于点，求双曲线的离心率【分析】根据双曲线的定义以及余弦定理即可求解结论【解答】解：如图，设，则，且，在中，可得，在中，可得，可得：且，代入可得，故离心率故答案为：【点评】本题主要考查双曲线的定义应用以及余弦定理的应用，考查计算能力，属于中档题3（2020

25、浦东新区校级二模）已知双曲线，其右顶点为（1）求以为圆心，且与双曲线的两条渐近线都相切的圆的标准方程；（2）设直线过点，其法向量为，若在双曲线上恰有三个点，到直线的距离均为，求的值【分析】（1）利用点到直线的距离公式，求出圆的半径，即可求出圆的标准方程；（2）求出与直线平行，且与双曲线消去的直线方程，即可得出结论【解答】解：（1）由题意，双曲线的渐近线方程为，到渐近线的距离，圆的标准方程为；（2）由题意，直线的斜率为1，设与直线平行的直线方程为，代入双曲线方程整理可得，由，可得，与直线的距离分别为或，即或【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查圆的方程，考查直线与双曲线位置关系的运用，属于中档

26、题4（2020徐汇区校级二模）已知直线是双曲线的一条渐近线，点，都在双曲线上，直线与轴相交于点，设坐标原点为（1）求双曲线的方程，并求出点的坐标（用，表示）；（2）设点关于轴的对称点为，直线与轴相交于点，问：在轴上是否存在定点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由（3）若过点的直线与双曲线交于，两点，且，试求直线的方程【分析】（1）求得双曲线的渐近线方程，可得，由题意可得，可得双曲线的方程，求出直线的方程，可令，求得的坐标；（2）求得对称点的坐标，直线方程，令，可得的坐标，假设存在，运用两直线垂直的条件：斜率之积为，结合在双曲线上，化简整理，即可得到定点；（3）设出直线的方程，代入

27、双曲线的方程，运用韦达定理，由向量数量积的性质，可得向量，的数量积为0，化简整理，解方程可得的值，检验判别式大于0成立，进而得到直线的方程【解答】解：（1）双曲线的渐近线为，由题意可得，可得，即有双曲线的方程为，又的方程为，令，可得；（2）点关于轴的对称点为，直线的方程为，令，可得，假设轴存在点，使得即有，即为，可得，由满足双曲线的方程，可得，即有，可得，解得，故存在点，使得；（3）可设过点的直线，代入双曲线的方程可得，即有，即，设，可得，由，两边平方可得，即有，即，即为，化简可得，检验判别式大于0成立，即有，则所求直线的方程为【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查对称思想的运用，以及两直线

28、垂直的条件，联立直线方程和双曲线方程，运用韦达定理和向量垂直的条件：数量积为0，考查化简整理的运算能力，属于中档题5（2023秋浦东新区期末）已知双曲线的左、右焦点分别为、，为双曲线右支上一点（1）求双曲线的离心率；（2）设过点和的直线与双曲线的右支有另一交点为，求的取值范围；（3）过点分别作双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为、两点，是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由【分析】（1）根据双曲线的方程直接得出、，结合公式和计算即可求解；（2）易知直线的斜率不为0，设，联立双曲线方程，利用韦达定理表示、，根据平面向量的坐标表示化简可得，求出的取值范围即可求解；（3）设，由渐

29、近线方程和点线距公式建立方程，解得，与题意中的矛盾，即可下结论【解答】解：（1）由题意知，则，所以，得，即双曲线的离心率为2；（2）由（1）知，若直线的斜率为0，则直线与双曲线的两个交点分布在左、右支各一点，不符合题意：所以直线的斜率不为0，设，联立直线与双曲线方程得，消去得，则，所以，又，则，由，得，所以，有，所以，即，所以的取值范围为，；（3）由题意可知双曲线的渐近线方程为，即，设，则点到直线的距离为，点到直线的距离为，所以，又点位于直线的上方且直线的下方，所以，则，解得，又点在双曲线上，则矛盾，故不存在点使得【点评】本题考查了双曲线的性质，考查了联立直线与双曲线方程求解综合问题的能力，考

30、查了方程思想及转化思想，考查了数学运算能力，属于难题6（2023秋黄浦区校级期中）已知双曲线的左、右焦点为，左、右顶点为，椭圆以，为焦点，以为长轴（1）求椭圆的离心率；（2）设椭圆交轴于，过的直线交双曲线的左、右两支于，两点，求面积的最小值；（3）设点满足过且与双曲线的渐近线平行的两直线，分别交于点，过且与平行的直线交的渐近线于点，证明：为定值，并求出此定值【分析】（1）由题意，根据题目所给信息以及椭圆和双曲线中的，关系即可求解；（2）先求出，设出直线的方程，将直线的方程与双曲线方程联立，得到的面积的表达式，利用换元法，将问题转化成二次函数最值问题；（3）令，可得，设出，的方程，将其与双曲线联

31、立求出，两点的坐标，求出直线的斜率为，得到直线方程并求出与渐近线的交点，的坐标，进而即可得证【解答】解：（1）不妨设椭圆方程为，焦距为，因为椭圆的顶点、焦点分别为，所以，则椭圆的离心率，（2）易知，因为直线斜率存在，不妨设直线的方程为，因为双曲线渐近线斜率的绝对值，过点的直线交双曲线的左、右两支于，两点，所以直线的斜率满足，联立，消去并整理得，此时，易知，所以，不妨设，因为，不妨令，所以，此时，不妨设，函数定义域为，不妨令，此时，当且仅当，即，时，函数取得最小值，最小值，综上得面积的最小值为；（3）易知双曲线的渐近线方程为，当时，由对称性得，关于轴对称，关于轴对称，所以为，的中点，此时，下面证

32、明当时，即证为，的中点，因为点满足，所以，不妨设，当时，此时点在直线的左上方，同理可证，点在两渐近线所夹区域的上方或下方，不妨设点在上方区域，此时，不妨设直线的方程为，直线的方程为，联立，可得，此时点满足，同理点满足，此时，不妨设直线方程为，联立，消去并整理得，则，同理得，所以，则点为，的中点，故为定值，定值1综上，为定值，定值为1【点评】本题考查椭圆的性质以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力7（2023春黄浦区校级期中）如图：双曲线的左、右焦点分别为，过作直线交轴于点（1）当直线平行于的一条渐近线时，求点到直线的距离；（2）当直线的斜率为1时，在的右支上是否存在点，满足？若

33、存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由【分析】（1）利用双曲线渐近线相关知识可解；（2）设右支上的点的坐标为，分别表示，从而可解【解答】解：（1）双曲线，焦点在轴上，则双曲线左、右焦点分别为，过作直线，设直线的斜率为，交轴于点当直线平行于的一条渐近线时，不妨令，则直线的方程为：，即，则点到直线的距离为；（2）当直线的斜率为1时，的方程为，故，又，设右支上的点的坐标为，则，由，得，即，消去得：，由根与系数的关系知，此方程无正根，所以，在双曲线的右支上不存在点，满足【点评】本题考查双曲线的标准方程及简单几何性质，考查直线与双曲线的位置关系，考查直线与双曲线的交点与的关系，考查计算能力，属于难题8（

34、2023秋普陀区期末）设双曲线，点是的左焦点，点为坐标原点（1）若的离心率为，求双曲线的焦距；（2）过点且一个法向量为的直线与的一条渐近线相交于点，若，求双曲线的方程；（3）若，直线与交于，两点，求直线的斜率的取值范围【分析】（1）由题意得，离心率，从而求解；（2）求出直线的斜率为，然后求出直线方程后与渐近线联立后求出点，从而求解；（3）将直线与双曲线联立后，利用根与系数的关系并结合基本不等式，从而可求解【解答】解：（1）由题意得：，解得，所以曲线的焦距为：（2）由题意可得，所以，且渐近线为，由过点的直线的一个法向量：，则得直线的斜率为，所以直线的方程为，由题意可知直线与渐近线交于点，即，解得

35、，因为，解得，所以曲线的方程为（3）由，得曲线的方程为，将直线与曲线联立得：，化简得由题意知直线与曲线交于两点，设，则，解得：，且，由根与系数关系得：，设线段中点为：由，因为，所以，得，所以得，即化简得，所以，因为，当且仅当时取等号，所以，得，所以，所以，所以的最小值为，所以得故的取值范围为【点评】本题主要考查双曲线与直线的位置关系，属于难题一填空题（共3小题）1（2022上海）双曲线的实轴长为 6【分析】根据双曲线的性质可得，实轴长为【解答】解：由双曲线，可知：，所以双曲线的实轴长故答案为：6【点评】本题考查双曲线的性质，是基础题2（2024上海）三角形三边长为5，6，7，则以边长为6的两个

36、顶点为焦点，过另外一个顶点的双曲线的离心率为 3【分析】利用双曲线的定义、离心率的计算公式即可得出结论【解答】解：由双曲线的定义，解得，故答案为：3【点评】本题考查了双曲线的定义、离心率的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题3（2022上海）已知，两点均在双曲线的右支上，若恒成立，则实数的取值范围为 ，【分析】取的对称点，结合，可得，然后可得渐近线夹角，代入渐近线斜率计算即可求得【解答】解：设的对称点，仍在双曲线右支，由，得，即恒成立，恒为锐角，即，其中一条渐近线的斜率，所以实数的取值范围为，故答案为：，【点评】本题考查了双曲线的性质，是中档题二解答题（共2小题）4（2021上海）（

37、1）团队在点西侧、东侧20千米处设有、两站点，测量距离发现一点满足千米，可知在、为焦点的双曲线上，以点为原点，东侧为轴正半轴，北侧为轴正半轴，建立平面直角坐标系，在北偏东处，求双曲线标准方程和点坐标（2）团队又在南侧、北侧15千米处设有、两站点，测量距离发现千米，千米，求（精确到1米）和点位置（精确到1米，【分析】（1）求出，的值即可求得双曲线方程，求出直线的方程，与双曲线方程联立，即可求得点坐标；（2）分别求出以、为焦点，以，为焦点的双曲线方程，联立即可求得点的坐标，从而求得，及点位置【解答】解：（1）由题意可得，所以，所以双曲线的标准方程为，直线，联立双曲线方程，可得，即点的坐标为，（2）

38、，则，所以，双曲线方程为；，则，所以，所以双曲线方程为，两双曲线方程联立，得，所以米，点位置北偏东【点评】本题主要考查双曲线方程在实际中的应用，属于中档题5（2020上海）已知双曲线与圆交于点，（第一象限），曲线为、上取满足的部分（1）若，求的值；（2）当，与轴交点记作点、，是曲线上一点，且在第一象限，且，求；（3）过点斜率为的直线与曲线只有两个交点，记为、，用表示，并求的取值范围【分析】（1）联立曲线与曲线的方程，以及，解方程可得；（2）由双曲线的定义和三角形的余弦定理，计算可得所求角；（3）设直线，求得到直线的距离，判断直线与圆的关系：相切，可设切点为，考虑双曲线的渐近线方程，只有当时，直

39、线才能与曲线有两个交点，解不等式可得的范围，由向量投影的定义求得，进而得到所求范围【解答】解：（1）由，点为曲线与曲线的交点，联立，解得，；（2）由题意可得，为曲线的两个焦点，由双曲线的定义可得，又，所以，因为，则，所以，在中，由余弦定理可得，由，可得；（3）设直线，可得原点到直线的距离，所以直线是圆的切线，设切点为，所以，并设与圆联立，可得，可得，即，注意直线与双曲线的斜率为负的渐近线平行，所以只有当时，直线才能与曲线有两个交点，由，可得，所以有，解得或（舍去），因为为在上的投影可得，所以，则，【点评】本题考查双曲线与圆的定义和方程、性质，考查直线和圆的方程、双曲线的方程的联立，以及向量的数量积的几何意义，考查方程思想和化简运算能力，属于中档题