专题6.17 探索三角形相似的条件（巩固篇）（专项练习）-2022-2023学年九年级数学下册基础知识专项讲练（苏科版）.docx

1、专题6.17 探索三角形相似的条件（巩固篇）（专项练习）一、单选题1如图，中，点是边上一点，下列条件中，不能判定与相似的是（）ABCD2如图，已知12，添加一个条件后，仍不能判定ABC与ADE相似的是（）ACAEDBBDCD3在中，用直尺和圆规在AC上确定点D，使BADCBD，根据作图痕迹判断，正确的是（）ABCD4已知的一边，另两边长分别是3，4，若是边上异于，的一点，过点作直线截，截得的三角形与原相似，满足这样条件的直线有（）条A4B3C2D15如图，在四边形中，如果，那么下列条件中不能判定和相似的是（）AB是的平分线CD6如图，在ABC中，BDAC于点D，AEBC于点E，交BD于点F，下

2、列三角形中不一定与BCD相似的是（）ABFEBAFDCACEDBAE7如图，交于点O，有下列三个结论：，则一定成立的有（）A0个B1个C2个D3个8下列每个矩形都是由五个同样的小正方形拼合组成，其中和的顶点都在小正方形的顶点上，则与一定相似的图形是（）ABCD9如图，在正方形ABCD中，点E为AD边上的一个动点（与点A，D不重合），EBM45，BE交对角线AC于点F，BM交对角线AC于点G，交CD于点M，下列结论中错误的是（）A AEFCBFBCMGBFGCABFCBGDBDEBCG10将两个完全相同的等腰直角三角形ABC与AFG摆成如图的样子，两个三角形的重叠部分为ADE，那么图中一定相似的

3、三角形是（）A ABC与ADEBABD与AECCABE与ACDDAEC与ADC11如图，正方形中，是的中点，是边上的一点，下列条件中，不能推出与相似的是（）A BC是的中点 D二、填空题12如图，ABC中，C = ，CD是斜边AB上的高,AD = 9，BD = 4，那么 CD= _ ,AC = _ . 13如图，AC、BD相交于点O，分别联结AB、DC，如果，那么_14如图，在中，已知，是边上的一动点（不与点、重合）.连接，边与交于点，当为等腰三角形时，则之长为_.15如图，F是ABC内一点，BF平分ABC且AFBF，E是AC中点，AB=6，BC=8，则EF的长等于_16如图，矩形ABCD中，

4、点E为AD的中点，连结BE，将ABE沿BE翻折，点A恰好落在AC上的点A处，若AB2，则AC的长度为_17如图，在ABCD中，M、N为BD的三等分点，连接CM并延长交AB与点E，连接EN并延长交CD于点F，则DF：AB=_18如图，在正方形网格上画有梯形，则的度数为_.19如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=1，点E是DC上一点，DAE=BAC，则EC的长为_ 20如图，在、中写出一对相似三角形_21如图，在与中，交于点D，给出下列结论；其中正确的结论是_（填写正确结论的序号）22如图，在中，动点P从点A开始沿AB边运动，速度为；动点Q从点B开始沿BC边运动，速度为；如果P、Q两动点同时运

5、动，那么经过_秒时与相似三、解答题23如图，（1）求，的值； （2）证明与相似24如图，在ABC中，ABC2C，点E为AC的中点，ADBC于点D，ED延长后交AB的延长线于点F，求证：AEFABC25已知菱形中，是边上一点(1) 在的右侧求作，使得，且；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）(2) 在（1）的条件下，若，求证：26如图，在ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，连接AD、DE且BADEC（1）证明：BDACED；（2）若B45，BC6，当点D在BC上运动时（点D不与B、C重合）且ADE是等腰三角形，求此时BD的长27如图，在中，BD为角平分线，垂足为E(1) 证明；(2)

6、证明 28如图，在中，CD是AB边上的高，点E为线段CD上一点（不与点C，点D重合），连接BE，作与AC的延长线交于点F，与BC交于点G，连接BF(1)求证：；(2)求证：；(3)求的值参考答案1D【分析】由图可知，B是ABC与ABD的公共角，所以再添加一组角相等或者添加夹B的两边成比例即可判断解：AAB2=BDBC， ，B=B，BADBCA，故A不符合题意；BBDA=BAC，B=B，BADBCA，故B不符合题意；CADC=C+B，ADC=BAD+B，C=BAD，B=B，BADBCA，故C不符合题意；DADBC=ABAC，BBAD，不能判定ABC与ABD相似，故选：D【点拨】本题考查了相似三角

7、形的判定，结合图形分析并熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键2C【分析】根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案解：12DAEBACA，B，D都可判定ABCADE选项C中，不是夹这两个角的边，所以不相似，故选：C【点拨】本题考查了相似三角形的判定：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似3C【分析】如果BADCBD，可得ADB=BDC=90，即BD是AC的垂线，根据作图痕迹判断即可解：当BD是AC的垂线时，BADCBDBDAC，A

8、DB =BDC=90，ABC=90，A+ABD=ABD+CBD=90，A=CBD，BADCBD根据作图痕迹可知，A选项中，BD是ABC的角平分线，不与AC垂直，不符合题意；B选项中，BD是AC边的中线，不与AC垂直，不符合题意；C选项中，BD是AC的垂线，符合题意；D选项中，BD不与AC垂直，不符合题意；故选：C【点拨】本题考查了相似三角形的判定，直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键4B【分析】由，另两边长分别是3，4，可知ABC是直角三角形，过点P作直线与另一边相交，使所得的三角形与原三角形有一个公共角，只要再作一个直角就可以解：如图，另两边长分别是3，4，又，即ABC是直

9、角三角形，过P点作直线截ABC，则截得的三角形与ABC有一公共角，只要再作一个直角即可使截得的三角形与RtABC相似，过点P可作AB的垂线、AC的垂线、BC的垂线，共3条直线故选：B【点拨】本题主要考查勾股定理的逆定理、三角形相似判定定理及其运用，解题时运用了两角法（有两组角对应相等的两个三角形相似）来判定两个三角形相似5D【分析】已知ADCBAC，则A、B选项可根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；C选项可以根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定；D选项虽然也是对应边成比例但无法得到其夹角相等，所以不能推出两三角形相似.解：在ADC和BAC中，ADCBAC，如果A

10、DCBAC，需满足的条件有：DACABC或AC是BCD的平分线；故选：D【点拨】此题主要考查了相似三角形的判定方法；熟记三角形相似的判定方法是解决问题的关键6D【分析】由BDAC，AEBC，可得BDCAEC90，由EBF=DBC，可证BFEBCD，可判断A；由BFEBCD，可得BFE=C，由AFD=BFE=C，和ADF=BDC=90可证ADFBDC可判断B；由BDCAEC90，BCD=ACE，可证BDCAEC，可判断C，由，可得，由BFEBCD，可得可得，由BDC=AEB=90，若ABEBCD， 连结FC，可得CEFBDC，由FEC=CDB=90只要满足FCE=DBC，应满足BF=FC，由AE

11、BC，需有点E为BD中点，已知中没有点E为BD中点条件可判断D解：BDAC，AEBC，BDCAEC90，EBF=DBCBFEBCD，故选项A正确；BFE=C，AFD=BFE=C，又ADF=BDC=90，ADFBDC，故选项B正确；BDCAEC90，BCD=ACE，BDCAEC，DBCEAC，故选项C正确；，BFEBCD，BDC=AEB=90，若ABEBCD，满足条件，即，满足即，连结FC，应有CEFBDC，FEC=CDB，只要满足FCE=DBC，应满足BF=FC，由AEBC，需有点E为BD中点，已知中没有点E为BD中点条件，BAE不一定与BCD相似，故选项D不正确【点拨】本题考查三角形相似的判

12、定，掌握相似的判定定理，结合反证法的思想证明不一定相似的选项是解题关键7D【分析】根据全等三角形的性质可判断和，再根据相似三角形的判定判断即可解：，BAC=DAE，1+DAC=2+DAC，1=2，故成立；，BC=DE，故成立，AB=AD，AC=AE，又1=2，故成立，综上，一定成立的有共3个，故选：D【点拨】本题考查全等三角形的性质、相似三角形的判定，熟练掌握全等三角形的性质和相似三角形的判定是解答的关键8A【分析】由已知根据相似三角形的判定和性质对每个选项分析论证得出正确选项解：已知每个矩形都是由五个同样的小正方形拼合组成A：ABC=90+45=135，CDE=90+45=135，ABC=C

13、DE，BC=DC=，ABCCDE；B：ABC为等腰三角形，则CDE不是等腰三角形，所以不相似；C：ABC中ABC=90+45=135，而CDE中CDE=135，对应角不相等，所以不相似；D：，所以不相似故选：A【点拨】此题考查的知识点是相似三角形的判定，解题的关键是根据相似三角形的判定和性质对每个选项分析论证得出正确选项9C【分析】由正方形的性质可得ABCD，ADBC，DCA=ACB=DAC=CAB=EBM=45，可以证明AEFCBF，CMGBFG，BDEBCG，即可求解解：四边形ABCD是正方形， ABCD，ADBC，DCA=ACB=DAC=CAB=EBM=45， AEFCBF，故选项A不合

14、题意； EBM=DCA，MGC=BGF， CMGBFG，故选项B不合题意； CAB=ACB=FBG=45， ABF+CBG=45， ABF与CBG不一定相等， ABF与CBG不一定相似，故选项C符合题意； BDEBCG，故D不符合题意；故选：C【点拨】本题考查了相似三角形的判定，正方形的性质，熟练运用相似三角形的判定方法是本题的关键10C【分析】根据是直角三角形，而不是直角三角形，即可判断A选项，只有，不能判断B选项中两三角形相似，根据题意可得，进而证明，即可判断，即可判断C选项，D选项中只有一个公共角，根据已知条件找不到另外一对角相等，故不能判断D选项中两三角形相似解：A.是直角三角形，不是

15、直角三角形，故不能判断ABC与ADE相似；B.只有，不能判断B选项中ABD与AEC相似；D. 只有，不能判断D选项中AEC与ADC相似；C.是等腰直角三角形，则设，则，故选C【点拨】本题考查了相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键11C【分析】利用两三角形相似的判定定理逐一判断即可解：A，根据正方形性质得到B=C，可以得到，不合题意；B.，根据正方形性质得到B=C，根据同角的余角相等，得到，从而有，不合题意；CP是BC的中点，无法判断与相似，符合题意；D ，根据正方形性质得到，又B=C，则，不合题意故选：C【点拨】本题考查相似三角形的判定定理，熟练掌握判定定理是解题关键1

16、2 【分析】根据相似三角形的判定得到CBDACD，根据相似比可求得CD的长，再根据勾股定理即可求得AC的长解： A=BCD CBDACD,AD=9，BD=4, 故答案为:【点拨】考查相似三角形的判定与性质, 勾股定理，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键.133【分析】由，得到DCO，然后列出方程求出OC的长解：，DCO，故答案为3【点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质，正确找出三角形相似列出方程是解题的关键142或【分析】分别讨论AP=PD、PD=AD、PA=AD三种情况，当AP=PD时，可证明APBPDC，可得PC=AB，进而可求出PB的长；当PD=AD时，可证明APCBAC，根据相似三

17、角形的性质即可求出PC的长，进而可得PB的长；当PA=AD时，P点与点B重合，不符合题意；综上即可得答案.解：当AP=PD时，APC=APD+DPC=B+BAP，B=APD，DPC=BAP，AB=AC，B=C，B=C，DPC=BAP，AP=PD，APBPDC，PC=AB=4，PB=BC-PC=2，当PD=AD时，AD=PD，APD=B，APD=PAD=B，PAD=B，C=C，APCBAC，即，解得：PC=，PB=BC-PC=.当PA=AD时，P点与点B重合，不符合题意；综上所述：PB的长为2或.故答案为2或【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质及相似三角形的判定与性质，熟练掌握判定定理及性质并

18、运用分类思想是解题关键.151.【分析】根据直角三角形斜边上中线是斜边的一半可得DF=AB=AD=BD=4且ABF=BFD，结合角平分线可得CBF=DFB，即DEBC，进而可得DE=4，由EF=DE-DF可得答案解：AFBF，AFB=90，AB=6，D为AB中点，DF=AB=AD=BD=3，ABF=BFD，又BF平分ABC，ABF=CBF，CBF=DFB，DEBC，ADEABC，即 解得：DE=4，EF=DE-DF=1，故答案为1【点拨】本题主要考查直角三角形的性质和相似三角形的判定与性质，熟练运用其判定与性质是解题的关键162【分析】连接AD，设BE与AC交于点M，由翻折知，BE垂直平分AA

19、，证明ABMCDA，推出ACAM，再证明BAMCAB，设AMAMACx，则AC3x，通过相似三角形对应边的比相等可求出x的值，进一步求出AC的长度解：如图，连接AD，设BE与AC交于点M，由翻折知，BE垂直平分AA，ABAB2，AMAM，AEAE，四边形ABCD为矩形，ABCD，ABCD，ABC90，DCABAC，点E为AD的中点，AEDEAE，点A，A，D三点在以AD为直径的圆上，DAADAC90AMB，ABMCDA（AAS），ACAM，AMAMAC，ABCANB90，BAMBAM，BAMCAB，设AMAMACx，则AC3x，解得，x（取正值），3x2，AC2，故答案为2【点拨】本题考查了矩

20、形的性质，轴对称的性质，相似三角形的判定与性质等，解题关键是能够通过证明三点共圆得到AAD90171：4【分析】由题意可得DN=NM=MB，据此可得DF：BE=DN：NB=1：2，再根据BE：DC=BM：MD=1：2，AB=DC，故可得出DF：AB的值解：由题意可得DN=NM=MB，DFNBEN，DMCBME，DF：BE=DN：NB=1：2，BE：DC=BM：MD=1：2又AB=DC可得DF：AB=1：4【点拨】本题考查相似三角形的性质，两相似三角形对应线段成比例，要注意比例线段的应用18135【分析】由已知可得ABDDCB，故BAD=BDC.解：由已知可得ABDDCB，BAD=BDC，又BA

21、D=180-45=135，BDC=135，故答案为135【点拨】考核知识点：相似三角形的判定和性质.理解判定是关键.19 解：矩形ABCD中，DC=AB=2，AD=BC=1又DAE=BAC，D=B，ADEABC，AB：AD=BC：DE，DE=，EC=DCDE=【点拨】本题考查的是相似三角形的判定和性质，相似三角形的对应边成比例20【分析】设AP，求得AB=，由相似三角形的判定定理可求解解：设AP，APD=90，AP=PB=BC=CD，AP=PB=BC=CD，AB=，又ABC=DBA，ABCDBA，故答案为：ABCDBA【点拨】本题考查了相似三角形的判定，勾股定理等知识，掌握相似三角形的判定定理

22、是本题的关键21【分析】根据SAS推出AEFABC，推出AFAC，根据等边对等角推出即可正确；不正确，采用反证法，假设，可以证明ACFAFD，即可证明DAF=CAF，由题意无法得出此结论，判断错误；根据EB，EDABDF，推出ADEFDB即可判断正确；根据AEFABC，得出EAFBAC，求出EADCAF，根据相似三角形性质得出BFDEADCAF，即可判断正确解：在AEF和ABC中，AEFABC（SAS），AFAC，AFCC，正确；不正确，理由是：假设，AEFABCAFD=C，AF=AC，ACFAFD，DAF=FAC，原题中无AF为BAC平分线这一条件，错误；EB，EDABDF，ADEFDB，正

23、确；AEFABC，EAFBAC，EAFDAFBACDAF，EADCAF，ADEFBD，BFDEADCAF，正确；故答案为：【点拨】本题考查了等腰三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点的综合运用，主要考查学生的推理能力和辨析能力，根据条件判定AEFABC是解题关键22或#或【分析】设经过t秒时，与相似，则,利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似进行分类讨论：时，即；当时，即，然后解方程即可求出答案解：设经过t秒时，与相似，则,，当时，即，解得：；当时，即，解得：；综上所述：经过或秒时，与相似，【点拨】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边成比例且

24、夹角相等的两个三角形相似，解题的关键是准确分析题意列出方程求解23（1）；（2）见分析【分析】（1）由图可知、的长度，分别代入，计算即可得本题答案；（2）由（1）知和对应边成比例，由可知，；再根据相似三角形的判定定理，对应边成比例，对应角分别相等的两个三角形相似，即可判定与相似解：（1），即（2）由（1）知，又，（对应边成比例，对应角分别相等的两个三角形相似）【点拨】本题主要考查了比例线段及相似三角形的判定定理的知识，熟练掌握相关知识是解题的关键24证明见分析【分析】先根据直角三角形斜边上的中线性质得到EDEC，则EDCC，再利用三角形外角性质可得AEF2C，而ABC2C，所以ABCAEF，加

25、上EAFBAC，则根据有两组角对应相等的两个三角形相似可判断AEFABC证明：ADBC，ADC90，ADC是直角三角形，点E为AC的中点，EDEC，ECD是等腰三角形，EDCC，AEFEDCC2C，ABC2C，ABCAEF，EAFBAC，AEFABC【点拨】此题考查了相似三角形的判定、直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的判定和性质、三角形的外角的性质等，熟练掌握直角三角形斜边上中线的性质是解题的关键25(1)见分析；(2)见分析.【分析】（1）连接AC交BD于O，在BC右侧作CEF=CBD，再在射线EF截取EF=OB，连接AE、AF，即可得AEF；（2）延长EF交AD延长线于点G，先证明四

26、边形BEGD是平行四边形，可得EG=BD=2EF，G=CBD，(1)解：如图，连接AC交BD于O，在BC右侧作CEF=CBD，再在射线EF截取EF=OB，连接AE、AF，则AEF即为所要求作的三角形，再证，可得，最后证得结果；(2)证明：延长EF交AD延长线于点G，四边形ABCD是菱形，AD/BC，又EF/BD，EF=BD，四边形BEGD是平行四边形，EG=BD=2EF，G=CBD，又在菱形ABCD中，CBD=ABC，又，；【点拨】本题考查作图-复杂作图、相似三角形的性质与判定、菱形的性质、平行四边形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型26（）见分析；（2）或【分析】（

27、1）根据题目已知条件可知，所以得到，即可得证（2）由题意易得是等腰直角三角形，所以，当是等腰三角形时，根据分类讨论有三种情况：AD=AE，AD=DE，AE=DE；因为点D不与重合，所以第一种情况不符合，其他两种情况根据等腰三角形的性质“等边对等角”及，求出问题即可解：（1）在中，又；（2），是等腰直角三角形BC=6，AB=AC=BC=3当AD=AE时，则，点D在上运动时（点D不与重合）,点E在AC上此情况不符合题意当AD=DE时，如图，由（1）可知又AB=DC=当AE=DE时，如图，平分,综上所述：或【点拨】本题主要考查相似三角形的判定及等腰三角形的存在性问题，解题的关键是利用“K”型相似模型

28、及根据“等边对等角”、等腰直角三角形的性质得到线段的等量关系，进而求解问题27(1)见分析(2)见分析【分析】（1）利用等腰三角形的性质和三角形的内角和可求出图中所有角的度数，从而可得到ADEBDE；（2）利用等腰三角形的性质和三角形的内角和可求出图中所有角的度数，从而可得到ABCBCD；(1)证明：，BD为角平分线，在和中，(2)证明：，BD为角平分线，【点拨】本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似也考查了相似三角形的性质和等腰三角形的性质28(1)见分析(2)见分析(3)【分析】(1)得出FCG=BEG=90，CGF=EGB，则结论得证；(2)证明CGEFGB即可；(3)过点F作FHCD交DC的延长线于点H，证明FEHEBD（AAS），得出FH=ED，则CH=FH，得出CF=DE，则得出答案(1)证明：，又(2)解：由(1)得，又，即(3)解：过点作交的延长线于点，如下图所示，由(2)知，EFB=45，EFBE，是等腰直角三角形，在和中（AAS），在中，.【点拨】本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质等知识，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键