专题6.24 余角和补角（知识讲解）-2022-2023学年七年级数学上册基础知识专项讲练（浙教版）.docx

1、专题6.24 余角和补角（知识讲解）【学习目标】1. 掌握互为余角和互为补角的概念及性质；2. 会用余角、补角性质进行有关计算；【要点梳理】知识点一、余角与补角1. 定义：一般地，如果两个角的和等于90(直角)，就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角类似地，如果两个角的和等于180(平角)，就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角2性质：（1）同角（等角）的余角相等（2）同角（等角）的补角相等特别说明：(1) 互余互补指的是两个角的数量关系，互余、互补的两个角只与它们的和有关，而与它们的位置无关(2) 一般地，锐角的余角可以表示为(90-)，一个角的补角可以表示为(180

2、-) 显然一个锐角的补角比它的余角大90知识点二 邻补角1邻补角：如果两个角有一条公共边，并且它们的另一边互为反向延长线，那么具有这种关系的两个角叫做互为邻补角特别说明：(1) 邻补角的定义既包含了位置关系，又包含了数量关系：“邻”指的是位置相邻，“补”指的是两个角的和为180(2) 邻补角是成对出现的，而且是“互为”邻补角(3) 互为邻补角的两个角一定互补，但互补的两个角不一定互为邻补角(4) 邻补角满足的条件：有公共顶点；有一条公共边，另一边互为反向延长线.【典型例题】类型一、余角、补角的理解1、下列说法中正确的是（）A一个锐角的余角比这个锐角的补角小90B如果一个角有补角，那么这个角必是

3、钝角C如果，则，互为余角D如果与互为余角，与互为余角，那么与也互为余角【答案】A【分析】根据余角和补角的定义以及性质进行判断即可，解：A.一个锐角的余角比这个角的补角小，故选项正确； B.的补角为，故选项错误； C.当两个角的和为，则这两个角互为余角，故选项错误； D.如果与互为余角，与互为余角，那么与相等，故选项错误故选：A【点拨】本题考查了余角、补角的概念及其性质余角和补角指的是两个角之间的关系：两角和为为互余，和为为互补；同角（或等角）的余角（或补角）相等；另外，证明一个命题的错误性还可以用举反例的方法熟记定义和性质进行判断即可举一反三：【变式1】下列判断正确的个数是()锐角的补角一定是

4、钝角；一个角的补角一定大于这个角；锐角和钝角互补；如果两个角是同一个角的补角，那么它们相等A0个B1个C2个D3个【答案】C解：锐角的补角一定是钝角，正确；钝角的补角小于这个角，错误；锐角和钝角不一定互补，错误；如果两个角是同一个角的补角，那么它们相等，正确；正确的判断有2个故选C【变式2】下列关于余角、补角的说法，正确的是（）A若90，则与互余B若1290，则1 与2 互补C若12390，则1，2，3 互余D若180，则，互补【答案】A【分析】若两个角的和为90，则这两个角互余；若两个角的和为180，则这两个角互补根据此定义判断即可解：A若90，则与互余，此选项符合题意；B若1290，则1

5、与2 互余，此选项不符合题意；C3个角不符合互余的定义，此选项不符合题意；D3个角不符合互补的定义，此选项不符合题意故选：A【点拨】本题考查了余角和补角，解题的关键是熟悉余角和补角的定义和性质类型二、求一个角的余角和补角2、已知：锐角AOB（1）若AOB=65，则AOB的余角的度数为_度（2）若AOB=5317，则AOB的补角的度数为_（3）若AOB=3112，计算：AOB=_（4）若AOB=2021，计算：3AOB【答案】（1）25；（2）12643；（3）1536；（4）613【分析】（1）根据余角的性质，即可求解；（2）根据补角的性质，即可求解；（3）用 乘以AOB，即可求解；（4）用3

6、乘以AOB，即可求解解：（1）AOB的余角的度数为 （2） ；（3） ；（4）3AOB=32021=6063=613【点拨】本题主要考查了余角和补角，角的倍分关系，熟练掌握余角和补角的性质，角的倍分关系是解题的关键举一反三：【变式1】如图，点A，O，B在同一条直线上，射线OD和射线OE分别平分AOC和BOC， 图中哪些角互为余角？哪些角互为补角？【答案】COD和COE，AOD和BOE, AOD和COE，COD和BOE互为余角；AOD和BOD，COD和BOD，BOE和AOE，COE和AOE互为补角【分析】和为90的两角互余，和为180的两角互补，根据两角和即可找出互余与互补的角解：由题意知AOC

7、和BOC互为补角；COD和COE互为余角；同理，AOD和BOE, AOD和COE，COD和BOE也互为余角；AOD和BOD，COD和BOD，BOE和AOE，COE和AOE也互为补角；COD和COE，AOD和BOE, AOD和COE，COD和BOE互为余角；AOC和BOC，AOD和BOD，COD和BOD，BOE和AOE，COE和AOE互为补角【点拨】本题考查了两角互余与两角互补的关系解题的关键在于正确的找出角度的数量关系【变式2】O是直线AB上一点在同一平面内直线，AB的同侧有AODDOBCOE90(1)请画出题设的图形，并分别写出COD的余角，AOC的补角；(2)写出图中相等的锐角，并说明理由

8、?【答案】(1)图见分析，COD的余角为AOC，DOE；AOC的补角为BOC；(2)AOCDOE；CODBOE，理由见分析【分析】（1）根据题目的条件画出对应的几何图形，然后利用余角和补角的定义写出COD的余角，AOC的补角；（2）根据等角的余角相等可判断AOCDOE；CODBOE(1)解：如图，COD的余角为AOC，DOE；AOC的补角为BOC；(2)解：图中相等的锐角有：AOCDOE；CODBOE理由如下：AODDOBCOE90，AOC+COD90，COD+DOE90，AOCDOE；BOE+DOE90，COD+DOE90，BOECOD【点拨】本题考查了求一个角的余角和补角，解决本题的关键是

9、准确作出符合条件的图形，熟记余角和补角的定义.类型三、与余角和补角的相关运算3、如图，O，D，E三点在同一直线上，AOB=90（1）图中AOD的补角是_，AOC的余角是_；（2）如果OB平分COE，AOC=35，请计算出BOD的度数【答案】（1）AOE，BOC；（2）125【分析】（1）结合图形，根据补角和余角的定义即可求得；（2）由AOC=35，AOB=90可求得BOC的度数，再根据角平分线的定义求得BOE的度数，再根据邻补角的定义即可求得BOD的度数解：（1）图中AOD的补角是AOE，AOC的余角是BOC，故答案为 AOE， BOC；（2）AOC=35，AOB=90，BOC=AOB-AOC

10、=90-35=55，OB平分COE，BOE=BOC=55，BOD=180-BOE=18055=125【点拨】本题考查了余角和补角的定义、角平分线的定义等，熟练掌握相关的内容是解题的关键举一反三：【变式1】如图，点O是直线AB上的一点，COD是一个直角，OE平分BOC（1）如图1，当AOC30，求DOE的度数；（2）如图2，若AOCx，求DOE的度数（用含有x的代数式表示）【答案】（1）15；（2）【分析】（1）根据互补求出BOC，再根据角平分线求出COE，再用互余，求出结果即可；（2）方法同（1），把角度用未知数表示，相应的角度用含有x的代数式表示即可解：（1）AOC30，BOC180AOC1

11、50，又OE平分BOC，BOECOEBOC75，又COD90，DOECODCOE15；（2）AOCx，BOC180AOC（180x），又OE平分BOCBOECOEBOC（180x），又COD90DOECODCOE90（180x）x【点拨】本题考查角平分线、互为余角、互为补角的意义，通过图形直观得出各个角之间的关系是正确解答的关键【变式2】如图，已知AOB140，COE与EOD互余，OE平分AOD（1）若COE40，求DOE和BOD；（2）设COE，BOD，试探究与之间的数量关系【答案】（1），；（2）【分析】（1）根据互余的性质求出，根据角平分线的性质求出，结合图形计算即可；（2）根据互余的性

12、质用表示，根据角平分线的性质求出，结合图形列式计算即可解：（1）与互余，OE平分，；（2），且与互余，OE平分，解得：【点拨】本题考查了余角及角平分线的性质，角的计算，理解两个性质并准确识图，理清图中各角度之间的关系是解题的关键类型四、同（等）角的余（补）角相等的应用4、补全解题过程（1）已知：如图1，点C是线段AB的中点，CD2cm， BD8cm，求AD的长解：CD2cm，BD8cm，CBCD_cm点C是线段AB的中点，ACCB_cm， ADAC_cm（2）如图2，两个直角三角形的直角顶点重合，BOD40，求AOC的度数解：AOC COB_ ， COBBOD_， AOC _ BOC40，AO

13、C_在上面到的推导过程中，理由依据是：_【答案】（1）BD，10，10，CD；（2）90，90，BOD，50，同角的余角相等【分析】（1）先推出CB10cm，根据中点的定义得ACCB，进而即可求解；（2）根据同角的余角相等，即可求解（1）解：CD2cm，BD8cm，CBCDBD10cm点C是线段AB的中点，ACCB10cm， ADACCD12cm故答案是：BD，10，10，CD；（2）解：AOC COB90 ， COBBOD90， AOC BOD BOC40，AOC50在上面到的推导过程中，理由依据是：同角的余角相等故答案是：90，90，BOD，50，同角的余角相等【点拨】本题主要考查线段的中

14、点的定义，角的和差运算，掌握同角的余角相等是解题的关键举一反三：【变式1】如图，将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点O按如图方式叠放在一起(1)判断大小关系：AOD_BOC(填、=、等)(2)若 BOD=35，则AOC= ；若AOC=135，则BOD= ；(3)猜想 AOC与BOD的数量关系，并说明理由【答案】(1)、=；(2)、145、45；(3)猜想：AOC+BOD=180，理由见分析.【分析】（1）由于是两直角三角形板重叠，AOD=90-BOD，BOC=90-BOD，即可判断AOD=BOC；（2）由于是两直角三角形板重叠，根据AOC=AOB+COD-BOD可分别计算出AOC、BOD的

15、度数；（3）由AOD+BOD+BOD+BOC=180且AOD+BOD+BOC=AOC可知两角互补.解：(1) AOB=COD=90,AOD=90-BOD，BOC=90-BOD,AOD=BOC;(2)AOB=COD=90,BOD=35，AOC=AOB+CODBOD=90+9035=145；AOB=COD=90,AOC=135，BOD=AOB+CODAOC=90+90135=45；(3)、猜想：AOC+BOD=180理由： 依题意AOB=DOC=90AOC+BOD=(AOB+BOC)+BOD =AOB+(BOC+BOD)=AOB+DOC=90+90=180.【点拨】本题考查余角和补角.【变式2】将

16、两个直角三角尺的顶点O叠放在一起（1）如图（1）若BOD=35，则AOC=_；若AOC=135，则BOD=_；（2）如图（2）若AOC=140，则BOD=_；（3）猜想AOC与BOD的大小关系，并结合图（1）说明理由【答案】（1）145，45；（2）40；（3）AOC与BOD互补，理由见分析【分析】（1）由于是两直角三角形板重叠，根据AOC=AOB+COD-BOD可分别计算出AOC、BOD的度数；（2）根据BOD=360-AOC-AOB-COD计算可得；（3）由AOD+BOD+BOD+BOC=180且AOD+BOD+BOC=AOC可知两角互补；解：（1）若BOD=35，AOB=COD=90，A

17、OC=AOB+COD-BOD=90+90-35=145，若AOC=135，则BOD=AOB+COD-AOC=90+90-135=45；（2）如图2，若AOC=140，则BOD=360-AOC-AOB-COD=40；（3）AOC与BOD互补，理由如下，AOD+BOD+BOD+BOC=180，AOD+BOD+BOC=AOC，AOC+BOD=180，即AOC与BOD互补【点拨】本题主要考查了互补、互余的定义等知识，解决本题的关键是理解重叠的部分实质是两个角的重叠类型五、与余角和补角相关综合压轴题5、综合与实践如图，为直线上一点，过点在的下方作射线，将一直角三角板按如图所示的方式摆放（）（1）将图中的

18、三角板绕点顺时针旋转一定的角度得到图，使边恰好平分，问是否平分？请说明理由（2）若，将图中的三角板绕点顺时针旋转一定的角度得到图使边在的内部，那么与之间存在怎样的数量关系？请说明理由若继续旋转三角板，直到与重合，请直接写出与之间的数量关系【答案】（1）平分，理由见分析；（2），理由见分析；或【分析】（1）由平分，可求出，再根据可得 从而可得进而得出结论； （2）由可得：，由 从而可得 移项合并后可得结论；分三种情况讨论：当在的内部时，当在的内部，在的外部时，当都在的外部时，分别画出符合题意的图形，利用角的和差关系列出等式，从而可得结论解：（1）平分 理由如下：平分， 平分； （2），理由如下：

19、MON=90， ，BOC=60， 即：，如图，当在的内部时， 当在的内部，在的外部时，如图， 当都在的外部时，如图， 综上：与之间的数量关系为或【点拨】本题考查的是角平分线的定义，余角，补角的含义，角的和差运算，分类思想的运用，掌握以上知识是解题的关键举一反三：【变式1】以直线上一点O为端点作射线，使，将一个直角角板的直角顶点放在O处，即（1）如上图1，若直角三角板的一边放在射线上，则_；（2）如上图2，将直角三角板绕点O顺时针转动到某个位置，若恰好平分，则_；若在内部，请直接写出与有怎样的数量关系；（3）将直角三角板绕点O顺时针转动（与重合时为停止）的过程中，恰好有，求此时的度数【答案】（1

20、）；（2）；与数量关系为：；（3）的度数为或【分析】（1）利用余角的定义可求解；（2）由平角的定义及角平分线的定义求解COE的度数，进而可求解；由CODBOCBOD，CODCOE90，结合BOC的度数可求解；（3）可分两种情况：当COD在BOC的内部时，当COD在BOC的外部时，根据角的和差可求解解：（1）由题意得BOD90，BOC40，COD904050，故答案为50；（2）AOCBOC180，BOC40，AOC18040140，OE平分AOC，COEAOC70，DOE90，COD907020，故答案为20；CODBOCBOD，CODCOE90，BOCBODCOE90，COEBOD90BOC

21、，BOC40，COEBOD904050，与数量关系为：（3）当在的内部时，而，又，；当在的外部时，而，又，综上所述：的度数为或【点拨】本题主要考查余角的定义，角的和差，角平分线的定义等知识的综合运用，分类讨论是解题的关键【变式2】一直角三角板的直角顶点在直线上，作射线三角板的各边和射线都处于直线的上方（1）将三角板绕点在平面内旋转，当平分时，如图1，如果，求的度数；（2）如图2，将三角板绕点在平面内任意转动，如果始终在内，且，请问： 和有怎样的数量关系?（3）如图2，如果平分，是否也平分?请说明理由【答案】（1）；（2）BOCAOM；（3）OB平分CON理由见分析【分析】（1）根据角平分线的意

22、义可得COM=BOC=65，再根据互余可求出AOC的度数；（2）当OA始终在COM的内部时，有AOM+AOC=65，AOC+BOC=90，进而得出AOM与BOC的等量关系；（3）根据余角的性质得出AOM+BOC=90，再证明AOM+BON=90，即可得出结论.解：（1）平分，COM=BOC=65，又AOC+BOC=90，AOC=90-65=25；（2）OA始终在COM的内部，COM=AOM+AOC=65，AOC=65-AOM，又AOC+BOC=90，65-AOM+BOC=90，BOCAOM；（3）平分，AOM=AOC，又AOC+BOC=90，AOM+BOC=90，AOB=90，AOM+BON=90，BOC=BON，平分.【点拨】本题考查角的计算、角平分线的定义、余角的性质，解题的关键是理解题意，正确利用数形结合进行分析，仔细观察图形，找到各个量之间的关系.