专题7.5 特殊角的三角函数（专项练习）-2022-2023学年九年级数学下册基础知识专项讲练（苏科版）.docx

1、专题7.5 特殊角的三角函数（专项练习）一、单选题1tan45（）A1BCD2下列三角函数的值是的是（）ABCD3点关于y轴对称的点的坐标是（）ABCD4已知，则锐角的度数是（）A60B45C30D755在ABC中，C=90，AB=，BC=1，则A的度数为（）ABCD6关于三角函数有如下的公式：，由该公式可求得的值是（）ABCD7若，则ABC的形状是（）A含有60直角三角形B等边三角形C含有60的任意三角形D等腰直角三角形8在实数，x0（x0），cos30，中，有理数的个数是（）A1个B2个C3个D4个9如图，平分，交于，交于若，则等于（）A5B4C3D210如果A为锐角，cosA，那么A 取

2、值范围是（）A0A30B30A45C45A60D60A90二、填空题11如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB，则cosAOB的值等于_12如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、O都在格点上，则的正切值是_13两块全等的等腰直角三角形如图放置，交于点P，E在斜边上移动，斜边交于点Q，当是等腰三角形时，则的长为_14如图，平行四边形的边在轴正半轴上，一次函数的图象经过点、，反比例函数的图象经过点，则_15如图，在菱形ABCD中，AB8，B120，点O是对角线AC的中点，OECD于点E，则OE的长为 _16如图，在

3、ABC中，AB=4，BC=7，B=60，点D在边BC上，CD=3，联结AD如果将ACD沿直线AD翻折后，点C的对应点为点E，那么点E到直线BD的距离为_17如图，在矩形ABCD中，若点M、N分别是线段DB、AB上的两个动点，则的最小值为_18如图，已知线段，是的中点，直线经过点，点是直线上一点，当为直角三角形时，则_三、解答题19计算：(1) ； (2) 20计算(1) ；(2) 21计算与化简题(1) 计算：(2) 先化简，再求代数式的值，其中22如图，已知等边三角形ABC的边长为6cm，点P从点A出发，沿ACB的方向以2cm/s的速度向终点B运动，同时点Q从点B出发，沿BA的方向以1cm/

4、s的速度向终点A运动当点P运动到点B时，两点均停止运动运动时间记为，请解决下列问题：(1) 若点P在边AC上，当为何值时，APQ为直角三角形？(2) 是否存在这样的值，使APQ的面积为cm2 ？若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由23四边形ABCD是菱形，ABC60，E是对角线BD上的一个动点，连接AE，将线段AE绕点A逆时针旋转120得到线段AF，连接EF，DF（1）如图1，求BDF的度数；（2）如图2，当DB3DF时，连接EC，求证：四边形FECD是矩形；（3）若G为DF中点，连接EG，当线段BD与DF满足怎样的数量关系时，四边形AEGF是菱形，并说明理由24如图，抛物线y=ax2+b

5、x+c经过点A（2，5），与x轴相交于B（1，0），C（3，0）两点（1）求抛物线的函数表达式；（2）点D在抛物线的对称轴上，且位于x轴的上方，将BCD沿直线BD翻折得到BCD，若点C恰好落在抛物线的对称轴上，求点C和点D的坐标；参考答案1A【分析】根据直角三角形中45角的正切值计算并判断即可解：tan451，故选：A【点拨】本题考查直角三角形中45角的正切值，能够牢记直角三角形中特殊度数的角的正切值，正弦值，余弦值是解决此类题型的关键2A【分析】根据特殊角的三角函数值解答解：A、，符合题意；B、，不符合题意；C、，不符合题意；D、，不符合题意；故选A【点拨】本题考查特殊角的三角函数值，准确掌

6、握常见的特殊角的三角函数值是解题的关键3C【分析】先利用特殊角的三角函数值得出点的坐标，再写出其关于y轴对称的坐标即可解：sin60，cos30，点（，）关于y轴对称的点的坐标是（，）故选：C【点拨】本题考查了特殊角的三角函数值和关于坐标轴对称的点的特征，掌握特殊角的三角函数值是解决本题的关键4A【分析】根据得到即可求解解：，为锐角，故选：A【点拨】本题考查根据特殊角三角函数值求角的度数，熟记特殊角的三角函数值是解答的关键5B【分析】直接利用已知画出直角三角形，再利用锐角三角函数关系得出答案解：C=90，AB=，BC=1，sinA=，A=45故选：B【点拨】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正

7、确记忆相关数据是解题关键6B【分析】根据，代入特殊三角函数值计算即可解： ，故选：B【点拨】本题考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，灵活运用公式把一般角转化为特殊角的和或者差是解题的关键7A【分析】根据绝对值和平方的非负性，可得，从而得到，即可求解解：解，解得：，C=90，ABC是含有60直角三角形故选：A【点拨】本题主要考查了特殊角锐角三角函数值，绝对值和平方的非负性，熟练掌握特殊角锐角三角函数值是解题的关键8B【分析】根据零指数幂，特殊角的三角函数值，实数的意义，即可解答解：在实数，x0（x0）=1，中，有理数是，x0=1，所以，有理数的个数是2，故选：B【点拨】本题考查了零指数幂，特殊

8、角的三角函数值，实数，熟练掌握这些数学概念是解题的关键9B【分析】过D点作DGAC于G点，通过DFAB，DEDF，可得，进而有BAD=ADE，DAE=ADE=15，即可得AE=DE=8，易证得，即可求解DF=DG=4解：过D点作DGAC于G点，如图，AD平分BAC，BAC=30，BAD=CAD=15，又DFAB，DEDF，AFD=AGD=90，BAD=ADE，DAE=ADE=15，AED是等腰三角形，AE=DE=8，DEC=EDA+EAD=30，在RtDEG中，有，DG=4，AFD=AGD，BAD=CAD，AD=AD，DF=DG=4，故选：B【点拨】本题考查了角平分线的性质、平行的相关的性质、

9、等腰三角形的判定和性质以及特殊角的三角函数等知识，利用角平分线的性质是解答本题的关键10C【分析】分别求出60和45角的余弦值，由此得到答案解：cos60，cos45，且45A60故选C【点拨】此题考查了角度的余弦公式，余弦值随着角度的增大而减小的性质，熟记公式是解题的关键11解：OA=OB=AB，ABC是等边三角形，AOB=60，cosAOB=cos60=故答案是：121【分析】连接AB，由勾股定理求得AB、AO、BO的长，判断ABO是等腰直角三角形，即可求得答案解：连接AB，由勾股定理得：AB，AO，OB，ABAO，ABO是以OB为斜边的等腰直角三角形，故答案为：1【点拨】此题考查了勾股定

10、理在网格中的应用、勾股定理的逆定理、等腰直角三角形的性质、特殊角的三角函数值等知识，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键13或或【分析】解答时，分BE=PE，PB=PE和BP=BE三种情况求解即可解：当BE=PE时，B=C=DEF=DFE=45，BPE=45，BEP=90，QEC=45，EQC=90，PE=BE=BPsin45=，EQ=CQ=ECsin45=， BC=10，AC=BCsin45=，AQ=AC-QC=当PB=PE时，根据前面计算，得到BH=PH=3，BH=HE=3，B=C=DEF=DFE=45，EQC=45，CEQ=90，EC=EQ=BC-BE=10-6=4，CQ=， BC=1

11、0，AC=BCsin45=，AQ=AC-QC=当BP=BE时，B=C=DEF=DFE=45，BPE=BEP=QEC=EQC，PE=BE=，EQ=CQ=BC-BE=， BC=10，AC=BCsin45=，AQ=AC-QC=，综上所述AQ的长为或或，故答案为：或或【点拨】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，特殊角的三角函数值，熟练掌握等腰直角三角形的性质和准确进行等腰三角形的等腰分类，灵活运用特殊角的三角函数值是解题的关键144【分析】根据平行四边形的性质、三角函数值，结合一次函数求出D的坐标即可求解；解：如图，过点D作DEAB将y=0代入y=x-4中记得x=4A(4

12、，0)在平行四边形ABCD中，OAD=CBAAD=BC=5DE=4，AE=3OE=OA-AE=4-3=1D（1，4）故答案为：4【点拨】本题主要考查反比例函数、平行四边形、三角函数值、一次函数，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键15【分析】连接OB，由菱形的性质得BCAB8，BOAC，再由等腰三角形的性质得ACBACD30，然后由锐角三角函数定义求出OC4，最后由含30角的直角三角形的性质求解即可解：连接OB，如图所示：四边形ABCD为菱形，点O是对角线AC的中点，BCAB8，BOAC，ACBACD（180120）30，在RtBOC中，OCcos30BC84，OECD，CEO90，在RtCOE

13、中，OEOC42，故答案为：2【点拨】本题考查了菱形的性质、等腰三角形的性质、锐角三角函数定义以及含30角的直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握菱形的性质16【分析】过E点作EHBC于H，证明ABD是等边三角形，进而求得ADC=120，再由折叠得到ADE=ADC=120，进而求出HDE=60，最后在RtHED中使用三角函数即可求出HE的长解：如图，过点E作EHBC于H，BC=7，CD=3，BD=BC-CD=4，AB=4=BD，B=60，ABD是等边三角形，ADB=60，ADC=ADE=120，EDH=60，EHBC，EHD=90DE=DC=3，EH=DEsinHDE=3=，E到直线BD的距离

14、为故答案为：【点拨】本题考查了折叠问题，解直角三角形，点到直线的距离，本题的关键点是能求出ADE=ADC=120，另外需要重点掌握折叠问题的特点：折叠前后对应的边相等，对应的角相等17【分析】如图，过A作于，延长，使，过作于，交于，则最短，再利用矩形的性质与锐角三角函数求解即可得到答案解：如图，过A作于，延长，使，过作于，交于，则最短， 四边形为矩形， 即的最小值为 故答案为： 【点拨】本题考查的是矩形的性质，锐角三角函数的应用，同时考查利用轴对称与垂线段最短求线段和的最小值问题，解题的关键是掌握以上知识182或或【分析】分、三种情况，根据直角三角形的性质、勾股定理计算即可解：如图：，当时，当

15、时，当时，故答案为2或或【点拨】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是，斜边长为，那么19(1)2 (2)【分析】（1）根据特殊角的三角函数值解决此题（2）根据特殊角的三角函数值及二次根式的乘法进行计算即可解决此题（1）解：原式31+21+12；（2）解：原式1【点睛】本题主要考查特殊角的三角函数值及二次根式的运算，熟练掌握特殊角的三角函数值是解决本题的关键20(1)；(2)【分析】（1）先化简绝对值、计算零指数幂与负整数指数幂、特殊角的正切值、立方根，再计算二次根式的乘法与加减法即可得；（2）先计算特殊角的三角函数值，再计算二次根式的乘法与加减法即可得（1）解：原式（2）解

16、：原式【点睛】本题考查了含特殊角的三角函数的混合运算、二次根式的乘法与加减法、零指数幂与负整数指数幂等知识点，熟记特殊角的三角函数值是解题关键21(1)(2)，【分析】（1）根据负整数指数幂，胡加绝对值，零次幂，特殊角的三角函数值，进行计算求解即可；（2）先去括号，把除法变为乘法把分式化简，再把数代入求值(1)解：原式；(2)；原式【点睛】本题考查了实数的混合运算，分式的化简求值，正确的计算是解题的关键22(1)1.2或3； (2)存在，或4【分析】（1）当APQ为直角三角形时，A=60度，所以可能只有APQ=90或AQP=90，当APQ=90时，AQP=30，AP=AQ，求出t=1.2秒；当

17、AQP=90时，APQ=30，AQ=AP，求得t=3秒；（2）当点P在AC上时，边AQ=6-t，算出AQ上的高PD=，即可写出（6-）=，求得t=3-；当点P在BC上时，算出AQ边上的高PF=，即可写出（6-）=，求得t=4（1）解：ABC是等边三角形，AB=BC=CA=6，A=B=C=60，当点P在边AC上时，由题意知，AP=2，AQ=6-，当APQ=90时，AP=AQ，即2=（6-），解得=1.2，当AQP=90时，AQ=AP，即6-=2，解得=3，所以，点P在边AC上，当为1.2s或3s时，APQ为直角三角形；（2）存在当点P在边AC上时，此时03，过点P作PDAB于点D，在RtAPD中

18、，A=60，AP=2，sinA=，即sin60=，PD=，SAPQ=AQPD=（6-），由（6-）=，得（不合题意，舍去），； 当点P在边BC上时，此时36，如图，过点P作PFAB于点F，在RtBPF中，B=60，BP=12-2，sinB=，即sin60=，PF=，SAPQ=AQPF=（6-），由（6-）=得因此，当t为s或4s时，APQ的面积为【点睛】本题主要考查了直角三角形的存在性和三角形的面积的存在性，解决问题的关键是熟练掌握直角三角形的直角三个角都有可能，要分类讨论；面积是同一个值的三角形不可能只有一个，全面考虑，分类讨论23（1）；（2）证明见解析；（3），理由见解析【分析】（1）先

19、证明可得再证明 从而可得答案；（2） 先证明 再证明 从而可得结论；（3）先证明 结合 可得 从而可得答案.【详解】解（1） 四边形ABCD是菱形，ABC60，,由旋转可得： 又四边形ABCD是菱形， 又四边形ABCD是菱形， （2）由（1）可得： 由（1）可得： 是直角三角形， 由菱形的对称性可得： 而 四边形为矩形.（3） 理由如下：如图， 四边形是菱形， 【点睛】本题考查的是旋转的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的性质，锐角三角函数的应用，灵活的应用以上知识解题是解题的关键.24（1）y=x22x3；（2）点C的坐标为（1，2），点D的坐标为（1，）【分析】（1）根据抛物线经过点，与轴

20、相交于，两点，利用待定系数法求得该抛物线的解析式即可；（2）先确定二次函数对称轴，BC长度，根据题意和翻折的性质，得到B C长度，利用三角函数求出CBC，再根据角平分线求出DBC，解直角三角形可以求得点和点的坐标，本题得以解决【详解】解：（1）抛物线y=ax2+bx+c经过点A（2，5），与x轴相交于B（1，0），C（3，0）两点，得，即抛物线的函数表达式是y=x22x3；（2）与x轴相交于B（1，0），C（3，0）两点，BC=3（1）=3+1=4，该抛物线的对称轴是直线x=1，设抛物线的对称轴与x轴的交点为H，则点H的坐标为（1，0），BH=2，将BCD沿直线BD翻折得到BCD，点C恰好落在抛物线的对称轴上，BC=BC=4，CHB=90，CBD=DBC，OC=2，cosCBH=，C的坐标为（1，2），CBH=60，DBC=30，BH=2，DBH=30，OD=BHtan30=2=，点D的坐标为（1，），由上可得，点C的坐标为（1，2），点D的坐标为（1，）【点睛】本题考查待定系数法求抛物线解析式，图形翻折变化、二次函数的性质、特殊角的三角函数值，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答