专题7.8 探索平行线的性质（题型分类拓展）-2023-2024学年七年级数学下册基础知识专项突破讲与练（苏科版）.docx

1、专题7.8 探索平行线的性质（题型分类拓展）【题型分类目录】【题型1】旋转问题； 【题型2】平行线上的动点问题；【题型3】最值问题； 【题型4】折叠与重合问题.一、 单选题【题型1】旋转问题1（2022上山西运城八年级山西省运城市实验中学校考期末）如图，木棒AB、CD与EF分别在G、H处用可旋转的螺丝铆住，将木棒AB绕点G逆时针旋转到与木棒CD平行的位置，则至少要旋转（）A10 B20 C30 D402（2022下湖南永州七年级统考期末）如图，直线，现将一个含30角的直角三角板的锐角顶点放在直线上，将三角板绕点旋转，使直角顶点落在与之间的区域，边与直线相交于点，若，则图中的的值为（）A65 B

2、75 C85 D803（2023下河北唐山七年级统考期中）如图所示，将一副三角板中的两块三角板重合放置，其中和的两个角顶点O重合在一起三角板保持不动，将三角板绕点O顺时针方向旋转一周的过程中，若，则的大小为（）A或 B或 C或 D或【题型2】平行线上的动点问题4（2022上陕西西安八年级统考期末）如图，直线，点E、F分别是AB、CD上的点（点E在点F的右侧），点M为线段EF上的一点（点M不与点E、F重合），点N为射线FD上的一动点，连接MN，过点M作，且恰能使得MQ平分EMN若，则MNF和FMN的度数分别为（）A38，76 B38，104 C36，142 D36，1045（2022下陕西西安七

3、年级统考期末）如图，直线，点、分别是、上的点（点在点的右侧），点为线段上的一点（点不与点、重合），点为射线上的一动点，连接，过点作，且恰能使得平分若，则和的度数分别为（）A， B， C， D，6（2023下广东深圳七年级校考期中）如图，已知，点是射线上一动点（与点不重合），、分别平分和，分别交射线于点、，下列结论：；当时，；当点运动时，的数量关系不变其中正确结论有（）个A1 B2 C3 D4【题型3】最值问题7（2022湖北荆州统考一模）一副三角尺的位置如右图所示，其中三角尺ADE绕点A逆时针旋转度，使它的某一边与BC平行，则的最小值是（）A15 B30C60 D1508（2021下安徽合肥八

4、年级统考期末）如图，且相邻两条直线间的距离都是2，A，B，C分别为，上的动点，连接AB、AC、BC，AC与交于点D，则BD的最小值为（）A2 B3 C4 D5【题型4】折叠与重合问题9（2023下湖北襄阳七年级校联考期中）将一张长方形纸条沿折叠后点B、A分别落在、位置上，与的交点为G若，则的度数为（）A B C D10（2023下山东青岛七年级统考期中）按如图方式折叠一张对边互相平行的纸条，是折痕，若，则以下结论正确的是（）；A B C D11（2023下浙江温州七年级温州市第十二中学校联考期中）已知M，N分别是长方形纸条边，上两点（），如图1所示，沿M，N所在直线进行第一次折叠，点A，D的对

5、应点分别为点E，F，交于点P；如图2所示，继续沿进行第二次折叠，点B，C的对应点分别为点G，H，若，则的度数为（）A BCD二、 填空题【题型1】旋转问题12（2022下江苏苏州七年级统考期末）在一次课外活动中，小明将一副直角三角板如图放置，E在AC上， ，小明将ADE从图中位置开始，绕点按每秒的速度顺时针旋转一周，在旋转过程中，第 秒时，边与边平行13（2022下湖北省直辖县级单位七年级校考期中）今年3月，长江主题灯光秀在武汉展演，有两条笔直且平行的景观道上放置P、Q两盏激光灯（如图所示），若光线按顺时针方向以每秒的速度旋转至便立即回转，并不断往返旋转；光线按顺时针方向每秒的速度旋转至边就停

6、止旋转，若光线先转5秒，光线才开始转动，当光线旋转的时间 秒时，14（2023下河北承德七年级统考期末）为保证安全，某两段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯A，B，探照灯的光线可看作射线如图，灯A的光线从射线开始，绕点A顺时针旋转至射线上便立即回转，灯B光线从射线开始，绕点B顺时针旋转至射线便立即回转，两灯不停交叉照射巡视已知，连接，则 ；若灯B的光线先转动，每秒转动，45秒后灯A的光线才开始转动，每秒转动，在灯B的光线第一次到达之前，灯A的光线转动 秒时，两灯的光线互相平行【题型2】平行线上的动点问题15（2022下河北保定八年级保定市第十七中学校考开学考试）如图，点P是射线上一动点（与点A不重

7、合），平分交于点C，平分交于点D（1）则 ；（2）当点P运动时，与之间的数量关系是 16（2022上河南南阳七年级统考期末）已知射线，连接，点P是射线上的一个动点（与点A不重合），分别平分和，分别交射线于点C，D当时，则 度，（用含x的代数式表示）17（2022下广东汕头七年级统考期末）如图，BC平分ABD，设ACB为，点E是射线BC上的一个动点，若，则CAE的度数为 （用含的代数式表示）【题型3】最值问题 18（2023下陕西西安七年级校考期中）已知：如图，且，点是线段上的一个动点，则的最大值与最小值的差是 19（2023下湖北宜昌七年级统考期末）如图，有三条两两相交的公路、，从地测得公路的

8、走向是北偏东50，从地测得公路的走向是北偏西40若、的长分别为千米，千米、千米，点是公路上任意一点，则线段的最小值为 千米（用含、的式子表示）20（2023下江西景德镇九年级景德镇一中校考阶段练习）如图于点D，将绕点A逆时针旋转，使，则的最小值为 【题型4】折叠与重合问题21（2023下浙江衢州七年级校考期中）如图，把一张长方形沿折叠后，点分别落在的位置上，与相交于点已知，则的度数是 22（2023下山东济南七年级校考期中）如图，把一张长方形纸条沿折叠，若，则 23（2023下安徽黄山七年级统考期末）折叠问题的实质是图形的轴对称变换，所以在解决折叠问题时可以充分运用轴对称的思想和轴对称的性质如

9、图1，将长方形纸片沿直线折叠成图2，再沿直线折叠成图3，则图3中 三、 解答题【题型1】旋转问题24（2023上吉林长春七年级校考期末）将一副直角三角板按如图方式摆放在直线上（直角三角板和直角三角板，），保持三角板不动，将三角板绕点C以每秒的速度顺时针旋转，旋转时间为t秒，当与射线重合时停止旋转（1）如图，当为的平分线时，_；（2）当时，求的度数；（3）在旋转过程中，当三角板的边平行于三角板的某一边时（不包含重合的情形），直接写出的值25（2023下吉林松原七年级统考期末）如图，、分别为直线、上两点，且，若射线绕点顺时针旋转至后立即回转，射线绕点逆时针旋转至后立即回转，两射线分别绕点、点不停地

10、旋转，若射线转动的速度是秒，射线转动的速度是秒，且、满足（友情提醒：钟表指针走动的方向为顺时针方向）（1），；（2）若射线、射线同时旋转，问至少旋转多少秒时，射线、射线互相垂直（3）若射线绕点顺时针先转动18秒，射线才开始绕点逆时针旋转，在射线到达之前，问射线再转动多少秒时，射线、射线互相平行？ 【题型2】平行线上的动点问题26（2023下江苏七年级专题练习）如图1，已知两条直线被直线所截，分别交于点E，点F，平分交于点M，且（1）判断直线与直线是否平行，并说明理由；（2）如图2，点G是射线上一动点（不与点M，F重合），平分交于点H，过点H作于点N，设当点G在点F的右侧时，若，求的度数；当点G

11、在运动过程中，和之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明27（2023下山西晋城七年级期末）如图甲所示，已知点E在直线上，点F，G在直线上，且，平分（1）判断直线与直线是否平行，并说明理由（2）如图乙所示，H是上点E右侧一动点，的平分线交的延长线于点Q，若，求的值设，点H在运动过程中，写出和的数量关系并说明理由【题型3】最值问题28（2023下江苏宿迁七年级校考期中）将一块三角板（，）按如图所示放置在锐角内，使直角边落在边上现将三角板绕点逆时针以每秒的速度旋转秒（直角边旋转到如图所示的位置），过点作交射线于点，平分，其中的值满足：使代数式取得最小值（1）求的值；（2）当秒时，求的度数；

12、（3）在某一时刻，当时，试求出与之间的数量关系29（2020下重庆巴南七年级统考期末）如图，l=C， 2+D=90，BEFD，垂足为G（1）证明：AB/ CD（2）已知CF=3，FD=4，CD=5，点P是线段CD上的动点，连接FP，求FP的最小值 【题型4】折叠与重合问题30（2023下云南曲靖七年级校考期中）如图所示，一个四边形纸片，把纸片按如图所示折叠，使点落在边上的点，是折痕如果，求的度数31（2023下河南南阳七年级统考期末）如图，已知四边形纸片的边，是边上任意一点，沿折叠，点落在点的位置（1）观察发现：如图所示：，则_（2）拓展探究：如图，点落在四边形的内部，探究，之间的数量关系，并

13、证明；（3）迁移应用：如图，点落在边的上方，则（2）中的结论是否成立？若成立，请证明：若不成立，请写出它们的数量关系并证明参考答案：1B【分析】由平行线的判定“同位角相等，两直线平行”可知，EGBEHD时，ABCD，即EGB需要变小20，即将木棒AB绕点G逆时针旋转20即可解：当EGBEHD时，ABCD，EGB100，EHD80，EGB需要变小20，即将木棒AB绕点G逆时针旋转20故选：B【点拨】本题主要考查平行线的性质与判定，熟知相关定理是解题基础2A【分析】过A作CEl1，得到CEl1l2，根据平行线的性质得出3，进而求得4，再根据平行线的性质可求出答案解：过C作CEl1，l1l2，CEl

14、1l2，3=1=35，4=90-3=55，2=180-4-ABC=180-55-60=65故选：A【点拨】本题考查了平行线的性质和判定，能灵活运用平行线的性质和判定定理进行推理是解此题的关键3D【分析】由题意，作图如图1，2，根据平行线的性质、三角板的度数进行计算求解即可解：如图1， ，如图2，综上，的度数为或；故选：D【点拨】本题考查了平行线的性质解题的关键在于明确角度之间的数量关系4B【分析】根据平行线的性质，角平分线的定义以及平角的定义即可求解解：如图，ABCD，MQCD，ABMQ，EMQ=180-BEF=38，MQ平分EMN，QMN=EMQ=38，MQCD，MNF=QMN=38，FMN

15、=180-EMN=180-38-38=104，故选：B【点拨】本题考查了平行线的性质、角平分线、三角形内角和定理；熟练掌握平行线的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键5B【分析】先证，再根据平行线的性质，角平分线的定义以及平角的定义即可求解解：，平分，故选B【点拨】本题考查了平行线的判定和性质、角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键6D【分析】直接利用平行线的性质判断；先求出的度数，然后利用角平分线的定义可得，即可判断；利用平行线的性质和可证，然后结合角平分线定义可得，即可判断；利用平行线的性质可得，结合可得，即可判断解：，故正确；，、分别平分和，故正确；，又

16、，又，故正确；，又，故正确故选：D【点拨】本题考查了平行线的性质，角平分的定义等知识，明确题意，找出所求问题需要的条件是解题的关键7A【分析】当ADE绕A点逆时针旋转时，AE边最先与BC平行，利用平行线的性质即可求解解：当ADE绕A点逆时针旋转时，AE边最先与BC平行，如图：AEBC，C=CAE=60，DAE=45，CAD=CAE-DAE=15，则的最小值是15，故选：A【点拨】本题考查了平行线的性质，直角三角板的角的度数的知识，熟记性质是解题的关键8A【分析】求BD的最小值可以转化为求点B到直线AC的距离，当BDAC时，BD有最小值，根据题意求解即可解：由题意可知当BDAC时，BD有最小值，

17、此时，AD=CD，ABC=90，BD=AD=BD=AC=2，BD的最小值为2故选：A【点拨】本题考查平行线的性质，需结合图形，根据平行线的性质推出相关角的关系从而进行求解9C【分析】根据平行线的性质得出的度数，根据折叠的性质计算的度数，即可得到的度数解：，由折叠的性质可知，故选：C【点拨】本题考查了平行线的性质以及折叠的性质，熟练掌握平行线和折叠的性质是解题的关键10C【分析】根据平行线的性质及翻折变换的性质对各结论进行逐一分析，即可解答解：，结论正确；由折叠可知，结论错误；，结论正确；，且，结论正确；所以，以上结论正确的是，故选：C【点拨】本题考查了平行线的性质，翻折的性质，解题关键是平行线

18、的性质11B【分析】由翻折的性质和长方形的性质可得出：，据此可得，再根据得，根据得，据此可求出，进而可求出的度数解：由翻折的性质得：，四边形为长方形，又，即：，故选：B【点拨】此题主要考查了图形的翻折变换和性质，平行线的性质，解答此题的关键是准确识图，利用图形翻折性质及平行线的性质准确的找出相关的角的关系12或【分析】分两种情况：DE在AB上方；DE在AB下方，画出相应的图形，利用平行线的性质即可求得答案解：当DE在AB上方，B=60，D=45，BAC=30，E=45，ABDE，BAE=E=45，CAE=BAC+BAE=75，旋转时间为：（秒）；当DE在AB下方，B=60，D=45，BAC=3

19、0，E=45，ABDE，BAE+E=180，BAE=180-E=135，CAE=BAE-BAC=105，旋转角度为：360-CAE=255，旋转时间为：（秒），综上所述：在旋转过程中，第或秒时，边与边平行，故答案为：或【点拨】本题考查了平行线的判定和性质，解题的关键是对DE的位置进行讨论，画出相应图形解答13或【分析】本题考查了一元一次方程在几何中的应用，涉及了平行线的性质，解题关键在于画出满足题意的图形解：设旋转的时间为时，如图所示：则：解得：；如图所示：仍有：此时解得：综上所述：或故答案为：或14 60 45或105【分析】根据题意及邻补角互补求出，进而根据平行线的性质得到；由题意易得，则

20、可设灯的光线转动时，两灯的光线互相平行，进而可分当射线未过线段时，射线过线段且未到达射线时，射线到达后回转，然后根据平行线的性质进行分类求解即可解：，；，灯的光线先转动45秒，灯的光线才开始转动，此时，设灯的光线转动时，两灯的光线互相平行，当射线未过线段时，两灯的光线互相平行，则，如图所示：，即，解得：；射线过线段且未到达射线时，两灯的光线互相平行，则，如图所示：，即，解得：，（不符合题意，舍去）；射线到达后回转，两灯的光线互相平行，则，如图所示：，即，解得：；综上所述：灯的光线转动45秒或105秒时，两灯的光线互相平行；故答案为：60；45或105【点拨】本题主要考查平行线的性质及一元一次方

21、程的应用，熟练掌握平行线的性质及一元一次方程的应用是解题的关键15 120 【分析】（1）由两直线平行，同旁内角互补即可求出答案；（2）由平行线的性质可得，由角平分线的定义可得，从而可得与之间的关系解：（1），故答案为：；（2），平分，故答案为：【点拨】本题考查平行线的性质及角平分线的定义，解题关键是熟知平行线的性质16【分析】由角平分线的定义可得，从而得到，再由平行线性质得，从而可求解；解：，分别平分和，故答案为：【点拨】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义，结合图形并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键17或【分析】根据题意可分为两种情况：当点E在直线AC上方时，根据平行线的性质及角平分线

22、的定义求得CAB=180-2，再由求出CAE的度数；当点E在直线AC下方时，根据平行线的性质及角平分线的定义求得CAB=180-2，再由求出CAE的度数解：当点E在直线AC上方时，如图，ACBD，CBD=ACB=，CAB+ABD=180，BC平分ABD，ABD=2CBD=2，CAB=180-2，BAE：CAE=3：1，CAB：CAE=2：1，2CAE=180-2，CAE=；当点E在直线AC下方时，如图，ACBD，CBD=ACB=，CAB+ABD=180，BC平分ABD，ABD=2CBD=2，CAB=180-2，BAE：CAE=3：1，CAE=，故答案为或【点拨】此题考查了平行线的性质，角平分线

23、的计算，求几何图形中角的度数，正确掌握平行线的性质是解题的关键18【分析】当点M与点A重合时，取最大值，此时，当时，取最小值，根据，求出最小值，即可求解解：，当点M与点A重合时，取最大值，此时，当时，取最小值，解得：，的最大值与最小值的差是，故答案为：【点拨】本题主要考查了平行线的性质，垂线段最短，解题的关键是掌握两直线平行，内错角相等；垂线段最短19【分析】过C作于P，依据，可得在中，得出，代入数值求解即可解：如图，过C作于P，由题可得，中，即线段的最小值为，故答案为【点拨】此题是一道方向角问题，结合生活中的实际问题，将解三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想20/25度【

24、分析】过点C作，过点A作，利用平行线的性质即可求解解：如图，过点C作，则，过点A作，则，故的最小值为故答案为：【点拨】本题考查了平行线的性质，掌握两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等是解题的关键21/80度【分析】由折叠的轴对称性质得到，再由周角求得再由求得，最后即可求得的度数解：由折叠的轴对称性质知，由长方形的性质知：故答案为：【点拨】本题考查了折叠的轴对称全等性、矩形的性质、周角、邻补角等知识点，解题的关键是利用折叠的性质得出22【分析】此题要求的度数，可先求得其邻补角的度数，根据平行线的性质“两直线平行，内错角相等”以及折叠的性质就可求解的度数解：四边形是长方形，（两直线平行

25、，内错角相等）由折叠得：，故答案为：【点拨】本题考查了平行线的性质、折叠的性质，正确观察图形，熟练掌握平行线的性质“两直线平行，内错角相等”是解题的关键23/105度【分析】根据平行线的性质及折叠的性质可得，再根据折叠的性质及四边形的内角和即可解答解：如图，由折叠的性质，如图，如图，由折叠的性质可知，故答案为.【点拨】本题考查了平行线的性质，折叠的性质，对顶角相等，准确识图，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键24（1）3；（2）；（3）的值为15或27或35【分析】本题考查旋转的性质、角平分线的性质、平行线的性质，关键在于数形结合，分类讨论（1）根据角平分线的定义求出，然后求出t的值即可；

26、（2）当时，旋转角为，可求出，即可求出；（3）分三种情况进行讨论，分别画出图形，求出t的值即可（1）解：如图2，平分，（2）当秒时，的旋转角度为，即，如图，；（3）当时，如图，此时与重合，旋转角度为，；当时，如图，；当时，如图，25（1）6，1；（2）s；（3）射线再转动秒或18秒时，射线、射线互相平行【分析】（1）依据，即可得到，的值；（2）依据，即可得到射线、射线第一次互相垂直的时间；（3）分两种情况讨论，依据时，列出方程即可得到射线、射线互相平行时的时间解：（1），故答案为：6，1；（2）设至少旋转秒时，射线、射线互相垂直如图，设旋转后的射线、射线交于点，则，又，；（3）设射线再转动秒时

27、，射线、射线互相平行如图，射线绕点顺时针先转动18秒后，转动至的位置，分两种情况：当时，当时，此时，解得；当时，当时，此时，解得；综上所述，射线再转动秒或18秒时，射线、射线互相平行【点拨】本题主要考查了平行线的性质，非负数的性质以及角的和差关系的运用，解决问题的关键是运用分类思想进行求解，解题时注意：若两个非负数的和为0，则这两个非负数均等于026（1）平行，见分析；（2）25度；当点G在点F的右侧时，；当点G在点F的左侧时，【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义的运用：（1）依据角平分线，可得，根据，可得，进而得出；（2）依据平行线的性质可得，再根据平分，平分，即可得到，

28、再根据，即可得到中，；分两种情况进行讨论：当点G在点F的右侧时，当点G在点F的左侧时， 解：（1）平分，又，；（2）如图2，又平分，平分，又，中，即；点G是射线上一动点，故分两种情况讨论：如图2，当点G在点F的右侧时，证明：， 又平分，平分，又，中，即；如图3，当点G在点F的左侧时，证明：，又平分，平分，又，中，即27（1）直线与直线平行，理由见分析；（2）；点H在运动过程中，和的数量关系，理由见分析【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角的平分线的计算，证明两个角的关系（1）证明内错角相等即可（2） 根据平行线的性质，等腰三角形的性质，余角性质计算即可仿照，结合外角性质，将问题一般化计算即可

29、（1）解：直线与直线平行，理由如下： 平分，又，（2），的平分线， ，点H在运动过程中，和的数量关系，理由如下：是的外角，是的外角，又平分，的平分线，即28（1）m的值为10；（2）的度数为；（3）【分析】（1）根据平方的非负性及代数式取得最小值，即可求出m的值；（2）根据旋转的速度及时间，即可求出的度数，进一步求出的度数；根据平行线的性质，即可求出的度数，进一步求出的度数；（3）先根据平行线的性质，表示出的度数，进一步表示出的度数；再根据平行线的性质，表示出的度数，根据角平分线的定义，表示出的度数；再根据平行线的性质，得出，从而可求出答案（1）解：，当，即时，代数式取得最小值，代数式取得最小

30、值时，m的值为10；（2），当秒时，的度数为；（3），平分，【点拨】本题考查平方的非负性，平行线的性质，角平分线的定义，解题关键是熟练掌握相关知识点29（1）证明见分析；（2）【分析】（1）先证明CFBE，得到，进而证明，得到即可证明ABCD；（2）先确定的最小值是点F到直线CD的垂线段的长度，过点F作，垂足为P，再由等面积法即可计算出FP的值解：（1）证明：，CFBE， ，垂足为G， ， ABCD（2）根据题意，可知的最小值是点F到直线CD的垂线段的长度过点F作，垂足为P因为，所以因为，所以，所以故FP的最小值为【点拨】本题考查了平行线的性质及判定、三角形的等面积法的运用，解题的关键是熟悉平

31、行线的性质以及判定30【分析】根据折叠的性质可得，再由，可得，得，可得，再由折叠的性质可得，求出即可解：由折叠的性质，得：，又，由折叠的性质，得：，【点拨】本题主要考查了折叠的性质、平行线的判定和性质，熟练掌握折叠的性质、平行线的判定和性质是解题的关键31（1）；（2），证明见分析；（3）不成立，数量关系应为：，证明见分析【分析】（1）根据已知条件，结合平行线的性质，算出，再结合折叠、四边形内角和，算出，最后根据计算即可；（2）过点作，交于点，交于点，由平行线的性质可得，根据平行公理的推论可得，继而得到，再结合折叠的性质可得数量关系；（3）过点作，由平行线的性质可得，根据平行公理的推论可得，继而得到得，再结合折叠的性质可得数量关系（1）解：，沿折叠，点落在点的位置，（两直线平行，同旁内角互补），（四边形内角和为），故答案为：（2）解：如下图，过点作，交于点，交于点则，由折叠的性质得，（全等三角形对应角相等）（3）解：如下图，过点作，则，由折叠的性质得，（全等三角形对应角相等），即【点拨】本题考查了折叠的性质、平行线的性质、平行公理的推论掌握折叠的性质和平行线的性质是解题的关键