专题二十 导数及其应用解答题-2022届天津市各区高三一模数学试题分类汇编.docx

1、2022届天津市各区高三年级一模数学分类汇编专题二十 导数及其应用1. 【2021天津卷】已知，函数（I）求曲线在点处的切线方程：（II）证明存在唯一的极值点（III）若存在a，使得对任意成立，求实数b的取值范围2. 【2020天津卷】已知函数，为的导函数（）当时，（i）求曲线在点处的切线方程；（ii）求函数的单调区间和极值；（）当时，求证：对任意的，且，有3. 【2022和平一模】设函数，其中.（1）时，求曲线在点处的切线方程；（2）讨论函数极值点的个数，并说明理由；（3）若成立，求的取值范围.4. 【2022部分区一模】已知函数，.（1）若曲线在点处的切线的斜率为4，求a的值；（2）当时，

2、求的单调区间；（3）已知的导函数在区间上存在零点.求证：当时，.5. 【2022河东一模】已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）若函数在上有且仅有一个零点.求证：此零点是的极值点；证明：.（本题可能用到的数据为，）6. 【2022红桥一模】已知函数，. （）若曲线与曲线相交，且在交点处有相同的切线，求的值及该切线的方程；（）设函数,当存在最小值时，求其最小值的解析式；（）对（）中的，证明：当时，.7. 【2022河西一模】已知函数（1）当时，求的极值（2）讨论的单调性；（3）若，证明：8. 【2022南开一模】设函数（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若有两个极值点，求a的取值范围；（

3、3）当时，若，求证：9. 【2022河北一模】已知函数，.（1）讨论函数的单调性；（2）若，求的值；（3）证明：.10. 【2022天津一中四月考】 已知函数（其中为实数）的图象在点处的切线方程为.（1）求实数的值；（2）求函数单调区间；（3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.11. 【十二区县一模】已知函数为自然对数的底数（1）求在处的切线方程；（2）当时，求实数的最大值；（3）证明：当时，在处取极小值.2022届天津市各区高三年级一模数学分类汇编专题二十 导数及其应用（答案及解析）1. 【2021天津卷】已知，函数（I）求曲线在点处的切线方程：（II）证明存在唯一的极值点（III

4、）若存在a，使得对任意成立，求实数b的取值范围【答案】（I）；（II）证明见解析；（III）【分析】（I）求出在处的导数，即切线斜率，求出，即可求出切线方程；（II）令，可得，则可化为证明与仅有一个交点，利用导数求出的变化情况，数形结合即可求解；（III）令，题目等价于存在，使得，即，利用导数即可求出的最小值.【详解】（I），则，又，则切线方程为；（II）令，则，令，则，当时，单调递减；当时，单调递增，当时，当时，画出大致图像如下：所以当时，与仅有一个交点，令，则，且，当时，则，单调递增，当时，则，单调递减，为的极大值点，故存在唯一的极值点；（III）由（II）知，此时，所以，令，若存在a，使

5、得对任意成立，等价于存在，使得，即，当时，单调递减，当时，单调递增，所以，故，所以实数b的取值范围.【点睛】关键点睛：第二问解题的关键是转化为证明与仅有一个交点；第三问解题的关键是转化为存在，使得，即.2. 【2020天津卷】已知函数，为的导函数（）当时，（i）求曲线在点处的切线方程；（ii）求函数的单调区间和极值；（）当时，求证：对任意的，且，有【答案】（）（i）；（ii）的极小值为，无极大值；（）证明见解析.【分析】() (i)首先求得导函数的解析式，然后结合导数的几何意义求解切线方程即可；(ii)首先求得的解析式，然后利用导函数与原函数的关系讨论函数的单调性和函数的极值即可；（）首先确定

6、导函数的解析式，然后令，将原问题转化为与有关的函数，然后构造新函数，利用新函数的性质即可证得题中的结论.【详解】() (i) 当k=6时，.可得，所以曲线在点处的切线方程为，即.(ii) 依题意，.从而可得，整理可得：，令，解得.当x变化时，的变化情况如下表：单调递减极小值单调递增所以，函数g(x)的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，+)；g(x)的极小值为g(1)=1，无极大值.（）证明：由，得.对任意的，且，令，则.令.当x1时，由此可得在单调递增，所以当t1时，即.因为，所以.由()(ii)可知，当时，即，故由可得.所以，当时，任意的，且，有.【点睛】导数是研究函数的单调性、

7、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数 (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题(4)考查数形结合思想的应用3. 【2022和平一模】设函数，其中.（1）时，求曲线在点处的切线方程；（2）讨论函数极值点的个数，并说明理由；（3）若成立，求的取值范围.【答案】（1） （2）当时，函数有一个极值点；当时，函数无极值点；当时，函数有两个极值点. （3）【分析】（1）将代入函数中，得出函数的解析式，进而可以求出

8、切点坐标，再利用导数的几何意义及点斜式即可求解；（2）根据已知条件，对进行分类讨论，利用导数法求函数极值的步骤及函数极值的定义即可求解；（3）根据成立，转化为即可，再利用第（2）的结论即可求解.【小问1详解】当时，所以切点为，所以曲线在点处的切线的斜率为，所以曲线在点处的切线的斜率切线方程为，即【小问2详解】由题意知函数的定义域为，令，（i）当时，函数在单调递增，无极值点（ii）当时，当时，所以函数在单调递增，无极值点；当时，设方程两根，此时时，函数单调递增；时，函数单调递减.函数有两个极值点；当时，设方程两根此时时，函数单调递增；时，函数单调递减.函数有一个极值点；综上所述：当时，函数有一个

9、极值点；当时，函数无极值点；当时，函数有两个极值点.小问3详解】由成立等价于即可.当时，函数在上单调递增，时，符合题意；当时，由，得，函数在上单调递增，又时，符合题意；当时，由，得时， 单调递减,时，时，不合题意；当时，设，时，在上单调递增.当时，即，可得，当时，此时，不合题意.综上，的取值范围是.【点睛】解决此题的关键是第一问利用导数的几何意义及点斜式即可，第二问主要是对参数进行分类讨论，再结合利用导数法求函数的极值的步骤即可，第三问主要将恒成立问题转化为最值问题再结合第二问的结论即可求解.4. 【2022部分区一模】已知函数，.（1）若曲线在点处的切线的斜率为4，求a的值；（2）当时，求的

10、单调区间；（3）已知的导函数在区间上存在零点.求证：当时，.【答案】（1）； （2）答案见解析； （3）证明见解析.【分析】（1）由导数的几何意义运算即可得解；（2）对进行分类讨论，根据导数的符号判断函数的单调性；（3）由题可得，进而可得函数的最小值为，再构造函数，通过导数证明即可得证.【小问1详解】函数的定义域为，由，可得，所以.【小问2详解】由（1）得，当时，令，解得或，令，解得.所以，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为.当时，所以，函数的单调递增区间为，当时，令，解得或，令，解得，所以，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为.【小问3详解】因为导函数在区间上存在零点，则，由（2）可知

11、在上单调递减，在单调递增，所以在上的最小值为，设，令，因为，所以，在上单调递减，又，所以在上单调递减，又因为，所以，即，所以当时，.【点睛】关键点点睛：本题的关键是构造函数，把问题转化为证明.5. 【2022河东一模】已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）若函数在上有且仅有一个零点.求证：此零点是的极值点；证明：.（本题可能用到的数据为，）【答案】（1）答案见解析 （2）证明见解析；证明见解析；【分析】（1）求出函数的导函数，由，可得 ，对参数分类讨论，当时，恒成立，求出单调区间；当，令，即，求出方程的根，即可求得结论；（2）求出函数导函数，可判断在单调递增，根据零点存在性定理可得，使得，结

12、合的单调性，可得的单调性，即可得证；由得，可得，且，为函数的零点，通过求导判断的单调性，结合零点存在性定理，可求，根据在单调递增，即可求出结论.【小问1详解】解：定义域为，所以，当时，恒成立，所以在单调递增，没有单调递减区间.当时，设，则对称轴，解不等式可得：或，所以此时的单调递增区间为和.单调递减区间是，综上：时，单调递增区间是，没有单调递减区间；时，单调递增区间为和，单调递减区间是；【小问2详解】，在单调递增，又因为，使得，且时，时，在上单调递减，上单调递增，在上有且仅有一个零点，此零点极小值点；由得，即，解得：，且，设，则在单调递减，因为，又因为在单调递增，即.【点睛】导函数中常用的两种

13、常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理6. 【2022红桥一模】已知函数，. （）若曲线与曲线相交，且在交点处有相同的切线，求的值及该切线的方程；（）设函数,当存在最小值时，求其最小值的解析式；（）对（）中的，证明：当时，.【答案】（）a=切线的方程为 （）（）证明见解析【分析】【详解】试题分析：（）=,=(x0),由已知得 解得a=，x=e2,两条曲线交点的坐标为(e2,e) 切线的斜率为k=f(e2)=切线的方程为 ye= (xe2)(II)由条件知h(x)

14、=aln x(x0),（i）当a0时，令解得，当0 时，在上递增.是在上的唯一极值点，且是极小值点，从而也是的最小值点.最小值（ii）当时，在（0，+）上递增，无最小值故的最小值的解析式为（）由（）知则，令解得.当时，在上递增；当时，在上递减.在处取得最大值在上有且只有一个极值点，所以也是的最大值.当时，总有考点：本题考查了导数的运用点评：导数本身是个解决问题的工具，是高考必考内容之一，高考往往结合函数甚至是实际问题考查导数的应用，求单调、最值、完成证明等，请注意归纳常规方法和常见注意点7. 【2022河西一模】已知函数（1）当时，求的极值（2）讨论的单调性；（3）若，证明：【答案】（1）极大

15、值为，无极小值 （2）答案见解析 （3）证明见解析【分析】（1）利用导数求解极值即可；（2）利用导数分类讨论求解单调性即可.（3）首先将题意转化为证明证，当时，不等式显然成立当时，转化为证明，再构造函数利用导数求最值即可.【小问1详解】当时，则，令，得，2+0-单调递增单调递减所以的极大值为，无极小值【小问2详解】的定义域为，对于二次方程，有当时，恒成立，在上单调递减当时，方程有两根，若，在上单调递增，在上单调递减；若，在与上单调递减，在上单调递增【小问3详解】要证，即证，因为，所以当时，不等式显然成立当时，因为，所以只需证，即证令，则，由得；由，得所以在上为增函数，在上为减函数，所以，则，易

16、知在上为减函数，在上为增函数，所以，所以恒成立，即8. 【2022南开一模】设函数（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若有两个极值点，求a的取值范围；（3）当时，若，求证：【答案】（1）； （2）分类讨论，答案见解析； （3）证明见解析【分析】（1）利用导数求出切线斜率，即可求出切线方程；（2）把题意转化为方程有两个不等正根令，对a分类讨论，当时， 在上单调递增，不合题意当时，在上单调递增；在上单调递减，且，由零点存在定理即可求出a的取值范围；（3）利用分析法转化为令，利用导数证明出令，利用导数证明出，得到，即可证明.【小问1详解】当时，依题意，可得，又，所以曲线在点处的切线方程为，即【

17、小问2详解】由，得，两边取对数可得，则有两个极值点等价于方程有两个不等正根令，当时，在上单调递增，所以没有两个不等正根，从而没有两个极值点当时，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，所以由，得，又取，因为在上单调递增，所以在有一个零点；取，因为在上单调递减，所以在有一个零点所以，当时，有两个零点，从而有两个极值点【小问3详解】当时，不等式即为因为，的所以，故只需证明，即证明令，当时，当时，所以在上单调递减，在上单调递增，所以令，当时，当时，所以在上单调递增，在上单调递减所以，所以，若，则即当时，若，不等式成立【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知

18、识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数 (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题(4)考查数形结合思想的应用9. 【2022河北一模】已知函数，.（1）讨论函数的单调性；（2）若，求的值；（3）证明：.【答案】（1）见详解；（2）0；（3）见详解.【分析】（1）求解，然后讨论范围，进行判断即可.（2）根据可得，然后换元，可得，最后根据（1）的条件，简单计算可得结果.（3）构造函数，然后求导，根据（2）的条件进行判断可知，简单计算即可.【详解】（1）函数的

19、定义域为由，当时，当时，令，则；令，则所以当时，函数在单调递增当时，函数在单调递减，在单调递增（2）由，所以，即令，则，所以由（1）可知，当时，在单调递增，所以，所以（3），容易判断在单调递减，且由（2）可知，则所以若，；若，所以可知函数在单调递增，在单调递减所以，又，所以，所以【点睛】思路点睛：第（1）问利用导数并讨论的范围即可判断；第（2）问通过变形然后借用第（1）问的条件判断；第（3）问构造函数并借用（2）的条件可知.10. 【2022天津一中四月考】 已知函数（其中为实数）的图象在点处的切线方程为.（1）求实数的值；（2）求函数单调区间；（3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围

20、.【答案】（1） （2）单调递减区间为；单调递增区间为. （3）【分析】（1）求导得到，根据题意得到，解得答案.（2）计算得到，求导得到，令，则，讨论和的情况，得到在上单调递减和在上单调递增.（3）当时，不等式恒成立，当时，等价于，令，考虑和，结合（2）结论根据函数的单调性得到最值，同理时类似，计算得到答案.【小问1详解】因为，所以，由题意得解得.【小问2详解】由（1）知所以，令，则当时，由，得，所以在上单调递减.当时，由，得，所以在上单调递增，故，所以上单调递增.综上所述，在上单调递减；在上单调递增.【小问3详解】对分情况讨论如下：当时，对任意的，不等式恒成立.当时，不等式等价于，即令，则.

21、当时，由（2）知，所以单调递增，从而，满足题意.当时.由知在上单调递增，设，则，令，可得，解得；令，可得，解得；所以函数在单调递减；在区间单调递增所以，即，故，从而.又，所以存在唯一实数，使得，且当时，单调递减，所以当时，不满足题意.当时，不等式等价于，同上，令，则.当时，由（2）可知，所以单调递增，故，满足题意综上，可得入的取值范围是.11. 【十二区县一模】已知函数为自然对数的底数（1）求在处的切线方程；（2）当时，求实数的最大值；（3）证明：当时，在处取极小值.【答案】（1） （2） （3）证明见解析【分析】（1）求导，即可求得切线方程.（2）成立，等价于，构造函数，利用导数求得最小值即

22、可得出结果.（3）令，可得当，单调递增，讨论当时，当时，函数的单调性进而可得的单调性，从而证得结果.【小问1详解】，且，则所以在处的切线方程为【小问2详解】当时，即当时，当时，即，令，则，因为，所以当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，所以，所以所以实数的最大值为.【小问3详解】令，若，当，和都单调递增，所以单调递增，当，即时，则，则在上单调递增，而，所以当时，所以在上单调递减；当时，所以在上单调递增；所以在处取极小值；当，即时，且，单调递增，所以存在，使得，且时，则在上单调递增，而，所以当时，所以在上单调递减；当时，所以在上单调递增；所以在处取极小值.综上，当时，在处取极小值.【点睛】关键点睛：本题考查用导数求函数的极值，考查零点存在定理，解题关键是需要导函数进一步求导，以便确定导函数的单调性与零点的存在性，从而得出函数的性质.本题属于较难题.