专题五　阅读与思考（可编辑word）.docx

1、专题五阅读与思考类型一数学文化1.我国古代秦汉时期有一部数学著作,堪称世界数学经典名著.它的出现,标志着我国古代数学体系的正式确立.它采用按类分章的问题集的形式进行编排.其中方程的解法和正负数加减运算法则在世界上遥遥领先,这部著作的名称是()A.九章算术B.海岛算经C.孙子算经D.五经算术2.(2019山西)公元前5世纪,毕达哥拉斯学派中的一名成员希伯索斯发现了无理数2,导致了第一次数学危机.2是无理数的证明如下:假设2是有理数,那么它可以表示成qp(p与q是互质的两个正整数).于是qp2=(2)2=2,所以,q2=2p2.于是q2是偶数,进而q是偶数.从而可设q=2m,所以(2m)2=2p2

2、,p2=2m2,于是可得p也是偶数.这与“p与q是互质的两个正整数”矛盾,从而可知“2是有理数”的假设不成立,所以2是无理数.这种证明“2是无理数”的方法是()A.综合法B.反证法C.举反例法D.数学归纳法3.(2019太原一模)魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术,为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法:作圆内接正多边形,当正多边形的边数不断增加时,其周长就无限接近圆的周长,进而可用正多边形的周长圆的直径来求得较为精确的圆周率,祖冲之在刘徽的基础上继续努力,当正多边形的边数到24 576时,得到了精确到小数点后七位的圆周率,这一成就在当时领先其他国家一千多年,如图,依据“割圆术”,由圆内接正六边

3、形算得的圆周率的近似值是()A.2.9B.3C.3.1D.3.144.(2019山西晋中模拟)为了证明数轴上的点可以表示无理数,老师给学生们设计了如下材料:如图,直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周,圆上一点由原点(记为点O)到达点A,点A对应的数是多少?从图中可以看出OA的长是这个圆的周长,所以点A对应的数是,这样,无理数可以用数轴上的点表示出来,上述材料体现的数学思想是()A.方程思想B.从特殊到一般的思想C.数形结合思想D.分类思想5.(2019自贡)回顾初中阶段函数的学习过程,从函数解析式到函数图象,再利用函数图象研究函数的性质,这种研究方法主要体现的数学思想是()A.数形结

4、合B.类比C.演绎D.公理化6.阅读与计算:请阅读以下材料,并完成相应的任务.古希腊的几何学家海伦在他的度量一书中给出了利用三角形的三边求三角形面积的“海伦公式”:如果一个三角形的三边长分别为a、b、c,设p=a+b+c2,则三角形的面积S=p(p-a)(p-b)(p-c).我国南宋著名的数学家秦九韶,曾提出利用三角形的三边求面积的“秦九韶公式”(三斜求积术):如果一个三角形的三边长分别为a、b、c,则三角形的面积S=14a2b2-a2+b2-c222.(1)若一个三角形的三边长分别是5、6、7,则这个三角形的面积等于;(2)若一个三角形的三边长分别是5、6、7,求这个三角形的面积.类型二新材

5、料学习型7.定义:如果二次函数y1=a1x2+b1x+c1(a10,a1、b1、c1是常数)与y2=a2x2+b2x+c2(a20,a2、b2、c2是常数)满足a1+a2=0,b1=b2,c1+c2=0,则称这两个函数互为“旋转函数”.求函数y=-x2+3x-2的“旋转函数”,小明是这样思考的:由函数y=-x2+3x-2可知a1=-1,b1=3,c1=-2,根据a1+a2=0,b1=b2,c1+c2=0求出a2,b2,c2,就能确定这个函数的“旋转函数”.请参考小明的方法解决下面的问题:(1)写出函数y=-x2+3x-2的“旋转函数”;(2)若函数y1=x2-4n3x+n与y2=-x2+mx-

6、3互为“旋转函数”,求(m+n)2 019的值;(3)已知函数y=2(x+1)(x-4)的图象与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,点A、B、C关于原点的对称点分别是A1、B1、C1,请指出图象经过点A1、B1、C1的二次函数与y=2(x+1)(x-4)是否互为“旋转函数”.8.(2019太原一模)请阅读以下材料,并完成相应的任务.如图1,A,B两点在反比例函数y=kx(x0)的图象上,直线AB与坐标轴分别交于点C,D,求证:AD=BC.下面是小明同学的部分证明过程:证明:如图2,过点A作AMy轴于点M,过点B作BNx轴于点N.设直线AB的表达式为y=mx+n,A,B两点的横坐标分别为a,b,

7、则ka=ma+n,kb=mb+n,解得m=-kab,n=k(a+b)ab.直线AB的表达式为y=-kabx+k(a+b)ab.当x=0时,y=k(a+b)ab,点D的坐标为0,k(a+b)ab,DM=k(a+b)ab-ka=kb(1)请补全小明的证明过程;(2)如图3,直线AB与反比例函数y=kx(x0)的图象交于点A12,9和点C,与x轴交于点D,连接OC.若点B的坐标为(0,10),则点C的坐标为,OCD的面积为.9.(2019山西一模)阅读与思考婆罗摩笈多(Brahmagupta),是一位印度数学家和天文学家,书写了两部关于数学和天文学的书籍,他的一些数学成就在世界数学史上有较高的地位,

8、他的负数概念及加减法运算仅晚于中国九章算术,而他的负数乘除法法则在全世界都是领先的,他还提出了著名的婆罗摩笈多定理,该定理的内容及部分证明过程如下:已知:如图1,四边形ABCD内接于O,对角线ACBD于点P,PMAB于点M,延长MP交CD于点N,求证:CN=DN.证明:在ABP和BMP中,ACBD,PMAB,BAP+ABP=90,BPM+MBP=90.BAP=BPM.DPN=BPM,BAP=BDC,(1)请你阅读婆罗摩笈多定理的证明过程,完成剩余的证明部分;(2)已知:如图2,ABC内接于O,B=30,ACB=45,AB=2,点D在O上,BCD=60,连接AD,与BC交于点P,作PMAB于点M

9、,延长MP交CD于点N,则PN的长为.10.(2019山西模拟)请阅读材料,并完成相应的任务.已知点D在ABC的边BC上(点D不与点B,C重合),点P是AD上任意一点,连接BP,CP.如图1,若BDBC=12,显然有SABP=SACP.如图2,若BDBC=13,那么SABP与SACP之间的数量关系又是怎样的呢?下面是小李同学的部分求解过程:如图3,作BMAD交AD的延长线于点M,作CNAD于点N.BMD=CND=90.在BMD和CND中,BMD=CND,BDM=CDN,BMDCND.(1)请把小李同学的求解过程补充完整;(2)猜想:若BDBC=1n,则SABP与SACP之间的数量关系是.答案精

10、解精析1.A2.B3.B4.C5.A6.解析(1)p=a+b+c2=5+6+72=9,S=p(p-a)(p-b)(p-c)=9(9-5)(9-6)(9-7)=66.所以这个三角形的面积等于66.(2)S=14a2b2-a2+b2-c222=14(5)2(6)2-(5)2+(6)2-(7)222=1456-5+6-722=14(30-4)=262.答:这个三角形的面积是262.7.解析(1)a1=-1,b1=3,c1=-2,-1+a2=0,b2=3,-2+c2=0,a2=1,b2=3,c2=2,函数y=-x2+3x-2的“旋转函数”为y=x2+3x+2.(2)根据题意得-4n3=m,-3+n=0

11、,解得m=-4,n=3,(m+n)2 019=(-4+3)2 019=-1.(3)当x=0时,y=2(x+1)(x-4)=-8,则C(0,-8),当y=0时,2(x+1)(x-4)=0,解得x1=-1,x2=4,则A(-1,0),B(4,0),点A、B、C关于原点的对称点分别是A1,B1,C1,A1(1,0),B1(-4,0),C1(0,8),设经过点A1,B1,C1的二次函数解析式为y=a2(x-1)(x+4),把C1(0,8)代入得a2(-1)4=8,解得a2=-2,经过点A1,B1,C1的二次函数解析式为y=-2(x-1)(x+4)=-2x2-6x+8,而y=2(x+1)(x-4)=2x

12、2-6x-8,a1+a2=2+(-2)=0,b1=b2=-6,c1+c2=0,图象经过点A1、B1、C1的二次函数与函数y=2(x+1)(x-4)互为“旋转函数”.8.解析(1)证明:如图2,过点A作AMy轴于点M,过点B作BNx轴于点N.设直线AB的表达式为y=mx+n,A,B两点的横坐标分别为a,b,则ka=ma+n,kb=mb+n,解得m=-kab,n=k(a+b)ab.直线AB的表达式为y=-kabx+k(a+b)ab.当x=0时,y=k(a+b)ab,点D的坐标为0,k(a+b)ab,DM=k(a+b)ab-ka=kb,当y=0时,x=a+b,点C的坐标为(a+b,0),CN=a+b

13、-b=a,AD=DM2+AM2=kb2+a2=k2+a2b2b2=k2+a2b2b,CB=CN2+BN2=a2+kb2=k2+a2b2b2=k2+a2b2b,AD=BC.(2)把点A12,9代入反比例函数y=kx得k=92,反比例函数的解析式为y=92x,把A12,9,B(0,10)代入y=mx+n,得9=12m+n,n=10,m=-2,n=10,直线AB的解析式为y=-2x+10,由y=-2x+10,y=92x,得x=92,y=1或x=12,y=9,C92,1,在y=-2x+10中,令y=0,则x=5,直线AB与x轴的交点为D(5,0),SOCD=1251=52.9.解析(1)剩余的证明如下

14、:DPN=PDN,DN=PN,同理CN=PN,CN=DN.(2)ACB=45,BCD=60,ACD=45+60=105,又D=B=30,DAC=180-ACD-D=45,APC=180-45-45=90,APC是等腰直角三角形,PA=PC,CPD=90,在CPD和APB中,CPD=APB,D=B,PC=PA,CPDAPB(AAS),CD=AB=2,CPD=90,PMAB于点M,延长MP交CD于点N,同(1)得CN=DN,PN=12CD=1.10.解析(1)补充的过程如下:BMCN=BDCD,BDCD=12,BMCN=12,SABP=12BMAP,SACP=12CNAP,SABP=12SACP.(2)同(1)可得BMCN=1n-1,SABP=12BMAP,SAPC=12CNAP,SABP=1n-1SACP.