专题强化一 椭圆的标准方程及几何性质必刷题-2022-2023学年高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列（人教A版2019选择性必修第一册）.docx

1、专题强化一：椭圆的标准方程及几何性质必刷题一、单选题1长轴长为，焦点坐标为，的椭圆方程为（）ABCD2若方程表示椭圆，则实数m的取值范围为（）ABCD3画法几何创始人蒙日发现：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，且圆半径的平方等于长半轴短半轴的平方和，此圆被命名为该椭圆的蒙日圆.若椭圆的蒙日圆为，则该椭圆的离心率为（）ABCD4已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，焦距为，P为直线上一点，若PAB为直角三角形，且其中较小的锐角的正切值为，则C的离心率为（）ABCD5设、为椭圆的左、右焦点，动点P在椭圆上，当面积最大时，的值等于（）A0B1C2D46已知点分别为椭圆的左右焦点，点

2、在直线上运动，若的最大值为，则椭圆的标准方程是（）ABCD7设椭圆的左、右焦点分别为，点M，N在C上（M位于第一象限），且点M，N关于原点O对称，若，则C的离心率为（）ABCD8已知椭圆上一点，它关于原点的对称点为，点为椭圆右焦点，且满足，设，且，则该椭圆的离心率的取值范围是（）ABCD9已知点分别是椭圆的左右焦点，已知椭圆上的点到焦点的距离最大值为9，最小值为1.若点在此椭圆上，则的面积等于（）ABCD10已知椭圆的左焦点为是上一点，是圆上一点，则的最大值为（）A7B9C11D1311过点的直线l与椭圆交于A，B两点，设线段AB中点为M，设直线l的斜率为，直线OM的斜率为，则的值为（）AB2

3、CD212已知椭圆的两个焦点为，过的直线与交于两点.若，的面积为，则的值为（）A4B3C5D6二、多选题13对于曲线，下面四个说法正确的是（）A曲线不可能是椭圆B“”是“曲线是椭圆”的充分不必要条件C“曲线是焦点在轴上的椭圆”是“”的必要不充分条件D“曲线是焦点在轴上的椭圆”是“”的充要条件14点，为椭圆C的两个焦点，若椭圆C上存在点P，使得，则椭圆C方程可以是（）ABCD15已知是左右焦点分别为，的上的动点，下列说法正确的有（）A的最大值为5BC存在点，使D的最大值为16已知椭圆的左、右焦点分别为，焦距为，为椭圆上一点，连接交轴于点，其中为坐标原点，则下列说法正确的是（）AB椭圆的长轴长为C

4、若点Q在椭圆C上，则的最大值为D点P到x轴的距离为17椭圆:的左、右焦点分别为，点在椭圆上，点在以为圆心，的长轴长为直径的圆上，则下列说法正确的是（）A椭圆的离心率为B的最大值为C过点的直线与椭圆只有一个公共点，此时直线方程为D的最小值为18一般地，我们把离心率的椭圆称为“黄金椭圆”，则下列命题正确的有（）A若椭圆是黄金椭圆，则B在中，点在以，为焦点的黄金椭圆上，则的周长为C过黄金椭圆上的右焦点作垂直于长轴的垂线，交椭圆于、两点，则D设是黄金椭圆的两个焦点，则椭圆上满足的点不存在三、填空题19已知椭圆的两焦点为，离心率.则此椭圆的方程为_.20设，是椭圆的两个焦点，且焦距是4，过右焦点的直线交

5、椭圆于A，B两点，若的周长是，则椭圆方程是_.21若P是上的一点，是其焦点，若，则的面积为_22已知椭圆的方程为，左、右焦点分别为，经过点的一条直线与椭圆交于A，B两点.若直线AB的倾斜角为，则弦长AB为_.23已知椭圆左右焦点分别为、，过且倾斜角为的直线与过的直线交于点，点在椭圆上，且.则椭圆的离心率_.24已知、分别为椭圆的左、右焦点，P是椭圆C上的一点，直线，且，垂足为Q点若四边形为平行四边形，则椭圆C的离心率的取值范围是_四、解答题25已知椭圆C：的离心率，上顶点为A，右顶点为B，AOB（O为坐标原点）的面积为(1)求C的方程；(2)过C的右焦点的直线l与C交于P，Q两点，若求l的方程

6、26设是椭圆的两个焦点，点在椭圆上(1)若线段MN的中点坐标为，求直线的斜率；(2)是椭圆C上的点，且，求的面积.27在平面直角坐标系中，椭圆的左顶点到右焦点的距离是3，离心率为(1)求椭圆E的标准方程；(2)斜率为的直线l经过椭圆E的右焦点，且与椭圆E相交于A，B两点，求弦的长28已知椭圆的长轴长为6，椭圆短轴的端点是，且以为直径的圆经过点 (1)求椭圆C的方程；(2)设过点M且斜率不为0的直线交椭圆C于两点试问x轴上是否存在定点P，使PM平分 ？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由29已知椭圆（ab0）的上顶点E与其左、右焦点构成面积为1的直角三角形(1)求椭圆C的方程；(2)过点

7、的直线l交椭圆C于，两点，若，求直线l的方程30已知椭圆的离心率为，左顶点为A，右顶点为B，上顶点为C，的内切圆的半径为(1)求椭圆E的标准方程；(2)点M为直线上任意一点，直线AM，BM分别交椭圆E于不同的两点P，Q求证：直线PQ恒过定点，并求出定点坐标参考答案：1B【分析】求解椭圆标准方程，找出，注意焦点所在的轴.【详解】由题得椭圆焦点在轴上，且，所以，由焦点坐标为，所以，所以 ，所以椭圆的标准方程为：，故选：B2C【分析】二次曲线表示椭圆的条件为.【详解】变形为，要表示椭圆需要满足 ，解得.故选：C.3A【分析】由题可得，然后利用离心率公式即得.【详解】由题可得，即椭圆为，.故选：A.4

8、D【分析】根据题意分析可得，结合，整理可求离心率.【详解】设椭圆的右焦点为，则有，由题意可得：，则，即，则，即，解得.故选：D.5C【分析】根据面积公式可知当为上或下顶点时，面积取最大值，求出点坐标，由数量积公式即可求出结果【详解】根据对称性不妨设点， 因为所以则面积为当时，面积取最大值，此时，又则，所以故选：C6B【分析】设直线的倾斜角分别为、，根据及差角正切公式、基本不等式可得，根据的最大值为求参数c，进而求参数a，即可得椭圆方程.【详解】由题意，直线l为，设直线的倾斜角分别为、，由椭圆的对称性，不妨设为第二象限的点，即，则，且，当且仅当，即时取等号，又的最大值为，得，从而，故椭圆的标准方

9、程为.故选：B7C【分析】设，则，利用勾股定理求出，再解方程即得解.【详解】解：依题意作下图，由于，并且线段MN，互相平分，四边形是矩形，其中，设，则，根据勾股定理，整理得，由于点M在第一象限，由，得，即，整理得，即，解得.故选：C8B【分析】设椭圆得左焦点为，连接，则四边形为矩形，从而有，由，可得，再根据椭圆的定义计算即可得解.【详解】解：如图所示，设椭圆得左焦点为，连接，则四边形为矩形，则，所以，在中，由，得，所以，所以，因为，所以，所以，所以.故选：B.9B【分析】首先根据题干中的几何条件求出与的值，然后根据余弦定理求出，最后利用面积公式进行求解即可.【详解】因为椭圆上的点到焦点的距离的

10、最大值为，最小值为.所以，解得.则由余弦定理可知，代入化简可得，则.故选：B.10C【分析】由已知圆的圆心为椭圆的右焦点，由点与圆的位置关系可得，结合椭圆的定义求的最大值.【详解】因为椭圆的方程为，所以椭圆的长半轴长，短半轴长，圆的圆心的坐标为，半径为1，由圆的几何性质可得，当且仅当为的延长线与圆的交点时等号成立，所以，由椭圆的定义可得所以，故选：C.11A【分析】假设出A，B两点坐标，代入椭圆方程，两式相减求出，已知M坐标求出，最后相乘即可得出答案.【详解】设，联立方程两式相减得，所以，.故选:A12C【分析】设，再根据椭圆定义得到焦点弦三角形三边，利用余弦定理和三角形面积公式，得到，再根据

11、之间关系则求出值.【详解】由题意设，根据椭圆定义，即，则，所以，即，解得，故选：C.13CD【分析】根据曲线的形状求出参数的取值范围，可判断A选项；利用集合的包含关系可判断BCD选项.【详解】对于A选项，若曲线为椭圆，则，解得且，A错；对于B选项，因为或，所以，“”是“曲线是椭圆”的必要不充分条件，B错；对于C选项，若曲线是焦点在轴上的椭圆，则，解得，又因为，所以，“曲线是焦点在轴上的椭圆”是“”的必要不充分条件，C对；对于D选项，若曲线是焦点在轴上的椭圆，则，解得，所以，“曲线是焦点在轴上的椭圆”是“”的充要条件，D对.故选：CD.14AC【分析】设椭圆上顶点为B，由题满足，即，可得，即可得

12、出答案.【详解】设椭圆方程为，设椭圆上顶点为B，椭圆上存在点，使得，则需，即，则，所以选项AC满足.故选：AC.15BD【分析】设，则，进而根据两点之间的距离公式和二次函数性质求解判断A；根据椭圆定义判断B；根据为短轴端点时，判断C；根据，三点共线时，有最大值判断D.【详解】解：对于A选项，设，则，即，所以，又，所以当时，故A错误，对于B选项，由椭圆定义，故B正确对于C选项，当为短轴端点时，故，进而，故C错误，对于D选项，当，三点共线时，有最大值，故D正确.故选：BD16ACD【分析】对于A选项，由可得，从而有；对于B选项，再由椭圆的定义结合勾股定理解关于的方程，解得；对于C选项，可由椭圆的性

13、质得；对于D选项，设在轴上的投影为，得到，结合勾股定理，进而求解即可.【详解】对于A选项，由题意得，因为，所以，则，故，A选项正确；对于B选项，所以，在中，解得，所以椭圆的长轴长为，故B选项错误；对于C选项，因为在椭圆上，则，故C选项正确；对于D选项，设在轴上的投影为，则，则，所以，又，解得，则到轴的距离为，故D选项正确；故选：ACD.17BD【分析】利用椭圆标准方程直接求离心率即可判断A；根据椭圆定义以及基本不等式即可判断B；直接考虑直线斜率不存在的情况即可判断C；利用椭圆的定义将转化成，进而根据几何关系求其最值即可判断D.【详解】对于选项，由椭圆的方程知，所以离心率，故选项不正确；对于选项

14、B， 由椭圆的定义可得， 所以，即当且仅当时，的最大值为，故选项B正确；对于选项C， 当直线的斜率不存在时，所求直线为，满足条件，故选项C错误；对于选项D， 圆：，所以，故选项D正确；故选：BD.18BCD【分析】对于A选项，由于焦点位置不确定故需分类讨论；对于B选项，为焦点三角形，其周长为，求出即可判断；对于C选项，为通径，易求其长度；对于D选项，设，利用已知条件可以列出一组关于，的方程，研究其解的情况即可判断【详解】对于A，若焦点在轴上,则,解得.若焦点在轴上,则,解得，故A错误；对于B，易知,所以,所以,故B正确；对于C，将代人椭圆方程得,则,因为,所以，故C正确；对于D，设,则,与联立

15、,此方程组无实数解.因此椭圆上满足的点不存在,故D正确.故选：BCD.19【分析】根据已知条件求得，由此求得椭圆的方程.【详解】依题意可知，且椭圆焦点在轴上，所以，解得，所以椭圆方程为.故答案为：20【分析】根据焦距的定义知，结合题意和椭圆的定义求出，进而求出b即可.【详解】由题意知，得，由椭圆的定义知，而，的周长为，所以，得.由，解得.所以椭圆方程为.故答案为：.21#【分析】根据椭圆定义和焦点三角形，利用余弦定理和面积公式即可求解.【详解】根据椭圆的定义有，根据余弦定理得，结合解得，所以的面积，故答案为：22【分析】由已知得出直线的方程，与椭圆的标准方程联立，利用韦达定理根据弦长公式可得答

16、案【详解】由椭圆的方程可知左焦点，若直线的倾斜角为，则直线的斜率，故直线的方程为，联立方程组，消去x整理得，设，由韦达定理可知，则由弦长公式得，弦长故答案为：23#【分析】求出、，利用椭圆的定义可得出关于、的等式，即可求得椭圆的离心率的值.【详解】在中，则，则，由椭圆的定义可得，则.故答案为：.24【分析】设，则，根据平行四边形、椭圆的性质有，结合椭圆的有界性及其参数关系求离心率范围.【详解】设，则，又四边形为平行四边形，所以，即，所以，可得.故答案为：25(1)(2)【分析】（1）根据离心率以及三角形的面积求得，从而求得椭圆的方程.（2）根据直线的斜率是否存在进行分类讨论，结合来求得的方程.

17、（1）依题意，解得，所以椭圆的方程为.（2）右焦点为，当直线的斜率不存在时，由，得，不符合题意.所以直线的斜率存在，设直线的方程为，由消去并化简得：，由于直线过焦点，所以直线与椭圆有两个交点，设，则，所以，所以直线的方程为.26(1)(2)【分析】（1）利用点差法，即设，代入椭圆方程，两式相减，即可求得答案;（2）由椭圆定义结合条件可求得，利用余弦定理求得，可得，根据三角形面积公式即可求得答案.（1）设 ，线段MN的中点坐标为，则由点在椭圆上可得 ，两式相减得：，即有 ，即直线MN的斜率为.（2）由，且， ，在中， ， .27(1)；(2)【分析】（1）根据题设条件可得关于基本量的方程组，求解

18、后可求椭圆的方程.（2）联立直线方程和椭圆方程，利用公式可求弦长.（1）设椭圆的半焦距为，则，而，则，故，故，故椭圆方程为：.（2）椭圆的右焦点坐标为，则直线，由，故，设，故.28(1)(2)存在定点；【分析】（1）根据题意确定的值，即可求得椭圆方程；（2）设 ，直线 的方程为，联立方程可得根与系数的关系式，假设x轴上存在定点P，使平分，则可得 ，结合根与系数的关系化简，求得参数的值，可得结论.（1）因为椭圆的长轴长为6，故，椭圆短轴的端点是，且以为直径的圆经过点，则，所以椭圆C的方程是 ；（2）设 ，直线的方程为，将直线的方程与椭圆C的方程联立，消去x得，因为M点在椭圆内，则必有，所以，假设

19、x轴上存在定点P，使平分，则直线的倾斜角互补，所以 ，设 ，则有 ，将代入上式，整理得 ，所以，将 ，代入上式，整理得 ，由于上式对任意实数m都成立，所以 ，综上，存在定点 ，使平分 29(1)(2)或【分析】（1）根据椭圆的几何性质列等式可解得；（2）设直线l的方程为，与椭圆联立，根据韦达定理以及可解得，得到直线方程（1）由已知可得，解得，椭圆的方程为（2）显然斜率不存在时不满足条件，当斜率存在时，设直线l的方程为，代入的方程得，解得，直线l的方程为：或30(1).(2).【分析】（1）利用等面积法求得的关系，再利用离心率得到.即可得到答案.（2）设，分别求出的坐标，根据斜率公式求出直线方程，则可得，即可求出定点坐标.（1）的内切圆的半径为，有等面积法得 ,解得 ，又离心率为，解得带入得.综上所述椭圆E的标准方程为：.（2）设，则直线的方程为与联立解得同理可得.则直线 的斜率为，所以直线的方程为：故直线PQ恒过定点，定点坐标为.