专题突破卷06 导函数与原函数的七种混合构造（解析版）.docx

1、专题突破卷06 导函数与原函数的七种混合构造1.利用构造型1设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式的解集为（）ABCD【答案】D【分析】构造函数，求导可知其在上单调递减，进而整理所求不等式为，由函数单调性构建不等式，解得答案.【详解】由，得，即，令，则当时，得，即在上是减函数，即不等式等价为，得，即，又，解得，故故选：D.2已知奇函数是定义在上的可导函数，其导函数为，当时，有，则的解集为_【答案】【分析】当时，由，得，故在上为增函数，再根据奇偶性得在上为增函数，将不等式化为，利用单调性可求出结果.【详解】当时，因为，所以，所以，所以在上为增函数，因为是定义在上的奇函数，所以，所

2、以，且的定义域为，关于原点对称，所以也是定义在上的奇函数，且，又因为在上为增函数，所以在上为增函数，由，得，所以，因为在上为增函数，所以，即.所以的解集为.故答案为：3已知定义在上的函数满足，则关于的不等式的解集为_【答案】【分析】构造函数，由题意可得在上单调递减，不等式转化为，利用单调性，即可得出答案.【详解】令，则，所以当时，即当时，所以在上单调递减，又，所以，因为，即，所以，所以原不等式的解集为.故答案为：.4已知定义在R上的偶函数的导函数为，当x0时，且，则不等式的解集为_.【答案】【分析】由变形得，即可构造，结合的奇偶性可得是上的奇函数且在上单调递减，则可对的符号分类讨论，可将化为关

3、于的不等式，最后结合单调性求解即可【详解】当时，令，在上单调递减，又是定义在上的偶函数，是上的奇函数，即在上单调递减，当，即时，；当，即时，则.故不等式的解集为.故答案为：.5是定义在上的非负可导函数，且满足，对任意正数，若，则必有（）ABCD【答案】C【分析】由各选项的特征构造函数，再讨论函数性质即可作答.【详解】因是定义在上的非负可导函数，则，令函数，则，即在是减函数或常数函数，当时，或，即，C正确.故选：C6若定义域为的函数满足，则不等式的解集为_.【答案】【分析】设，根据题意得到在上单调递增，把转化为，结合函数的单调性，即可求解.【详解】由时，函数满足，可得，设，则，故在上单调递增，由

4、，即，即，所以，解得，所以的解集为.故答案为：.2.利用构造型7定义在上的函数的导函数为，若，且，则不等式的解集为（）ABCD【答案】B【分析】设，由已知得出在上单调递减，结合进一步计算得到结果.【详解】设，则，因为，所以在上单调递减.因为，所以，所以当时，当时，故不等式的解集为.故选：B.8（多选）已知函数的定义域为，导函数为，满足（e为自然对数的底数），且，则（）AB在上单调递增C在处取得极小值D无最大值【答案】ACD【分析】根据条件构造函数，由题意可得，的解析式，利用导数分析，单调性，进而可得答案.【详解】设，因为，所以，因为，则，故可设，由，则，解得，故，即，因为，令，则，故在上单调递

5、增，所以，即，故A正确；因为，令，解得，则在上单调递减，在上单调递增，所以在处取得极小值，故B错误，C正确，因为逼近于时，逼近于，所以无最大值，故D正确.故选：ACD9已知定义在上的函数满足：，且，则的解集为（）ABCD【答案】A【分析】设，由得出在单调递增，由得出，将转化为即可得出答案【详解】设，因为，所以，所以在单调递增，因为，所以，由，且得，则，所以，又在单调递增，所以，故选：A10（多选）已知函数满足，则（）ABC若方程有5个解，则D若函数（且）有三个零点，则【答案】BCD【分析】由可构造函数，由已知条件求出，再由解析式求解判定选项.【详解】因为，构造函数，则，所以可设，又，所以，.对

6、于A选项，故A选项错误；对于B选项，由，所以当时，在单调递减，当时，在单调递增，所以，而均大于0，要比较的大小，只需比较的大小，令，则，在单调递增，在单调递减，所以，所以，即，进而，故B选项正确；对于C选项，方程可化为（），令，则方程（）可化为作出的图象如图所示：方程，时，时，方程的解只有一个，则函数的零点至多有三个，不合题意；时，方程无解，无零点，不合题意；时，即或时，方程的解有两个，记为且，若方程有5个解，则有2个零点，有3个零点，即，由求根公式得，解得，此时合题，故C选项正确；对于D选项，若函数（且）有三个零点，则方程有三个根，因为，又在单调递增，所以方程有三个根，则方程有三个根，所以有

7、三个根，所以有三个根，即有三个根，令，因为，所以为奇函数，则当时，则，令，所以在单调递增，在单调递减,所以；当时，当时，作出函数的图象如下：所以或，解得，故D选项正确.故选：BCD.3.利用构造型11已知是函数的导数，则不等式的解集是（）ABCD【答案】C【分析】设，求出函数的导数，得到在上单调递增，问题等价于，即可解决【详解】令，则，因为，所以，即，设，所以，因为，所以，所以在上单调递增，因为，所以，所以等价于，则，即，解得所以不等式的解集是故选：C12已知函数的导函数为，且满足在上恒成立，则不等式的解集是_【答案】【分析】构造函数，再将转化为，进而根据的单调性求解即可.【详解】令，则，所以

8、在上单调递增，由，得，即，所以，解得.所以不等式的解集是.故答案为：.13定义在R上的函数的导函数为，且，则不等式的解集为（）ABCD【答案】B【分析】根据题意分析可得，构建，求导，结合函数单调性解不等式.【详解】，且，可得，故原不等式等价于，构建，则，则恒成立，在定义域内单调递减，且，则对于，解得，故不等式的解集为.故选：B.14已知是的导函数，且，则不等式的解集为（）ABCD【答案】A【分析】根据题意构造函数，借助函数的单调性解不等式即可.【详解】令，则，在上单调递增.不等式可化为，即，则不等式的解集为.故选：A.4.用构造型15已知函数是函数的导函数，对任意实数都有，则不等式的解集为_.

9、【答案】【分析】构造函数，对进行求导，结合可得为上的减函数，由，则，所以，根据的单调性即可得到答案【详解】构造，所以，因为对任意实数都有，所以，即为上的减函数，因为，则，且，所以由得，即，因为为上的减函数，所以，所以不等式的解集为，故答案为：16已知定义在R上的函数满足，且有，则的解集为_.【答案】【分析】构造并求，结合已知易得在定义域上单调递减，而原不等式等价于，利用单调性即可求解.【详解】设，又，则，则在定义域内单调递减，又，不等式等价于，即，则，即.故答案为：.17已知定义在R上的函数的导函数为，且，则不等式的解集为_.【答案】【分析】首先构造函数，理由导数判断函数的单调性，再求解不等式

10、.【详解】设函数，所以单调递增，不等式，即，即，所以不等式的解集为.故答案为：18（ 2023安徽黄山统考三模）已知定义域为的函数，其导函数为，且满足，则（）ABCD【答案】C【分析】构造函数，由得，进而判断函数的单调性，判断各选项不等式.【详解】，则，因为在上恒成立，所以在上恒成立，故在上单调递减，所以，故A不正确；所以，即，即，故B不正确；，即，即，故C正确；，即，即，故D不正确；故选：C.19已知函数的定义域为R，且对任意恒成立，则的解集为_【答案】【分析】通过构造函数，借助单调性解不等式.【详解】由，得，记，则在R上单调递增由，得，即，所以解集为故答案为：20已知是定义在R上的可导函数

11、，其导函数为，对时，有，则不等式（其中e为自然对数的底数）的解集为（）ABCD【答案】C【分析】设，求导判断单调性可得答案.【详解】设，因为，所以，所以在上单调递增，因为，所以，即，解得.故选：C.【点睛】方法点睛：构造函数解决导数问题的常用模型有：模型1，若的系数为x，且同时出现与的和或差，考虑构造x与的积或者商；模型2，若出现与且系数相同时，考虑构造e与的积或者商.模型3，若出现与系数分别是常数和x时，考虑构造与的积或者商；模型4，若出现与且系数为与时，考虑构造与的积或者商，或者与的积或者商.5.利用与构造型21已知函数及其导函数的定义域均为，且为偶函数，则不等式的解集为（）ABCD【答案

12、】A【分析】根据已知条件构造函数，再利用导数的正负与函数单调性的关系及偶函数的定义，结合函数的单调性及一元一次不等式的解法即可求解.【详解】令，则，所以在上单调递减.又因为偶函数，所以，所以.又，所以不等式等价于，根据函数的单调性可知，解得，所以不等式的解集为.故选：A.22（ 2023春重庆高二统考期末）设是函数的导函数，当时，则（）ABCD【答案】B【分析】利用三角函数公式化简已知，再构造函数，利用函数单调性依次判断选项.【详解】，设在单调递增，所以A错误；，所以，所以B正确；，所以C错误；，所以D错误.故选：B23定义在上的可导函数的值域为，满足，若，则的最小值为_.【答案】【分析】化简

13、条件式得，构造函数及，判断其单调性即可.【详解】，则化简得：，令，则，即，令，则，故在上单调递增，则，故答案为：6.利用与构造型24已知是函数的导函数，且对于任意的有则下列不等式一定成立的是（）ABCD【答案】A【分析】设，根据已知条件，利用导数得到为增函数，由可推出A正确；由可推出B不正确；由可推出C不正确；由可推出D不正确.【详解】因为对于任意的有又，所以，设，则，因为当时，所以，所以在上为增函数，因为，所以，所以，所以，所以，故A正确；因为，所以，所以，所以，所以，故B不正确；因为，所以，所以，所以，所以，故C不正确；因为，所以，所以，所以，所以，故D不正确；故选：A25定义在区间上的可

14、导函数关于轴对称，当时，恒成立，则不等式的解集为（）ABCD【答案】C【分析】构造函数，对求导，可知当时，单调递增，由可得，即，然后根据函数的性质可得不等式，解不等式即可得出答案.【详解】因为，化简得，构造函数，即当时，单调递增，所以由，则，即.因为为偶函数且在上单调递增，所以，解得.故选：C.26偶函数定义域为，其导函数为，若对，有成立，则关于的不等式的解集为_【答案】【分析】令，依题意可得为偶函数且在上单调递减，根据函数的奇偶性与单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可.【详解】令，因为定义域为上的偶函数，所以，则，即为偶函数，又，因为对，有成立，所以当时，即在上单调递减，则在上单

15、调递增，又，所以，则不等式等价于，即，即，所以，解得或，所以不等式的解集为.故答案为：27已知函数的定义域为，其导函数是.有，则关于的不等式的解集为_.【答案】【分析】构造函数，利用导数说明函数的单调性，将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可.【详解】依题意令，则，因为当时，所以当时，在上单调递减，则等价于，即，解得，所以所求不等式的解集为.故答案为：7.与等构造型28（多选）已知函数是定义在上的可导函数，其导函数为.若，且，则使不等式成立的的值可能为（）AB1CD2【答案】BD【分析】构造函数，通过求导并结合不等式，即可得出使不等式成立的的可能值.【详解】由题意，,在函数中,设，则，即在

16、定义域上单调递减.，不等式等价于，即，解得：，结合选项可知，只有BD符合题意.故选：BD.29已知定义在上的函数的导函数为，若，且满足，则不等式的解集为_.【答案】【分析】构造函数，利用导数确定单调性，通过单调性即可求解不等式.【详解】构造函数，因为，所以在上单调递增，因为，所以，可化为，即，因为在上单调递增，所以，解得，故答案为：.30已知可导函数的导函数为，若对任意的，都有，且为奇函数，则不等式的解集为（）ABCD【答案】D【分析】根据构造函数，利用导数判断其单调性，将不等式化为，利用的单调性求解可得结果.【详解】设，由题设条件，得，故函数在上单调递减.由为奇函数，得，得，所以，不等式等价

17、于，即，又函数在上单调递减，所以，故不等式的解集是故选：D31已知函数是定义在上的偶函数，其导函数为，当时，且，则不等式的解集是（）ABCD【答案】A【分析】不等式含有与，且中间为负号连接，则为函数除法的导数运算，构造函数,利用单调性和奇偶性即可求解.【详解】设，则当时，即，则，故在上单调递增因为是偶函数，所以，所以，则是奇函数，故在上单调递增因为，所以，则不等式等价于或即或解得或故选：A.1（2023高二单元测试）已函数及其导函数定义域均为，且，则关于的不等式的解集为（）ABCD【答案】B【分析】根据已知不等式构造函数，利用导数判断所构造的新函数的单调性，然后利用单调性进行求解即可.【详解】

18、由，设是实数集上的减函数，且，所以由，故选：B2（2023全国高三专题练习）已知定义在上的函数的导函数，且，则（）A，B，C，D，【答案】D【分析】据已知不等式构造函数，结合导数的性质进行求解即可.【详解】构造函数，因为，所以，因此函数是增函数，于是有，构造函数，因为，所以，因此是单调递减函数，于是有，故选：D3（2022秋河南商丘高三校联考阶段练习）已知函数，是其导函数，恒成立，则（）ABCD【答案】D【分析】根据已知条件构造函数，结合导数研究函数的单调性，由此对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】设，则，当时，当时，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，即，所以，故A错误；因为，

19、所以，又，所以，故B错误；因为，所以，即，因为，所以，故C错误，D正确故选：D【点睛】求解含有函数及其导函数一起的不等式，可转化已知不等式，然后利用构造函数法，结合导数来研究所构造函数的单调性，从而解决问题.4（2023全国高三专题练习）已知函数及其导函数的定义域均为， ，则不等式的解集为（）ABCD【答案】B【分析】令，结合题设条件可得为上的增函数，而原不等式即为，从而可求原不等式的解集.【详解】令，则，因为，故（不恒为零），故为上的增函数，故即为，而，故的解为，即的解为.故选：B.5（2023高二单元测试）已知是函数的导函数，且对于任意实数x都有，则不等式的解集为（）ABCD【答案】A【分

20、析】根据要求解的不等式可变形为，构造函数，并结合已知可得，从而得，利用求得参数c的值，由此可将不等式 化为，即可求得答案.【详解】令 ,则 ， ，即 ，（c为常数），由知， ， ，又， ，即 ， ，不等式 即， 或，即不等式的解集为，故选：A.【点睛】关键点点睛：解决此类根据导函数的表达式求解不等式解集的问题时，一般方法是要构造函数，利用导数判断函数性质进行求解，关键点就是要根据求解的不等式进行合理变形，并结合已知的导函数表达式进行构造恰当的新函数.6（2022秋江苏扬州高三校考阶段练习）函数是定义在区间上的可导函数，其导函数为，且满足，则不等式的解集为（）ABCD【答案】D【分析】设，已知，

21、得出，则可求出函数在区间上为增函数，不等式可转化为，再根据函数的单调性即可求解.【详解】解：根据题意，设，则导函数，函数在区间上，满足，则有 ，所以，即函数在区间上为增函数，所以，则有，解得，即此不等式的解集为，故选：D.7（2023全国高二专题练习）已知函数是定义在的奇函数，当时，则不等式的解集为（）ABCD【答案】D【分析】令，由题意可得为定义域上的偶函数，且在上单调递增，在上单调递减；分与两类讨论，将不等式等价转化为与，分别解之即可【详解】令，当时，当时，在上单调递减； 又为的奇函数，即为偶函数，在上单调递增； 又由不等式得，当，即时，不等式可化为，即，由在上单调递减得，解得，故；当，即

22、时，不等式可化为，即，由在上单调递增得，解得，故；综上所述，不等式的解集为：故选：D8（2022秋湖南长沙高三宁乡一中校考期中）（多选）设函数是函数的导函数，且满足，则（）A有极大值BCD【答案】BD【分析】利用构造函数法，由求得，结合导数确定正确答案.【详解】依题意可知，设（为常数，）所以，所以，所以在上递增，没有极大值，A错误.，C选项错误.，D选项正确.，B选项正确.故选：BD【点睛】关于函数和导函数都有的表达式，可以考虑利用构造函数法来进行研究，构造函数的思路，可结合乘法、除法等导数运算来进行构造.9（2023秋山西运城高二康杰中学校考期末）（多选）已知函数，是其导函数，恒成立，则（）

23、ABCD【答案】ABD【分析】构造函数，利用导数判断函数的单调性，依次判断各个选项，进而得解.【详解】设，则，当时，当时，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，即，所以，故A正确；因为，所以，又，所以，故B正确；因为，所以，即，因为，所以，故C错误，D正确故选：ABD10（2023春福建三明高二三明一中校考阶段练习）已知奇函数的定义域为，导函数为，若对任意，都有恒成立，则不等式的解集是_.【答案】【分析】构造新函数，根据的性质推出的性质，最后利用单调性解不等式.【详解】设，为奇函数，即是偶函数，有，恒成立，故时，函数在上为增函数，等价于，且函数在上为增函数，解得.故答案为：11（2022

24、秋湖南长沙高三校考阶段练习）定义域为R的可导函数的导函数为，满足，且，则不等式的解集为_【答案】【分析】观察题干构造，将所求不等式华为，研究单调性进而求出结果.【详解】设，则不等式等价为，即不等式等价为，函数的导数，即在R上是减函数，则不等式的解为，即不等式的解集为，故答案为：12（2023高二课时练习）设函数是奇函数的导函数，当时，则使得成立的的取值范围是_【答案】【分析】构造，利用的性质解【详解】解：构造，则当时，在上递增， 为奇函数， 为偶函数，在上递减，当时，；当时，综上：使得成立的的取值范围是故答案为：【点睛】本题解题的关键是构造，这样可以使用这个条件，进而得到的单调性，再结合的奇偶性解决问题一般在已知条件中出现原函数与导函数结合的式子时，想到构造函数