中考复习之数学思想.docx

1、中考复习之数学思想初中数学常用的数学思想有： 数形结合思想 分类讨论思想 转化或划归思想 整体思想下面以具体问题为例来分别介绍这几种数学思想一、数形结合思想如图给出下列命题及函数y=x, y=x2和y=1/x. 如果1/aaa2,那么0a1; 如果a2a1/a,那么a1; 1/aa2a,那么-1a0; a21/aa,那么a-1.则（ ）A正确的命题是B错误的命题是C正确的命题是D错误的命题只有此题是函数与函数坐标图形的数形结合从选项中可以看出，有三个关键横坐标：-1、0、1，而从图形及函数表达式可以得知三个函数图形的相交点坐标从左至右有（-1，-1）、（0，0）、（1，1）。选项先假设函数值（

2、即纵坐标）的大小关系，让我们推出横坐标的范围，但是反过来推更方便。我们先从左至右依次比较a-1、-1a0、0a1、a1，这四个横坐标范围内的函数值（即纵坐标）大小关系。.当a-1时，可看出：a21/aa；.当-1a0时，可看出：a2a1/a；.当0a1时，可看出：1/aaa2；.当a1时，可看出：a2a1/a.和都推出了a2a1/a，说明a2a1/a只是a1的必要不充分条件，那么选项是错的，排除了C、D。根据可知选项正确，根据可知选项正确，选项不存在可能性，所以选A。发散：1、一般思维是先知道横坐标的范围，再比较纵坐标的大小，这里选项中反过来先给出纵坐标大小关系的假设，再推横坐标应该在哪个区间

3、，是想考察你的思维灵活性。2、函数的概念：在某变化过程中有两个变量x,y，按照某个对应法则，对于给定的x，有唯一确定的值y与之对应，那么y就叫做x的函数。其中x叫自变量，y叫因变量。因变量(函数)，随着自变量的变化而变化，且自变量取唯一值时，因变量(函数)有且只有唯一值与其相对应。反过来，知道因变量的值，对应的自变量可能不只有一个，比如偶函数 y=x2，除了y=0以外，一个y对应两个互为相反数的x。二、分类讨论思想如图，在平面直角坐标系中，矩形 OABC 的顶点 A，C 的坐标分别为(10,0)，(0,4)，点 D是 OA 的中点，点 P 在 BC 上运动，当ODP 是腰长为 5 的等腰三角形

4、时，点 P 的坐标为_解析：分类讨论，当一个已知条件可以分好几种情况时，需要分开单独分析讨论，最终汇总得出完整的结论。首先P点在BC上运动，所以纵坐标是定值：4，因此只需要求P点的横坐标。ODP 是腰长为 5 的等腰三角形，三条边任意两条相等，共有C32=3种情况：OP=OD,PO=PD,DO=DP。如果OP=OD=5，计算得出P点横坐标为3，P点坐标为（3，4）。如果PO=PD=5，又已知OD=5，那么三条边都是5，成了等边三角形，POD=60，计算得到P到OD的垂线长度为 532，与实际不符，故PO=PD不成立。如果DO=DP=5，可以以D点为圆心，5为半径画一个圆，与BC存在两个交点，交

5、点即为P点的位置。计算两个点横坐标分别为2和8，所以P点坐标为（2，4）和（8，4）。汇总结果：P点坐标有三种（3，4）或（2，4）或（8，4）。分类讨论类型类型一、与数与式有关的分类讨论热点1：实数分类、绝对值、算术平方根热点2：与函数及图象有关的分类讨论 ：变量取值范围、增减性热点3：含参不等式热点4：涉及问题中待定参数的变化范围的分类讨论。热点5：含参方程类型二：三角形中的分类讨论热点1. 与等腰三角形有关的分类讨论：在等腰三角形中，无论边还是顶角、底角不确定的情况下，要分情况求解，有时要分钝角三角形、直角三角形、锐角三角形分别讨论解决（1） 与角有关的分类讨论（2） 与边有关的分类讨论

6、（3） 与高有关的分类讨论热点2：与直角三角形有关的分类讨论：在直角三角形中，如果没有指明哪条边是直角边、斜边，这需要根据实际情况讨论；当然，在不知哪个角是直角时，有关角的问题也需要先讨论后求解热点3：与相似三角形有关的分类讨论（1） 对应边不确定（2） 对应角不确定类型三：圆中的分类讨论热点1：点与圆的位置关系不确定热点2：弦所对弧的优劣情况的不确定而分类讨论热点3：两弦与直径位置热点4：直线与圆的位置的不确定热点5：圆与圆的位置的不确定注：应用分类讨论思想解决问题必须保证分类科学，标准统一，做到不重复，不遗漏，并力求最简。三、转化与化归思想如图，正方形 ABCD 的边长为 4，点 E 在

7、BC 上，四边形 EFGB 也是正方形，以 B 为圆心，A 的长为半径画圆弧AC，连接 AF，CF，则图中阴影部分的面积为_解析：阴影部分的图形怎么看都别扭，如果能把它转化成我们熟悉的图形就好了。作辅助线：连接AC、BF因为两个四边形都是正方形，根据正方形的性质，对角线将直角分成两个45角，所以CAB=FBG=45根据平行线的判定：同位角相等，则两条线平行。所以AC BF然后根据平行线的性质：两条平行线之间的距离恒定。所以B点到线AC的距离与F点到线AC的距离相等，所以SABC=SAFC于是，阴影部分的面积就转化成了扇形ABC的面积，即1/4个半径为4的圆的面积，结果为：1/442=4.四、整体思想计算：(1-12-13-14-15)(12+13+14+15+16)-(1-12-13-14-15-16)(12+13+14+15) = _ 令a=12+13+14+15，b=12+13+14+15+16于是，原式可写成：(1-a)b-(1-b)a因式分解：b-ab-a+ba=b-a=1/6.