中考复习：四边形的动点综合汇编.docx

1、23定义：我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做“友好三角形”性质：如果两个三角形是“友好三角形”，那么这两个三角形的面积相等理解：如图，在ABC中，CD是AB边上的中线，那么ACD和BCD是“友好三角形”，并且SACD=SBCD应用：如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=12，点E在AD上，点F在BC上，AE=BF，AF与BE交于点O（1）求证：AOB和AOE是“友好三角形”；（2）连接OD，若AOE和DOE是“友好三角形”，求四边形CDOF的面积探究：在ABC中，A=30，AB=4，点D在线段AB上，连接CD，ACD和BCD是“友好三角形”，将ACD沿CD所在直线翻折，得到ACD，若

2、ACD与ABC重合部分的面积等于ABC面积的，请直接写出ABC的面积【考点】四边形综合题【分析】（1）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，得到四边形ABFE是平行四边形，然后根据平行四边形的性质证得OE=OB，即可证得AOE和AOB是友好三角形；（2）AOE和DOE是“友好三角形”，即可得到E是AD的中点，则可以求得ABE、ABF的面积，根据S四边形CDOF=S矩形ABCD2SABF即可求解探究：画出符合条件的两种情况：求出四边形ADCB是平行四边形，求出BC和AD推出ACB=90，根据三角形面积公式求出即可；求出高CQ，再求出ADC的面积，即可求出ABC的面积【解答】（1）证明：四边

3、形ABCD是矩形，ADBC，AE=BF，四边形ABFE是平行四边形，OE=OB，AOE和AOB是友好三角形（2）解：AOE和DOE是友好三角形，SAOE=SDOE，AE=ED=AD=6，AOB与AOE是友好三角形，SAOB=SAOE，OB=OE，在AOE与FOB中，AOEFOB（SAS），SAOE=SFOB，SAOD=SABF，S四边形CDOF=S矩形ABCD2SABF=812286=48；探究：解：分为两种情况：如图1所示，SACD=SBCDAD=BD=AB，沿CD折叠A和A重合，AD=AD=AB=4=2，ACD与ABC重合部分的面积等于ABC面积的，SDOC=SABC=SBDC=SADC=

4、SADC，DO=OB，AO=CO，四边形ADCB是平行四边形，BC=AD=2，过B作BMAC于M，AB=4，BAC=30，BM=AB=2=BC，即C和M重合，ACB=90，由勾股定理得：AC=2，ABC的面积是BCAC=22=2；如图2所示，SACD=SBCDAD=BD=AB，沿CD折叠A和A重合，AD=AD=AB=4=2，ACD与ABC重合部分的面积等于ABC面积的，SDOC=SABC=SBDC=SADC=SADC，DO=OA，BO=CO，四边形ABDC是平行四边形，AC=BD=2，过C作CQAD于Q，AC=2，DAC=BAC=30，CQ=AC=1，SABC=2SADC=2SADC=2ADC

5、Q=221=2；即ABC的面积是2或2【方法探究】一般的，对某些设计多个可变对象的数学问题，先对其少数对象进行调整，其他对象暂时保持不变，从而化难为易，取得问题的局部解决经过若干次这种局部的调整，不断缩小范围，逐步逼近目标，最终使问题得到解决，这种数学思想就叫做局部调整法【实践应用1】如图1在锐角ABC中，AB=，BAC=45，BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是多少？解析：（1）先假定N为定点，调整M到合适的位置使BM+MN有最小值（相对的），容易想到，在AC上作AN=AN（即作点N关于AD的对称点N），连接BN交AD于M，则M点是使BM+MN有

6、相对最小值的点（如图2，M点是确定方法找到的）（2）在考虑点N的位置，使BM+MN最终达到最小值可以理解，BM+MN=BM+MN，所以要使BM+MN有最小值，只需使BM+MN=BN，此时BM+MN的最小值是4【实践应用2】如图3，把边长是3的正方形等分成9个小正方形，在有阴影的小正方形内（包括边界）分别取点P、R，于已知格点Q（2019黄岛区校级模拟）如图，在梯形ABCD中，ADBC，C=90，AD=8cm，CD=6cm，BC=10cm，点P以每秒1cm的速度从点C出发沿CD向点D运动，同时点E以每秒2cm的速度从点B出发沿BC向点C运动，过点E作EFAB，交AB于点F，连接PA，PE，设运动

7、时间为t秒（0t5）（1）求边AB的长度；（2）当t为何值时，PEAB；（3）设四边形APEF面积为S求S关于t的函数关系式；（4）是否存在某一时刻t，使得四边形APEF的面积是梯形ABCD面积的？若存在，求出此时点E的位置；若不存在，请说明理由【考点】相似形综合题【分析】（1）过点A作AMBC，在RtABM中，利用勾股定理可得结果；（2）由PEAB，利用相似三角形的判定定理（AA）可得PCEAMB，由PC=t，CE=102t，BM=2t，利用相似三角形的性质可得t；（3）首先利用AA定理证得AMBEFB，由相似三角形的性质可得EF，BF，利用三角形的面积公式求得CPE，EFB，EFB的面积，

8、利用S=S梯形ABCDSADPSCPESEFP可得结果；（4）利用（3）的结果，根据题意可得S=S梯形ABCD，解得t，看t是否在0t5判断是否存在，根据t得BE，确定点E的位置【解答】解：（1）过点A作AMBC，在RtABM中，AM=CD=6cm，BM=BCCM=BCAD=108=2cm，AB=2（cm）；（2）若PEAB，则PEC=B，C=AMB=90，PCEAMB，PC=t1=t，CE=102t，BM=2t，解得：t=（秒 ），当t=秒时，PEAB；（3）B=B，AMB=EFB，AMBEFB，EF=，FB=，S梯形ABCD=54，=244t，=t2+5t，SEFB=t2，S=S梯形ABC

9、DSADPSCPESEFP=（244t）（t2+5t）t2，S=t2t+30；（4）存在由题意得， t2t+30=30，解得：t1=0，0t5，当t=时，使得四边形APEF的面积是梯形ABCD面积的，BE=2=5，即点E是BC的中点【点评】本题主要考查了相似三角形的性质及判定定理和勾股定理，作出适当的辅助线构建直角三角形是解答此题的关键23对于某些三角形或是四边形，我们可以直接用面积公式或是用割补法等来求它们的面积，下面我们研究一种求面积的新方法：如图1、2所示，分别过三角形或是四边形的顶点A、C作水平线的铅垂线l1、l2，l1、l2之间的距离d叫做水平宽；如图1所示，过点B作水平线的铅垂线交

10、AC于点D，称线段BD的长叫做这个三角形的铅垂高；如图2所示，分别过四边形的顶点B、D作水平线l3、l4，l3、l4之间的距离h叫做四边形的铅垂高【结论提炼】：容易证明：“三角形的面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半”，即“S=dh”【尝试应用】：已知：如图3，点A（5，2）、B（5，0）、C（0，5），则ABC的水平宽为10，铅垂高为5，所以ABC的面积为25【再探新知】：三角形的面积可以用“水平宽与铅垂高乘积的一半”来求，那四边形的面积是不是也可以这样求呢？带着这个问题，小明进行了如下探索尝试：（1）他首先在图4所示的平面直角坐标系中，取了A（4，2）、B（1，5）、C（4，1）、D（1，4）

11、四个点，得到了四边形ABCD小明运用“水平宽与铅垂高乘积的一半”进行计算的结果是36；他又用其它的方法进行了计算，结果是37，由此他发现：用“S=dh”这一方法对图4中的四边形求面积不适合（填“适合”或“不适合”）（2）小明并没有放弃尝试，他又在图5所示的平面直角坐标系中，取了A（5，2）、B（1，5）、C（4，2）、D（1，3）四个点，得到了四边形ABCD小明运用“水平宽与铅垂高乘积的一半”进行计算的结果是36，由此他发现：用“S=dh”这一方法对图5中的四边形求面积适合（填“适合”或“不适合”）（3）小明很奇怪，就继续进行了进一步尝试，他在图6所示的平面直角坐标系中，取了A（4，2）、B（

12、1，5）、C（5，1）、D（1，5）四个点，得到了四边形ABCD通过计算他发现：用“S=dh”这一方法对图6中的四边形求面积适合（填“适合”或“不适合”）通过以上尝试，小明恍然大悟得出结论：当四边形满足一条对角线等于水平宽或铅垂高条件时，四边形可以用“S=dh”来求面积【学以致用】：如图7，在平面直角坐标系中，点M坐标为（2，0），抛物线的解析式为：y=x22x+3，抛物线图象与y轴交于点A，与x轴交于B、C两点，点P为抛物线上一点，且位于B、C之间，请直接运用以上结论，写出当点P坐标为多少时，四边形AMPC面积最大（直接写出P点坐标即可）【考点】二次函数综合题【分析】（1）先根据面积公式或是

13、用割补法分别求它们的面积，比较后确定面积公式“S=dh”是否适合；（2）分别用两种方法求四边形面积，比较后确定面积公式“S=dh”是否适合；（3）分别计算四边形面积，然后总结四边形的面积公式成立的条件，然后分别求出点A、M、C的坐标，根据点P为顶点时，四边形AMPC面积最大，求出顶点坐标，代入求出水平宽和铅垂高，得到四边形AMPC面积的最大值【解答】解：（1）小明运用“水平宽与铅垂高乘积的一半”进行计算的结果是36；他又用其它的方法进行了计算，结果是37，由此他发现：用“S=dh”这一方法对图4中的四边形求面积不适合；（2）小明运用“水平宽与铅垂高乘积的一半”进行计算的结果是36，由此他发现：

14、用“S=dh”这一方法对图5中的四边形求面积适合；（3）通过计算他发现：用“S=dh”这一方法对图6中的四边形求面积适合；结论：当四边形满足一条对角线等于水平宽或铅垂高时，四边形可以用“S=dh”来求面积y=x22x+3的图象与y轴交于点A（0，3），x22x+3=0，解得，x1=，x2=6与x轴交点B（2，0）、C（6，0），当P点为抛物线的顶点时，四边形AMPC面积最大，y=x22x+3=（x4）21，顶点的坐标为（4，1），四边形AMPC的水平宽为8，铅垂高为4，四边形AMPC面积为：84=16【点评】本题考查的是二次函数的综合运用，正确推导出四边形的面积公式和确定四边形AMPC面积最大

15、时，点P的位置是解题的关键，本题体现了数形结合思想的运用24梯形ABCD中，ADBC，C=90，AD=3，CD=4，BC=5，直线MN从AD出发，始终保持与AD平行，并以每秒1个单位的速度向BC移动，交AB于M，交CD于N，同时点P从点C出发，沿CB方向以每秒2个单位速度向点B移动，当P移动到B时，停止运动，同时直线MN也停止运动，设移动时间为t秒，PMN的面积为S（1）线段AB的长度是2；当t=时，PNAB（2）求面积S与时间t的函数关系式（3）是否存在某一时刻t使得PMN的面积是梯形ABCD面积的四分之一？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由（4）是否存在某一时刻t使得MPN是直角

16、？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由【考点】四边形综合题【分析】（1）作AEBC，垂足为E，交MN于点F，得出四边形AECD是矩形，求得AE=4，BE=53=2，利用勾股定理求得AB；利用PNAB，得出CPNABE，建立方程求出t的值；（2）由AMFABE，得到MN，CN=4t，然后根据三角形面积公式求解；（3）当PEF的面积是梯形面积的时，根据（2）的结论得到t2t+6=（3+5）4，然后解一元二次方程即可得到满足条件的t的值；（4）假设MPN是直角，由勾股定理求得PN=，再利用PNCPMN，利用性质得出对应边成比例联立方程，方程有根，则成立，无根不成立【解答】解：（1）如图，作A

17、EBC，垂足为E，交MN于点F，则AE=CD=4，BE=53=2，AB=2；DN=t，PC=2t，NC=DCDN=4t，BP=BCPC=52t，PNAB，CPNABE，即=，解得t=，即当t=时，使PECD；（2）MNBC，即=，MF=t，MN=t+3，CN=4t，s=（t+3）（4t）=t2t+6（0t2.5）；（3）存在当PMN的面积是梯形面积的时，则t2t+6=（3+5）4，整理得t2+2t8=0，解得t1=2，t2=4（舍去），所以存在t=2，使PMN的面积是梯形面积的（4）不存在某一时刻t使得MPN是直角假设MPN是直角由勾股定理得PN=，MNBC，MNP=NPCMPN=C，PNCP

18、MN，=，5t28t+16=2t（t+3），整理得2t27t+8=0，=724280，此方程无解，假设不成立，也就是不存在某一时刻t使得MPN是直角【点评】本题考查了四边形的综合题：熟练掌握梯形的性质、三角形相似的判定与性质，勾股定理，一元二次方程的解的判定；会利用相似比和三角形面积公式进行计算23（1）如图1，图2，图3，在ABC中，分别以AB，AC为边，向ABC外作正三角形，正四边形，正五边形，BE，CD相交于点O如图1，求证：ABEADC；探究：如图1，BOC=120；如图2，BOC=90；如图3，BOC=72；（2）如图4，已知：AB，AD是以AB为边向ABC外所作正n边形的一组邻边；

19、AC，AE是以AC为边向ABC外所作正n边形的一组邻边，BE，CD的延长相交于点O猜想：如图4，BOC=360n（用含n的式子表示）；根据图4证明你的猜想【考点】全等三角形的判定；多边形内角与外角【分析】（1）要证明ABEADC，题中ABD与ACE均为等边三角形，容易得出AD=AB，AC=AE，对应全等条件找边，或夹角，可由DAB=EAC=60转换得出DAC=BAE来证明；（2）欲求BOC的度数，可以通过证明ABEADC及正n边形的内角和定理，得出BOC+DAB=180，得出BOC=360n度的结论【解答】解：（1）证法一ABD与ACE均为等边三角形，AD=AB，AC=AE，且BAD=CAE=

20、60，BAD+BAC=CAE+BAC，即DAC=BAE，ABEADC（SAS）证法二：ABD与ACE均为等边三角形，AD=AB，AC=AE，且BAD=CAE=60，ADC可由ABE绕着点A按顺时针方向旋转60得到，ABEADC，120，90，72（2）证法一：依题意，知BAD和CAE都是正n边形的内角，AB=AD，AE=AC，BAD=CAE=，BADDAE=CAEDAE，即BAE=DAC，ABEADC（SAS），ABE=ADC，ADC+ODA=180，ABO+ODA=180，ABO+ODA+DAB+BOC=360，BOC+DAB=180，BOC=180DAB=；证法二：同上可证ABEADCAB

21、E=ADC，如图，延长BA交CO于F，AFD+ABE+BOC=180，AFD+ADC+DAF=180，BOC=DAF=180BAD=；证法三：同上可证ABEADCABE=ADCBOC=180（ABE+ABC+ACB+ACD），BOC=180（ADC+ABC+ACB+ACD），ABC+ACB=180BAC，ADC+ACD=180DAC，BOC=180（360BACDAC），即BOC=180BAD=；证法四：同上可证ABEADCAEB=ACD如图，连接CE，BEC=BOC+OCE，AEB+AEC=BOC+ACDACE，BOC=AEC+ACE即BOC=180CAE=注意：此题还有其它证法【点评】本题

22、图形复杂，考查了正多边形的内角相等，内角和定理：（n2）180，及全等三角形的判断和性质24如图，在RtABC中，C=90，AC=3，AB=5点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动；点Q从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交BC于点E点P、Q同时出发，当点P到达点A时停止运动，点Q也随之停止设点P、Q运动的时间是t秒（t0）（1）当t为何值时，DEAB？（2）求四边形BQPC的面积s与t的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t，使四边形BQPC的面积与RtABC的面积比为13：15？若存在，求t的值若不存

23、在，请说明理由；（4）若DE经过点C，试求t的值【考点】相似形综合题【分析】（1）根据DEAB，得到AQPACB，根据相似三角形的对应边成比例，求出t；（2）根据四边形BQPC的面积=ABC的面积AQP的面积，列出关于x、y的函数关系式；（3）根据（2）中的函数关系式和面积比，求出t；（4）DE经过点C，作QHBC于H，得到DHAC，用t表示出QH、EH，根据垂直平分线的性质和勾股定理列出关系式求出t【解答】解：（1）当DEAB时，AQP=90，则AQPACB，=， =，t=；（2）C=90，AC=3，AB=5，根据勾股定理得，BC=4，SABC=34=6，作QFBC于F，则QFBC，=，即=

24、，QF=t，SAQP=（3t）t=t2+t，S=6（t2+t）=t2t+6；（3）（t2t+6）：6=13：15，整理得，t23t+2=0解得：t1=1，t2=3（舍去）；当t=1时，四边形BQPC的面积与RtABC的面积比为13：15；（4）如图，DE经过点C，作QHBC于H，DHAC，=，=，QH=，=，BH=，HC=t，DE垂直平分PQ，PC=CQ，（）2+（t）2=t2，90t=225，t=【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质，灵活运用相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，解答时，注意方程思想的正确运用24如图，在RtABC中，C=90，AC=4cm，BC=3cm动点M，N

25、从点C同时出发，均以每秒1cm的速度分别沿CA、CB向终点A，B移动，同时动点P从点B出发，以每秒2cm的速度沿BA向终点A移动，连接PM，PN，设移动时间为t（单位：秒，0t2.5）（1）当t为何值时，PNBC？（2）连接MN，设PMN的面积为（cm2），求y与t之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t，使PMN的面积是RtABC面积的？若存在，求出相应的t值，若不存在，说明理由；（4）是否存在某一时刻t，使以A，P，M为顶点的三角形与ABC相似？若存在，求出相应的t值，并判断此时PMN是否为Rt三角形；若不存在，说明理由【考点】相似形综合题【分析】（1）根据勾股定理AB=5cm根据相似三

26、角形的性质得到结论；（2）过点P作PHBC于点H，作PFAC于点F，则PHAC，PFBC根据平行线分线段成比例定理得到PH=t，同理BH=t，于是求得PF=CH=3，分别计算出SPBN，SAPMSCMN根据三角形面积的和差即可得到y与t之间的函数关系式是 y=；（3）假设存在某一时刻t，使PMN的面积是RtABC面积的，列方程得到取t=1；（4）以A，P，M为顶点的三角形与ABC相似，分两种情况：AMPABC；APMABC列比例式求得t=，此时CN=CM=，过点P作PQBC于点Q，根据相似三角形的性质得到PQ=，BQ=，在PMN中，PM2+MN2=PN2，由勾股定理的逆定理可知，PMN不是直角

27、三角形【解答】解：（1）如图，在RtABC中，C=90，AC=4cm，BC=3cm根据勾股定理，得AB=5cm当PNBC时，RtPBNRtABC此时，即，解得t=，答：当t=s时，PNBC；（2）过点P作PHBC于点H，作PFAC于点F，则PHAC，PFBC，即，PH=t，同理BH=t，PF=CH=3，SPBN=（3t）t=，SAPM=（4t）（3）=SCMN=tt=t2，y=SABCSPBNSPAMSCMN=6（）（）t2答：y与t之间的函数关系式是 y=；（3）假设存在某一时刻t，使PMN的面积是RtABC面积的，此时=6解方程得t1=1，t2=4，0t2.5，t2=4不合题意，舍去，取t

28、=11，答：当t=1时，PMN的面积是RtABC面积的；（4）以A，P，M为顶点的三角形与ABC相似，分两种情况：当AMPABC时，即，解得t=；当APMABC时，即，解得t=0（不合题意，舍去）；综上所述，当t=时，以A、P、M为顶点的三角形与ABC相似，此时CN=CM=，MN=，AM=，AP=2，PM=，过点P作PQBC于点Q，由PBQABC，得PQ=，BQ=，NQ=BQBN=，PN2=NQ2+PQ2=，在PMN中，PM2+MN2=PN2，由勾股定理的逆定理可知，PMN不是直角三角形24解：（1）抛物线经过点B（3，0）和点C（0，3）， 2分解得， 3分抛物线解析式为， 4分抛物线顶点D

29、的坐标为（1，4）. 5分（2）由（1）可知抛物线对称轴为直线x=1，点E与点C（0，3）关于直线x=1对称，点E（2，3）， 6分过点E作EHBC于点H，OC=OB=3，BC=，CE=2， 解得 EH=， 8分ECH=CBO=45，CH=EH=， BH=2，在RtBEH中，. 10分（3）当点M在点D的下方时设M（1，m），对称轴交x轴于点P，则P（1，0），BP=2，DP=4，CBE、BDP均为锐角，CBE=BDP，DMB与BEC相似，或，11分当时，DM=4m，解得 ，点M（1，） 12分当时，则，解得m=2，点M（1，2）， 13分当点M在点D的上方时，根据题意知点M不存在综上所述，点

30、M的坐标为（1，）或（1，2）. 14分23（10分）（2019崂山区一模）模型介绍：古希腊有一个著名的“将军饮马问题”，大致内容如下：古希腊一位将军，每天都要巡查河岸侧的两个军营A、B，他总是先去A营，再到河边饮马，之后再去B营，如图 ，他时常想，怎么走才能使每天的路程之和最短呢？大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙的解决了这问题如图，作B关于直线l的对称点B，连接AB与直线l交于点C，点C就是所求的位置请你在下列的阅读、应用的过程中，完成解答（1）理由：如图，在直线L上另取任一点C，连接AC，BC，BC，直线l是点B，B的对称轴，点C，C在l上CB=CB，CB=CBAC+CB=AC+CB=AB

31、在ACB中，ABAC+CB，AC+CBAC+CB即AC+CB最小归纳小结：本问题实际是利用轴对称变换的思想，把A、B在直线的同侧问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即转化为“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（其中C为AB与l的交点，即A、C、B三点共线）本问题可拓展为“求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值”问题的数学模型（2）模型应用如图 ，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，F是AC上一动点求EF+FB的最小值分析：解决这个问题，可以借助上面的模型，由正方形的对称性可知，B与D关于直线AC对称，连结ED交AC于F，则EF+FB的最小值就是线段DE的

32、长度，EF+FB的最小值是如图，已知O的直径CD为4，AOD的度数为60，点B是的中点，在直径CD上找一点P，使BP+AP的值最小，则BP+AP的最小值是2；如图，一次函数y=2x+4的图象与x，y轴分别交于A，B两点，点O为坐标原点，点C与点D分别为线段OA，AB的中点，点P为OB上一动点，求：PC+PD的最小值，并写出取得最小值时P点坐标【考点】一次函数综合题【分析】（1）利用对称性确定出点C的位置，用三角形的三边关系加以证明；（2）由正方形的对称性确定出F的位置，利用圆的对称性确定出F点的位置，根据平面坐标系的对称性确定出点P的位置，利用勾股定理求解即可；【解答】解：（1）理由：如图，在

33、直线L上另取任一点C，连接AC，BC，BC，直线l是点B，B的对称轴，点C，C在l上CB=CB，CB=CBAC+CB=AC+CB=AB在ACB中，ABAC+CB，AC+CBAC+CB即AC+CB最小故答案为：CB，CB，AB；（2）模型应用解决这个问题，可以借助上面的模型，由正方形的对称性可知，B与D关于直线AC对称，连结ED交AC于F则EF+FB的最小值就是线段DE的长度，EF+FB的最小值是在正方形ABCD中，AB=AD=2，BAD=90点E是AB中点，AE=1，根据勾股定理得，DE=，即：EF+FB的最小值，故答案为：DE，；如图，由圆的对称性可知，A与A关于直径CD对称，连结AB交CD

34、于F，则AE+EB的最小值就是线ABE的长度，AOD=AOD=60点B是的中点，AOB=BOD=AOD=30，AOB=90O的直径为4，OA=OA=OB=2，在RtAOB中，AB=2，BP+AP的最小值是2故答案为2，如图，由平面坐标系中的对称性可知，C与C关于直径y轴对称，连结CD交y轴于P，则PC+PD的最小值就是线CD的长度，一次函数y=2x+4的图象与x，y轴分别交于A，B两点，A（2，0），B（0，4），C（1，0），D（1，2），C与C关于直径y轴对称，C（1，0），CD=2，PC+PD的最小值为2，C（1，0），D（1，2），直线CD的解析式为y=x+1，P（0，1）【点评】此题

35、是一次函数函数综合题，主要考查了正方形的对称性，圆的对称性，函数解析式的确定，勾股定理，解本题的关键是找到距离之和最小的交点24（12分）（2019崂山区一模）已知，如图，ABCD中，BC=8cm，CD=4cm，B=60，点M从点D出发，沿DA方向匀速运动，速度为2cm/s，点N从点B出发，沿BC方向匀速运动，速度为1cm/s，过M作MFCD，垂足为F，延长FM交BA的延长线于点E，连接EN，交AD于点O，设运动时间为t（s）（0t4），解答下列问题：（1）当t为何值时，AEMDFM？（2）连接AN，MN，设四边形ANME的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t

36、，使四边形ANME的面积是ABCD面积的？若存在，求出相应的t值，若不存在，说明理由；（4）连接AC，交EN于点P，当ENAD时，求线段OP的长度【考点】四边形综合题【分析】（1）由全等三角形的性质可知AM=MD=4，故此得到2t=4，于是可求得t的值；（2）过点A作AGBC，垂足为G在RtABG中依据特殊锐角三角函数值可求得AG的长，由题意可得到AM=82t，然后再AEM中依据特殊锐角三角函数值可求得AE、ME的长，最后依据y=SANM+SAEM可得到y与x的函数关系式；（3）设运动时间t秒时，四边形ANME的面积是ABCD面积的，根据题意列方程求解即可；（4）过A作AGBC，垂足为G由（2

37、）可知AE=4t，从而得到BE的长，然后在AGB和BNE中，依据特殊锐角三角函数值可求得NB的长（含t的式子），接下来依据BN=t列出关于t的方程，从而可求得t的值，于是可求得AO、NC的长，最后证明AOPCNP，最后依据相似三角形的性质可求得OP的长【解答】解：（1）四边形ABCD为平行四边形，AD=BC=8AEMDFM，AM=MD=42t=4t=2（2）如图1所示：过点A作AGBC，垂足为GAGB=90，A=60，AG=AB=2/MD=2t，AM=82tABCD，MFCD，MFABMEA=90ADBC，EAM=B=60AE=AM=4t，ME=（4t）y=SANM+SAEM=（82t）2+（

38、4t）（4t）=t26t+16y=t26t+16（3）设运动时间t秒时，四边形ANME的面积是ABCD面积的根据题意得： t26t+16=82整理得：t212t+11=0解得t=1或t=11（舍去）所以当t=1时，四边形ANME的面积是ABCD面积的（4）如图2所示：过A作AGBC，垂足为G由（2）可知AE=4tBE=AB+AE=8tB=60，ENBC，AGBC，BN=BE=4t，BG=AB=2又BN=t，4t=t解得：t=GN=BNBG=AO=，NC=设PO=x，则PN=2xAONC，AOPCNP，即解得：x=OP的长为23.定义：如图1，点M，N把线段AB分割成AM，MN和BN，若以AM，

39、MN，BN为边的三角形是一个直角三角形，则称点M，N是线段AB的勾股分割点（1）已知点M，N是线段AB的勾股分割点，若AM=2，MN=3，则BN=_； （2）如图2，在ABC中，FG是中位线，点D，E是线段BC的勾股分割点，且ECDEBD，连接AD，AE分别交FG于点M，N，求证：点M，N是线段FG的勾股分割点；（3）如图3，已知点M，N是线段AB的勾股分割点，MNAMBN，四边形AMDC，四边形MNFE和四边形NBHG均是正方形，点P在边EF上，试探究SACN ， SAPB ， SMBH的数量关系SACN=_；SMBH=_；SAPB=_；SACN ， SAPB ， SMBH的数量关系是_24

40、.如图，等腰三角形ABC的腰长AB=AC=25，BC=40，动点P从B出发沿BC向C运动，速度为10单位/秒动点Q从C出发沿CA向A运动，速度为5单位/秒，当一个点到达终点的时候两个点同时停止运动，点P是点P关于直线AC的对称点，连接PP和PQ，设运动时间为t秒（1）若当t的值为m时，PP恰好经过点A，求m的值 （2）设PPQ的面积为y，求y与t之间的函数关系式（mt4） （3）是否存在某一时刻t，使PQ平分角PPC？存在，求相应的t值，不存在，请说明理由 23（10分）阅读材料，回答问题：小明学完了“锐角三角函数”的相关知识后，通过研究发现：如图1，在RtABC中，如果C=90，A=30，B

41、C=a=1，AC=b=，AB=c=2，那么=2通过上网查阅资料，他又知“sin90=1”，因此他得到“在含30角的直角三角形中，存在着=的关系”这个关系对于一般三角形还适用吗？为此他做了如下的探究：（1）如图2，在RtABC中，C=90，BC=a，AC=b，AB=c请判断此时“=”的关系是否成立？（2）完成上术探究后，他又想“对于任意的锐角ABC，上述关系还成立吗？”因此他又继续进行了如下的探究：如图3，在锐角ABC中，BC=a，AC=b，AB=c过点C作CDAB于D在RtABC和RtBDC中，ADC=BDC=90，sinA= ，sinB= 同理，过点A作AHBC于H，可证=的请将上面的过程补

42、充完整（3）运用上述结论解答问题如图4，在ABC中，如果B=60，C=45，AB=2，那么AC= 在锐角ABC中，若B=30，AB=2，AC=2，求SABC24（12分）已知：矩形ABCD，DA=3cm，DC=4cm，点M从点A出发沿AB向终点B运动，点N从点C出发沿CA向终点A运动，点M、N同时出发，且运动的速度均为1cm/秒，当其中一个点到达终点时，另一点即停止运动设运动的时间为t秒（1）当点N运动1秒时，求线段DN的长；（2）试求出多边形DAMN的面积S与t的函数关系式；（3）t为何值时，D，N，M三点共线？（4）t为何值时，以DAN的一边所在直线为对称轴翻折DAN，翻折前后的两个三角形

43、所组成的四边形为菱形？23（10分）阅读材料，回答问题：小明学完了“锐角三角函数”的相关知识后，通过研究发现：如图1，在RtABC中，如果C=90，A=30，BC=a=1，AC=b=，AB=c=2，那么=2通过上网查阅资料，他又知“sin90=1”，因此他得到“在含30角的直角三角形中，存在着=的关系”这个关系对于一般三角形还适用吗？为此他做了如下的探究：（1）如图2，在RtABC中，C=90，BC=a，AC=b，AB=c请判断此时“=”的关系是否成立？（2）完成上术探究后，他又想“对于任意的锐角ABC，上述关系还成立吗？”因此他又继续进行了如下的探究：如图3，在锐角ABC中，BC=a，AC=

44、b，AB=c过点C作CDAB于D在RtABC和RtBDC中，ADC=BDC=90，sinA=，sinB=CD， =CD=同理，过点A作AHBC于H，可证=的请将上面的过程补充完整（3）运用上述结论解答问题如图4，在ABC中，如果B=60，C=45，AB=2，那么AC=在锐角ABC中，若B=30，AB=2，AC=2，求SABC【分析】（1）根据正弦的定义列出式子，变形即可；（2）过点C作CDAB于D，根据正弦的定义证明；（3）作ADBC于D，根据正弦的定义求出AD，再求出AC；分C为锐角、C为钝角两种情况，根据正弦的定义、三角形的面积公式计算即可【解答】解：（1）如图2，RtABC中，sinA=

45、，sinB=，sinC=sin90=1，则=c， =c， =c，=；（2）过点C作CDAB于D，在RtABC和RtBDC中，ADC=BDC=90，则sinA=，sinB=，=CD， =CD，同理，过点A作AHBC于H，可证=，故答案为：；CD；CD；（3）如图4，作ADBC于D，在RtABD中，AD=ABsinB=，在RtACD中，AC=，故答案为：；如图，作ADBC于D，B=30，AD=AB=，BD=ABcosB=3，在RtADC中，CD=1，当C为锐角时，BC=BD+CD=4，SABC=4=2，当C为钝角时，BC=BDCD=2，SABC=2=【点评】本题锐角三角函数的定义、勾股定理、三角形

46、的面积公式，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键，注意分情况讨论思想的灵活运用24（12分）已知：矩形ABCD，DA=3cm，DC=4cm，点M从点A出发沿AB向终点B运动，点N从点C出发沿CA向终点A运动，点M、N同时出发，且运动的速度均为1cm/秒，当其中一个点到达终点时，另一点即停止运动设运动的时间为t秒（1）当点N运动1秒时，求线段DN的长；（2）试求出多边形DAMN的面积S与t的函数关系式；（3）t为何值时，D，N，M三点共线？（4）t为何值时，以DAN的一边所在直线为对称轴翻折DAN，翻折前后的两个三角形所组成的四边形为菱形？【分析】（1）过N作NECD，作NFAD，由CENCDA，

47、利用相似比求EN，再用勾股定理求CE，确定N点坐标；（2）将多边形DAMN分为DNA和AMN，用t分别表示两个三角形的面积，再求和即可；（3）根据（2）的解析式=SDAM，建立方程求出t的值即可以得出结论（4）分为直线DN为对称轴，直线DA为对称轴，直线AN为对称轴，画出图形，根据菱形的特殊性，列方程求解【解答】解：（1）t=1，CN=1，AM=1如图1，过N作NECD，作NFAD，CENCDA，即，EN=，由勾股定理得：CE=，ED=4=，E（，）；（2）由（1）得，EN=t，CE=t，N点坐标为（t， t）多边形DAMN由DNA和AMN组成，SDAN=DANF=6t，SAMN=AMAF=t

48、2+t多边形DAMN的面积S=SOAN+SAMN=t2+t+6t=t2+t+6（0t4）（3）当O、N、M三点同在一条直线上时，t2+t+6=，t=22（舍）或t=2+24即：t的值为2+2；（4）如图2，直线DN为对称轴时，翻折DAN得到DAN，此时组成的四边形为DANA，当AN=AN=AD=DA，四边形DANA是菱形即AN=DA，5t=3t=2如图3，直线DA为对称轴时，翻折DAN得到DAN，此时组成的四边形为DNAN，连接NN，交DA于点G当NN与DA互相垂直平分时，四边形DNAN是菱形即DANN，DG=AG=AD=，NGCD，点N是AC的中点，CN=，t=如图4，直线AN为对称轴时，翻

49、折DAN得到DAN，此时组成的四边形为DNDA，连接DD，交AN于点H当DD与AN互相垂直平分时，四边形DNDA是菱形即DHAC，AH=NH=AN=，由面积法可得DH=，在RtDAH中，由勾股定理得，AH=，t=综上所述，t的值为2、或【点评】此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，菱形的性质，折叠的性质，勾股定理，解（1）的关键是求出EN，解（2）的关键是求出点E的坐标，解（4）的关键是分类讨论，利用方程的思想解决问题23.【答案】（1）或 （2）证明点F、M、N、G分别是AB、AD、AE、AC边上的中点，FM、MN、NG分别是ABD、ADE、AEC的中位线，BD=2FM，DE=2MN，E

50、C=2NG，点D，E是线段BC的勾股分割点，且ECDEBD，EC2=DE2+DB2 ， 4NG2=4MN2+4FM2 ， NG2=MN2+FM2 ， 点M，N是线段FG的勾股分割点（3）AM2+ MNAM；BN2+ MNBN；MN2+ MNAM+ MNBN；SAPB=SACN+SMBH 【考点】勾股定理的应用，相似三角形的性质 【解析】【解答】解：（1）分两种情况：当MN为最大线段时，点 M、N是线段AB的勾股分割点，BN= = = ；当BN为最大线段时，点M、N是线段AB的勾股分割点，BN= = = ；综上所述：BN的长为 或 四边形AMDC，四边形MNFE和四边形NBHG均是正方形，SAC

51、N= （AM+MN）AC= （AM+MN）AM= AM2+ MNAM，SMBH= （MN+BN）BH= （MN+BN）BN= BN2+ MNBN，SPAB= （AM+NM+BN）FN= （AM+MN+BN）MN= MN2+ MNAM+ MNBN，SAPB=SACN+SMBH ， 故答案为SAPB=SACN+SMBH 【分析】（1）须分类讨论:当MN为最大线段时;当BN为最大线段时;即已知的两条线段中较长的线段MN可能为斜边或所求的BN也可能为斜边；（2）由已知“FG是中位线”得BD=2FM，DE=2MN，EC=2NG，由D，E是线段BC的勾股分割点，且ECDEBD得出EC2=DE2+DB2 ，

52、 再分别代换为2NG、2MN、2FM，约去系数4，即可得出结论；（3）由三角形面积公式，分别表示出SACN、SMBH、SPAB，观察3个式子中，出现的AM2、BN2 、MN2 ， 可得SAPB=SACN+SMBH.24.【答案】（1）解：如图1中，作AMBC于MAB=AC=25，AMBC，BM=MC=20，在RtABM中，AM= = =15，当PP恰好经过点A，cosC= = ， = ，t= m= s（2）解：如图2中，设PP交AC于N当 t4时，由PCNACM，可得PC=4010t，PN=PN=246t，CN=328t，CQ=5t，NQ=CNCQ=3213t，y= PPNQ= （4812t）

53、（3213t）=78t2504t+768（ t4）（3）解：存在理由如下：如图3中，作QEBC于EPQ平分CPP，QEPC，QNPP，QN=QE，sinC= = ，t=2，t=2时，PQ平分角PPC 【考点】相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义 【解析】【分析】（1）由C的余弦定义既在RtAPC，又可在RtACM中列出比例式，二者相等，构建方程，求出m;（2）由PCNACM,可表示出PC=4010t，PN=PN=246t,CN=328t，代入面积公式，即可得y=PPNQ=78t2504t+768;（3）利用C的正弦有两种表示的比例式，二者相等，可列出方程,求出t.【点评】本题考查了相似三

54、角形的判定和性质，平行线分线段成比例，突出了对提出问题的能力以及运用已有经验解决问题的能力的考查，正确的理解题意是解题的关键23【问题情境】张老师给爱好学习的小林和小兰提出这样一个问题：如图，在ABC中，AB=AC，点P为边BC上的任一点，过点P作PDAB，PEAC，垂足分别为D、E，过点C作CFAB，垂足为F求证：PD+PE=CF小林的证明思路是：如图，连接AP，由ABP与ACP面积之和等于ABC的面积可以证得：PD+PE=CF小兰的证明思路是：如图，过点P作PGCF，垂足为G，通过证明四边形PDFG是矩形，可得：PD=GF，PE=CG，则PD+PE=CF【变式探究】如图，当点P在BC延长线

55、上时，其余条件不变，求证：PDPE=CF；【结论运用】请运用上述解答中所积累的经验和方法完成下列两题：如图，在平面直角坐标系中有两条直线l1：y=x+3、l2：y=3x+3，若l2上的一点M到l1的距离是1，请运用上述的结论求出点M的坐标23如图1，四边形ABCD中，ABCD，AB=a，CD=b（ab），点E、F分别是AD、BC上的点，且EFAB，设EF到CD、AB的距离分别为d1、d2初步尝试小亮同学在对这一图形进行研究时，发现如下事实：（1）当=时，有EF=；（2）当=时，有EF=该同学思考研究（2）的过程如下：作DGBC，交AB于G，作DMAB于点M，交EF于点N显然HF=CD=b，AG

56、=ABCD=ab易证，DEHDAG，可得=，即， =而由=，得=，代入上式，则=解得EH=（ab）EF=EH+HF=b+（ab）=类比发现沿用上述图形和已知条件，请自主完成进一步的研究发现：当=时，EF=；当=时，EF=；当=时，EF=；当=时，EF=（其中m、n均为正整数，下同）推广证明当=时，EF=；请证明你的结论实际应用请结合所给情景，创设一个需要采用下面的全部信息求解的问题情景如图2，有一块四边形耕地ABCD，ADBC，AD=100米，BC=300米，AB=500米，在AB上取点E，使AE=200米，以点E处为起点开挖平行于两底的水渠EF，与CD边相交于点F问题水渠EF的长为多少米？（

57、提问即可，不必求解）【考点】相似形综合题【专题】探究型【分析】作DGBC，交AB于G，交EF于点H，作DMAB于点M，交EF于点N，则有HF=GB=CD=b，AG=ABCD=ab易证，DEHDAG，可得=，即=，然后根据的值求出的值，从而求出EH，进而可求出EF（即EH+HF）的值由于在求EF的值时用到AD、BC、AE、BE（ABAE），因而可提出“水渠EF的长为多少米？”这个问题【解答】解：类比发现作DGBC，交AB于G，交EF于点H，作DMAB于点M，交EF于点N显然HF=GB=CD=b，AG=ABCD=ab易证，DEHDAG，可得=，即=，而由=，得=，代入=，得=解得：EH=（ab），

58、EF=EH+HF=（ab）+b=同理：当=时，EF=；当=时，EF=；当=时，EF=；故答案分别为：、；推广证明当=时，EF=证明：作DGBC，交AB于G，交EF于点H，作DMAB于点M，交EF于点N则有HF=GB=CD=b，AG=ABCD=ab易证，DEHDAG，可得=，即=，而由=，得=，代入=，得=解得：EH=（ab），EF=EH+HF=（ab）+b=故答案为：；问题水渠EF的长为多少米？故答案为：水渠EF的长为多少米？【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例，突出了对提出问题的能力以及运用已有经验解决问题的能力的考查，正确的理解题意是解题的关键24如图，在四边形AB

59、CD中，ABBC，CDBC，AB=2，BC=CD=4，AC、BD交于点O，在线段BC上，动点M以每秒1个单位长度的速度从点C出发向点B做匀速运动，同时动点N从点B出发向点C做匀速运动，当点M、N其中一点停止运动时，另一点也停止运动，分别过点M、N做BC的垂线，分别交AC、BD于点E、F，连接EF若运动时间为x秒，在运动过程中四边形EMNF总为矩形（点M、N重合除外）（1）求点N的运动速度；（2）当x为多少时，矩形EMNF为正方形？（3）当x为多少时，矩形EMNF的面积S最大？并求出最大值【考点】四边形综合题【分析】（1）证明EMCABC，由MC=x，得到EM=x，根据BFN是等腰直角三角形，得

60、到BN=FN=x，求出点N的运动速度；（2）根据当点M、N相遇时，MC=，从0x和x4两种情况进行讨论；（3）分别求出0x和x4时，矩形EMNF的面积的最大值，比较确定答案【解答】解：（1）由题意得：MC=x，ABBC，EMBC，ABEM，EMCABC，=，即=，EM=x，四边形EMNF为矩形EM=FN=x，CDBC，BC=CD，DBC=45BFN是等腰直角三角形，BN=FN=x，又=，点N的运动速度是每秒个单位长度（2）当点M、N相遇时，有x+x=4，解得：x=，当点M到达点B时，点N停止运动，此时x=4若矩形EMNF为正方形，则：FN=MN，当0x时，FN=x，MN=4x，x=4x，解得：x=2，当x4时，EM=4x，MN=x（4x）=x44x=x4，解得：x=，综上可得，当x=2或x=时，矩形EMNF为正方形（3）当0x时，S=x（4x）=（x）2+，当x=时，S最大，最大值是当x4时，S=（4x）（x4）=（x）2+，抛物线开口向下，且对称轴为直线x=，当x=时，S最大，最大值是综上可得，当x=时，矩形EMNF的面积S最大，最大值是【点评】本题考查的是四边形知识的综合应用，掌握正方形的判定和二次函数的性质以及最值的求法是解题的关键，注意分情况讨论思想的运用