中考数学几何专项练习：相似模型--旋转“手拉手”模型（原卷）.docx

1、中考数学几何专项练习：相似模型-旋转“手拉手”模型（基础+培优）一、单选题1如图，在中，以，为边分别向外作正方形和正方形，交于点，交于点若，则（）ABCD2如图，与中，交于D，给出下列结论：；其中正确的结论有（）个A4B3C2D13如图，已知，添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（）A BCD4如图，在矩形中，将矩形绕着点A逆时针旋转45，得矩形，其中交于点E，延长交于点F，连接，则的值为（）ABCD二、填空题5如图，已知和有公共顶点，且，则 度6如图，RtABC，ACB90，ACBC3，以C为顶点的正方形CDEF（C、D、E、F四个顶点按逆时针方向排列）可以绕点C自由转动，且CD2，连接AF

2、，BD，在正方形CDEF旋转过程中，BD+AD的最小值为 7如图，在和中，E为的中点，将绕点O旋转，直线，交于点F，连接，则的最小值是 三、解答题8若绕点逆时针旋转后，与构成位似图形，则我们称与互为“旋转位似图形”(1)知识理解：如图，与互为“旋转位似图形”若，则 ；若，则 ；(2)知识运用：如图，在四边形中，于点，求证：与互为“旋转位似图形”；(3)拓展提高：如图，为等边三角形，点为的中点，点是边上的一点，点为延长线上的一点，点在线段上，且与互为“旋转位似图形”若，求9某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究：(1)问题发现：如图1，在等边中，点P是边上任意一点，连接，以为边作

3、等边，连接求证：(2)变式探究：如图2，在等腰中，点P是边上任意一点，以为腰作等腰，使，连接判断和的数量关系，并说明理由；(3)解决问题：如图3，在正方形中，点P是边上一点，以为边作正方形，Q是正方形的中心，连接若正方形的边长为12，求正方形的边长10如图1，中，将绕点顺时针旋转得到，其中是点的对应点，且，连接，(1)求证：；(2)如图2，当点在线段上时，求的面积；11（1）问题发现，如图1，在中，点是边上一动点（不与点重合），连接(1)求的值；求的度数(2)拓展探究，如图2，在中，点是边上一动点（不与点重合），连接，请判断与的数量关系以及与之间的数量关系，并说明理由12如图，点A在线段上，在

4、的同侧作等腰和等腰，与、分别交于点P、M求证：(1)；(2)13（1）如图在内，D是内一点，将绕点B顺时针旋转，点C恰好与点A重合D旋转到点E，连接、，判断与的位置关系，并说明理由（2）在（1）的条件下，如图，当，延长交于点F，若，时，求的长（3）如图，在和中，连接、填空：线段与的数量关系是_；当时，点E到的距离的长为2，则线段的长为_14在中，点是平面内不与点，重合的任意一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，(1)【猜想观察】如图，若，交于点，则的值是_，直线与直线相交所成的较小角的度数是_；(2)【类比探究】如图，若，与，分别相交于点，求的值及的度数；(3)【解决问题】如图，当时

5、，若，三点在同一直线上，且，交于点，求的长15已知和都是等腰三角形，(1)当时，如图1，当点在边上时，请直接写出和的数量关系： ；如图2，当点不在边上时，判断线段和的数量关系，并说明理由；(2)如图3，当时，请直接写出和的数量关系： ；(3)在（1）的条件下，将绕点逆时针旋转，当时，请直接写出的长度16某校数学兴趣小组在一次学习活动中，对一些特殊几何图形具有的性质进行了如下探究：(1)发现问题如图1，在等腰中，点M是边上任意一点，连接，以为腰作等腰，使，连接，求证：(2)类比探究：如图2，在等腰中，点M是边上任意一点，以为腰作等腰，使，在点M运动过程中，是否存在最小值？若存在，求出最小值，若不

6、存在，请说明理由(3)拓展应用：如图3，在正方形中，点E是边上一点，以为边作正方形，M是正方形的中心，连接，若正方形的边长为12，求的面积17数学课上，李老师提出了一个问题：在矩形中，在边上取一点M使，将绕点A顺时针旋转度到，以为边作矩形（如图1所示），连接、交于点N(1)求证：小明经过思考后，很快得到了解题思路：先用“两边对应成比例且夹角相等”证明，然后根据“直角三角形两锐角互余”可证明，从而得到请你按照他的思路完成证明过程(2)连接，当旋转角时（如图2），求的值(3)连接（如图3），当时，小明发现是一个定值，请求出这个值18在数学活动课上，老师让同学们以“三角形纸片的折叠、旋转”为主题开展

7、数学活动，探究与角的度数、线段长度有关的问题对直角三角形纸片进行如下操作：【初步探究】如图1，折叠三角形纸片，使点C与点A重合，得到折痕，然后展开铺平，则与位置关系为_，与的数量关系为_；【再次探究】如图2，将绕点C顺时针旋转得到，连接，若，求的值；【拓展提升】在（2）的条件下，在顺时针旋转一周的过程中，当时，求的长19如图，在中，点D在射线上，连接，将绕点D逆时针旋转，得到线段，连接(1)当点D落在线段上时，如图1，当时，请直接写出线段与线段的数量关系是_，_；如图2，当时，请判断线段与的数量关系，并给出证明；(2)当时，过点A作交于点N，若，猜想与的数量关系并说明理由20如图，在和中，(1

8、)求证：；(2)若，求的长21问题背景：如图（1），已知，求证：；尝试应用：如图（2），在和中，与相交于点，点在边上，求；拓展创新：如图（3），是内一点，请直接写出的值22已知正方形，动点在上运动，过点作射线于点，连接(1)如图1，在上取一点，使，连接，求证：；(2)如图2，点在延长线上，求证： ；(3)如图3，若把正方形改为矩形，且，其他条件不变，请猜想和的数量关系，直接写出结论，不必证明23原题再现：小百合特别喜欢探究数学问题，一天万老师给她这样一个几何问题：和都是等边三角形，将绕着点旋转到图位置，求证：小百合很快就通过，论证了(1)请你帮助小百合写出证明过程；迁移应用：小百合想，把等边和

9、等边都换成等腰直角三角形，将绕着点旋转到图位置，其中，那么和有什么数量关系呢？(2)请你帮助小百合写出结论，并给出证明；(3)如图，如果把等腰直角三角形换成正方形，将正方形绕点旋转，若，在旋转过程中，当，三点共线时，请直接写出的长度24问题情境：如图，正方形的边长为，点在对角线上，过点作，分别交，于点，数学思考：(1)试判断四边形的形状，并说明理由(2)将图一中的四边形绕点顺时针旋转一定的角度得到图连接，猜想与之间的数量关系，并说明理由25综合与实践问题情境：如图1，在中，点，分别是边，的中点，连接(1)特例分析：在图1中，的长为 ，的值为 (2)拓展探究：将图1中的绕点C顺时针方向旋转当点和

10、点分别在和的延长线上时，的值为 ；当点和点旋转到的外部时，得到图2，判断此时的值是否变化，请说明理由；(3)问题解决：当旋转到点，三点在同一直线时，直接写出的长26已知：四边形和都是正方形(1)如图1，若点C在对角线上，则的值为 ；（直接写结果）(2)将正方形绕点A逆时针旋转如图2，连接的值是否改变？若不改变，写出理由；若改变，写出新的值及理由；当，时，交于点M，交于点N，且，求的长27如图，正方形和正方形，连接，(1)发现：当正方形绕点A旋转，如图，线段与之间的数量关系是_；直线与直线之间的位置关系是_(2)探究：如图，若四边形与四边形都为矩形，且，证明：直线(3)应用：在（2）情况下，连接

11、（点在上方），若，且，则线段是多少？（直接写出结论）28如图，已知中，点D是边上一点，且(1)求证：；(2)求证：29如图，在和中，(1)求证：(2)若点H、G分别是的中点，且，连接，求的值(3)若在和中，点H、G分别是的中点，且，连接，求的值30【问题提出】某数学兴趣小组展示项目式学习的研究主题：已知四边形，点为上的一点，交于点将绕点顺时针旋转得到，探究与的数量关系【问题探究】探究一：若四边形为正方形（1）如图1，正方形中，点为上的一点，交于点则的值为_；（2）如图2，将图1中的绕点顺时针旋转得到，连接、，试求的值；探究二：若四边形为矩形如图3，矩形中，点为上的一点，交于点，（3）将图3中的

12、绕点顺时针旋转得到，连接、，请在图4中补全图形，并探究此时的值；【联系拓广】（4）如图3，矩形中，若，其它条件都不变，将绕点顺时针旋转得到，连接、，请直接写出的值31【初步感知】如图，和都是等边三角形，连结，易知：（不用证朋）；【深入探究】如图，和是形状相同，大小不同的两个直角三角尺，其中，连结、(1)求的值；(2)延长交于点，交于点，则_；(3)【拓展提升】如图，和都是直角三角形，且，连结，延长交于点，交于点，若，则_（用含的式子表示）32如图，正方形中，点E是边上一点，连结，以为对角线作正方形，边与正方形的对角线相交于点H，连结(1)写出和的数量关系，并证明(2)求证：(3)连接，若正方形

13、的边长为6，求出的最小值33矩形中，是边上一点，以为边在矩形在内部构造矩形(1)特例发现如图，当时， ；(2)类比探究如图，如图，将矩形绕点顺时针旋转度，连接，当时，求的值；(3)拓展运用如图，矩形在旋转的过程中，落在边上时，若、三点共线，时，当时，则的长为 34如图，四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，C，F，G三点在一直线上，连接AF并延长交边CD于点M（1）求证：MFCMCA；（2）求的值，（3）若DM1，CM2，求正方形AEFG的边长35如图1，在中，在斜边上取一点D，过点D作，交于点E现将绕点A旋转一定角度到如图2所示的位置（点D在的内部），使得（1）求证：； 若，求的长；（2

14、）如图3，将原题中的条件“”去掉，其它条件不变，设，若，求k的值；（3）如图4，将原题中的条件“”去掉，其它条件不变，若，设，试探究三者之间满足的等量关系（直接写出结果，不必写出解答过程）36在ABC中，ABAC，BAC，点P是ABC外一点，连接BP，将线段BP绕点P逆时针旋转得到线段PD，连接BD，CD，AP观察猜想：（1）如图1，当60时，的值为，直线CD与 AP所成的较小角的度数为；类比探究：（2）如图2，当90时，求出的值及直线CD与AP所成的较小角的度数；拓展应用：（3）如图3，当90时，点E，F分别为AB，AC的中点，点P在线段FE的延长线上，点A，D，P三点在一条直线上，BD交P

15、F于点G，CD交AB于点H. 若CD2，求BD的长37在ABC中，ABAC，BAC，点P为线段CA延长线上一动点，连接PB，将线段PB绕点P逆时针旋转，旋转角为，得到线段PD，连接DB，DC（1）如图1，当60时，求证：PADC；（2）如图2，当120时，猜想PA和DC的数量关系并说明理由（3）当120时，若AB6，BP，请直接写出点D到CP的距离38如图1，在RtABC中，C90，A30，BC1，点D，E分别为AC，BC的中点CDE绕点C顺时针旋转，设旋转角为（0360），记直线AD与直线BE的交点为点P(1)如图1，当0时，AD与BE的数量关系为_，AD与BE的位置关系为_；(2)当036

16、0时，上述结论是否成立？若成立，请仅就图2的情形进行证明；若不成立，请说明理由；(3)CDE绕点C顺时针旋转一周，请直接写出运动过程中P点运动轨迹的长度和P点到直线BC距离的最大值39已知，在矩形中，点在边上，且，过点作的垂线，并在垂线上矩形外侧截取点F,使，连接，将绕点按顺时针方向旋转，记旋转角为(1)如图（1），当，求的值(2)如图2，若，求m关于n的数量关系(3)若旋转至A，E，F三点共线，求m的值40综合与实践问题情境在综合实践课上，老师组织兴趣小组开展数学活动，探究正方形的旋转问题在正方形和正方形中，点G，A，B在一条直线上，连接，（如图1）操作发现（1）图1中线段和的数量关系是_，

17、位置关系是_（2）在图1的基础上，将正方形绕着点A沿顺时针方向旋转，如图2所示，（1）中的结论是否成立？请仅就图2的情况说明理由类比探究（3）如图3，若将图2中的正方形和正方形中都变为矩形，且，请仅就图3的情况探究与之间的数量关系拓展探索（4）在（3）的条件下，若，矩形在顺时针旋转过程中，当点D，E，F在同一直线时，请直接写出的值41转化是解决数学问题常用的思想方法之一，它可以在数与数、数与形、形与形之间灵活应用如图1，已知在中，请解答下面的问题：(1)基础巩固如图1，将绕点按顺时针方向旋转得到，连接，则与之间的数量关系是_；(2)拓展探究如图2，点，分别是，的中点，连接，将绕点按顺时针方向旋

18、转得到求证：；用等式表示与之间的数量关系，并说明理由；(3)问题解决点，分别是，的中点，连接，将绕点旋转得到，请直接写出点，在同一直线上时的长42综合与实践综合与实践课上，数学老师让同学们以“矩形的旋转”为主题开展教学活动【操作判断】如图，在矩形中，点M，P分别在边，上（均不与端点重合）且，以 和 为邻边作矩形，连接，（1）如图，当时，与的数量关系为 ，与的数量关系为 【迁移探究】（2）如图，当时，天天先将矩形绕点A 顺时针旋转，再连接，则CN与之间的数量关系是 【拓展应用】（3）在（2）的条件下，已知，当矩形旋转至C，N，M三点共线时，求线段的长43在中，点是平面内不与点，重合的任意一点，连

19、接，将线段绕点旋转得到线段，连接、(1)当时， 如图1，当点在的边上时，线段绕点顺时针旋转得到线段，则与的数量关系是_；如图2，当点在内部时，线段绕点顺时针旋转得到线段，中与的数量关系还成立吗？若成立，请证明结论，若不成立，说明理由；(2)当时，如图3，线段绕点顺时针旋转得到线段试判断与的数量关系，并说明理由；若点，在一条直线上，且，线段绕点逆时针旋转得到线段，求的值44【问题呈现】（1）如图1，和都是等边三角形，连接求证：【类比探究】（2）如图2，和都是等腰直角三角形，连接请直接写出的值【拓展提升】（3）如图3，和都是直角三角形，且连接求的值；延长交于点，交于点求的值45【感受与猜想】(1)

20、如图，四边形和四边形均为正方形，点正好落在对角线上试猜想与的数量关系：_【探究与证明】(2)如图，四边形和四边形均为正方形，正方形绕点顺时针旋转角()，连结，()中的结论是否还成立，若成立，请给出证明【拓展与延伸】(3)如图3，在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于，两点，点为线段上一点，以为底边向下作等腰直角三角形若，求点的坐标若点落在边的中点处，与交于点，已知，求的长46如图1所示，矩形中，点E，F分别为边，的中点，将绕点A逆时针旋转，直线，相交于点P（1）若，将绕点A逆时针旋至如图2所示的位置上，则线段与的位置关系是_，数量关系是_（2）若将绕点A逆时针旋转，则（1）中的结论是否仍然成立

21、？若成立，请就图3所示的情况加以证明；若不成立，请写出正确结论，并说明理由（3）若，将旋转至时，请直接写出的长47如图1，正方形的边长为5，点E、F分别是边、上一点，且四边形为边长为2的正方形，连接（1）在图1中，求的值；（2）将图1中的正方形绕点B旋转一周，探究的值是否变化？若不变，请利用图2求出该值；若变化请说明理由；（3）当正方形旋转至D，G，E三点共线时，求的长48如图，在中，将绕点C旋转得到，连接AD(1)如图1，点E恰好落在线段AB上求证：；猜想和的关系，并说明理由；(2)如图2，在旋转过程中，射线BE交线段AC于点F，若，求CF的长49ABC中，BAC90，ABAC，点D在边BC

22、上，BDBC，将线段DB绕点D顺时针旋转至DE，连接BE，CE，以CE为斜边在其一侧作等腰直角三角形CEF，连接AF(1)如图1，当180时，请直接写出线段AF与线段BE的数量关系；(2)当0180时，如图2，（1）中线段AF与线段BE的数量关系是否仍然成立？请说明理由；如图3，当BC10，且点B，E，F三点共线时，求线段AF的长50如图，四边形ABCD和四边形AEFG是矩形且，点E线段BD上(1)连接DG，求证：BDG90；(2)连接DF，当ABAE时，求证：DFFG；(3)在（2）的条件下，连接EG，若DGE45，AB2，求AD的长51如图，在矩形中，点G为边上一点，过点G作，且，交于点F

23、，连接(1)求证：；(2)连接，求证：；(3)当点E正好在BD的延长线上时，求BG的长52图形的旋转变换是研究数学相关问题的重要手段之一，小华和小芳对等腰直角三角形的旋转变换进行了研究如图（1），已知和均为等腰直角三角形，点，分别在线段，上，且 (1)观察猜想小华将绕点逆时针旋转，连接，如图（2），当的延长线恰好经过点时：的值为_；的度数为_度；(2)类比探究如图（3），小芳在小华的基础上继续旋转，连接，设的延长线交于点，（1）中的两个结论是否仍然成立?请说明理由(3)拓展延伸若，当所在的直线垂直于时，请你直接写出的长53如图1，在矩形中，已知，点E、F分别是、的中点，连接将绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为(1)问题发现：当时， ；当时， ；(2)拓展探究：将绕点C按顺时针方向旋转到如图2的位置，求此时的值；(3)问题解决：当旋转至A、F、E三点共线时，求线段的长（写出必要的解题过程）54如图1，在中，点D，E分别是中点，连接在同一平面内，将绕点A逆时针旋转，射线相交于点P(1)如图2，在旋转过程中，的角度是否不变？若不变，请求出的度数(2)如图2，当时，求线段的长(3)连接，当线段取得最小值时，求线段的值