2020版数学人教A版必修5学案：第一章 1-2 第1课时 距离、高度问题 WORD版含解析.docx

1、1.2应用举例第1课时距离、高度问题学习目标1.会用正弦、余弦定理解决生产实践中有关距离、高度的测量问题.2.培养提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力知识点一实际问题中的常用角(1)仰角和俯角与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角，如图所示(2)方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为140(如图所示)(3)方向角正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角东南方向：指经过目标的射线是正东和正南的夹角平分线(如图所示)类似还有东北方向、西南方向等知识点二距离问题类型图形方法两点间不可到达的距离余

2、弦定理两点间可视不可到达的距离正弦定理两个不可到达的点之间的距离先用正弦定理，再用余弦定理知识点三高度问题类型简图计算方法底部可达测得BCa，BCAC，ABatan C.底部不可达点B与C，D共线测得CDa及C与ADB的度数. 先由正弦定理求出AC或AD，再解三角形得AB的值.点B与C，D不共线测得CDa及BCD，BDC，ACB的度数. 在BCD中由正弦定理求得BC，再解三角形得AB的值.1南偏东30指正南为始边，在水平面内向东旋转30.()2两点间不可通又不可视问题的测量方案实质是构造已知两边及夹角的三角形并求解()3两点间可视但不可到达问题的测量方案实质是构造已知两角及一边的三角形并求解(

3、)4高度问题大多通过仰角转化为水平面内的距离问题来解决()题型一距离问题命题角度1不可通又不可视的两点间距离例1(1)如图所示，为了测量某湖泊两侧A，B间的距离，李宁同学首先选定了与A，B不共线的一点C，然后给出了三种测量方案：(ABC的角A，B，C所对的边分别记为a，b，c)：测量A，B，b；测量a，b，C；测量A，B，a.则一定能确定A，B间距离的所有方案的个数为()A3 B2 C1 D0答案A解析因为A，B间是湖泊，可视不可达，故三个方案涉及的量均可测，并能用这些量解三角形求出AB.(2)A，B两地之间隔着一个山岗如图，现选择另一点C，测得CA7 km，CB5 km，C60，则A，B两点

4、之间的距离为 km.答案解析由余弦定理，得AB2CA2CB22CACBcos C725227539，AB.反思感悟解实际应用题，通常要把实际问题抽象为数学问题，然后解决命题角度2可视不可达的两点间的距离例2如图所示，在一岸边选定两点A，B，望对岸标记物C，测得CAB30，CBA75，AB120 m，则BC为 m.答案60()解析由题意知，ACB180307575，由正弦定理，BCsinCABsin 3060()反思感悟求可视不可达的两点间的距离时，由于构造的三角形的两边均不可直接测量，故只能寻求构造已知两角及一边的三角形命题角度3测量两个不可到达点间的距离例3如图，为了测量正在海面匀速行驶的某

5、船的速度，在海岸上选取距离1千米的两个观察点C，D，在某天10：00观察到该船在A处，此时测得ADC30，2分钟后该船行驶至B处，此时测得ACB60，BCD45，ADB60，则船速为 千米/分钟答案解析在ACD中，CD1，ADC30，ACDACBBCD105，CAD1803010545.由正弦定理，ADsinACD.同理，在BCD中，BDsinBCD1.在ADB中，AB2AD2BD22ADBDcosADB21221.AB，船速为 千米/分钟反思感悟本方案的实质是把求不可到达的两点A，B之间的距离转化为例1中的题型题型二高度问题命题角度1在同一铅垂面内的高度问题例4某登山队在山脚A处测得山顶B的

6、仰角为35，沿倾斜角为20的斜坡前进1 000 m后到达D处，又测得山顶的仰角为65，则山的高度为 m(精确到1 m)答案811解析如图，过点D作DEAC交BC于E，因为DAC20，所以ADE160，于是ADB36016065135.又BAD352015，所以ABD30.在ABD中，由正弦定理，得AB1 000(m)在RtABC中，BCABsin 35811(m)所以山的高度为811 m.反思感悟(1)底部可到达，此类问题可直接构造直角三角形(2)底部不可到达，但仍在同一与地面垂直的平面内，此类问题中两次观测点和所测垂线段的垂足在同一条直线上，观测者一直向“目标物”前进命题角度2不在同一铅垂面

7、内的高度问题例5如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60，再由点C沿北偏东15方向走10 m到位置D，测得BDC45，则塔AB的高是()A10 m B10 m C10 m D10 m答案D解析在BCD中，CD10 m，BDC45，BCD1590105，DBC30，由正弦定理，得，BC10(m)在RtABC中，tan 60，ABBCtan 6010(m)反思感悟此类问题特点：底部不可到达，且涉及与地面垂直的平面，观测者两次观测点所在直线不经过“目标物”，解决办法是把目标高度转化为地平面内某量，从而把空间问题转化为平面内解三角形问题三角形测量

8、中的数学抽象典例如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径：一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.山路AC长为1 260 m，经测量，cos A，cos C.求索道AB的长解在ABC中，因为cos A，cos C，所以sin A，sin C.从而sin Bsin(AC)sin(AC)sin Acos Ccos Asin C.由，得ABsin C1 040(m)所以索道AB的长为1 040 m.素养评析数学抽象指舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象在本例中，我们舍去A，B，C三处的景致、海拔、经度、纬度等非本质属性，得到纯粹的三个点，舍掉

9、步行、乘缆车、速度等表征，直接抽象出线段AC，AB的长，都属于数学抽象.1如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者与A在河的同侧，在所在的河岸边先确定一点C，测出A，C的距离为50 m，ACB45，CAB105后，可以计算出A，B两点的距离为()A50 m B50 mC25 m D. m答案A解析ABC1804510530，在ABC中，由，得AB10050.2(2018河南南阳八校联考)如图，要测出山上一座天文台BC的高，从山腰A处测得AC60 m，天文台最高处B的仰角为45，天文台底部C的仰角为15，则天文台BC的高为()A20 m B30 mC20 m D30 m答案B解析由题图，可得B

10、45，BAC30，故BC30(m)3如图，某人向正东方向走了x千米，然后向右转120，再朝新方向走了3千米，结果他离出发点恰好 千米，那么x的值是 答案4解析由余弦定理，得x293x13，整理得x23x40，解得x4(舍负)4如图，为了测量A，C两点间的距离，选取同一平面上B，D两点，测出四边形ABCD各边的长度(单位：km)：AB5，BC8，CD3，DA5，A，B，C，D四点共圆，则AC的长为 km.答案7解析因为A，B，C，D四点共圆，所以DB.在ABC和ADC中，由余弦定理可得8252285cos(D)3252235cos D，整理得cos D，代入得AC2325223549，故AC7.

11、1测量距离和高度问题都可以转化成利用正弦、余弦定理求解三角形边的问题2正弦、余弦定理在实际测量中的应用的一般步骤(1)分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图(2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型(3)求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解(4)检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解.一、选择题1要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45，在D点测得塔顶A的仰角30，并测得水平面上的BCD120，CD40 m，则电视塔的高度为()A10 m B20 mC2

12、0 m D40 m答案D解析设电视塔的高度为x m，则BCx，BDx.在BCD中，由余弦定理得3x2x2402240xcos 120，即x220x8000，解得x20(舍去)或x40.故电视塔的高度为40 m.2如图，在河岸AC测量河的宽度，测量下列四组数据，较适宜的是()Aa，c， Bb，c， Cc，a， Db，答案D3甲骑电动车以24 km/h的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A处望见电视塔S在电动车的北偏东30方向上，15 min后到点B处望见电视塔在电动车的北偏东75方向上，则电动车在点B时与电视塔S的距离是 ()A6 km B3 km C3 km D3 km答案C解析由题意知，AB2

13、46(km)，BAS30，ASB753045.由正弦定理，得BS3(km)4已知海上A，B两个小岛相距10海里，C岛临近陆地，若从A岛望C岛和B岛成60的视角，从B岛望C岛和A岛成75视角，则B岛与C岛之间的距离是()A10 海里 B. 海里C5 海里 D5 海里答案D解析如图所示，C180607545，AB10.由正弦定理得，所以BC5，故选D.5.学校体育馆的人字屋架为等腰三角形，如图，测得AC的长度为4 m，A30，则其跨度AB的长为()A12 m B8 m C3 m D4 m答案D解析由题意知，AB30，所以C1803030120，由正弦定理，得，即AB4.6.如图，甲、乙二人同时从点

14、A出发，甲沿正东方向走，乙沿北偏东30方向走当乙走了2 km到达B点时，甲走到C点，此时两人相距 km，则甲走的路程AC等于()A2 km B2 kmC. km D1 km答案D解析依题意知BC2AB2AC22ABACcosBAC，即322AC222ACcos 60，AC22AC10.解得AC1.7.如图所示，D，C，B在地平面同一直线上，DC10 m，从D，C两地测得A点的仰角分别为30和45，则A点离地面的高AB等于()A10 m B5 mC5(1) m D5(1) m答案D解析方法一设ABx m，则BCx m.BD(10x)m.tanADB.解得x5(1) m.A点离地面的高AB等于5(

15、1) m.方法二ACB45，ACD135，CAD1801353015.由正弦定理，得ACsin ADCsin 30 .ABACsin 455(1)m.二、填空题8一艘船以每小时15 km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东60，行驶4 h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15，这时船与灯塔间的距离为 km.答案30解析如图所示，在ABC中，BAC30，ACB105，则ABC45，AC60 km，根据正弦定理，得BC30(km)9一蜘蛛沿东北方向爬行x cm捕捉到一只小虫，然后向右转105，爬行10 cm捕捉到另一只小虫，这时它向右转135爬行回它的出发点，则x cm.答案解析如图所

16、示，设蜘蛛原来在O点，先爬行到A点，再爬行到B点，则在AOB中，AB10 cm，OAB75，ABO45，则AOB60，由正弦定理知x (cm)三、解答题10.如图所示，A，B是水平面上的两个点，相距800 m，在A点测得山顶C的仰角为45，BAD120，又在B点测得ABD45，其中D点是点C到水平面的垂足，求山高CD.解由于CD平面ABD，CAD45，所以CDAD.因此只需在ABD中求出AD即可，在ABD中，BDA1804512015，由，得AD800(1)(m)即山的高度为800(1) m.11.如图所示，在地面上共线的三点A，B，C处测得一建筑物的仰角分别为30，45，60，且ABBC60

17、 m，求建筑物的高度解设建筑物的高度为h，由题图知，PA2h，PBh，PCh，在PBA和PBC中，分别由余弦定理，得cosPBA，cosPBC.PBAPBC180，cosPBAcosPBC0.由，解得h30或h30(舍去)，即建筑物的高度为30 m.12.一次机器人足球比赛中，甲队1号机器人由A点开始做匀速直线运动，到达点B时，发现足球在点D处正以2倍于自己的速度向点A做匀速直线滚动，如图所示，已知AB4 dm，AD17 dm，BAD45，若忽略机器人原地旋转所需的时间，则该机器人最快可在何处截住足球？解设机器人最快可在点C处截住足球，点C在线段AD上，连接BC，如图所示，设BCx dm，由题

18、意知CD2x dm，ACADCD(172x)dm.在ABC中，由余弦定理得BC2AB2AC22ABACcos A，即x2(4)2(172x)28(172x)cos 45，解得x15，x2.所以AC172x7(dm)或AC(dm)(舍去)所以该机器人最快可在线段AD上离A点7 dm的点C处截住足球13某人在M汽车站的北偏西20的方向上的A处，观察到点C处有一辆汽车沿公路向M站行驶公路的走向是M站的北偏东40.开始时，汽车到A的距离为31千米，汽车前进20千米后，到A的距离缩短了10千米则汽车到达M汽车站还需行驶 千米答案15解析由题设，画出示意图，设汽车前进20千米后到达B处在ABC中，AC31

19、，BC20，AB21，由余弦定理，得cos C，则sin2C1cos2C，sin C，所以sinMACsin(120C)sin 120cos Ccos 120sin C.在MAC中，由正弦定理，得MC35.从而有MBMCBC15.故汽车到达M汽车站还需行驶15千米14.在某次地震时，震中A(产生震动的中心位置)的南面有三座东西方向的城市B，C，D.已知B，C两市相距20 km，C，D相距34 km，C市在B，D两市之间，如图所示，某时刻C市感到地表震动，8 s后B市感到地表震动，20 s后D市感到地表震动，已知震波在地表传播的速度为每秒1.5 km.求震中A到B，C，D三市的距离解在ABC中，由题意得ABAC1.5812(km)在ACD中，由题意得ADAC1.52030(km)设ACx km，AB(12x)km，AD(30x)km.在ABC中，cosACB，在ACD中，cosACD.B，C，D在一条直线上，即，解得x.AB km，AD km.即震中A到B，C，D三市的距离分别为 km， km， km.