人教九年级数学第23章 旋转旋转基础知识及专题（word版 含答案）.docx

1、旋转及综合专题一、旋转相关定义1、定义：把一个图形绕着某一点 O 转动一个角度的图形变换叫做旋转，点 O 叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。2、如果图形上的点 P 经过旋转变为 P1 ，那么这两个点叫做这个旋转的对应点。3、（1）对应点到旋转中心的距离相等，即旋转中心在对应点所连线段的垂直平分线上；（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；（3）旋转前、后图形全等。4、把一个图形绕着某一点旋转180 ，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心。这两个图形的对称点叫做关于中心的对称点。5、（1）关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对

2、称中心，而且被对称中心平分；（2）关于中心对称的两个图形是全等图形。6、把一个图形绕着某一点旋转180 ，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。二、旋转相关结论如 图 ， 将 DABC 绕 点 A 逆 时 针 旋 转 a 角 到DAB1C1 。点 B 和点 B1 为对应点，点C 和C1 为对 应点。结论 1：旋转中心为对应点所连线段垂直平分 线的交点，也即对应点所连线段的垂直平分线 均经过旋转中心。如图，线段 BB1 的垂直平分 线l1 、线段CC1 的垂直平分线l2 都经过旋转中心点 A 。利用这个结论我们可以利用对应点坐标求出旋转中心的

3、坐标。由于对应点所连线段的 垂直平分线均经过旋转中心，因此只需求出两 组对应点所连线段的垂直平分线解析式，然后 联立即可求出旋转中心坐标。结论 2：对应点与旋转中心所构成的三角形均为等腰三角线，且等腰三角形顶角均等于旋转角a。如图， DABB1 和 DACC1 均为等腰三角形， BAB1 = CAC1 = a。结论 3：对应点与旋转中心所构成的三角形均相似。如图， DBAB1 DCAC1 。结论 4：旋转前、后图形全等。如图， DABC DAB1C1 。示例 1：已知 A(-3,2) 、O(0,0) ，将线段OA 绕点 P 旋转得到线段O1 A1 ，其中O1 (-1,-1) 、A1 (-3,-

4、4) ，O1 为点O 的对应点， A1 为点 A 的对应点，求点 P 的坐标。分析：旋转中心为对应点所连线段垂直平分线的交点，因此只要求出线段 AA1 和线段 OO1 的解析 式，然后联立即可求出点 P 的坐标。解析： A(-3,2) ， A1 (-3,-4) 直线 AA1 : x = -3直线 AA1 的垂直平分线l1 : y = -1 O(0,0) ，O1 (-1,-1) 直线OO1 : y = x直线OO1 的垂直平分线l2 : y = - x - 1点 P 为 l1 与 l2 的交点，联立：，可得： P(0,-1) 。点 P 的坐标为 P(0,-1) 。附：在直角坐标系中求线段的垂直平

5、分线的方法（必须掌握知识点） 已知点 A( x1 , y1 ) 和点 B( x2 , y2 ) ，求线段 AB 的垂直平分线l 。 处理方法如下：第一步：根据点 A( x1 , y1 ) 和点 B( x2 , y2 ) 的坐标首先求出直线 AB 的解析式：l1 : y = k1 x + b1 。第二步：设线段 AB 的垂直平分线 l 的解析式为： l : y = k2 x +b2 。以为 l2 l1 ，所以k1 k2 = -1 ，从而求出k 2 = -，因此线段 AB 的垂直平分线l 的解析式转化为：第三步：根据中点坐标公式直接写出线段 AB 中点 M (,) 。分析：既然直线l 为线段 AB

6、 的垂直平分线，所以直线l 经过线段 AB 的中点，也即线段 AB 的中点在直线 l 上。第四步：将线段 AB 的中点 M (,)代入 l : 中求出 b2 的值。最后将 b2 的值代入中即可求出线段 AB 的垂直平分线的解析式。示例：已知点 A(-2,4) 和点 B(2,2) ，求线段 AB 的垂直平分线 l 。处理方式如下：第一步：由点 A(-2,4) 和点 B(2,2) ，可得直线 AB 的解析式 l1: y = - x + 3 。第二步：设线段 AB 的垂直平分线 l 的解析式为： l : y = k2 x +b2 。以为 l2 l1 ，所以k1 k2 = -1 ，从而求出k 2 =2

7、 ，因此线段 AB 的垂直平分线 l 的解析式转化为：l : y = 2 x +b2 。第三步：由点 A(-2,4) 和点 B(2,2) ，可得线段 AB 的中点 M (0,3) 。 第四步：将点 M (0,3) 代入 l : y = 2 x +b2 中可得 b2 = 3 。 因此，最终可得线段 AB 的垂直平分线为 l : y = 2x + 3 。提醒：处理方法需要牢记，另外计算的时候要格外细心，千万不要算错了！三、点绕点旋转90 问题此种问题通过构造两个直角三角形全等，然后利用对应直角边线段长度相等，从而求出对应 点坐标。示例：将点 A(-3,4) 绕点 P(-1,1) 逆时针旋转90 ，

8、求点 A 的对应点 A1 的坐标。 分析：旋转不改变图形线段长度及图形线段的夹角。因此有 PA = PA1 。由于旋转角为90 ， 即 APA1 = 90 ， 因 此 我 们 可 以 就 斜 边 PA = PA1 ，以平行于坐标轴的线段构造两个 直角三角形。很显然，这两个直角三角形时全等三角形。然后利用直角边线段长度关系 即可求出点 A1 的坐标。解析：如图，过点 P 作直线l 平行于 x 轴交 y 轴于点 B ，过点 A 作 AM l 于 M ，过点 A1 作 A1 N l于 N 。易证 DAMP DPNA1 （ ASA ），则有： AM = PN ， PM = A1 N 。 A(-3,4)

9、 ， P(-1,1) AM = 3 ， PM = 2 ， PB = 1 N (2,1) A1 (2,3) 。四、旋转示例解析（理解如何利用线段旋转带动线段所在三角形旋转）在解决旋转相关题型时，最常见的是将等腰三角形中一腰旋转至与另一腰重合，从而利用等 腰三角形的腰转动带动等腰三角形腰所在的三角形转动，进而构造全等三角形，再利用旋转知识 解决相关问题。因此，在处理此类题型时，同学们尤其要注意题干中是否说明某某三角形为等腰 三角形，尤其注意等腰直角三角形、等边三角形、正方形、顶角为特殊角的等腰三角形，遇到以上三角形时，同学可以考虑以下利用旋转来解题。以下通过一些实例来帮助同学们理解如何利用等腰三角

10、形的腰转动带动等腰三角形腰所在 的三角形转动，从而构造全等三角形进而利用旋转知识解决相关问题。例 1：已知如图 DACB ，ACB = 90 ， AC = AB ， PA = 3 ， PC = 2 ， PB = 1 ，求 BPC 的度数？ 分析：这里明显可以判断 DACB 为等腰直角三角形，因此可以利用将其中一腰旋转至与另一腰重 合，构造全等三角形。图（1）图（2）解析：图（1）中是将等腰直角三角形 DACB 的一腰 AC 绕点 C 逆时针旋转90 与另一腰 BC 重合，从而带动 DCAP 逆时针旋转90 至 DCBH ，可得：DCAP DCBH ，CP = CH，HCP = 90，PA =

11、BH = 3 CPH = 45 ， PH =2PC = 2 PH 2 + PB 2 = BH 2 HPB = 90 BPC = 135图（2）中是将等腰直角三角形 DACB 的一腰 BC 绕点 C 顺时针旋转 90 与另一腰 AC 重合，从而带动 DCPB 逆时针旋转90 至 DCHA ，可得 DCPB DCHA ，可得 CHP = 45 ，再利用勾股定理证PHA = 90 即可。例 2：已知，如图所示，等腰 RtDACB ，ACB = 90 ， D 为 DACB 外一点， 且满足 ADC = 45 ， AD = 3，CD = 4 ， 求 BD 的值？分析：这里已知等腰 RtDACB ，可以将

12、 等腰 RtDACB 的一腰 BC 顺时针旋转90 与 另一腰 AC 重合，从而带动 DDCB 顺时针旋转90 至 DHCA 。解析：将 DDCB 绕点C 顺时针旋转90 至 DHCA 。则有， DDCB DHCA ， DC = HC，DCH = 90，HDC = 45，DH = DC = 4又 ADC = 45 HDA = 90 ，最后利用勾股定理可以求出 AH 的值，也即 BD 的值。例 3：已知如图， DABC 为等边三角形， PA =， PB = 3 ， PC =，求 APC 的度数？分析：这里已知 DABC 为等边三角形，符合旋转条件，可以将 DABC 一边 AC 顺时针旋转 60

13、与另一边 AB 重合 解析：将 DAPC 绕点 A 顺时针旋转 60 至 DAHB ，则 DAPC DAHB，AP = AH，HAP = 60，PC = HB = DAHP 为等边三角形 HP = PA = HB 2 + HP 2 = PB 2 BHP = 90 APC = AHB = 150 。例 4：已知如图，四边形 ABCD ，ADC = 60 ，ABC = 30 ，且 AD = AC ，求证：AB 2 + BC 2 = BD 2 。 分析：这里实际可知 DADC 为等边三角形，满足旋转条件。解析：将 DADB 绕点 A 逆时针旋转 60 至 DACH 。 可得 DABH 为等边三角形，

14、又 ABC = 30 从而可得 CBH = 90 ，直角三角形就 可以使用勾股定理了。例 5：如图，已知等边 DABC ，点 D 为 DABC 外一点，且满足 BDC = 120 ，试问，BD，DA，DC是否有确定的数量关系？分析：这里 DABC 为等边三角形，满足旋转条件。 解析：将 DABD 绕点 A 逆时针旋转 60 至 DACH 。 则有， DABD DACH ， ABD = ACH 。DADH 为等边三角形 DA = DH BDC = 120 ， BAC = 60 ABD + ACD = 180 ACH + ACD = 180 D，C，H 三点共线（必须证三点共线，否则扣分） DA

15、= DC + DB 。变式拓展：如图已知等边 DABC ，点 D 为 DABC 外一点，但 BDC 大小不确定，BD = 3 ，DC = 4 ， 试问 DA 的最大值为多少？分析：这里 DABC 为等边三角形，满足旋转条件。 解析：将 DABD 绕点 A 逆时针旋转 60 至 DACH 。 则有， DABD DACH ， DADH 为等边三角形 CH = BD = 3 ， DA = DH DH DC + CH DA 7 。 DA DC + CH例 6：如图，已知正方形 ABCD ， E 为正方形 ABCD 外一点， AE = 2， DE = 1 ，求 CE 的最大值？分析：这里出现了正方形 A

16、BCD （正方向可以看成是两个 等腰直角三角形组合而成），符合旋转条件。解析：将 DEDC 绕点 D 顺时针旋转90 至 DHDA ，则有：DEDC DHDA ，CE = AH ， DE = DH ， EDH = 90 EH =2DE = AH AE + EH = 2+=3 CE 3五、旋转相似旋转相似是比较难的一种变换模式，难就难在不易发觉更不易构造，掌握起来比较难。 两个相似三角形绕某一点旋转，必然出现一对新的相似三角形。如图， DABC DAB1C1 ，则有 DABB1 DACC1 。证 明 ： DABC DAB1C1 BAC = B1 AC1 ，BAB1 = CAC1 DABC DAB

17、1C1 DABB DACC例 1：如图，已知 DABC 为等边三角形， D 为 AB 的中点， DE = 1 ， EA = 2 ，求CE 的最大值？分析： DABC 为等边三角形， D 为 AB 的中点，则ACD = 30 ， DADC 为直角三角形，可以利用这个ACD = 30 特殊角进行构造相似三角形。 解析：连 CD ，则CD AD ，且 AC = 2 AD ，即。构造 RtDAEH ，使得则 RtDADC RtDAEH DAC = EAH = 60 EAD = HAC又 DAHC DAEDCH = 2DE = 2 EAH = 60，AEH = 90 EH = AE = 2 CE EH

18、+ CH CE 2+ 2 。小结：这里可以看出 RtDADC RtDAEH ，则 DAHC DAED 。例 2：如图，已知 RtDABC 中， ACB = 90 ， CD = 3 ， AD =，求 BD 的最大值？分析：这里 DACB 为直角三角形，。可以利用这个直角三角形直角边的比构造相似三角形。解析：过点 C 作 CH CD ，且满足，连 DA，AH 。则有： RtDACB RtDHCD 。 ACH = BCD又 DDCB DHCA BD = AH又 AH DH + DA ， DH = CD = 3 AH 4 BD 2小结：这里 DACB DHCD ，则有 DDCB DHCA 。六、旋转的

19、四种模型（仅作了解）（1）绕点模型 普通绕点模型很容易看出旋转中心，一般在等腰三角形尤其是特殊的等腰三角形中可以绕顶点进行旋转，使两腰重合，从而构造三角形全等来解题。AB = AC ，则有： BC = CD ，则有： CB = CA = CD ，则有：DBAM DBCN DBCM DDCN DCBE DCAF示例：如图，正方形 ABCD 内有一点 P ， PA =1 ， PA = 2 ， PC = 3 。（1）求 PD 的长；（2）求 APB 的大小；（3）求正方形的边长。分析：此题中出现了正方形，由于正方形四条边长度相等，四个角均为直角，很适合利用旋转来 作答。解析：（1）过点 P 作 MN

20、/ / AB 交 AD 于 M ，交 BC于 N 。则有四边形 ABNM 、四边形 DCNM 均为矩形 AM = BN ， DM = CN在 RtPAM中有： PA 2 = AM 2 + PM 2 ；在 RtPNC 中有： PC 2 = CN 2 + PN 2 ；在 RtPBN 中有： PB 2 = BN 2 + PN 2 ；在 RtPDM 中有： PD 2 = DM 2 + PM 2 ； PA 2 + PC 2 = PB 2 + PD 2又 PA =1， PA = 2 ， PC = 3 PD =。（2）将 PBC 绕点 B 逆时针旋转90 得 DEBA ，则有 DPBC DEBA ， BE

21、BP BE = BP ， AE = PC = 3 ， PE = PB = 2， BPE = 45 PA 2 + PE 2 = 12 + (2)2 = 9 = AE 2 DAPE 为直角三角形 APE = 90 APB = APE + BPE = 135 APB = 135 。（3）过点 B 作 BF AP 于 F APB = 135 BPF = 45 BF = PF = PB = AF = PA + PF = 1 + 在 RtDAFB 中有： AB 2 = BF 2 + AF 2 = 5 + 2 AB =，即正方形的边长为在遇到等腰三角形时可以利用旋转使腰刚好重合，构造全等三角形解题。（2）空

22、翻模型空翻与普通绕点的区别在于普通绕点可以一眼看出旋转中心，而空翻则不能。AM = CE ， AE NE ，且 AE = NE 则有：DAME DECN DAMD DDCF BD = CA，BD CA， CF AB ，作 AG AD 则有： DABD DGCA（3）弦图模型弦图也叫三垂直结构，属于极为特殊的空翻，形式上分为内弦图、外弦图，应用上可以分为全等弦图、相似弦图。其基本模型有如下三种：外弦图内弦图半弦图（4）半角模型半角属于绕点，不属于空翻，是一种极为特殊的绕点。凡涉及到等腰直角三角形、等边三角形、特殊等腰三角形、正方形的图形都可能出现半角模型。DAE = BAC = 45 ， AB = AC ， EAF =BAD = 45， 则 有 ：则有：DACD DABF ，FBE = 90 ， DABF DADG ， DAGE DAFE 。DAFE DADE 。EAD = BAC，则有：DACD DABF ， DAFE DADE 。