人教版九年级数学上册思维特训(三)　换元法在解方程中“四两拨千斤”.docx

1、思维特训(三)换元法在解方程中“四两拨千斤”方法点津 1换元法是指在解决数学问题时，通过引入一个或几个新的变量代替原来的某些变量(或代数式)，对新的变量求出结果之后，返代回去求原变量的结果的方法2解方程时，把方程中的某些部分看成一个整体，用新字母代替(即换元)，从而把复杂方程化为简单方程，通过解简单方程，实现对方程的求解典题精练 类型一用换元法解一元二次方程1下面是昊昊用换元法解方程2(x1)23(x1)(x2)2(x2)20的解答过程，请你判断是否正确若有错误，请按这种思路求出正确答案解：设x1m，x2n，则原方程可化为2m23mn2n20，则a2，b3n，c2n2，m，即m14n，m2n，

2、x14(x2)或x1(x2)，x13，x2.类型二用换元法解含有绝对值的一元二次方程2阅读下面的例题，解方程x2|x|20.解：原方程化为|x|2|x|20.令y|x|，则化成y2y20.解得y12，y21.当|x|2时，x2；当|x|1时，不符合题意，舍去原方程的解是x12，x22.请模仿上面的方法解方程：(1)x22|x|0；(2)(x1)25|x1|60；(3)x22x4|x1|50.类型三用换元法解一元高次方程3阅读下面的例题：解方程：x47x2120.解：设x2y，则x4y2，原方程可化为y27y120，解得y13，y24.当y3时，x23，x；当y4时，x24，x2.原方程有四个根

3、：x1，x2，x32，x42.以上方法叫换元法，它起到了降次的作用，体现了数学的转化思想，运用上述方法解答下列问题：(1)解方程：(x2x)24(x2x)120；(x2x2)(x2x3)2.(2)已知a，b，c是RtABC的三边长(c为斜边长)，SABC6，且a，b满足(a2b2)221(a2b2)1000，试求RtABC的周长类型四用换元法解可化为一元二次方程的分式方程或无理方程4解方程时，把某个式子看成一个整体，用一个新的未知数去代替它，从而使方程得到简化，这种方法叫换元法先阅读下面的解题过程，再回答问题：例：解方程：2 30.解：设t(t0)原方程化为2t30，t，而t0，x.请利用上面

4、的方法，解出下面两个方程：(1)x2 80；(2)x60.5按照下面的步骤解方程：1.解：设y，则原方程可化为关于y的方程_请你将后面的过程补充完整类型五均值换元法6阅读下面的范例，按要求解答问题例：已知实数a，b，c满足ab2c1，a2b26c0，求a，b，c的值解：ab2c1，ab12c.设at，bt.将代入a2b26c0，得(t)2(t)26c0，整理，得t2(c22c1)0，即t2(c1)20，t0，c1.将t，c的值代入，可得a，b，ab，c1.以上解法采用了“均值换元法”一般地，若实数x，y满足xym，则可设xt，yt，合理运用这种换元技巧，可顺利解决一些问题现请你根据上述方法试解

5、决下面的问题：已知实数a，b，c满足abc6，a2b2c212，求a，b，c的值典题讲评与答案详析1解：该解答有错误正确解答如下：设x1m，x2n，则原方程可化为2m23mn2n20，则a2，b3n，c2n2，m，m1n，m22n，x1(x2)或x12(x2)，x14，x21.2解：(1)原方程可化为|x|22|x|0.设|x|y，则y22y0.解得y10，y22.当y0时，|x|0，解得x0；当y2时，|x|2，解得x2.原方程的解是x10，x22，x32.(2)原方程可化为|x1|25|x1|60.令y|x1|，原方程可化为y25y60.解得y16，y21.当|x1|6时，x16，解得x1

6、7，x25.当|x1|1时(舍去)则原方程的解是x17，x25.(3)原方程可化为|x1|24|x1|40.设|x1|y，则y24y40，解得y1y22.即|x1|2，解得x11，x23.原方程的解是x11，x23.3解：(1)设x2xy，则原方程可化为y24y120，解得y16，y22.由x2x6，得x13，x22.由x2x2，得方程x2x20，14270，此时方程无实数根原方程的解为x13，x22.设x2x3y，则x2x2y1，原方程可化为(y1)y2，即y2y20，解得y12，y21.当y2时，x2x32，即x2x10，解得x1，x2；当y1时，x2x31，即x2x40，解得x3，x4.

7、原方程的解是x1，x2，x3，x4.(2)设a2b2x，原方程可化为x221x1000，解得x125，x24(不符合题意，舍去)a，b，c是RtABC的三边(c为斜边)，SABC6，a，b，c均为正数，c2a2b225，ab12，ab7，c5，RtABC的周长为abc7512.4解：(1)设t，则原方程转化为t22t80，解得t12，t24，而t120，t240，2，x4.(2)设t(t0)，原方程可化为t2t20，解得t11，t22，而t110，t220，1，x5.5解：设y，则原方程可化为关于y的方程2y1.两边同乘y，得12y2y，解得y11，y2.经检验，y11，y2是该方程的解当y1时，有1，解得x.经检验，x是该方程的解当y，有，解得x1.经检验，x1是该方程的解综上所述，原方程的解为x1，x21.6解：abc6，ab6c.设at，bt.a2b2c212，(t)2(t)2c212.整理，得3c212c4t2120.配方，得3(c2)24t20，c2，t0，a2，b2，abc2.