人教版八年级数学暑期同步提高课程 第六讲 角平分线的性质讲义（word版 无答案）.docx

1、第六讲角平分线的性质教学目标：1.学会用尺规作图，作一个角等于已知角，作已知角的角平分线2.能利用角平分线的性质解决简单问题3.角平分线的性质及判定定理的运用重点难点：1.角平分线的性质的运用与逆用。2.利用角平分线构造全等三角形。3.继续学习证明及综合法证明的格式。知识导航：1.角平分线的画法AM CO N B（1）已知AOB，求作AOB 的角平分线：以 O 为圆心，适当长为半径画弧，交 OA 于 M，交 OB 于 N。分别以 M，N 为圆心，以大于 MN 长为半径作弧，在AOB 的内部两弧交于点 C。过 O、C 两点作射线 OC，射线 OC 就是所求角的角平分线。2角平分线的性质及判定（1

2、）角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。（2）角平分线的判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的角平分线上。3三角形的角平分线的性质（1）三角形的三条角平分线交于一点，这点到三边的距离相等。（2）三角形两个外角的角平分线也交于一点，这点到三边所在的直线的距离相等。（3）三角形外角平分线交点共有三个，所以到三角形三遍所在直线距离相等的点有 4 个。考点/易错点 1角平分线是一种对称模型，一般情况下，有下列三种作辅助线的方式：1 由角平分线上的一点向角的两边作垂线；2 过角平分线上的一点作角平分线的垂线，从而形成等腰三角形；3 OA=OB，这种对称的图形应用得也较为普遍。典型例

3、题：【例 1】尺规作图：请在图上作一个AOC，使其是已知AOB 的 倍（要求：写出已知、求作，保留作图痕迹，在所作图中标上必要的字母，不写作法和结论)已知： 求作：【答案】已知： AOB 求作： AOC ，使 AOC = AOB 作图如右上所示：【解析】首先画出AOB 的角平分线，再以 OB 为边，画BOC=BOF【例 2】如图，在 RtABC 中，C=90，BD 平分ABC 交 AC 于点 D，DEAB 于 E，若 AC=3cm，则 AD+DE 为（）A 3cmB 4cmC 2cmD 无法确定【答案】A【解析】BD 平分ABC，C=90，DEAB，DE=DC，AD+DE=AD+DC=AC，A

4、C=3cm，AD+DE=3cm【例 3】如图，已知四边形 ABCD 中，ADBC，若DAB 的平分线 AE 交 CD 于 E，连接 BE，且 BE 恰好平 分ABC，则 AB 的长与 AD+BC 的大小关系是（）A ABAD+BCB ABAD+BCC AB=AD+BCD 无法确定【答案】C【解析】解法 1：在 AB 上截取 AF=AD，连接 EF，易证 AEBE， ADEAFE（SAS），所以1=2，又2+4=90，1+3=90，所以3=4，所以可证 BCEBFE，所以 BC=BF，所以 AB=AF+BF=AD+BC；解法 2：如图，延长 AE 交 BC 延长线于 F，ADCB，CBA+BAD

5、=180，BE 平分CBA，AE 平分BAD，EBA+BAE=90，BEA=18090=90，BEAF，由 ABEFBE（ASA），可得 BA=BF，AE=FE，于是可证 ADEFCE（ASA），所以 AD=CF，所以 AB=BC+CF=BC+AD【例 4】如图，在ABC 中，C=90，AC=14，BD 平分ABC，交 AC 于 D，AD=10，则点 D 到 AB 的距离 为（）A10B4C7D6【答案】B【解析】解：如图，过点 D 作 DEAB 于 E，AC=14，AD=10，CD=ACAD=1410=4，BD 平分ABC，C=90，DE=CD=4【例 5】如图，在ABC 中，AC=CB，C

6、=90，AD 是BAC 的平分线，E=90，那么 AD 与 BE 的长度 关系为 。【答案】AD=2BE【解析】理由是：延长 AC，BE 交于 O，C=AEB=90，CDA=EDB，由三角形内角和定理得：1=3，ACD=BCO=90，1 = 3在ACD 和BCO 中， AC = BCACD = BCO，ACDBCO（ASA），AD=BO，AD 平分CAB，1=2，AEB=AEO=90，1 = 2在AEO 和AEB 中， AE = AEAEO = AEB，AEOAEB（ASA），OE=BE，BO=2BE，AD=2BE，【例 6】为了加快灾后重建的步伐，我市某镇要在三条公路围成的一块平地上修建一个

7、砂 石场，如图，要使这个砂石场到三条公路的距离相等，则可供选择的地址（）A 仅有一处 B 有四处C 有七处 D 有无数处【答案】 A【解析】利用角平分线性质定理：角的平分线上的点，到这个角的两边的距离相等又要求砂石场建在三条 公路围成的一块平地上，所以是三个内角平分线的交点一个，外角的平分线的交点三个满足条件的点有一 个，三角形内部：三个内角平分线交点一个三角形外部，外角的角平分线三个（不合题意）课堂检测：1. 下列结论错误的是（） A到已知角两边距离相等的点在同一直线上 B一射线上有一点到已知角两边的距离相等这条射线平分已知角 C到角两边距离相等的一个点与这个角的顶点的连线不平分这个角D角内

8、有两点各自到角的两边的距离相等，经过这两点的直线平分这个角2.如图，AOB 和一条定长线段 a，在AOB 内找一点 P，使 P 到 OA，OB 的距离都等于 a，作法如下：（1）作 OB 的垂线段 NH，使 NH=a，H 为垂足（2）过 N 作 NMOB（3）作AOB 的平分线 OP，与 NM 交于 P（4）点 P 即为所求 其中（3）的依据是（）A 平行线之间的距离处处相等B 到角的两边距离相等的点在角的平分线上C 角的平分线上的点到角的两边的距离相等D 到线段的两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上3.如图， ABC 的三边 AB，BC，CA 长分别是 20，30，40，其三条角平分线将

9、 ABC 分为三个三角形，则 S ABO：S BCO：S CAO 等于（）A1：1：1B1：2：3C2：3：4D3：4：54. 如图，AD、AE 分别是ABC 中A 内角的平分线和外角平分线，则DAE= 度5.已知线段 a 和直角：（1）用尺规作 ABC，使得C=，BC=a，AB=2a（保留作图痕迹，不写画法）；（2）用尺规作 ABC 的中线 CD 和角平分线 CE（保留作图痕迹，不写画法）；课后作业：1.如图，已知点 P 到 AE、AD、BC 的距离相等，下列说法：点 P 在BAC 的平分 线上；点 P 在CBE 的平分线上；点 P 在BCD 的平分线上；点 P 在BAC，CBE，BCD 的

10、平分线的交点上其中正确的是（ ）A B C D2.两条平行线 a、b 被第三条直线 c 所截得的同旁内角的平分线的交点到直线 c 的距离是 2cm，则 a、b 之间 的距离是（）A3cm B4cm C5cm D6cm3.如图，AD 是 ABC 的角平分线，若 AB=10，AC=8，则 S ABD：S ADC=（ ）A1：1 B4：5C5：4 D16：254.已知 ABCD，ADDC，AEBC 于点 E，DAC=35，AD=AE，B 为（）A50 B60C70 D805如图，G 是线段 AB 上一点，AC 和 DG 相交于点 E请先作出ABC 的平分线 BF，交 AC 于点 F；（尺规作图，保留

11、作图痕迹，不写作法与证明）然后证明当： ADBC，AD=BC，ABC=2ADG 时，DE=BF6.如图，OP 是AOB 的平分线，请你利用该图形画一对以 OP 所在直线为对称轴的全等三角形请你参考 这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（1）如图，在ABC 中，ACB 是直角，B=60，AD、CE 分别是BAC、BCA 的平分线，AD、CE相交于点 F请你判断并写出 FE 与 FD 之间的数量关系；（2）如图，在ABC 中，如果ACB 不是直角，而（1）中的其它条件不变，请问，你在（1）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由7.如图， ABC 中，D 为 BC 的中点，DEBC 交BAC 的平分线 AE 于点 E，EFAB 于 F，EGAG 交 AC的延长线于 G求证：BF=CG8.如图，在 ABC 中，ACB=90，CEAB 于点 E，点 D 是 AB 上一点，且 AD=AC，作 DGBC，DG 交AC 于点 G，交 CE 于点 F，求证：（1）AF 平分CAB；（2）FC=FD