全国通用2022版高考数学大二轮总复习增分策略专题四数列推理与证明第3讲数列的综合问题试题.docx

1、第3讲数列的综合问题1(2022湖南)已知a0，函数f(x)eaxsin x(x0，)记xn为f(x)的从小到大的第n(nN*)个极值点，证明：数列f(xn)是等比数列2(2022课标全国)已知数列an满足a11，an13an1.(1)证明an是等比数列，并求an的通项公式；(2)证明.1.数列的综合问题，往往将数列与函数、不等式结合，探求数列中的最值或证明不等式.2.以等差数列、等比数列为背景，利用函数观点探求参数的值或范围.3.将数列与实际应用问题相结合，考查数学建模和数学应用.热点一利用Sn，an的关系式求an1数列an中，an与Sn的关系：an.2求数列通项的常用方法(1)公式法：利用

2、等差(比)数列求通项公式(2)在已知数列an中，满足an1anf(n)，且f(1)f(2)f(n)可求，则可用累加法求数列的通项an.(3)在已知数列an中，满足f(n)，且f(1)f(2)f(n)可求，则可用累积法求数列的通项an.(4)将递推关系进行变换，转化为常见数列(等差、等比数列)例1数列an中，a11，Sn为数列an的前n项和，且满足1(n2)求数列an的通项公式思维升华给出Sn与an的递推关系，求an，常用思路：一是利用SnSn1an(n2)转化为an的递推关系，再求其通项公式；二是转化为Sn的递推关系，先求出Sn与n之间的关系，再求an.跟踪演练1已知正项数列an的前n项和为S

3、n，且Sn，则数列an的通项公式是_热点二数列与函数、不等式的综合问题数列与函数的综合问题一般是利用函数作为背景，给出数列所满足的条件，通常利用点在曲线上给出Sn的表达式，还有以曲线上的切点为背景的问题，解决这类问题的关键在于利用数列与函数的对应关系，将条件进行准确的转化数列与不等式的综合问题一般以数列为载体，考查最值问题，不等关系或恒成立问题例2已知二次函数yf(x)的图象经过坐标原点，其导函数为f(x)6x2，数列an的前n项和为Sn，点(n，Sn)(nN*)均在函数yf(x)的图象上(1)求数列an的通项公式；(2)设bn，Tn是数列bn的前n项和，求使得Tn0且a1)的图象上一点，数列

4、bn的前n项和Snf(n)1.(1)求数列an和bn的通项公式；(2)求证：数列的前n项和Tn.提醒：完成作业专题四第3讲二轮专题强化练专题四 第3讲数列的综合问题A组专题通关1(2022成都外国语学校月考)已知数列an的前n项和Snan1(a0)，则数列an()A一定是等差数列B一定是等比数列C或者是等差数列，或者是等比数列D既不可能是等差数列，也不可能是等比数列2若数列an的通项公式是an(1)n(3n2)，则a1a2a10等于()A15 B12C12 D153(2022日照一模)已知数列an的前n项和Snn26n，则|an|的前n项和Tn等于()A6nn2 Bn26n18C. D.4(2

5、022成都七中高三上学期期中)今有女善织，日益功疾，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第1天织5尺布，现在一月(按30天计)共织390尺布，则每天比前一天多织()尺布(不作近似计算)()A. B.C. D.5已知定义在R上的函数f(x)、g(x)满足ax，且f(x)g(x)f(x)g(x)，若有穷数列 (nN*)的前n项和等于，则n等于()A5 B6 C7 D86若数列an的前n项和Snan，则an的通项公式是an_.7等差数列an的前n项和为Sn，已知S100，S1525，则nSn的最小值为_8对于数列an，定义数列an1an为数列an的“差数列”，若a12，an的“差数列”的通项

6、公式为2n，则数列an的前n项和Sn_.9已知数列an的前n项和Sn满足：Sn2an2n(nN*)(1)求数列an的通项an；(2)若数列bn满足bnlog2(an2)，Tn为数列的前n项和，求证：Tn.10(2022杭州质检)已知数列an的首项a11，an11，其中nN*.(1)设bn，求证：数列bn是等差数列，并求出an的通项公式；(2)设cn，数列cncn2的前n项和为Tn，是否存在正整数m，使得Tn0)及两点A1(x1,0)和A2(x2,0)，其中x2x10.过A1，A2分别作x轴的垂线，交曲线C于B1，B2两点，直线B1B2与x轴交于点A3(x3,0)，那么()Ax1，x2成等差数列

7、Bx1，x2成等比数列Cx1，x3，x2成等差数列Dx1，x3，x2成等比数列12记数列2n的前n项和为an，数列的前n项和为Sn，数列bn的通项公式为bnn8，则bnSn的最小值为_13已知向量a(2，n)，b(Sn，n1)，nN*，其中Sn是数列an的前n项和，若ab，则数列的最大项的值为_14数列an的前n项和为Sn，a11，且对任意正整数n，点(an1，Sn)在直线2xy20上(1)求数列an的通项公式；(2)是否存在实数，使得数列Snn为等差数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由学生用书答案精析第3讲数列的综合问题高考真题体验1证明f(x)aeaxsin xeaxcos xea

8、x(asin xcos x)eaxsin(x)，其中tan ，0.令f(x)0，由x0得xm，即xm，mN*，对kN，若2kx(2k1)，即2kx(2k1)，则f(x)0；若(2k1)x(2k2)，即(2k1)x(2k2)，则f(x)0.因此，在区间(m1)，m)与(m，m)上，f(x)的符号总相反于是当xm(mN*)时，f(x)取得极值，所以xnn(nN*)此时，f(xn)ea(n)sin(n)(1)n1ea(n)sin .易知f(xn)0，而ea是常数，故数列f(xn)是首项为f(x1)ea()sin ，公比为ea的等比数列2(1)解由an13an1得an13(an)又a1，所以an是首项

9、为，公比为3的等比数列an，因此an的通项公式为an.(2)证明由(1)知.因为当n1时，3n123n1，所以.于是1(1).所以0，所以anan10，则anan12，所以数列an是首项为2，公差为2的等差数列，故an2n.例2解(1)设二次函数f(x)ax2bx(a0)，则f(x)2axb.由于f(x)6x2，得a3，b2，所以f(x)3x22x.又因为点(n，Sn)(nN*)均在函数yf(x)的图象上，所以Sn3n22n.当n2时，anSnSn13n22n3(n1)22(n1)6n5；当n1时，a1S13122615，所以an6n5(nN*)(2)由(1)得bn，故Tn(1)()()(1)

10、因此，要使(1).所以Tn2.综上可得对任意的nN*，均有Tn.例3(1)解当n6时，数列an是首项为120，公差为10的等差数列，故an12010(n1)13010n，当n7时，数列an从a6开始的项构成一个以a61306070为首项，以为公比的等比数列，故an70()n6，所以第n年年初M的价值an(2)证明设Sn表示数列an的前n项和，由等差数列和等比数列的求和公式，得当1n6时，Sn120n5n(n1)，An1205(n1)1255n9580，当n7时，由于S6570，故Sn570(a7a8an)5707041()n6780210()n6.因为an是递减数列，所以An是递减数列因为An

11、，A882.73480，A976.8230，所以Tn0)当a1时，Sn0，是等差数列而不是等比数列；当a1时是等比数列故选C.2A记bn3n2，则数列bn是以1为首项，3为公差的等差数列，所以a1a2a9a10(b1)b2(b9)b10(b2b1)(b4b3)(b10b9)5315.3C由Snn26n可得，当n2时，anSnSn1n26n(n1)26(n1)2n7.当n1时，S15a1，也满足上式，an2n7，nN*.n3时，an3时，an0.Tn4C由题意可知，该女每天的织布量成等差数列，首项是5，公差为d，前30项和为390.根据等差数列前n项和公式，有390305d，解得d.5A令h(x

12、)，则h(x)0，故函数h(x)为减函数，即0a1.再根据，得a，解得a2(舍去)或者a.所以n，数列的前n项和是1，由于1，所以n5.6(2)n1解析当n1时，a11；当n2时，anSnSn1anan1，故2，故an(2)n1.749解析设数列an的首项和公差分别为a1，d，则则nSnn3nn2.设函数f(x)x2，则f(x)x2x，当x(0，)时，f(x)0，所以函数f(x)minf()，但649，所以最小值为49.82n12解析an1an2n，an(anan1)(an1an2)(a2a1)a12n12n2222222n222n.Sn2n12.9(1)解当nN*时，Sn2an2n，则当n2

13、时，Sn12an12(n1)，两式相减得an2an2an12，即an2an12，an22(an12)，2，当n1时，S12a12，则a12，an2是以a124为首项，2为公比的等比数列，an242n1，an2n12.(2)证明bnlog2(an2)log22n1n1，则Tn，Tn，两式相减得Tn，Tn，当n2时，TnTn10，Tn为递增数列，TnT1.10解(1)bn1bn2(常数)，数列bn是等差数列a11，b12，因此bn2(n1)22n，由bn得an.(2)由cn，an得cn，cncn22()，Tn2(1)2(1)3，依题意要使Tn对于nN*恒成立，只需3，即3，解得m3或m4，又m为正

14、整数，所以m的最小值为3.11A由题意，得B1，B2两点的坐标分别为(x1，)，(x2，)，所以直线B1B2的方程为y(xx1)，令y0，得xx1x2，所以x3x1x2，因此，x1，x2成等差数列124解析根据已知，可得ann(n1)，所以，所以Sn，所以bnSnn1104，当且仅当n1，即n2时等号成立，所以bnSn的最小值为4.13.解析依题意得ab0，即2Snn(n1)，Sn.当n2时，anSnSn1n；又a1S11，因此ann，当且仅当n，nN*，即n2时取等号，因此数列的最大项的值为.14解(1)由题意，可得2an1Sn20.当n2时，2anSn120.，得2an12anan0，所以(n2)因为a11,2a2a12，所以a2.所以an是首项为1，公比为的等比数列所以数列an的通项公式为an()n1.(2)由(1)知，Sn2.若Snn为等差数列，则S1，S22，S33成等差数列，则2(S2)S1S3，即2()1，解得2.又2时，Sn2n2n2，显然2n2成等差数列，故存在实数2，使得数列Snn为等差数列