内蒙古自治区优质高中联考2023-2024学年高二上学期11月期中数学试题（Word版附解析）.docx

1、2022 级学生联考共同体第一次考试数学试卷（试卷满分 150 分，考试用时 120 分钟）一单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1.直线330 xy倾斜角（）A.30B.60C.120D.1502.直线10 xy 被圆221xy所截得的弦长为（）A.22B.1C.2D.23.若平面 的一个法向量为13,2uy，平面 的一个法向量为26,2,uz，且/，则 yz的值是（）A.3B.4C.3D.44.设,Rx y，1,1,1a，1,by z，,4,2cx且,ac bc，则 ab（）A.2 2B.10C.3D.45.若圆22

2、1:1Cxy 与圆222:680Cxyxym外切，则m （）A.9B.11C.19D.216.如图，平行六面体1111ABCDA B C D的底面 ABCD 是矩形，其中2AB，4AD，13AA，且1160A ADA AB ，则线段1AC 的长为（）A.9B.29C.47D.4 37.直线 yxb与曲线214yx 有两个不同交点，则实数b 的取值范围是（）A.1 2 2,1 2 2B.12 2,1 C.1,12 2D.3,12 28.过椭圆221164xyC：上一点 M 作圆223xy的两条切线，A、B 为切点，过 A、B 的直线 l 与 x 轴和 y轴分别交于 P、Q 两点，则OPQ（O 为

3、坐标原点）面积的最小值为（）A.916B.98C.34D.32二多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.9.关于椭圆223412xy有以下结论，其中正确有（）A.离心率为 12B.长轴长是2 3C.焦距 2D.焦点坐标为1,0,()1,010.下列说法正确的是（）A.直线sin20 xyR的倾斜角范围是30,44 B.若直线210a xy 与直线20 xay互相垂直，则1a C.过两点11,x y，22,x y的直线方程为121121yyxxxxyyD.经过点1,1 且

4、在 x 轴和 y 轴上截距都相等直线方程为20 xy11.下列结论正确的是（）A.已知点,P x y 在圆22:(1)(1)2Cxy上，则2yx最小值是-7B.已知直线10kxyk 和以3,1,3,2MN为端点的线段相交，则实数k 的取值范围为1322kC.已知点,P a b 是圆222xyr外一点，直线l 的方程是2axbyr，则l 与圆相交D.若圆222:(4)(4)(0)Mxyrr上恰有两点到点1,0N的距离为 1，则 r 的取值范围是4,612.如图，正方体1111ABCDA B C D的棱长为 1，正方形 ABCD 的中心为O，棱1CC，11BC 的中点分别为E，F，则（）A.12O

5、E BCB.68FOESC.异面直线1OD 与 EF 所成角的余弦值为336D.点 F 到直线1OD 的距离为 144三填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13.椭圆22125xy 上一点 P 到一个焦点的距离为 2，则点 P 到另一个焦点的距离为_14.已知直线 1:(3)553lmxym，2:2(6)8lxmy，若 12ll/，则m 的值是_.15.已知圆22:1116Cxy，直线:211310lmxmym.当直线 l 被圆 C 截得弦长取得最小值时，直线 l 的方程为_.16.古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点A、B 的距离之

6、比为定值（0 且1 ）的点的轨迹是圆”.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆，在平面直角坐标系 xOy 中，2,0A、2,0B，点 P 满足3PAPB，则 PA PB的最小值为_.四解答题：本小题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.17.已知 ABC 的三个顶点为 4,0,0,2,2,6ABC.（1）求 AC 边上的高 BD所在直线的方程；（2）求 BC 边上的中线 AE 所在直线的方程.18.经过椭圆22143xy 的左焦点1F 作倾斜角为 45的直线l，直线l 与椭圆相交于,A B 两点，2F 是椭圆的右焦点.（1）求2ABF的周长.（

7、2）求 AB 的长.19.如图，在长方体1111ABCDA B C D中，112,AAADBD和1B D 交于点,E F 为 AB 的中点.（1）求证：EF平面11ADD A；（2）已知1B D 与平面11BCC B 所成角为 4，求平面CEF 与平面 BCE 的夹角的余弦值；20.如图，一隧道内设双行线公路，其截面由一个长方形（长、宽分别为8m、4m）和圆弧构成，截面总高度为 6m，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5米，已知行车道总宽度6mAB.（1）试建立恰当的坐标系，求出圆弧所在圆的一般方程；（2）车辆通过隧道的限制高度为多少米？21.如

8、图，在四棱锥 PABCD中，平面 PAD 平面 ABCD，E 为 AD 的中点，PAAD，BECD，BEAD，2PAAEBE，1CD （1）求点 A 到平面 PCD的距离；（2）求直线 PE 与平面 PBC 所成角的余弦值；（3）在线段 PE 上是否存在点 M，使得/DM平面 PBC？若存在，求出点 M 的位置；若不存在，说明理由22.设椭圆222210 xyabab的离心率为33，上、下顶点分别为 A，B，AB4过点(0,1)E，且斜率为 k 的直线 l 与 x 轴相交于点 F，与椭圆相交于 C，D 两点（1）求椭圆的方程；（2）若 FCDE，求 k 的值；（3）是否存在实数 k，使直线 A

9、C 平行于直线 BD？证明你的结论2022 级学生联考共同体第一次考试数学试卷（试卷满分 150 分，考试用时 120 分钟）一单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1.直线330 xy倾斜角是（）A.30B.60C.120D.150【答案】C【解析】【分析】利用直线方程得到斜率，利用斜率定义求倾斜角即可.【详解】330 xy33yx，设该直线的倾斜角为，因为直线的斜率为tan3k，因数0180，所以120.故选：C.2.直线10 xy 被圆221xy所截得的弦长为（）A.22B.1C.2D.2【答案】C【解析】【分析】根

10、据圆的方程，写出圆心和半径，利用点到直线的距离公式，求得弦心距，利用弦长公式，可得答案.【详解】由圆的方程221xy，则其圆心为0,0，半径为1r ，圆心到直线10 xy 的距离00 1221 1d，则弦长22122 122lrd.故选：C.3.若平面 的一个法向量为13,2uy，平面 的一个法向量为26,2,uz，且/，则 yz的值是（）A.3B.4C.3D.4【答案】A【解析】【分析】根据两平面平行得到两法向量平行，进而得到方程组，求出14yz ，得到答案.【详解】/，12/uu，故存在实数，使得12uu，即3,26,2,yz，故6322yz，解得14yz ，1 43yz .故选：A4.设

11、,Rx y，1,1,1a，1,by z，,4,2cx且,ac bc，则 ab（）A.2 2B.10C.3D.4【答案】C【解析】【分析】根据ac，可得2x，2,4,2c；再根据b c，可得1,2,1b，进而得(2,1,2)ab rr，最后根据向量的坐标求模即可.【详解】解：因为，1,1,1a，,4,2cx且 ac，所以420a cx ，解得2x，所以2,4,2c，又因为1,by z，2,4,22(1,2,1)c 且b c，所以2,1yz ，所以1,2,1b，所以(2,1,2)ab rr，所以2222(1)23ab rr.故选：C5.若圆221:1Cxy 与圆222:680Cxyxym外切，则m

12、 （）A.9B.11C.19D.21【答案】A【解析】【分析】先求出两圆圆心和半径，再根据两圆外切可得两圆圆心距等于半径之和，进而列出方程求解即可.【详解】由圆221:1Cxy，则圆心1 0,0C，半径 11r，由圆222:680Cxyxym，即223425xym，则圆心2 3,4C，225rm，25m，所以2212345C C，因为两圆外切，则1212C Crr，即1255m，解得9m.故选：A.6.如图，平行六面体1111ABCDA B C D的底面 ABCD 是矩形，其中2AB，4AD，13AA，且1160A ADA AB ，则线段1AC 的长为（）A.9B.29C.47D.4 3【答案

13、】C【解析】【分析】由11ACACCC，两边平方，利用勾股定理以及数量积的定义求出2211,2ACAC CC CC的值，进而可得答案【详解】由11ACACCC，2222211111()2ACACACCCACAC CCCC.因为底面 ABCD 是矩形，2AB，4AD，13AA，所以224 1620=ACAC，219CC，因为1160A ABA AD，所以112 3 cos603,4 3 cos606AB CCBC CC 所以1111822()2()=2 3+6=1AC CCABBCCCAB CCBC CC，21120 18947,47ACAC故选：C.7.直线 yxb与曲线214yx 有两个不同

14、的交点，则实数b 的取值范围是（）A.1 2 2,1 2 2B.12 2,1 C.1,12 2D.3,12 2【答案】B【解析】【分析】分析可知，曲线214yx 表示圆2214xy的下半圆，作出图形，求出当直线 yxb与曲线214yx 相切以及直线 yxb过点0,1时对应的b 的值，数形结合可得出实数b 的取值范围.【详解】由2141yx 可得214yx ，整理可得2214xy，其中1y ，所以，曲线214yx 表示圆2214xy的下半圆，如下图所示：当直线 yxb与曲线214yx 相切时，由图可知，0b，且有122b，解得1 2 2b ，当直线 yxb过点0,1时，则有1b=-，由图可知，当

15、1 2 21b 时，直线 yxb与曲线214yx 有两个公共点，故选：B.8.过椭圆221164xyC：上一点 M 作圆223xy的两条切线，A、B 为切点，过 A、B 的直线 l 与 x 轴和 y轴分别交于 P、Q 两点，则OPQ（O 为坐标原点）面积的最小值为（）A.916B.98C.34D.32【答案】B【解析】【分析】设点00(,)M xy，结合圆的切线方程求得直线 AB 的方程，即可求得OPQ面积的表达式，结合基本不等式即可求解答案.【详解】设点0000(,),0M xyx y，则22001164xy，设(,),(,)A a b B c d，则点 A 处223xy的切线方程为3axb

16、y，点 B 处223xy的切线方程为3cxdy，由于这两条切线都过点00(,)M xy，则00003,3axbycxdy，故直线 AB 的方程为003x xy y，令030,xyy，令030,yxx，即0033(,0),(0,)PQxy，则00003391|212OPQSxyx y，由于222200000000|12,|41641644xyxyx yx y，当且仅当2200164xy，即22008,2xy时等号成立，故0091919|2248OPQx yS，即OPQ面积的最小值为 98，故选：B【点睛】关键点睛：本题求OPQ面积的最小值，因此要想法求得该三角形面积的表达式，故解答本题的关键在于

17、要求出直线 AB 的方程，从而求得 A，B 的坐标，即可求得三角形面积表达式，结合基本不等式即可求解.二多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.9.关于椭圆223412xy有以下结论，其中正确的有（）A.离心率为 12B.长轴长是2 3C.焦距 2D.焦点坐标为1,0,()1,0【答案】ACD【解析】【分析】将椭圆方程化为标准方程，再由椭圆的几何性质可得选项.【详解】将椭圆方程化为标准方程为221,43xy所以该椭圆的焦点在 x 轴上，焦点坐标为1,0,()1,0，故焦

18、距为 2，故 C、D 正确；因为2a 所以长轴长是4，故 B 错误，因为2,3ab，所以1c ，离心率12cea，故 A 正确.故选：ACD10.下列说法正确的是（）A.直线sin20 xyR的倾斜角范围是30,44 B.若直线210a xy 与直线20 xay互相垂直，则1a C.过两点11,x y，22,x y的直线方程为121121yyxxxxyyD.经过点1,1 且在 x 轴和 y 轴上截距都相等的直线方程为20 xy【答案】AC【解析】【分析】根据直线斜率和倾斜角的关系，直线位置关系以及直线方程的应用，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.【详解】对 A：直线 sin20 xy，其

19、斜率sin1,1k ，设直线倾斜角为，故可得tan1,1 ，则30,44，故 A 正确；对 B：直线210a xy 与直线20 xay互相垂直，则20aa，解得0a 或 1，故 B 错误；对C：过两点11,x y，22,x y的直线方程为121121yyxxxxyy，故 C 正确；对 D：经过点1,1 且在 x 轴和 y 轴上截距都相等的直线方程为20 xy和0 xy，故 D 错误；故选：AC.11.下列结论正确的是（）A.已知点,P x y 在圆22:(1)(1)2Cxy上，则2yx的最小值是-7B.已知直线10kxyk 和以3,1,3,2MN为端点的线段相交，则实数k 的取值范围为1322

20、kC.已知点,P a b 是圆222xyr外一点，直线l 的方程是2axbyr，则l 与圆相交D.若圆222:(4)(4)(0)Mxyrr上恰有两点到点1,0N的距离为 1，则 r 的取值范围是4,6【答案】CD【解析】【分析】对于 A,令2ykx，即20kxy，根据题意，由圆心到直线的距离2321kdk求解判断；对于 B，根据直线10kxyk 恒过定点()1,1-，求得,PMPNkk判断；对于 C，由点,P a b 是圆222xyr外一点，得到222xyr判断；对于 D，由圆222:(4)(4)(0)Mxyrr与圆22:(1)1Nxy相交求解判断.【详解】对于 A，令2ykx，即20kxy，

21、因为点,P x y 在圆22:(1)(1)2Cxy上，则圆心到直线的距离2321kdk，即2670kk，解得1k 或7k ，所以无最小值，故 A 错误；对于 B，因为直线1110kxykk xy ，则1010 xy ，解得11xy，则其恒过定点()1,1-，则1 111 23,1 321 32PMPNkk ，因为以3,1,3,2MN为端点的线段相交，所以32k 或12k ，故 B 错误；对于 C，因为点,P a b 是圆222xyr外一点，所以222xyr，圆心到直线l222rdrab，则l 与圆相交，故 C 正确；对于 D，圆222:(4)(4)(0)Mxyrr，圆22:(1)1Nxy，圆心

22、距为5dMN，因为圆222:(4)(4)(0)Mxyrr上恰有两点到点1,0N的距离为 1，所以两圆相交，则151rr ，解得46r，故 D 正确；故选：CD12.如图，正方体1111ABCDA B C D的棱长为 1，正方形 ABCD 的中心为O，棱1CC，11BC 的中点分别为E，F，则（）A.12OE BCB.68FOESC.异面直线1OD 与 EF 所成角余弦值为336D.点 F 到直线1OD 的距离为 144【答案】ABD【解析】【分析】建立空间直角坐标系，结合空间向量逐项判断；【详解】故以 D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系 Dxyz.1 111,1,0,0,0,1,2 22

23、BOE，0,1,0C，1,1,12F 骣桫，1 0,0,1D，1 1 11,1,0,02 2 22OE BC ，选项 A 正确；11 1 130,1,22 2 24OF OE，53,22OFOE所以3154cos,55322OF OE，根据三角函数两角正余弦关系解得：10sin,5OF OE 1153106sin,222258FOESOF OEOF OE，选项 B 正确；111111,1,0,22224OD EF ，162,22ODEF114cos,662322OD EF，选项 C 错误；点 F 到直线1OD 的距离为：1,sinOFOF OD，而11133304c s,o10563022OF

24、 ODOF ODOF OD，170sin10,OF OD，所以157014sin,2104,OFOF OD选项 D 正确；故选：ABD.【点睛】关键点睛：构建空间直角坐标系，运用空间向量解题是本题的思维出发点和突破点；三填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13.椭圆22125xy 上一点 P 到一个焦点的距离为 2，则点 P 到另一个焦点的距离为_【答案】8【解析】【分析】根据椭圆的定义计算即可.【详解】设椭圆的左、右焦点分别为121,2F FPF，结合椭圆定义1210PFPF，可得28PF.故答案为：814.已知直线 1:(3)553lmxym，2:2(6)8lxmy，若

25、12ll/，则m 的值是_.【答案】8【解析】【分析】利用直线一般式情况下平行的结论即可得解.【详解】因为 1:(3)553lmxym，2:2(6)8lxmy，12ll/，所以当60m，即6m 时，1:3523lxy，2:28lx，显然不满足题意；当60m，即6 m时，3553268mmm，由3526mm解得1m 或8m ，当1m 时，35531268mmm，舍去；当8m 时，355532628mmm，满足题意；综上：8m .故答案为：8.15.已知圆22:1116Cxy，直线:211310lmxmym.当直线 l 被圆 C 截得弦长取得最小值时，直线 l 的方程为_.【答案】240 xy【解

26、析】【分析】先求出直线l 所过的定点 P，再根据当直线 PCl 时，直线 l 被圆 C 截得弦长取得最小值，求出直线l 的斜率，进而可得出答案.【详解】由直线:211310lmxmym，得2310 xymxy，令 23010 xyxy ，解得21xy，即直线l 过定点 2,1P，圆22:1116Cxy得圆心1,1C，半径4r，当直线 PCl 时，直线 l 被圆 C 截得弦长取得最小值，1 122 1PCk ，所以12lk，所以直线l 的方程为1122yx，即240 xy.故答案为：240 xy.16.古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点A、B 的距离之

27、比为定值（0 且1 ）的点的轨迹是圆”.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆，在平面直角坐标系 xOy 中，2,0A、2,0B，点 P 满足3PAPB，则 PA PB的最小值为_.【答案】3【解析】【分析】设点,P x y，利用已知条件求出点 P 的轨迹方程，利用平面向量数量积的运算性质可得出24PA PBPO，求出 PO 的最小值，即可得出 PA PB的最小值.【详解】设点,P x y，由3PAPB 可得 2222232xyxy，整理可得22540 xyx，化为标准方程可得225924xy，因为O 为 AB 的中点，所以，22PA PBPOOAPOOBPOOAPOOA

28、POOA24PO，记圆心为5,02M，当点 P 为线段OM 与圆225924xy的交点时，PO 取最小值，此时，53122PO ，所以，241 43PA PBPO .故答案为：3.四解答题：本小题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.17.已知 ABC 的三个顶点为 4,0,0,2,2,6ABC.（1）求 AC 边上的高 BD所在直线的方程；（2）求 BC 边上的中线 AE 所在直线的方程.【答案】（1）360 xy（2）43160 xy.【解析】【分析】（1）根据 A C两点的坐标求出直线 AC 的斜率，利用垂直关系求出高线 BD的斜率，利用点斜式写出直线 BD的

29、方程；（2）根据 B C两点的坐标求出中点 E，再由 A E两点坐标求出直线斜率，利用点斜式写出直线 AE 的方程.【小问 1 详解】因为 ABC 的三个顶点为 4,0,0,2,2,6ABC，所以直线 AC 的斜率为60324ACk，所以 AC 边上的高 BD所在直线的斜率为13BDk，所以直线 BD的方程为132yx，化为一般式方程为360 xy；【小问 2 详解】因为 0,2,2,6BC，所以 BC 的中点为1,4E，又因为 4,0,1,4AE，所以直线 AE 的斜率为43k ，所以直线 AE 的点斜式方程为4043yx，化为一般式为43160 xy.18.经过椭圆22143xy 的左焦点

30、1F 作倾斜角为 45的直线l，直线l 与椭圆相交于,A B 两点，2F 是椭圆的右焦点.（1）求2ABF的周长.（2）求 AB 的长.【答案】（1）8（2）247【解析】【分析】（1）根据题意结合椭圆的定义运算求解；（2）根据弦长公式结合韦达定理运算求解.【小问 1 详解】由椭圆方程可知：2,3ab，则221cab，所以2ABF的周长为221122121248ABAFBFAFBFAFBFAFAFBFBFa.【小问 2 详解】由（1）可知：11,0F，且直线l 的斜率tan451k ，可得：直线:1l yx，设 1122,A x yB x y，联立方程221143yxxy，消去 y 得2788

31、0 xx，则284 782880 ，且121288,77xxx x ，所以222881 144777 AB.19.如图，在长方体1111ABCDA B C D中，112,AAADBD和1B D 交于点,E F 为 AB 的中点.（1）求证：EF平面11ADD A；（2）已知1B D 与平面11BCC B 所成角为 4，求平面CEF 与平面 BCE 的夹角的余弦值；【答案】（1）证明见解析；（2）63【解析】【分析】（1）通过证明 EF1AD 来证得 EF平面11ADD A.（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得平面CEF 与平面 BCE 的夹角的余弦值.【小问 1 详解】连接111,AD B

32、 D BD.因为长方体1111ABCDA B C D中，1BB1DD 且11BBDD，所以四边形11BB D D为平行四边形.所以 E 为1BD 的中点，在1ABD 中，因为,E F 分别为1BD 和 AB 的中点，所以 EF1AD.因为 EF 平面111,ADD A AD 平面11ADD A，所以 EF平面11ADD A.【小问 2 详解】1B D 与平面11BCC B 所成角为 4.连接1B C.因为长方体1111ABCDA B C D中，CD 平面111,BCC B B C 平面11BCC B，所以1CDB C.所以1DB C为直线1B D 与平面11BCC B 所成角，即14DB C.

33、所以1DB C 为等腰直角三角形.因为长方体中12AAAD，所以12 2BC.所以12 2CDBC.如图建立空间直角坐标系 Dxyz，因为长方体中12,2 2AAADCD，则0,0,0,2,0,0,0,2 2,0,2,2 2,0DACB，12,2,0,2,2 2,2,1,2,1FBE.所以1,2,1,2,2,0,2,0,0CECFCB.设平面CEF 的法向量为111,mx y zr，则00m CEm CF，即1111120220 xyzxy.令11x，则112,1yz，可得1,2,1m.设平面 BCE 的法向量为222,nx y zr，则00n CEn CB ，即22222020 xyzx.令

34、21y ，则220,2xz，所以0,1,2n.设平面CEF 与平面 BCE 的夹角为，则6coscos,3m nm nm n.所以平面CEF 与平面 BCE 的夹角的余弦值为63.20.如图，一隧道内设双行线公路，其截面由一个长方形（长、宽分别为8m、4m）和圆弧构成，截面总高度为 6m，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5米，已知行车道总宽度6mAB.（1）试建立恰当的坐标系，求出圆弧所在圆的一般方程；（2）车辆通过隧道的限制高度为多少米？【答案】（1）答案见解析（2）4.5 米【解析】【分析】（1）以抛物线的顶点O 为坐标原点，AB 的方向为

35、 x 轴的正方向建立平面直角坐标系，分析可知点4,2在圆上，求出 p 的等式，解之即可；（2）将3x 的方程代入圆的方程，求出 y 值，结合题意可求得车辆通过隧道的限制高度.【小问 1 详解】解：以抛物线的顶点O 为坐标原点，AB 的方向为 x 轴的正方向建立如下图所示的平面直角坐标系，故圆心在 y 轴上，原点在圆上，可设圆的一般方程为220,xyEy易知，点4,2在圆上，将4,2的坐标代入圆的一般方程得16420,10EE，则该圆弧所在圆的一般方程为22100 xyy.小问 2 详解】解：令3x 代入圆方程得21090yy，得1y 或9y （舍），由于隧道的总高度为6 米，且6 1 0.54

36、.5（米），因此，车辆通过隧道的限制高度为4.5 米.21.如图，在四棱锥 PABCD中，平面 PAD 平面 ABCD，E 为 AD 的中点，PAAD，BECD，BEAD，2PAAEBE，1CD （1）求点 A 到平面 PCD的距离；（2）求直线 PE 与平面 PBC 所成角的余弦值；（3）在线段 PE 上是否存在点 M，使得/DM平面 PBC？若存在，求出点 M 的位置；若不存在，说明理由【答案】（1）4 55（2）427（3）当点 M 为 PE 的中点时，有/DM平面 PBC.【解析】【分析】（1）作Ez平面 ABCD，结合已知建立空间直角坐标系，先求出平面 PCD 的法向量1n 以及 P

37、A，再由公式11PA ndn即可求解.（2）分别算出 PE 与平面 PBC 的法向量2n，再由公式22sinPE nPEn即可求解.（3）若/DM平面 PBC，则20DM n，而2n 在第二问中已经求出，所以只需设DMDEEMDEEP，待定系数即可求解.【小问 1 详解】作Ez平面 ABCD，又 BEAD，所以以,EB ED 的方向分别为 x 轴，y 轴的正方向，建立如下图所示的空间直角坐标系 Exyz：因为平面 PAD 平面 ABCD，平面 PAD 平面 ABCDAD，且 PAAD，PA 平面 PAD，所以 PA 平面 ABCD，又因为 E 为 AD 的中点，2PAAEBE，且 BECD，B

38、EAD，1CD ，所以由题意有 0,2,0,0,2,2,0,2,0,1,2,0APDC，所以有0,0,2,1,4,2,0,4,2,PAPCPD不妨设平面 PCD的法向量为1111,nx y z，所以有1100n PCn PD，即11111420420 xyzyz，取11y，解得10,1,2n，所以点 A 到平面 PCD的距离为122210 00 1224 55012PA ndn .【小问 2 详解】如图所示：由题意有0,0,0,0,2,2,2,0,0,1,2,0EPBC，所以有0,2,2,1,4,2,2,2,2,PEPCPB不妨设平面 PBC 的法向量为2222,nxyz，所以有2200nPC

39、nPB，即2222224202220 xyzxyz，取22x，解得22,1,3n，不妨设直线 PE 与平面 PBC 所成角为,0,2，所以直线 PE 与平面 PBC 所成角的正弦值为222222220 22 1237sin7022213PE nPEn ，所以直线 PE 与平面 PBC 所成角的余弦值为242cos1 sin7.【小问 3 详解】如图所示：由题意有0,0,0,0,2,2,0,2,0,EPD所以0,2,0,0,2,2DEEP，由题意不妨设,01EMEP，所以0,2,00,2,20,22,2DMDEEMDEEP，又由（2）可知平面 PBC 的法向量为22,1,3n，若/DM平面 PB

40、C，则20DM n，即 2260，解得12，所以当点 M 为 PE 的中点时，有/DM平面 PBC.22.设椭圆222210 xyabab的离心率为33，上、下顶点分别为 A，B，AB4过点(0,1)E，且斜率为 k 的直线 l 与 x 轴相交于点 F，与椭圆相交于 C，D 两点（1）求椭圆的方程；（2）若 FCDE，求 k 的值；（3）是否存在实数 k，使直线 AC 平行于直线 BD？证明你的结论【答案】（1）22164xy（2）63（3）不存在【解析】【分析】（1）直接由离心率和顶点坐标求解即可；（2）由 FCDE得到,CD EF 的中点重合，联立直线和椭圆方程，分别求出,CD EF 的中

41、点坐标，解方程即可；（3）假设存在，利用 ACBD建立等式，解出k 不存在即可.【小问 1 详解】由题意2222433bceaabc，解得62ab ，故椭圆的方程为22164xy；【小问 2 详解】由题意知，0k，直线l 的方程为1ykx，则1(,0)Fk，联立221641xyykx，可得222 3690kxkx，223636 2 30kk，设1122(,),(,)C x yD xy，有12122269,2323kxxx xkk，则CD 中点横坐标为1223223xxkk，又,(0,1),1(0)FkE，则 EF 中点横坐标为12k，又因为 FCDE，且,C E F D 四点共线，取 EF 中

42、点H，则 FHHE，所以HFHECDEF，即 HCDH，所以 H 是CD 的中点，即,CD EF 的中点重合，即231232kkk，解得63k .【小问 3 详解】不存在实数k，使直线 AC 平行于直线 BD，证明如下：由题意，(0,2),(0,2)AB，则1122,2,2ACx yBDxy，若 ACBD，则 ACBD，所以122122xyxy，即12211220 x yx yxx，即1221121120 x kxxkxxx，化简得121220 xxxx，213xx，由（2）得，12112266,32323kkxxxxkk，解得12323kxk，12112299,32323x xxxkk 解得212323xk，所以222332323kkk，整理得222 33kk，无解，所以不存在实数k，使直线 AC 平行于直线 BD.