北京市丰台区2022届高三上学期数学期末练习试题答案.docx

1、丰台区20212022学年度第一学期期末练习高三数学第一部分 （选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1. 若集合，或，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】画出数轴，求出交集.【详解】画出数轴，可以看出故选：B2. 在复平面内，与复数对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【分析】应用复数除法的运算法则，简化复数，最后确定复数对应的点的位置.【详解】,复数对应的点为，它在第四象限，故本题选D.【点睛】本题考查通过复数的除法运算法则，化简后判断复数对应的点的位

2、置.3. 已知等差数列的前项和为若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由，判断，结合前项和公式解出，进而得解.【详解】由知，解得，故.故选：A4. 下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】结合函数解析式直接判断奇偶性与单调性即可.【详解】对A，函数为单减的奇函数，故A错；对B，函数为单增的奇函数，故B正确；对C，函数为偶函数，但在单减，故C错；对D，函数非奇非偶，故D错.故选：B5. 已知是两个不同的平面，直线，那么“”是“”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也

3、不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据面面平行的判断和性质，结合充分条件和必要条件的定义即可得出答案.【详解】解：已知是两个不同的平面，直线，若，则，若，则相交或平行，所以“”是“”的充分而不必要条件.故选：A.6. 已知抛物线的焦点为，点在上 若是坐标原点，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】结合抛物线第一定义求出坐标，再由向量数量积公式即可求解.【详解】由可知，点，由得，故，所以.故选：A7. 为普及冬奥知识，某校在各班选拔部分学生进行冬奥知识竞赛 根据参赛学生的成绩，得到如图所示的频率分布直方图 若要对40%成绩较高的学生进行奖励，则获奖学生的最低成绩可能为（ ）

4、A. B. C. D. 95【答案】C【解析】【分析】根据频率分布直方图分别求出成绩在，的频率，进而得解.【详解】根据频率分布直方图可知，成绩在的频率为成绩在的频率为，又，所以40%成绩较高的学生的分数在之间，且最低分数为故选：C8. 已知函数，若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】函数有两个不同的零点，可转化为函数与直线有两个交点，作出函数图象，数形结合可得实数的取值范围.【详解】函数有两个不同的零点，即为函数与直线有两个交点，函数图象如图所示：所以，故选：D.9. 声强级（单位：dB）由公式给出，其中为声强（单位：） 人在正常说话

5、时，声强级大约在4060 dB之间，声强级超过60 dB的声音会对人的神经系统造成不同程度的伤害给出下列四个声强，其声强级在4060 dB之间的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由题设列不等式，应用对数运算性质求的范围，即可判断.【详解】由题设，则，而.故选：C.10. 已知函数在区间上有且仅有4条对称轴，给出下列四个结论：在区间上有且仅有3个不同的零点；的最小正周期可能是；的取值范围是；在区间上单调递增其中所有正确结论的序号是（ ）A B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】令，则，由函数在区间上有且仅有4条对称轴，即有4个整数符合，可求出判断，再利用三角函数的性

6、质可依次判断.【详解】由函数， 令，则函数在区间上有且仅有4条对称轴，即有4个整数符合，由，得，则，即，故正确；对于，当时，在区间上有且仅有3个不同的零点；当时，在区间上有且仅有4个不同的零点；故错误；对于，周期，由，则，又，所以的最小正周期可能是，故正确；对于，又，又，所以在区间上不一定单调递增，故错误故正确结论的序号是：故选：B【点睛】方法点睛：函数的性质：(1) .(2)周期(3)由 求对称轴，由求对称中心.(4)由求增区间；由求减区间.第二部分 （非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分11. 在展开式中，的系数为_用数字作答【答案】80【解析】【分析】利用二项展

7、开式的通项公式求出展开式的通项，令，求出展开式中的系数【详解】二项展开式的通项为 令得的系数为 故答案为80【点睛】利用二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具12. 在平面直角坐标系中，角以为始边，它的终边与以原点为圆心的单位圆交于点，则_【答案】#0.6【解析】【分析】先根据三角函数定义求得，再使用诱导公式进行求解.【详解】根据三角函数定义可得：，由诱导公式得：.故答案为：13. 已知双曲线的离心率为，的焦点到其渐近线的距离为5，则_【答案】#2.5【解析】【分析】由离心率得关系，结合点到直线距离公式，由焦点到其渐近线的距离得，结合关系式，即可求解.【详解】由题可知，设双曲线

8、一条渐近线为，即，结合点到直线距离公式，得，即，又因为，联立解得.故答案为：14. 设是等比数列，能够说明“若，则”是假命题的一组和公比的值依次为_【答案】，(答案不唯一)【解析】【分析】采用赋值法可直接求解.【详解】若令，则，故满足.故答案为：，15. 已知点和圆上两个不同的点，满足，是弦的中点，给出下列四个结论：的最小值是4；点的轨迹是一个圆；若点，点，则存点，使得；面积的最大值是其中所有正确结论序号是_【答案】【解析】【分析】可以通过设出圆的参数方程，进行求解；设出，找到等量关系，建立方程，求出点的轨迹方程，即可说明；转化为两圆是否有交点，说明是否存在点；当斜率分别为1和-1时，且点P，

9、M在y轴左侧，此时面积最大，求出最大值.【详解】点在圆上，设，则，当时，取得最小值，最小值为4，正确；设点，则由题意得：，则，整理得：，所以点的轨迹是一个圆，正确；为以为直径的圆，圆心为，半径为1，方程为：，下面判断此圆与点的轨迹方程是否有交点，由于，两圆相离，故不存在点，使得，错误；当斜率分别为1和-1时，且点P，M在y轴左侧，此时为等腰直角三角形，面积最大，此时，正确.故答案为：【点睛】轨迹方程问题，一般处理思路，直接法，定义法，相关点法以及交轨法，要能结合题目特征选择合适的方法进行求解.三、解答题共6小题，共85分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程16. 在中，再从条件、条件这两个条

10、件中选择一个作为已知（1）求；（2）求的面积条件：；条件：注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分【答案】（1）选答案相同，； （2）选答案相同，的面积为.【解析】【分析】（1）选，用余弦定理得到，从而得到答案；选：先用余弦定理求出，再用余弦定理求出，得到答案；（2）选，先求出，使用面积公式即可；选：先用求出，再使用面积公式即可.【小问1详解】选条件：在中，因为，由余弦定理，得因为，所以；选条件：由余弦定理得：，解得：或（舍去）由余弦定理，得因为，所以；【小问2详解】选条件：由（1）可得所以的面积选条件： 由（1）可得因为，所以的面积 17. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面平面，

11、为棱的中点，（1）求证：平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值；（3）求直线到平面的距离【答案】（1）证明见解析 （2） （3）【解析】【分析】（1）由面面垂直的性质得到线面垂直；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量进行求解两平面的夹角余弦值；（3）先用空间向量证明出线面平行，先用空间向量求解点到平面距离.【小问1详解】证明：因为平面平面，平面平面，平面，所以平面【小问2详解】因为底面为正方形，平面，所以，两两互相垂直如图，建立空间直角坐标系因为，所以，.因为平面，所以为平面的一个法向量设平面的一个法向量为，则，即令，则于是设平面与平面的夹角为，所以.即平面与平面夹角的余弦值为 【小问3详解】

12、由（2）知，平面的法向量为，因为，且平面，所以PB平面ACQ所以点到平面的距离即为直线到平面的距离因，所以点到平面的距离为，即直线到平面的距离为 18. 为了弘扬中华优秀传统文化，加强对学生的美育教育，某校开展了为期5天的传统艺术活动，从第1天至第5天依次开展“书画”、“古琴”、“汉服”、“戏曲”、“面塑”共5项传统艺术活动，每名学生至少选择其中一项进行体验 为了解该校上述活动的开展情况，现从高一、高二、高三学生中各随机选取了100名学生作为样本进行调查，调查数据如下表：传统艺术活动第1天第2天第3天第4天第5天书画古琴汉服戏曲面塑高一体验人数8045552045高二体验人数406060804

13、0高三体验人数1550407530（1）从样本中随机选取1名学生，求这名学生体验戏曲活动的概率；（2）通过样本估计该校全体学生选择传统艺术活动的情况， 现随机选择3项传统艺术活动，设选择的3项活动中体验人数超过该校学生人数50%的有项，求的分布列和数学期望；（3）为了解不同年级学生对各项传统艺术活动的喜爱程度，现从高一、高二、高三样本中各随机选取1名学生进行访谈 设这3名学生均选择了第天传统艺术活动的概率为，写出的大小关系【答案】（1） （2）分布列见解析；期望为 （3）【解析】【分析】（1）结合古典概型可直接求解；（2）先判断取值为1,2,3，再结合超几何分布求解对应分布列和数学期望即可；（

14、3）结合相互独立事件概率公式求出，即可判断大小.【小问1详解】由题意知，样本中学生共有100+100+100=300人，其中体验戏曲活动的学生共20+80+75=175人，设事件A为“从样本学生中随机选取1名学生，这名学生体验戏曲活动”，故所求概率为；【小问2详解】由题意知，体验人数超过该校学生人数50%的传统艺术活动有古琴、汉服、戏曲3项，的所有可能值为1，2，3，所以的分布列为：123故的数学期望；【小问3详解】由题可知，故19. 已知函数且（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若恒成立，求的取值范围【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）求出函数的导数，再根据导数的几何意义可得切

15、线的斜率，再利用直线的点斜式方程即可得出答案；（2）恒成立，只要即可，利用导数，两种情况讨论，求出函数的最小值，即可得出答案.【小问1详解】解：当时，因为，所以，又因为，所以曲线在点处的切线方程为，即；【小问2详解】解：因为且，所以，当时，所以在上单调递增，取，则，不符合题意，当时，令，解得或（舍），当时，所以在区间上单调递减，当时，所以在区间上单调递增，所以在上的最小值为，若恒成立，只需，解得，综上可知，的取值范围是20. 已知椭圆过点，离心率为（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的右顶点为，过点的直线与椭圆交于不同的两点，（均异于点），直线，分别与直线交于点， 求证：为定值【答案】（1） （2

16、）证明见解析【解析】【分析】(1)根据椭圆的离心率,以及椭圆过点,列出相应的等式,解方程组可得答案.（2）设直线l的方程，与椭圆方程联立，得到根与系数的关系式，然后求出点P,Q的坐标，进而表示出，将，代入化简即可得结论.【小问1详解】由题意得解得，所以椭圆的方程是.【小问2详解】由题意知，直线的斜率存在设直线的方程为（），由，得，则，依题意，解得因为点的坐标为，所以直线的方程为令，得点的纵坐标为，所以同理，可得于是，所以为定值6.21. 若有穷数列且满足，则称为M数列（1）判断下列数列是否为M数列，并说明理由； 1，2，4，3 4，2，8，1（2）已知M数列中各项互不相同 令，求证：数列是等差

17、数列的充分必要条件是数列是常数列；（3）已知M数列是且个连续正整数的一个排列若，求的所有取值【答案】（1）数列不是M数列；数列是M数列；理由见解析 （2）证明见解析 （3）的所有取值为4或5【解析】【分析】（1）直接根据条件检验即可；（2）先判断必要性，若数列是等差数列，设公差为，可得数列是常数列再判断充分性，若数列是常数列，可得，进而可得是等差数列；（3）先判断不符合题意，符合题意，进而证明不符合题意，令，可得有三种可能：； ；当，根据（2）的结论排除这3种可能性，则可得答案.【小问1详解】因为，所以该数列不是M数列；因为，所以该数列是M数列【小问2详解】必要性：若数列是等差数列，设公差为，

18、则所以数列是常数列充分性：若数列是常数列，则，即所以或因为数列的各项互不相同，所以所以数列是等差数列【小问3详解】当时，因为，所以，不符合题意；当时，数列为此时，符合题意；当时，数列为此时，符合题意；下证当时，不存在满足题意令，则，且，所以有以下三种可能：； ；当时，因为，由（2）知：是公差为1（或1）的等差数列当公差为1时，由得或，所以或，与已知矛盾当公差为1时，同理得出与已知矛盾所以当时，不存在满足题意其它情况同理可得综上可知，的所有取值为4或5【点睛】方法点睛：1、对于数列种的新定义问题，一定要理解新数列的性质后才能解题，充分利用新数列的定义去解答问题.2、对于第三问，可能的取值必然不多，那么可以通过尝试取值，然后找到规律和方法来解决问题.