北师大版八年级上册　　2.2.2　平方根（教案）.docx

1、2.2.2平方根教学目标知识与技能：1.了解数的平方根、开平方的概念,会用根号表示一个非负数的平方根.2.了解开方与乘方是互逆的运算,会利用这个互逆的关系求某些非负数的平方根.过程与方法：经历平方根概念的形成过程,发展求同和求异的思想,通过比较,提高思考问题、辨析问题的能力.情感态度与价值观：在学习的过程中,养成严谨的科学态度.教学重难点重点：1.数的平方根的概念,会用根号表示一个非负数的平方根.2.(a)2=a(a0)的得出和应用.难点：1.开方与乘方是互逆的运算,会利用这个互逆的关系求某些非负数的平方根.2.(a)2=a(a0)和a2=|a|的区别和联系.教学准备教师准备：练习题的多媒体课

2、件.学生准备：复习算术平方根的概念.教学过程一、 导入新课过渡语上节学习了算术平方根,首先我们复习一下.导入一:1.什么叫算术平方根?3的平方等于9,那么9的算术平方根就是3.25的平方等于 425,那么425的算术平方根就是25.展厅的地面为正方形,其面积为49平方米,则其边长为7米.2.到目前为止,我们已学过哪些运算?这些运算之间的关系如何?平方有没有逆运算? 平方与算术平方根之间是什么关系?【例如】正方形ABCD的面积为1,则边长为1.将它扩展,若其面积变为原来的2倍,则边长为2;若其面积变为原来的3倍,则边长为3;若其面积变为原来的n倍,则边长为n.导入二:【问题】平方等于9,425,

3、49的数还有吗?回忆在七年级学习有理数的平方时,我们是如何找到平方等于9,425,49的数的?根据平方的定义,32=9,(-3)2=9,252=425,-252=425,72=49,(-7)2=49.设计意图这一环节主要是复习旧知识和提出问题,由上节课的“算术平方根”的求法使学生能明白“平方”和“算术平方根”的关系,让学生在几何图形中认识、熟悉它们的互化关系.并把上节课的思考题制作成Flash情景引入,增加动画效果. 借助多媒体吸引学生的注意力,激发学生的学习兴趣.【说明】数学知识源于生活,并服务于生活.这两种方法通过生活中的具体问题激发学生的学习兴趣,并让他们产生解决问题的强烈欲望.二、构建

4、新知一、共同探究思路一：过渡语根据我们的实践,平方为9的数不只有3,那请同学们填写下面的空.填空.形成概念:一般地,如果一个数x的平方等于a,即x2=a,那么这个数x就叫做a的平方根(也叫做二次方根).表达式为:若x2=a,则x叫做a的平方根.记作a.【例如】(4)2 =16,则+4和-4都是16的平方根,即16的平方根是4.4是16的算术平方根.【结论】一个正数有两个平方根;0只有一个平方根,它是0本身;负数没有平方根.【定义】求一个数a的平方根的运算,叫做开平方,a叫做被开方数.思路二:前面我们学习算术平方根,知道9的算术平方根是3,根据七年级我们学过的平方的意义,-3的平方也是9,也就是

5、说,平方为9的数有两个:3和-3.一个正数a的算术平方根有一个,通过进一步的思考知道平方为a的数有两个,另外一个我们也不能把它给丢了,今天再学习一个平方根的概念.过渡语知道了平方根的定义,和我们上一节学习的算术平方根的联系和区别是什么呢?给出几组具体的数据,由平方探知开平方与平方的互逆关系.平方根与算术平方根的联系与区别.【联系】1.包含关系:平方根包含算术平方根,算术平方根是平方根的一种.2.只有非负数才有平方根和算术平方根.3.0的平方根是0,算术平方根也是0.【区别】1.个数不同:一个正数有两个平方根,但只有一个算术平方根.2.表示法不同:平方根表示为 a,而算术平方根表示为a.设计意图

6、形成“平方根”的概念.在列举一些具体数据的感性认识的基础上,由平方运算反推出平方根的概念和定义,并让学生非常熟练地进行平方和平方根之间的互化,并明白它们之间的互逆关系,辨析概念 “平方根”与 “算术平方根”的区别与联系,使之与上节课紧密联系. 由于遵循了从具体到抽象的过程,注重学生原有认知基础的回顾,并和原有的概念进行了比较与辨析,因此,学生对这一抽象的概念掌握得比较牢靠.【说明】平方根与算术平方根的区别是本节课的一大难点,也是学生经常容易出错的地方.对这两个概念加以比较与区别有利于学生的理解与掌握.二、例题讲解(教材例3)求下列各数的平方根.(1)64;(2)49121;(3)0.0004;

7、(4)(-25)2;(5) 11.解:(1)因为(8)2=64,所以64的平方根是8,即64=8.(2)因为7112=49121,所以49121的平方根是711,即 49121=711.(3)因为(0.02)2=0.0004,所以0.0004的平方根是0.02,即0.0004=0.02.(4)因为(25)2=(-25)2,所以(-25)2的平方根是25, 即(-25)2=25.(5)11的平方根是11.设计意图通过例题的讲解,要求学生能正确掌握平方根的文字说理及符号化的表达.能熟练地求出一个数的平方根,然后由题中的数据探索出正数、0、负数的平方根的个数.知识拓展平方根的性质:(1)一个正数a有

8、两个平方根,一个是a的算术平方根“a”,另一个是“-a”,它们互为相反数,合起来记作“a”,读作“正、负根号a”.例如:5的平方根是5.(2)0的平方根是0.(3)负数没有平方根.三、课堂总结1.平方根的概念:若x2=a,则x叫做a的平方根,x=a.2.平方根的个数:正数有2个平方根,0的平方根是0,负数没有平方根.3.平方与开平方之间的关系.4.求平方根的方法:求一个数的平方根就是转化为寻找哪个数的平方等于这个数.四、课堂练习1.(-5)2的平方根是,81的算术平方根是,49的平方根是.答案:53232.(64)2=,(-5)2=,64=,0.04=.答案:64580.23.a2=,当a0时

9、,(a)2=.答案:|a|a4.下列说法正确的是.-3是81的一个平方根;25的平方根是5;-36的平方根是-6;平方根等于0的数是0;64的平方根是8.答案:5.下列说法不正确的是()A.0的平方根是0 B.(-2)2的平方根是2C.负数的平方根互为相反数D.一个正数的算术平方根一定大于这个数的相反数 答案:C五、板书设计2.2.2平方根1.平方根.2.平方根与算术平方根的联系与区别.3.例题讲解.六、布置作业一、教材作业【必做题】教材随堂练习第1,2题.【选做题】教材习题2.4第6题.二、课后作业【基础巩固】1.代数式x2+1,x,|y|,(m-1)2中,一定是正数的有()A.1个B.2个

10、C.3个D.4个2.下列说法中,错误的是()A.4的算术平方根是2 B.81的平方根是3C.121的平方根是11 D.-1的平方根是13.(-6)2的算术平方根是.4.2的平方根是.5.若a2=-a,则a0.6.求279的平方根和算术平方根.【能力提升】7.求下列各式中的x.(1)(x-1)2=4;(2)4x2-2=14.8.5+11的小数部分为a,5-11的小数部分为b,求a+b的值.【拓展探究】9.如果一个非负数的平方根是2a+1与a-3,求a的值.10.已知ABC的三边长分别为a,b,c,且a,b,c满足a-3+|b-4|+c2-6c+9=0,试判断ABC的形状,并求ABC的周长.11.

11、已知实数a,b满足b2+a-4+9=6b.(1)若a,b为ABC的两边长,求第三边长c的取值范围;(2)若a,b为ABC的两边长,第三边长c等于5,求ABC的面积.【答案与解析】1.A(解析:只有x2+1一定是正数.)2.D(解析:负数没有平方根.)3.6(解析:(-6)2=36.)4.2(解析:根据平方根的定义解题.)5.(解析:当a0时,a2=a;当a0时,a2=-a.等号在a0上也可以.)6.解:279=259,259的平方根为53,259的算术平方根为53.7.解:(1)x-1=2,所以x=3或-1.(2)4x2=16,x2=4,x=2.8.解:因为3114 ,所以5+11的整数部分为

12、8,5-11的整数部分为1,所以5+11的小数部分a=5+11-8=11-3,5-11的小数部分b=5-11-1=4-11,所以a+b=11-3+4-11=1.9.解:因为一个非负数的平方根是2a+1与a-3,由平方根的性质,得2a+1+a-3=0,所以a=23.10.解:ABC为等腰三角形.理由如下:由a-3+|b-4|+c2-6c+9=0,得a-3+|b-4|+(c-3)2=0,由非负数的性质,得a-3=0,b-4=0,c-3=0,解得a=3,b=4,c=3,所以ABC为等腰三角形,周长为10.11.解:(1)b2+a-4+9=6b,整理得(b-3)2+a-4=0,所以b=3,a=4,所以

13、第三边长c的取值范围为1c7.(2)由勾股定理的逆定理,得ABC为直角三角形,a,b为直角边长,所以ABC的面积为6.教学反思本节课注重概念的形成过程,让学生在概念的形成过程中,逐步理解所学的概念.经过分析,掌握其本质特征、概念的形成过程,对提高学生的思维水平是很必要的.所以在学习平方根的概念时,对正数有两个平方根学生不太容易接受,往往丢掉负的平方根,为此,在平方根的引入时,多提了一些具体的问题,引起学生的思考,让学生从具体的例子中抽象出初步的平方根的概念.本节课只安排了一道例题和几个想一想,围绕“平方根”这一知识点进行各种题型的变式练习,可能有的学生不能很好地掌握平方根这一概念.“平方根”这

14、一知识点不易理解和掌握,对此可以进行各种题型的变式练习.当然,选题要有层次,有梯度.教材习题答案随堂练习(教材第29页)1.解:1.44=1.2,0=0,8, 10049=107,441=21,196=14,10-4=1100.2.(1)5(2)5(3)53.解:当a=5,b=12时,a2+b2=52+122=13.习题2.4(教材第29页)1.解:它们的平方根依次是13,10-3,47,32,18.2.提示:(1)19.(2)-11.(3)14或-14.3.解:(1)x=59.(2)x=6.4.解:(1)4.(2)4.(3)0.8.5.解:当c=25,b=24时,(c+b)(c-b)=(25

15、+24)(25-24)=49=7.6.解:不一定.当a0时,a2=a;当a0时,a2=-a.素材例1：已知x-12+(y+2)2+ z+32=0,求x+y+z的值.解:因为x-120,(y+2)20, z+320,且x-12+(y+2)2+ z+32=0 ,所以x-12=0,(y+2)2=0, z+32=0,解得x=12,y=-2,z=-32,所以x+y+z=-3.例2：若x,y满足2x-1+1-2x+y=5,求xy的值.解:因为2x-10,1-2x0,所以 2x-1=0,解得 x=12.当 x=12时,y=5,所以 xy=125=52.例3：求x+x-5=5中的x.解:因为x-50,x-5=5-x0 ,所以x=5.例4：ABC的三边长分别为a,b,c,且a,b满足a-1+b2-4b+4=0,求c的取值范围.解:由a-1+b2-4b+4=0,可得a-1+(b-2)2=0.因为 a-10,(b-2)20,所以a-1=0,(b-2)2=0,所以a=1,b=2.由三角形三边关系定理有b-acb+a,即1c3.例5：设a,b,c都是实数,且满足(2-a)2+a2+b+c+|c+8|=0,ax2+bx+c=0,求式子x2+2x的算术平方根.解:由题意得2-a=0,a2+b+c=0,c+8=0,a=2,c=-8,b=4,2x2+4x-8=0,x2+2x=4,式子x2+2x的算术平方根为2.