四川省宜宾市叙州区第二中学2022-2023学年高二文科数学下学期期中试题（Word版附解析）.docx

1、叙州区第二中学2023年春期高二期中考试数学（文史类）第I卷 选择题（60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 某学校有高一、高二、高三三个年级，已知高一、高二、高三的学生数之比为，现用分层抽样抽取一个容量为的样本，从高一学生中用简单随机抽样抽取样本时，学生甲被抽到的概率为，则该学校学生的总数为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】求出整个抽样过程中，每个学生被抽到的概率为，结合样本容量为可求得该学校学生的总数.【详解】从高一学生中用简单随机抽样抽取样本时，学生甲被抽到的概率为，所以，在整个抽样过程中，每

2、个学生被抽到的概率为，所以，从该学校中抽取一个容量为的样本时，则该学校学生的总数为.故选：B.【点睛】本题考查利用分层抽样计算总容量，考查计算能力，属于基础题.2. 命题“”的否定是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据特称命题的否定是全称命题即可求解.【详解】命题“”的否定是 “”.故选：A.3. 复数（i为虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】【分析】先对复数化简计算，然后再判断其在复平面内对应的点所在的位置【详解】因为，所以复数在复平面内对应的点位于第二象限，故选：B4. 用电脑每次可以从区间

3、内自动生成一个实数，且每次生成每个实数都是等可能性的，若用该电脑连续生成3个实数，则这3个实数都大于的概率为A. B. C. D. 【答案】C【解析】【详解】由题意可得：每个实数都大于的概率为，则3个实数都大于的概率为.本题选择C选项.5. 如图，某系统使用，三种不同的元件连接而成，每个元件是否正常工作互不影响当元件正常工作且，中至少有一个正常工作时系统即可正常工作若元件，正常工作的概率分别为0.7，0.9，0.8，则系统正常工作的概率为（ ）A. 0.196B. 0.504C. 0.686D. 0.994【答案】C【解析】【分析】由题意分析，列举出系统能正常工作的基本事件，应用概率的加法公式

4、求概率即可.【详解】由题意知：系统能正常工作的基本事件有A、B和C正常工作，A、B正常工作而C不正常工作，A、C正常工作而B不正常工作，A、B和C正常工作的概率为：；A、B正常工作而C不正常工作的概率为；A、C正常工作而B不正常工作的概率为；系统正常工作的概率.故选：C.6. 已知正四棱柱中，为中点，则异面直线与所形成角的余弦值为A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线与所形成角的余弦值【详解】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，设，则，设异面直线与所形成角为，则.异面直线与所形成角的余弦值为.故选A

5、【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题7. 通过加强对野生动物的栖息地保护和拯教繁育，某濒危野生动物的数量不断增长，根据调查研究，该野生动物的数量（t的单位：年），其中K为栖息地所能承受该野生动物的最大数量.当时，该野生动物的濒危程度降到较为安全的级别，此时约为（）（）A. 9B. 10C. 11D. 12【答案】C【解析】【分析】利用列方程，结合对数运算求得.【详解】解析根据题意，所以，所以，所以，得.故选:C8. 已知命题p：点在圆内，则直线与C相离；命题q：直线直线m，/平面，则.下列命

6、题正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】分析真假性后判断选项【详解】对于命题p，点在圆内，则，故圆心到直线距离，直线与圆相离，为真命题，对于命题q， 与位置关系不确定，为假命题，选项中只有为真命题故选：B9. 已知直线l分别与函数和的图象都相切，且切点的横坐标分别为，则（ ）A. eB. C. 1D. 2【答案】C【解析】【分析】设l与的切点为，与的切点为，利用斜率相等即可建立方程求出.【详解】设l与的切点为，与的切点为，公切线的斜率：，可得：， 所以，故选：C.【点睛】本题考查直线与曲线相切问题，利用直线的斜率等于在切点处的导数值可建立等量关系求解，属于中档题.10

7、. 已知椭圆()的右焦点为，离心率为，过点的直线交椭圆于，两点，若的中点为，则直线的斜率为（ ）A. B. C. D. 1【答案】A【解析】【分析】根据中点坐标公式、椭圆离心率公式，结合点差法进行求解即可.【详解】解：设，则的中点坐标为，由题意可得，将，的坐标的代入椭圆的方程：，作差可得，所以，又因为离心率，所以，所以，即直线的斜率为，故选：A.11. 已知F2，F1是双曲线的上，下两个焦点，点F2关于渐近线的对称点恰好落在以F1为圆心，|OF1|为半径的圆上，则双曲线的离心率为A. 2B. C. 3D. 【答案】A【解析】【分析】先求出点F2关于渐近线的对称点坐标，再代入以F1为圆心，|OF

8、1|为半径的圆方程中，解得离心率.【详解】设点F2关于渐近线的对称点为，由已知得，解得，又以F1为圆心，|OF1|为半径圆的方程为，把点M的坐标代入上式得，又，所以，解得故选：A12. 已知定义在上的函数满足，当时，则的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】构造函数，根据题意可得的图像关于x=1对称，即得关于x=1对称，再由，可得在时的单调性，最后化简题中不等式为，根据单调性与对称性化简不等式得，解不等式可得结果.【详解】令因为函数满足，所以的图像关于x=1对称，关于x=1对称，又，所以当时，即在上单调递减，根据对称性得，在上单调递增，因此 化简可得，解得. 故选：A【

9、点睛】本题考查函数单调性，对称性的综合应用，难点在于构造函数，考查分析理解，计算化简的能力，属较难题.第II卷 非选择题（90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13. 函数的单调减区间为_.【答案】【解析】【分析】求函数的定义域，然后解不等式，可求得函数的单调递减区间.【详解】函数的定义域为，解不等式，即，解得.因此，函数的单调递减区间为.故答案为：【点睛】本题考查利用导数求函数单调区间，不要忽略了函数定义域的求解，考查计算能力，属于基础题.14. 设满足约束条件，则目标函数的最大值为_【答案】3【解析】【分析】作出约束条件所表示的平面区域，结合图象确定函数的最优解，解求解目标

10、函数的最大值，得到答案【详解】由题意，作出约束条件表示的平面区域，如图所示，目标函数，可化为直线，当直线过点A时，直线在y轴上的截距最大，此时目标函数取得最大值，又由，解得，所以目标函数的最大值为【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题15. 已知A、B、C、D为空间不共面的四个点，且，则当三棱锥体积最大时，其外接球的表面积为_【答案】【解析】【分析】由题可得当BA、BC、BD两两垂直时，三棱锥的体积最大，将三棱锥补形为一个长宽高

11、分别为，的长方体，即得.【详解】当BA、BC、BD两两垂直时，如图三棱锥的底面的面积和高同时取得最大值，则三棱锥的体积最大，此时将三棱锥补形为一个长宽高分别为，的长方体，长方体的外接球即为三棱锥的外接球，球的半径，表面积为故答案为：.16. 过点的直线与抛物线交于，两点，线段的垂直平分线经过点，为抛物线的焦点，则的值为_【答案】6【解析】【详解】设AB的中点为H，抛物线的焦点为，准线为，设A、B、H在准线上的射影为，则，由抛物线的定义可得， ，过的直线设为，与 联立得： ， ，计算得出 且 ，又 ，AB的中点为 线段AB的垂直平分线过点方程为过中点，则 ， ，解出或（舍去），则 ， ，则三、解

12、答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17. 我们国家正处于老龄化社会中，老有所依也是政府的民生工程某市共有户籍人口400万，其中老人（年龄60岁及以上）人数约有66万，为了了解老人们的健康状况，政府从老人中随机抽取600人并委托医疗机构免费为他们进行健康评估，健康状况共分为不能自理、不健康尚能自理、基本健康、健康四个等级，并以80岁为界限分成两个群体进行统计，样本分布被制作成如下图表： （1）若采用分层抽样的方法再从样本中的不能自理的老人中抽取16人进一步了解他们的生活

13、状况，则两个群体中各应抽取多少人？（2）估算该市80岁及以上长者占全市户籍人口的百分比；（3）政府计划为80岁及以上长者或生活不能自理的老人每人购买1000元/年的医疗保险，为其余老人每人购买600元/年的医疗保险，不可重复享受，试估计政府执行此计划的年度预算【答案】（1）抽取人中不能自理的岁及以上长者人数为6人，岁以下长者人数为人； （2）； （3）约为4.51亿元.【解析】【分析】（1）从图表中求出不能自理的80岁及以上长者占比，由此能求出抽取16人中不能自理的80岁及以上长者人数为（2）求出在600人中80岁及以上长者在老人中占比，用样本估计总体，能求出80岁及以上长者占户籍人口的百分比

14、（3）用样本估计总体，计算抽样的600人的预算，进而能估计政府执行此计划的年度预算【小问1详解】数据整理如下表：健康状况健康基本健康不健康尚能自理不能自理80岁及以上2045201580岁以下2002255025从图表中知不能自理的岁及以上长者比为：，故抽取人中不能自理的岁及以上长者人数为人，岁以下长者人数为人；【小问2详解】在人中岁及以上长者在老人中占比为：，用样本估计总体，岁及以上长者共有万，岁及以上长者占户籍人口的百分比为=；【小问3详解】先计算抽样的600人的预算，其中享受1000元/年的人数为人，享受600元/年的人数为人，预算为：元用样本估计总体，全市老人的总预算为元，所以政府执行

15、此计划的年度预算约为4.51亿元.18. 已知函数在处取得极值，（1）求的值及的单调区间；（2）若函数在区间上的最大值为，求实数的值.【答案】（1），函数的单调递增区间是，函数的单调递减区间是.（2）【解析】【分析】（1）根据是函数的极值点，得到，解得，再根据导数得到函数的单调区间；（2）根据函数的单调性和极值点，得到，解得的值.【详解】解析：（1）函数所以，因为在处取得极值，可得，即，解得，所以令，解得或，令，解得所以函数的单调递增区间是，函数单调递减区间是.（2）由（1）知，为递增，递减，所以的最大值取，中的较大者又由于所以，即整理得，解得.【点睛】本题考查根据极值点求参数的值，利用导数研

16、究函数的单调性，根据函数的最值求参数的值，属于中档题.19. 在如图所示的空间几何体中，两等边三角形与互相垂直，和平面所成的角为，且点在平面上的射影落在的平分线上.（1）求证：平面；（2）求点到平面的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）取的中点，连接，根据等边三角形的性质可知平面，作平面，那么，通过计算证明四边形是平行四边形，故，由此可得平面；（2）设点B到平面ADE的距离为,由，计算即可得解.【详解】（1）取中点，连接，由题知，为的平分线，设点是点在平面上的射影，由题知，点在上，连接，则平面.平面平面，平面平面，平面，平面,.和平面所成的角为，即，,又，四边形为平行

17、四边形，.平面，平面，平面（2）设点B到平面ADE的距离为由得：解得.20. 已知椭圆的离心率，左、右焦点分别为，点，点在线段的中垂线上 （1）求椭圆的方程； （2）设直线与椭圆交于两点，直线与的倾斜角分别为，且，求证：直线过定点，并求该定点的坐标【答案】（1）（2）直线过定点，该定点的坐标为【解析】【详解】试题分析：（1）由已知得，解方程即可得解；（2）设直线MN方程为y=kx+m，与椭圆联立得设，由此利用韦达定理结合已知条件能求出直线MN的方程为y=k（x-2），从而能证明直线MN过定点（2，0）试题解析：（1）由椭圆的离心率得，其中， ，解得， 椭圆的方程为（2）由题意，知直线存在斜率，

18、设其方程为由 消去，得设， 则， 即，.且 由已知，得,即化简，得 整理得直线的方程为，因此直线过定点，该定点的坐标为点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.21. 已知函数.（1）求在点处切线方程；（2）若存在，满足成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）；【解析】【分析】（1）求导得到，计算，根据切线方程公式得到答案.（2）变换得到，求导得到函数

19、的单调性，计算函数的最大值得到答案.【详解】（1），所以，所以在点处的切线方程为：，即；（2）由题意，即，令，得.因为时，时，所以在上减，在上增，又时，所以的最大值在区间端点处取到.而，所以，所以在上最大值为，故的取值范围是.【点睛】本题考查了切线方程，能成立问题，将能成立问题转化为函数的最值问题是解题的关键.（二）选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分（选修4-4 极坐标与参数方程）22. 在直角坐标系中，以坐标原点为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线的极坐标方程为，曲线C的极坐标方程为.（1）写出直线和曲线C的直角坐标方程；（2）已知

20、点，若直线与画线C交于两点，求的值.【答案】（1）直线的直角坐标方程为，曲线C的直角坐标方程为 （2）【解析】【分析】（1）由三角恒等变换结合得出直线和曲线C的直角坐标方程；（2）由直线参数方程与曲线C的直角坐标方程联立，由其几何意义以及韦达定理进行求解.【小问1详解】可化为，即即直线的直角坐标方程为可化为，即曲线C直角坐标方程为【小问2详解】因为在直线上，所以直线的参数方程为（为参数）将其代入，整理得设对应的参数为，则（选修4-5：不等式选讲）23. 已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若的解集包含，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）函数化简为分段函数分别解不等式得到答案.（2）题目等价于当时不等式恒成立，得到不等式，求的最小值得到答案.【详解】（1），由，解得，故不等式的解集是；（2）的解集包含，即当时不等式恒成立，当时，即，因为，所以，令，易知在上单调递增，所以的最小值为，因此，即的取值范围为.