四川省宜宾市叙州区第二中学2023届高三数学（理）适应性考试试题（Word版附解析）.docx

1、叙州区二中高2020级高考适应性考试数学（理工类）第I卷 选择题（60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 已知集合，则下列判断正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】用列举法写出集合，再根据集合间的关系与集合的交集运算求解即可【详解】解：，故选：D2. 已知复数，其中为虚数单位，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】本题首先可根据复数的除法运算得出，然后通过共轭复数的性质得出，最后两者相加，即可得出结果.【详解】因为，所以，故选：D.3. 空气质量指数(AQI)是描述空气清洁或者

2、污染的程度，是对二氧化硫、二氧化氮、PM10、PM2.5、一氧化碳和臭氧这6项污染物的统一评价.AQI在空气为优，在空气为良，在为轻度污染，在为中度污染，在为重度污染，300以上为严重污染.如图为我国34个省级行政区某日的AQI数据条形图.给出下列结论：当日超过半数以上的省级行政区空气为良；当日省级行政区空气被污染的比例超过20%；当日我国各省级行政区AQI的平均值小于100(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表).其中正确的个数为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】【分析】利用我国34个省级行政区某日的AQI数据条形图中的数据对3个命题分别经观察、计算、比较而得解.【详

3、解】由图中数据可知，34个省级行政区中空气为良的有18个，故正确；空气被污染的省级行政区个数为5+1=6，故不正确；当日我国34个省级行政区AQI的平均值为，故正确，共有2个正确的命题.故选：C4. “三个臭皮匠顶个诸葛亮”是一句俗语，比喻人多智慧多假设每个“臭皮匠”单独解决某个问题的概率均为，现让三个“臭皮匠”分别独立处理这个问题，则至少有一人解决该问题的概率为（ ）A. B. C. D. 0936【答案】D【解析】【分析】由相互独立事件的概率公式可得三个臭皮匠都没有解决问题的概率，由对立事件的概率性质计算可得答案.【详解】“至少有一人解决该问题”的对立事件为“三人都未解决”，故所求的概率为

4、故选：D5. 已知实数，满足约束条件，则的最大值为（ ）A. B. C. 1D. 2【答案】C【解析】【分析】作出可行域，当目标函数过点时取得最大值，最大值为.【详解】解：由约束条件作出可行域如图，由图可知，当直线过时，直线在轴上的截距最大所以联立方程，解得：，所以的最大值为：，即：有最大值1故选：C6. 若为实数，则“”是“”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】D【解析】【详解】若“0ab1”，当a，b均小于0时，b即“0ab1”“b”为假命题；若“b当a0时，ab1，即“b”“0ab1”为假命题，综上“0ab1”是“b”的既不充分也

5、不必要条件，故选D7. 函数的图象大致是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据函数为偶函数，以及在时的单调性即可由排除法解出【详解】因为函数的定义域为，而，所以函数为偶函数，其图象关于轴对称，所以错误；当时，由可得，所以函数在上递减，在上递增，所以错误；而，排除，所以正确故选：D8. 在等差数列an中，若a6+a10=18，a3+a5+a13=12，则使an100成立的正整数n的最小值为（ ）A. 24B. 25C. 26D. 27【答案】D【解析】【分析】由已知建立关于首项和公差的方程组，解之可求得数列的通项，由此可得选项【详解】解：设等差数列an的公差为，在等差数列a

6、n中，a6+a10=18，a3+a5+a13=12，解得a1=26，d=5，an=26+5(n1)=5n31，由5n31100，得，使an100成立的正整数n的最小值为27故选：D9. 已知函数，且，则（ ）A. B. C. D. 3【答案】C【解析】【分析】令，则为奇函数，根据已知求出，再由即可求出答案.【详解】解：根据题意，函数，则，则有，故，若，则，故选：C.10. 已知函数f(x)2sin2x（sin2x+cos2x）1，则下列说法正确的是（ ）A. f(x)的最小正周期为B. f(x)的最大值为2C. f(x)在0，上是增函数D. f(x)在0，上有4个零点【答案】C【解析】【分析】

7、利用二倍角公式以及辅助角公式可得f(x)2sin2x（sin2x+cos2x）1sin（4x），再由三角函数性质即可求解.【详解】解：函数f(x)2sin2x（sin2x+cos2x）12sin22x1+2sin2xcos2xsin4xcos4xsin（4x）所以函数的周期为：T，所以A不正确；函数的最大值为，所以B不正确；，解得，所以f(x)在0，上是增函数，所以C正确；f(x)在0，上有2个零点，所以D不正确故选：C11. 已知抛物线，过焦点且倾斜角为的直线交抛物线于两点，以为直径的圆与抛物线的准线相切，切点的纵坐标是，则抛物线的准线方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【

8、分析】设直线的方程为与抛物线联解，利用为直径的圆与抛物线的准线相切，切点的纵坐标是得到得解【详解】抛物线的焦点坐标为，准线方程为，直线的方程为因为切点的纵坐标是,所以圆心的纵坐标为,即中点的纵坐标为由得，代入直线方程得即则则则则准线方程为故选：B【点睛】涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性12. 已知函数，若恒成立，则的取值范围为 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用导数研究函数的单调性，再利用导数解决不等式恒成立问题，根据数形结合的思想方法即可得出结果.【详解】的定义域为

9、，令，解得，当时，单调递增，当时，单调递减，又所以的图像如图所示，令，恒过定点要使，必有图像恒在图像的下方，则，当与的图像相切于点时，m取得最小值.当时，令，则，所以此时切线斜率为-1，故，故选：D 第II卷 非选择题（90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13. 的展开式中的系数为_.【答案】840【解析】【分析】根据的展开式的通项公式可得的展开式中的系数.【详解】展开式中的系数为故答案为：84014. 已知圆的圆心坐标是，若直线与圆相切于点，则圆的标准方程为_.【答案】【解析】【分析】由题意画出图形，利用圆心与切点的连线与切线垂直求得m，再求半径，即可写出圆的方程【详解】解

10、：如图所示， 由圆心与切点的连线与切线垂直，得，解得.所以圆心为，半径为.所以圆的标准方程为.故答案为：.15. 用0、1、2、3、4、5这六个数字组成一个无重复数字的五位数，百位和个位必须是奇数的数有_个【答案】108【解析】【分析】先安排个位和百位上的数字，再安排万位上的数字，最后安排剩下的位置上的数字即可.【详解】根据题意，可以分三步完成：第一步，先安排个位和百位上的数字，从3个奇数中选两个排序，有种方案；第二步，安排万位上的数字，不能有0，故需要在剩下的3个数字中选1个安排，有种方案；第三步，最后安排十位和千位的数字，此时还有三个数字，只需从三个数字中选两个排列，故有种方案.所以根据分

11、步乘法计数原理即可得个满足条件的数.故答案为：16. 已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与圆相切于点，且直线与双曲线的右支交于点，若，则双曲线的离心率为_【答案】#【解析】【分析】数形结合可知，且，利用中边的关系即可求得离心率.【详解】如图所示：由题可知，则，又，又，则，作交于点，可得，则.在中，即，得，又，化简可得，双曲线的离心率为.故答案为：.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分.17. 如图，平面四边形内接于一个圆，且，为钝角，.（1）求；（2）若，求的

12、面积.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）在中，根据题中数据，由正弦定理求出，进而可到余弦值；（2）先根据四边形有外接圆，得到，求出，在中，由余弦定理求出，再由三角形面积公式，即可得出结果.【详解】（1）在中，由正弦定理可得，即，解得；又为钝角，所以为锐角，则；（2）由平面四边形内接于一个圆可得，所以，又为钝角，所以为锐角，则，在中，由余弦定理可得，即，整理得，解得，则的面积为.18. 如图，在几何体中，四边形是矩形，平面，分别是线段，的中点（1）求证：平面平面；（2）求平面与平面所成二面角的正弦值【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）先证明平面，平面，利用判定定理证

13、明平面平面；（2）以为原点，分别以，的方向为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系用向量法求平面与平面所成二面角的正弦值【详解】（1）如图，因为中点为，连接，又是的中点，可知，又平面，平面，所以平面在矩形中，由，分别是，的中点得又平面，平面，所以平面又因为，平面，平面，所以平面平面（2）如图，在平面内，过点作，因为，所以又因为平面，所以，以为原点，分别以，的方向为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系，则，因为平面，所以为平面的法向量，设为平面的法向量又，由得取得从而所以平面与平面所成二面角的正弦值为【点睛】立体几何解答题的基本结构：(1)第一问一般是几何关系的证明，用判定定理；(2)第二问是

14、计算，求角或求距离（求体积通常需要先求距离），通常可以建立空间直角坐标系，利用向量法计算19. 我国探月工程嫦娥五号探测器于2020年12月1日23时11分降落在月球表面预选着陆区，在顺利完成月面自动采样之后，成功将携带样品的上升器送入到预定环月轨道，这是我国首次实现月球无人采样和地外天体起飞，对我国航天事业具有重大而深远的影响某校为了解高中生的航空航天知识情况，设计了一份调查问卷，从该校高中生中随机抽取部分学生参加测试，记录了他们的分数，将收集到的学生测试的评分数据按照30，40），40，50），50，60），60，70），70，80），80，90），90，100分组，绘制成评分频率分布直方

15、图，如下：（1）在测试评分不低于80分的12名学生中随机选取3人作为航空航天知识宣传大使，记这3名学生中测试评分不低于90分的人数为X，求X的分布列；（2）为激励学生关注科技，该校科技社团预在高一学年1000名学生中，举办航天知识大赛，计划以知识问答试卷形式，以分数高低评比等级，一等奖、二等奖奖励为航天模型，三等奖无奖品，且一等奖奖品价值为二等奖的二倍，每个等级都颁发相应证书奖品费用需社团自行联系商家赞助，已筹集到赞助费6000元现以问卷调查结果的频率估计竞赛结果，以在测试评分不低于90分频率记为一等奖获奖概率，不低于80分不足90分频率记为二等奖获奖概率，不低于70分不足80分频率记为三等奖

16、获奖概率，若要求赞助费尽量都使用，试估计二等奖奖品的单价应为多少元？【答案】（1）答案见解析；（2）二等奖奖品单价为10元【解析】【分析】（1）先计算出80，90）和90，100的人数，然后求出X的可能取值，进而求出对应概率，即可列出分布列；（2）设未知数列不等式，解不等式即可.【详解】解：（1）不低于80分的12名学生中80，90）：128（人）；低于80分的12名学生中90，100：124（人）；X的可能取值为0，1，2，3，P（X0）；P（X1）；P（X2）；P（X3）；分布列如下：x0123p（2）不低于90分的人数为：10000.01510150；不低于80不足90的人数为：1000

17、.0310300；设二等奖的奖品单价为x元，则一等奖奖品单价为2x元，则有300x+2x1506000，解得x10，又因为要求赞助费尽量都使用，所以x取10，即二等奖奖品单价为10元20. 已知抛物线的焦点F到其准线的距离为4，椭圆经过抛物线的焦点F（1）求抛物线的方程及a；（2）已知O为坐标原点，过点的直线l与椭圆相交于A，B两点，若，点N满足，且最小值为，求椭圆的离心率【答案】（1）； （2）【解析】【分析】(1)由条件列方程求，由此可得抛物线方程及其焦点坐标，再由条件求，(2)联立方程组，利用设而不求法结合条件求出点的轨迹，列方程求，由此可得离心率.【小问1详解】抛物线的焦点F到其准线的

18、距离为4可得抛物线的方程：椭圆经过抛物线的焦点椭圆右顶点为，所以【小问2详解】当直线斜率存在时，设直线方程为由得，即，又，即N点轨迹为直线当直线斜率不存在时，经检验点在直线上N点轨迹方程为最小值即点O到直线的距离，即椭圆的离心率为【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题21. 已知函数.（1）当时，判断的单调性；（2）若时，设是函数的零点，为函数极值点，求证：.【答案】（1）在单调递增； （2）证明见解析.【解析】【

19、分析】（1）对函数求导，令再次求导，判断导函数的单调性以及正负取值情况，进而得到原函数的单调性；（2）首先研究函数的单调性，根据零点存在性定理确定其零点，并且表示出，再运用赋值法求出，再次运用函数的单调性确定其取值情况，进而证出结论.【小问1详解】当时，所以，令， ，即，在单调递增，即，在单调递增；【小问2详解】由于，设，当时，则在为减函数；当时，则在为增函数；，当，所以存在，使得，即，所以，所以在上单调递减，在上单调递增，当，所以在区间必存在一个零点，令，则：，设，则，由（1）知，所以在为增函数，所以，根据零点存在判定定理可知，即.【点睛】关键点点睛：（1）运用导数研究函数的单调性时，一次求

20、导得不出导函数正负取值情况时，可以进行二次求导判断一阶导函数的单调性以及取值情况，进而得到原函数的单调性；（2）本题主要考查零点问题，所以零点存性定理要灵活使用；（3）运用导数对不等式证明时还是要根据函数的单调性；（4）注意保证运算的正确性.（二）选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分（选修4-4 极坐标与参数方程）22. 在平面直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为其中t为参数，曲线的参数方程为（为参数）以坐标原点O为极点，x轴非负半轴为极轴，建立极坐标系（1）求曲线，的极坐标方程；（2）若，曲线，交于M，N两点，求的值【答案】（1）， （2）【解

21、析】【分析】（1）消去参数，可得曲线的直角坐标方程，再利用极坐标与直角坐标的互化公式可求出曲线的极坐标方程，同理可求出曲线的极坐标方程，（2）将代入曲线的极坐标方程，化简后利用根与系数的关系，再结合极坐标的几何意义可求得结果【小问1详解】依题意，曲线普通方程为，即曲线的极坐标方程为曲线的普通方程为，即，故曲线的极坐标方程为【小问2详解】由，得，将代入曲线的极坐标方程中，可得，设上述方程的两根分别是，则，故（选修4-5 不等式选讲）23. 已知函数（1）当m2时，解不等式；（2）若函数有三个不等实根，求实数m的取值范围【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）利用零点分段法解绝对值不等式；（2）有三个不等实根转化为有两个大于0的实根，列出不等式组，求出实数m的取值范围.【小问1详解】当m2时，解得：或综上：不等式的解集为.【小问2详解】由题意得：有三个不等实根，令，则与有三个交点，结合函数图象可知，满足要有两个交点，即有两个大于0的实根，故，解得：所以实数m的取值范围是.