四川省成都石室中学2022-2023学年高三下学期入学考试理科数学试题.docx

1、成都石室中学2022-2023学年度下期高2023届入学考试理科数学（全卷满分150分，考试时间120分钟）第卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题每小题5分，共60分在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设，则（ ）ABCD2已知i为虚数单位，复数z满足，则复数z在复平面上的点位于（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3已知为奇函数，当时，则当时，（ ）ABCD4将函数的图象先向左平移，再将横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，所得图象对应的函数解析式为（ ）ABCD5给出下列命题：（1）设a，b，c为实数，若，则；（2）设，则的取值范围是；（3）当时，的最小值

2、是4其中真命题的个数是（ ）A3B2C1D06“大衍数列”来源于乾坤谱中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中华传统文化中的太极衍生原理如图是求“大衍数列”前n项和的程序框图执行该程序框图，输入，则输出的（ ）A6B14C26D447已知函数的图象关于对称，且，则的值是（ ）ABCD8在数学探究活动课中，小华进行了如下探究：如图1，水平放置的正方体容器中注入了一定量的水；现将该正方体容器其中一个顶点固定在地面上，使得DA，DB，DC三条棱与水平面所成角均相等，此时水平面为HJK，如图2所示若在图2中，则在图1中（ ）ABCD9已知函数的极值点均不大于2，且在区间上有最小值，则实数a的取值

3、范围是（ ）ABCD10小明与小红两位同学计划去养老院做义工如图，小明在街道E处，小红在街道F处，养老院位于G处，小明与小红到养老院都选择最短路径，两人约定在老年公寓门口汇合，事件A：小明经过F；事件B：小明经过H；事件C：从F到养老院两人的路径没有重叠部分（路口除外），则下面说法正确的个数是（ ）（1）；（2）；（3）A3B2C1D011已知，分别为双曲线C的左、右焦点，点P是右支上一点，且，设，当双曲线C的离心率范围为时，的取值范围为（ ）ABCD12在中，且对于，的最小值为，则（ ）ABCD第卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13抛物线的焦点到准线的

4、距离是_14二项式的展开式中所有二项式系数之和为64，则二项式的展开式中常数项为_15已知圆：与圆：，点A，B在圆上，且，线段AB的中点为D，O为坐标原点，当最大时，直线OD被圆截得的弦长为_16将闭区间均分为三段，去掉中间的区间段，余下的区间段长度为；再将余下的两个区间，分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，余下的区间段长度为以此类推，不断地将余下各个区间均分为三段，并各自去掉中间的区间段重复这一过程记数列表示第n次操作后余下的区间段长度（1）_；（2）若，都有恒成立，则实数的取值范围是_三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答

5、；第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17（本小题满分12分）已知数列的各项均为正数，其前n项和为，且，数列的前n项积为，满足（）求数列和的通项公式；（）设，求数列的前n项和18（本小题满分12分）第二十二届世界杯足球赛已于2022年12月18日在卡塔尔落下帷幕，这是世界杯足球赛首次在中东国家举行本届世界杯很可能是“绝代双骄”梅西、C罗的绝唱，狂傲的青春也将被时间揽人温柔的怀抱，即将说再见时，才发现，那属于一代人的绝世风华，不会随年华逝去，只会在年华的飘零中不经意的想起为了了解某校学生对足球运动的兴趣，在该校随机抽取了男生和女生各100名进行调查，得到如图所示的等高堆

6、积条形图（）完成22列联表，并回答能否有99%的把握认为“该校学生是否喜欢足球运动与性别有关”；喜欢足球运动不喜欢足球运动合计男生女生合计（）以样本的频率作为总体的概率，若从该校所有男生中随机抽取3人，抽到不喜欢足球运动的人数为X，求X的分布列和期望附表：0.100.050.0250.0102.7063.8415.0246.635其有，19（本小题满分12分）多面体ABCDEF如图所示，正方形ABCD和直角梯形ACEF所在的平面互相垂直，（）求证：平面平面CDE；（）求二面角的正弦值20（本小题满分12分）已知椭圆C：的离心率为，且过点（）求椭圆C的方程；（）若直线为椭圆C在点P处的切线，且直

7、线与椭圆C交于A，B两点（）求直线的方程；（）点O为坐标原点，当和面积之和取最大值时，求直线的方程21（本小题满分12分）已知函数，（）求证：存在唯一零点；（）设，若存在，使得，试比较和的大小（二）选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答如果多做，那么按所做的第一题计分22【选修4-4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）在极坐标系Ox中，若点A为曲线l：上一动点，点B在射线AO上，且满足，记动点B的轨迹为曲线C（）求曲线C的极坐标方程；（）若过极点的直线交曲线C和曲线l分别于P，Q两点，且线段PQ的中点为M，求的最大值23【选修4-5：不等式选讲】（本小题满分10分）已知函数（

8、）若，解不等式；（）当时，恒成立，求实数a的取值范围成都石室中学2022-2023学年度上期高2023届入学考试理科数学参考答案 答案及解析1A 【解析】因为，所以2C 【解析】由，所以，所以z在复平面上的点位于第三象限3B 【解析】当时，4D 【解析】将函数的图象向左平移后，所得图象对应的函数为；再将横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，则5B 【解析】由题意，对于（1）中，若则，所以（1）正确；对于（2）中，由，则的取值范围是，所以（2）不正确；对于（3）中，当时，当且仅当时取等，所以（3）正确6C 【解析】（1），n是奇数，否，；（2），n不是奇数，否，；（3），n是奇数，否，；（4），n不

9、是奇数，否，；（5），n是奇数，是，则输出7D 【解析】因为的图象关于对称，所以在取得极值又，则，则，所以，即，所以8B 【解析】DA，DB，DC三条棱与水平面所成角均相等时，三棱锥为正三棱锥设正方体的棱长为3，则，所以，则题图1中，则，所以9A 【解析】易知最小值只能在极小值处取得，所以（1）当时，在上单调递增，无最值；（2）当时，在上单调递增，上单调递减，上单调递增，在取得极小值，又极小值必须为最小值，则，即，即；（3）当时，在上单调递减，上单调递增，满足条件综上所述，10A 【解析】小明到养老院能选择的最短路径条数为条；小明到F的最短路径走法有条，再从F到养老院的最短路径有条，即；小明从

10、H到养老院的最短路径有条，即；从H到F的最短路径有条，从F到养老院的最短路径有3条，即，所以；又，所以，故三个都正确11B 【解析】在中，由因为，所以，所以，所以的取值范围为12D 【解析】因为，所以又因为，所以，故，即（1）因为，当时，取最小值，则，所以，故，所以，负值舍去，则，代入（1）式得，所以131 【解析】因为抛物线方程为，所以焦准距14540 【解析】由二项式的展开式中所有二项式系数之和为64，得，即所以令，得，所以二项式的展开式中常数项为15 【解析】由题意可知，圆的圆心为，半径；圆的圆心为，半径因为，所以，即点D在以为圆心，为半径的圆上，故当点D在线段的延长线上时，最大，此时直

11、线OD的方程为，则圆心到直线OD的距离为，故直线OD被圆截得的弦长为16（1） （2）（第1空2分，第2空3分） 【解析】由题意可知，所以，所以数列为首项，公比的等比数列，所以因为，都有恒成立，所以恒成立，只需记，显然，所以令，即，即，解得因为，所以n可以取包含5以后的所有正整数，即当且时，单调递减又，所以综上所述，当时，最大，所以，所以实数的取值范围是17解：（）在中，令，得当时，由，于是有因为数列的各项均为正数，所以，则数列是以1为首项，2为公差的等差数列，所以有，显然适合，因此由，令，得；当时，由，得，所以（）记，数列的前n项和为，所以，则由可知，数列是以为首项，4为公比的等比数列，则数

12、列的前n项和为，故数列的前n项和18解：（）完成22列联表：喜欢足球运动不喜欢足球运动合计男生6040100女生2080100合计80120200的观测值，所以有99%的把握认为“该校学生是否喜欢足球运动与性别有关”（）由题意可知，从本校所有男生中随机抽取1人，抽到不喜欢足球运动的概率为，所以随机变量随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，则有，所以X的分布列为：X0123PX的期望19（）证明：如图，连接BD，设AC与BD交于点O，连接FO，EO因为平面平面ACEF，平面平面，平面ACEF，所以平面ABCD因为四边形ABCD是边长为的正方形，所以在直角梯形ACEF中，O为AC的中点，则，且

13、又因为，所以四边形AFEO是边长为1的正方形，所以，且，所以平面ABCD因为平面ABCD，所以，则，所以，所以因为平面ABCD，平面ABCD，所以，所以，所以，所以又因为，BE，平面BEF，所以平面BEF又因为平面CDE，所以平面平面CDE（）解：以A为坐标原点，AB，AD，AF分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，得，记平面CDE的法向量为，所以，则，取，得同理可得，平面DEF的法向量，所以，所以二面角的正弦值为20解：（）由题意，得，则，故椭圆C：（）（）由题意可得，直线的切线斜率一定存在令直线：，联立，整理得，所以，即，所以，故直线：，即直线（）由（），设，直线AB：，联立

14、，整理得，且，即，所以，则又点P到直线AB：的距离，点O到直线AB：的距离，所以当时，无最值；当时，令，则，而在时有一根，故在上单调递增，在上单调递减，所以当时，和面积之和取最大值，此时直线的方程为21（）证明：由题意，得记，则因为时，恒成立，所以在上单调递增因为，所以在上恒小于0，在上恒大于0，所以在上单调递减，在上单调递增因为，所以有唯一零点（）解：由，得记，故因为在上单调递增，所以比较和的大小，即比较和的大小设，则，因为在上恒成立，所以在上单调递增，注意到，所以的解集为，的解集为，所以在上单调递减，在上单调递增，所以因此，当时，；当时，22解：（）当点B在线段AO上时由，得或当点B不在线段AO上时，设，则，所以，所以又，所以综上所述，曲线C的极坐标方程为或（）若曲线C为，此时点P，Q重合，不合题意若曲线C为，设直线：由，得；由，得因为M是线段PQ的中点，所以因为，所以记，则又在上单调递减，故当时，取最大值为323解：（）若，则当时，则，所以；当时，则，所以；当时，则，所以综上所述，的解集为（）因为，所以当时，恒成立，即，得；当时，恒成立，即，得综上所述，实数a的取值范围为