四川省阆中市2016届高三第五次模拟练习数学试题（理） WORD版含解析.docx

1、 四川省阆中市2016届高三第五次模拟练习数学试题（理）第I卷（选择题）一、选择题1设集合A=x|xa,集合B=-1,1,2,若AB=B,则实数a的取值范围是A.(1,+)B.(-,1)C.(-1,+)D.(-,-1)【答案】D【解析】本题主要考查集合之间的包含关系,考查等价转化思想.解题时,将AB=B转化为BA即可求解.因为AB=B,所以BA,所以a0,yR,则“xy”是“x|y|”的A.充要条件B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】本题考查充要条件,意在考查考生对基本概念的掌握情况.由xy推不出x|y|,由x|y|能推出xy,所以“xy”是“x|

2、y|”的必要而不充分条件.故选C.【备注】近几年高考中,常用逻辑用语试题常以考查基本概念、基本关系或与其他知识相结合的形式出现,重基础,难度低.学习中,只要夯实基础,把握逻辑联结词的含义、充要条件的意义、四种命题及相互关系,应用不同的求解策略,就能适应高考的考查要求.4我国古代数学名著九章算术有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为A.134石B.169石C.338石D.1365石【答案】B【解析】本题主要考查简单随机抽样法的应用.设这批米内夹谷约为x石，由题意可得x1534=28254,则x169.5设变量

3、x,y满足约束条件x1ya(a2)2x-y0,若目标函数z=x+y取得最大值4,则实数a的值为A.4B.103C.3D.83【答案】D【解析】作出不等式组表示的可行域,将目标函数变形为y=-x+z,判断出z表示直线在y轴上的截距,结合图象,求出a的值.作出不等式组表示的平面区域,如图中阴影部分所示,y=-x+z,则z表示直线在y轴上的截距,作直线l:x+y=0,把直线l向可行域平移,结合图象可知,平移到点A(a2,a)时,z最大,此时z=a+a2=4,a=83,故选D.6执行如图的程序框图,输出的S的值为A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】本题主要考查程序框图和对数的运算.当k=3时,S

4、=log34;当k=4时,S=log34log45;当k=26时,S=log34log45log2627,此后k=27,所以输出的S=lg4lg3lg5lg4lg27lg26=3.7在平面直角坐标系中，直线与圆相交于两点，则弦的长等于( )。A.B.C.D.【答案】B【解析】本题考查直线与圆的位置关系。由题意知：圆心，半径，由BA的一半、半径r、圆心到直线AB的距离构成直角三角形，可得AB=；所以AB=。选B。8设集合Q=x|2x2-5x0,xN,且PQ,则满足条件的集合P的个数是A.3B.4C.7D.8【答案】D【解析】因为Q=x|2x2-5x0,xN=x|0x52,xN=0,1,2,所以满

5、足PQ的集合P有23=8个,选D.9由曲线y2=x和直线y=x-2所围成的图形的面积是A.112B.18C.236D.92【答案】D【解析】本题主要考查了定积分在求面积中的应用,以及会利用定积分求图形面积的能力.由y2=x y=x-2解得曲线y2=x和直线y=x-2的交点坐标为:(1, -1),(4,2),选择y为积分变量,由曲线y2=x和直线y=x-2所围成的图形的面积S=-12y+2-y2dy=12y2+2y-13y3-12=92.故选D.10已知三次函数f(x)13x3-(4m-1)x2(15m2-2m-7)x2在x(-,)内无极值点,则m的取值范围是A.m2或m4B.m2或m4C.2m

6、4D.2m【答案】C【解析】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值.注意转化思想的应用.f(x)=x2-2(4m-1)x(15m2-2m-7),因为函数f(x)在x(-,)内无极值点,fx在R上单调,=44m-12-4(15m2-2m-7)=4m-2m-40,解得2m4.故选C.11已知函数f(x)=Asin (x+)(A0,0,|2)的部分图象如图所示.那么函数f(x)的解析式是A.f(x)= sin (2x+3)B.f(x)=2sin (2x+6)C.f(x)= cos (2x+3)D.f(x)=2 cos (2x+6)【答案】B【解析】求函数的解析式的关键是确定系数A,=2T,的值,

7、特别地,求一般用代点法.应用三角函数图象求解析式,特别要注意周期与对称轴、对称中心之间的关系:(1)设两相邻对称轴为x=a,x=b,则周期T=2|a-b|;(2)设两相邻对称中心为(a,0),(b,0),则T=2|a-b|;(3)设一对称轴为x=a,一相邻的对称中心为(b,0),则T=4|a-b|.由图象知,A=2.f(x)的最小正周期T=4(512-6)=,故=2T=2.将点(6,2)代入f(x)的解析式,得sin(3+)=1,又|b10)与双曲线C2:x2a22-y2b22=1(a20,b20)有相同的焦点F1,F2,点P是两曲线的一个公共点,且PF1PF2,e1,e2分别是两曲线C1,C

8、2的离心率,当4e12+e22取得最小值时,C1的离心率e1等于A.12B.23C.32D.13【答案】C【解析】本题主要考查双曲线、椭圆的标准方程与几何性质.因为椭圆与双曲线有相同的焦点,令它们的焦距F1F2=2c;令椭圆长轴长为2a1,双曲线实轴长为2a2;不妨设点P在双曲线的右支上,由题意得PF1-PF2=2a2PF1+PF2=2a1,而PF1PF2,所以PF12+PF22=4c2,联立方程可得a12+a22=2c2;而4e12+e22=4c2a12+c2a22=4(a12+a22)2a12+a12+a222a22=52+2a22a12+a122a2252+2=92(当且仅当a1=2a2

9、时等号成立);当4e12+e22取得最小值时,a12+a122=2c2,即e12=c2a12=34,所以C1的离心率e1等于32.故选C.【点拨】双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0),离心率e=ca,a2+b2=c2.第II卷（非选择题）二、填空题13已知向量a,b满足|b|=2,a与b的夹角为60,则b在a上的投影是.【答案】1【解析】本小题主要考查向量的数量积、向量投影的求解,涉及向量的有关计算.b在a上的投影是|b|cos=2cos 60=1.14已知(1+ax)(1+x)6的展开式中x2的系数为3,则a=.【答案】-2【解析】本题主要考查二项式定理,考查二项展开式中项的系数.(1

10、+x)6中x2的系数为C62,x的系数为C61,由题意知C62+aC61=3,解得a=-2.15在ABC中,BC=2,AC=1,以AB为边作等腰直角三角形ABD(B为直角顶点,C,D两点在直线AB的两侧).当C变化时,线段CD长的最大值为.【答案】3【解析】本题主要考查了解析法的应用,意在考查考生对等价转化思想的应用能力及运算求解能力.以点C为坐标原点,CB所在直线为x轴建立平面直角坐标系,设ACB=,则B(2,0),A(cos ,sin ).由余弦定理可得AB2=1+2-22cos =3-22cos .设点D(x,y)(在AB的上面),由BD=BA和BDBA可得(x-2)2+y2=3-22c

11、os(x-2)(cos-2)+ysin=0,解得x=sin+2y=2-cos,所以CD=(sin+2)2+(2-cos)2=5+4sin(-4),当=34时,线段CD的长取得最大值为3.16把边长为1的正方形ABCD沿对角线BD折起，形成的三棱锥A-BCD的正视图与俯视图如图所示，则其侧视图的面积为_,二面角B-AC-D的余弦值为_.【答案】14，-13【解析】本题考查三视图，二面角.由俯视图、正视图可推出侧面CBD底面ABD,棱锥的高为22,底面ABD的高为22,侧视图为一个腰长为22的等腰直角三角形,所以侧视图的面积S=122222=14；如图，取AC的中点E，连接BE、DE，则BED即为

12、二面角B-AC-D的平面角；在BCD中，BD=2，BE=BD=32，所以cosBED=BE2+DE2-BD22BEDE=34+34-2234=-1232=-13.17已知不等式x2+12x-(12)n0(nN*)在x(-,上恒成立,则实数的取值范围是.【答案】(-,-1【解析】本题主要考查不等式恒成立问题,考查考生的运算求解能力、分析问题和解决问题的能力.由x2+12x-(12)n0恒成立得x2+12x(12)n,即x2+12x(12)maxn恒成立.因为(12)maxn=12,所以x2+12x212在(-,上恒成立,令y=x2+12x=(x+14)2-116,则二次函数的图象开口向上,且对称

13、轴为x=-14.当-14时,函数在(-,上单调递减,要使不等式恒成立,则有2+1212,得-1;当-14时,函数的最小值在x=-14处取得,此时y=116-18=-116,不满足题意.综上,实数的取值范围是(-,-1.三、解答题18设函数f(x)=(sinx+cosx)2+2cos2x(0)的最小正周期为23.()求的值;()若函数y=g(x)的图象是由y=f(x)的图象向右平移2个单位长度得到的.求y=g(x)的单调增区间. 【答案】()f(x)=sin2x+cos2x+2sin xcosx+1+cos 2x=sin 2x+cos 2x+2=2sin(2x+4)+2,依题意得22=23,故=

14、32.()依题意得g(x)=2sin3(x-2)+4+2=2sin(3x-54)+2,由2k-23x-542k+2(kZ),解得23k+4x23k+712(kZ).故g(x)的单调增区间为23k+4,23k-712(kZ).【解析】本题主要考查基本三角函数公式,函数图象的平移变换,以及正弦函数、余弦函数的单调性.19某校高一年级共有学生320人,为调查高一年级学生每天晚自习自主支配学习时间(指除了完成老师布置的作业后学生根据自己的需要进行学习的时间)情况,学校采用随机抽样的方法从高一学生中抽取了n名学生进行问卷调查.根据问卷得到了这n名学生每天晚自习自主支配学习时间的数据(单位:分钟),按照以

15、下区间分为七组:0,10),10,20),20,30),30,40),40,50),50,60),60,70,得到频率分布直方图如图,已知抽取的学生中每天晚自习自主支配学习时间低于20分钟的人数是4人.(1)求n的值;(2)若高一全体学生平均每天晚自习自主支配学习时间少于45分钟,则学校需要减少作业量.根据以上抽样调查数据,学校是否需要减少作业量?(注:统计方法中,同一组数据常用该组区间的中点值作为代表)(3)问卷调查完成后,学校从第3组和第4组学生中利用分层抽样的方法抽取7名学生进行座谈,了解各学科的作业布置情况,并从这7人中随机抽取两名学生聘为学情调查联系人.设第3组中学生被聘的人数是X,

16、求X的分布列和数学期望.【答案】(1)由频率分布直方图知第1组和第2组的频率分别是0.02和0.06,则n(0.02+0.06)=4,解得n=50.(2)设第i组的频率和频数分别是pi和xi,由图知p1=0.02,p2=0.06,p3=0.3,p4=0.4,p5=0.12,p6=0.08,p7=0.02,则由xi=50pi可得x1=1,x2=3,x3=15,x4=20,x5=6,x6=4,x7=1.则高一学生每天平均自主支配时间是t=5x1+15x2+25x3+35x4+45x5+55x6+65x750=33.645.则学校需要减少作业量.(3)第3组和第4组的频数分别是15和20,用分层抽样

17、的方法抽取7人,则第3组应抽取71515+20=3(人),第4组应抽取72015+20=4(人).由题知X的可能取值为0,1,2,则P(X=0)=C42C72=27,P(X=1)=C41C31C72=47,P(X=2)=C32C72=17,则X的分布列是则EX=027+147+217=67.20如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC=12AA1,D是棱AA1的中点,DC1BD.()证明: DC1BC;()求二面角A1-BD-C1的大小.【答案】()由题设知,三棱柱的侧面为矩形.由于D为AA1的中点,故DC=DC1.又AC=12AA1,可得DC12+DC2=CC12,所以DC1DC.而

18、DC1BD,DCBD=D,所以DC1平面BCD.BC平面BCD,故DC1BC.()由()知BCDC1,且BCCC1,则BC平面ACC1,所以CA,CB,CC1两两相互垂直.以C为坐标原点,CA的方向为x轴的正方向,|CA|为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz.由题意知A1(1,0,2),B(0,1,0),D(1,0,1),C1(0,0,2).则A1D=(0,0,-1),BD=(1,-1,1),DC1=(-1,0,1).设n=(x,y,z)是平面A1B1BD的法向量,则nBD=0,nA1D=0,即x-y+z=0,z=0.可取n=(1,1,0).同理,设m是平面C1BD的法向量,则mB

19、D=0,mDC1=0.可取m=(1,2,1).从而cos=nm|n|m|=32.故二面角A1-BD-C1的大小为30.【解析】本题主要考查空间几何体中线线垂直的证明和二面角的计算,意在考查考生的计算、推理、证明以及利用空间向量求解二面角的能力.()通过证明线线垂直得到线面垂直,进而得到待证的线线垂直.()根据垂直关系建立空间直角坐标系,求出两个平面的法向量,通过计算两个法向量所成的角的余弦值即可求出二面角的大小. 【点拨】本题没有给出线段的长度,可以设出,并根据所设求得其他线段长度,通过计算进行证明求解,如果不设出线段长度,表示出来就比较麻烦,整个题的解答都不易处理.21已知函数f(x)=al

20、n x+x2+bx(a,b为实常数).(1)若a=-2,b=-3,求函数f(x)的单调区间;(2)若b=0,且a-2e2,求函数f(x)在1,e上的最小值及相应的x值;(3)设b=0,若存在x1,e,使得f(x)(a+2)x成立,求实数a的取值范围.【答案】(1)当a=-2,b=-3时,f(x)=-2ln x+x2-3x,f(x)的定义域为(0,+),f (x)=-2x+2x-3=2x2-3x-2x=(x-2)(2x+1)x.令f (x)=0,得x=2,所以当x(0,2)时,f (x)0,所以函数f(x)的单调递增区间为(2,+),单调递减区间为(0,2).(2)因为b=0,所以f(x)=al

21、n x+x2,所以f (x)=2x2+ax(x0),又x1,e,所以2x2+aa+2,a+2e2.若a-2,则f (x)在1,e上非负(当且仅当a=-2,x=1时,f (x)=0),故函数f(x)在1,e上是增函数,此时f(x)min=f(1)=1,且x=1.若-2e2a-2,则a+20,f (x)=2x2-(-a2)x=2(x-a2)(x+-a2)x,x1,e,当x=-a2时,f (x)=0,此时-2e2a-2,1-a2e,当-a20,此时f(x)是增函数;当1x-a2时,f (x)0,此时f(x)是减函数.故f(x)min=f(-a2)=a2ln(-a2)-a2,此时x=-a2.(3)因为

22、b=0,所以f(x)=aln x+x2,不等式f(x)(a+2)x,即aln x+x2(a+2)x,可化为a(x-ln x)x2-2x,因为x1,e,所以ln x1x,且等号不能同时取到,所以ln x0,因而a(x2-2xx-lnx)min(x1,e).令g(x)=x2-2xx-lnx(x1,e),则g(x)=(x-1)(x+2-2lnx)(x-lnx)2,当x1,e时,x-10,ln x1,x+2-2ln x0,从而g(x)0(当且仅当x=1时取等号),所以g(x)在1,e上为增函数,故g(x)的最小值为g(1)=-1,所以实数a的取值范围是-1,+).【解析】本题主要考查导数的运算以及导数

23、在研究函数性质中的应用,考查考生的运算求解能力、推理论证能力,考查考生综合运用知识分析问题和解决问题的能力.(1)利用导数符号与函数单调性的关系求解即可;(2)对a进行合理分类,利用导数研究函数的单调性及最值;(3)分离参数是求参数的取值范围的常用方法.【点拨】函数与导数试题在高考中常处于压轴题位置,一般使用分类与整合、数形结合等思想研究函数的单调性、极值等.在单调性的讨论中,关键是导数的符号,解题时要抓住参数对导数符号的影响,找出分类的标准.对不等式的证明,要注意题干中函数的变形使用.22已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别是F1(-c,0),F2(c,0),左、右顶点分

24、别为A1,A2, 若点A2在圆x2+y2-2x-2y=0上,椭圆的右准线l的方程是x=4.(1)求椭圆的方程;(2)若点P是椭圆上异于A1,A2的点,直线A1P,A2P分别交直线l于点C,D,求证:F1CF2D是定值;(3)过点F2作直线,交直线l于点E,交椭圆于不同的两点M,N,若EM=MF2,EN=NF2,则点(,)是否在一条定直线上?如果是,求此直线方程;如果不是,请说明理由.【答案】(1)将y=0代入圆的方程得x2-2x=0,得x1=0,x2=2,由条件得点A2的坐标为(2,0),故a=2.又由a2c=4得c=1,从而b2=4-1=3,故所求椭圆的方程是x24+y23=1.(2)由(1

25、)得A1(-2,0),A2(2,0),设点P(x0,y0),其中y00,则直线A1P的方程是y=y0x0+2(x+2),直线A2P的方程是y=y0x0-2(x-2),从而点C(4,6y0x0+2),D(4,2y0x0-2).又F1(-1,0),F2(1,0),故F1C=(5,6y0x0+2),F2D=(3,2y0x0-2),于是F1CF2D=15+12y02x02-4.又点P(x0,y0)在椭圆上,故x024+y023=1,y02=3(1-x024)=3(4-x02)4,从而可得F1CF2D=6,为定值.(3)设点E(4,t),M(x1,y1),N(x2,y2),则由条件得(x1-4,y1-t

26、)=(1-x1,-y1),从而x1=4+1+,y1=t1+,代入椭圆方程得3(4+)2+4t2=12(1+)2,同理得3(4+)2+4t2=12(1+)2,上述两式相减得(-)(8+)=4(-)(2+),因为,故+=0,从而点(,)必在定直线x+y=0上.【解析】本题主要考查椭圆方程的求解、圆的方程、直线与椭圆的位置关系等知识,考查考生综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力.(1)根据点A2在圆上和准线方程求出基本量的值,即可得到椭圆的方程;(2)分别求出C,D两点的坐标,再结合点P在椭圆上证明F1CF2D是定值;(3)根据已知条件求出和之间的关系,即可证明点(,)在定直线x+y=0上.【备

27、注】纵观近几年的高考试题可以发现圆锥曲线试题的特点主要有以下两点:(1)结合定义,考查圆锥曲线中的数形结合思想;(2)结合创新,以解析几何的主干知识为依托,命制新背景、新定义、新运算、新性质等的创新题,考查圆锥曲线中的探索性问题,考查考生的创新意识与应用意识.23记无穷数列an的前n项a1,a2,an中的最大项为An,第n项之后的各项an+1,an+2,中的最小项为Bn,令bn=An-Bn.(1)若数列an的通项公式为an=2n2-7n+6,求b1,b2的值及数列bn的通项公式;(2)若数列an 单调递增,且an+1-an 是等差数列,求证:bn 为等差数列;(3)设d是非负整数,求证:bn=

28、-d(n=1,2,3,)的充要条件为an是公差为d的等差数列.【答案】(1)由题意得,an=2n2-7n+6=2(n-74)2-18,当n2时,数列an为单调递增数列.A1=1,B1=a2=0,b1=A1-B1=1-0=1,同理可得b2=A2-B2=a1-a3=-2.当n3时,bn=An-Bn=an-an+1=2n2-7n+6-2(n+1)2-7(n+1)+6=-4n+5,故数列bn的通项公式为bn=1,n=1-2,n=2-4n+5,n3.(2)数列an单调递增,An=an,Bn=an+1,bn=An-Bn=an-an+1=-(an+1-an),an+1-an是等差数列,bn为等差数列.(3)

29、充分性因为d是非负整数,若an是公差为d的等差数列,则an=a1+(n-1)d,An=an=a1+(n-1)d,Bn=an+1=a1+nd,bn=An-Bn=-d(n=1,2,3,).必要性若bn=An-Bn=-d(n=1,2,3,).假设ak(k2,kN*)是第一个使ak-ak-10,这与bn=-d0矛盾,故an是一个不减的数列.bn=An-Bn=an-an+1=-d,即 an+1-an=d,故an是公差为d的等差数列.【解析】本题考查了等差数列的通项公式、数列的单调性、充要关系的证明等,考查考生的推理能力与计算能力,属于难题.【点拨】高考数列解答题往往以等比和等差数列为背景、以递推式为载体设置.近几年来,与相关知识交汇的力度在加大,考查重点仍然是数列的通项公式、求和,数列与函数的关系等,熟练掌握累乘法、累加法、错位相减法等至关重要.