圆锥曲线-斜率之商2（蝴蝶定理）-2023届高三数学二轮专题复习讲义.docx

1、微专题、蝴蝶定理在圆锥曲线的应用蝴蝶定理（Butterfly Theorem），是古代欧氏平面几何中最精彩的结果之一。这个命题最早作为一个征解问题出现于公元1815年提出，“蝴蝶定理”这个名称最早出现于美国数学月刊1944年2月号，题目的图形象一只蝴蝶，因而得名。蝴蝶Th：设Q为圆内弦XY的中点，过Q作弦AB和CD。设AD和BC各相交XY于点P和R，则Q是PR的中点。进一步，去掉Q中点的条件，可得“坎迪定理”。 坎迪Th：当Q不为中点时，如右图，满足1XQ-1YQ=1PQ-1RQ。定理原本只是圆的背景，通过射影几何，我们可以非常容易的将蝴蝶定理推广到普通的任意圆锥曲线（包括椭圆，双曲线，抛物线

2、，甚至退化到两条相交直线的情况）蝴蝶Th： 圆锥曲线上弦XY的中点为Q，过Q作弦AB和CD。设AD和BC各相交XY于点P和R，则Q是PR的中点。坎迪Th：当Q不为中点时，如右图，满足1XQ-1YQ=1PQ-1RQ。典 型 例 题以上定理证明省略，利用蝴蝶定理能够更深入的了解圆锥曲线的背后现象，但不能作为真正高考题的解题规范书写。下面以2020年全国理科1卷20题为例分析。 【例题】（2020年全国理科1卷20题改编）已知A、B分别为椭圆E：x29+y2=1的左、右顶点，直线CD过定点(32,0)，记直线AC,BD的斜率为k1、k2，求k1k2的值。 解：法1、常规方法(省略)法2、蝴蝶定理法过

3、点Q做x轴垂线，交椭圆于E、F,交AC、BD于点I、J, 显然Q是EF的中点;由蝴蝶定理得：Q也是IJ的中点，即IQ=JQ； 故k1k2=IQAQJQBQ=BQAQ=a-xQa+xQ=3-323+32=13； 变式1、已知A、B分别为椭圆E：x29+y2=1的左、右顶点，直线CD过定点(32,0)。求证：直线AC,BD的交点P的轨迹是定线。解：由例题可得，记直线AC,BD的斜率为k1、k2，有k1k2=13，令直线BD：y=k2x-2，直线AC：y=k1x+2，联立y=k2x-2y=3k2x+2，得xP=6，得证P的轨迹是定线。变式2、（2020年全国理科1卷20题原题）已知A、B分别为椭圆E

4、：x29+y2=1的左、右顶点，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D(1) 省略，(2)证明：直线CD过定点. 解：(2) 法1、常规方法(省略)法2、蝴蝶定理法 设直线CD与x轴相交于点Q, 过点Q做x轴垂线，交椭圆于E、F,交AC、BD于点I、J; 显然Q是EF的中点，由蝴蝶定理得：Q也是IJ的中点，即IQ=JQ因为P为AC、BD的交点，故kACkBD=yP6+3yP6-3=13；又kACkBD=IQAQJQBQ=BQAQ=a-xQa+xQ, 由得a-xQa+xQ=13，即3-xQ3+xQ=13，解得xQ=32，故直线CD过定点(32,0)【备注】1、 蝴

5、蝶定理的方法可以做为了解问题相关背景，预判结果，但不能作为相关解答；2、从蝴蝶定理的方法，我们实际上得到了定点和斜率之比的有关结论：对于椭圆x2a2+y2b2=1，过x轴Qn,0(0n0)的焦点为F，点Dp,0，过F的直线交C于M，N两点当直线MD垂直于x轴时，MF=3(1)求C的方程；(2)设直线MD,ND与C另一个交点分别为A，B，记直线MN,AB的斜率为k1、k2，求k1k2的值。 【训练2】2已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的离心率为32，右焦点F到一条渐近线的距离为5.(1)求双曲线C的方程；(2)若A1,A2分别是C的左右顶点，过F的直线与C交于M,N两点（不同于

6、A1,A2）.记直线A1M,A2N的斜率分别为k1,k2，请问k1k2是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是，请说明理由.【训练3】3在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆C：x2a2+y2b2=1ab0，F是椭圆的右焦点且椭圆C与圆M：x-62+y2=16外切，又与圆N：x2+y-232=3外切(1)求椭圆C的方程(2)已知A，B是椭圆C上关于原点对称的两点，A在x轴的上方，连接AF，BF并分别延长交椭圆C于D，E两点，证明：直线DE过定点参 考 答 案参考答案的解答都是常规方法1.解：(1)抛物线C的方程为y2=4x；(2) 法1：常规方法设My124,y1,Ny224,y2,Ay324,y

7、3,By424,y4，直线MN:x=my+1，联立直线MN与抛物线x=my+1y2=4x，得y2-4my-4=0，故0,y1y2=-4，联立直线MD与抛物线x=x1-2y1y+2y2=4x，得y2-4x1-2y1y-8=0，故0,y1y3=-8，所以y3=2y2，同理可得y4=2y1，由斜率公式可得k1=y1-y2y124-y224=4y1+y2，k2=y3-y4y324-y424=4y3+y4，所以k2=4y3+y4=42y1+y2=k12法2：三点共线设Mx1,y1,Nx2,y2,Ax3,y3,Bx4,y4，由M、N、F三点共线，得y1y2=-4，由M、D、A三点共线，得y1y3=-8，由

8、N、D、B三点共线，得y2y4=-8，则y3y4=4y1y2=-16，AB过定点（4,0）*法3：蝴蝶定理法2（1）曲线C的方程为x24-y25=1.（2）由（1）可知F3,0,A1-2,0,A22,0.设直线MN的方程为x=my+3，点Mx1,y1，点Nx2,y2，则x1=my1+3,x2=my2+3.由x24-y25=1,x=my+3,得5m2-4y2+30my+25=0，所以y1+y2=-30m5m2-4,y1y2=255m2-4.k1=y1x1+2,k2=y2x2-2，所以k1k2=y1x1+2y2x2-2=x2-2y1x1+2y2=my2+1y1my1+5y2=my1y2+y1my1

9、y2+5y2.又y1y2=255m2-4,y1=-30m5m2-4-y2，所以k1k2=25m5m2-4+-30m5m2-4-y225m5m2-4+5y2=-5m5m2-4-y225m5m2-4+5y2=-15.综上，k1k2为定值，且k1k2=-15.3（1）易知圆M圆心(6,0)，半径为4，过点(2,0)，和椭圆C外切，切点必为(2,0)，故a=2，圆N圆心(0,23)，半径为3，过点(0,3)，和椭圆C外切，切点必为(0,3)，故b=3，故椭圆C的方程为x24+y23=1；（2）设A(x1,y1),B(-x1,-y1),D(x2,y2),E(x3,y3)，因为A,F,D三点共线，又AF=

10、(x1-1,y1),DF=(x2-1,y2)，则y2(x1-1)=y1(x2-1)，即y1x2-y2x1=y1-y2（），又因为点A,D均在椭圆上，则x124+y123=1，可变形为3=y121-x124，代入x224+y223=1中，整理可得y12x22-y22x124=y12-y22，结合（）式得y1x2+y2x1=4(y1+y2)（），式联立解得x2=5x1-82x1-5y2=3y12x1-5，同理可得x3=5x1+82x1+5y3=3y12x1+5，所以直线DE的方程为y-y2=y3-y2x3-x2(x-x2)，即y=y3-y2x3-x2x+y2x3-y3x2x3-x2，又y3-y2x3-x2=3y12x1+5-3y12x1-55x1+82x1+5-5x1-82x1-5=5y13x1,y2x3-y3x2x3-x2=3y12x1-55x1+82x1+5-3y12x1+55x1-82x1-55x1+82x1+5-5x1-82x1-5=-8y13x1，所以直线DE的方程为y=y13x1(5x-8)，故直线DE过定点(85,0).