圆锥曲线专题：最值与范围问题中常见的6种考法（原卷版）.docx

1、圆锥曲线专题：最值与范围问题中常见的6种考法一、圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：1、几何法：通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；2、代数法：把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解二、最值问题的一般解题步骤三、参数取值范围问题1、利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；2、利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；3、利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；4、利用已知的不等关系构造

2、不等式，从而求出参数的取值范围；5、利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围题型一 距离与长度型最值范围问题【例1】已知圆的圆心在坐标原点，且恰好与直线相切，点为圆上一动点，轴于点，且动点满足，设动点的轨迹为曲线（1）求椭圆的方程；（2）若直线与椭圆相交于不同两点，且满足为坐标原点），求线段长度的取值范围【变式1-1】设椭圆的右顶点为，离心率为，且以坐标原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切（1）求椭圆的方程；（2）设直线上两点，关于轴对称，直线与椭圆相交于点异于点，直线与轴相交于点，若的面积为，求直线的方程；（3）是轴正半轴上的一点，过椭圆

3、的右焦点和点的直线与椭圆交于，两点，求的取值范围【变式1-2】已知曲线上任意一点满足方程，（1）求曲线的方程；（2）若直线与曲线在轴左右两侧的交点分别是，且，求的最小值.【变式1-3】已知抛物线的焦点为，过点且倾斜角为的直线被所截得的弦长为.（1）求抛物线的方程；（2）已知点为抛物线上的任意一点，以为圆心的圆过点，且与直线相交于两点，求的取值范围.题型二 面积型最值范围问题【例2】如图，椭圆和圆，已知椭圆的离心率为，直线与圆相切（1）求椭圆的标准方程；（2）椭圆的上顶点为，是圆的一条直径，不与坐标轴重合，直线、与椭圆的另一个交点分别为、，求的面积的最大值及此时所在的直线方程【变式2-1】已知椭

4、圆的左、右焦点分别为、，设P是第一象限内椭圆上一点，、的延长线分别交椭圆于点、，直线与交于点R（1）求的周长；（2）当垂直于x轴时，求直线的方程；（3）记与的面积分别为、，求的最大值【变式2-2】已知双曲线的右焦点为，过右焦点作斜率为正的直线，直线交双曲线的右支于，两点，分别交两条渐近线于两点，点在第一象限，为原点（1）求直线斜率的取值范围；（2）设，的面积分别是，求的范围【变式2-3】已知抛物线的焦点为，为上的一个动点，与在的同一侧，且的最小值为.（1）求的方程；（2）若点在轴正半轴上，点、为上的另外两个不同点，点在第四象限，且，互相垂直、平分，求四边形的面积.题型三 坐标与截距型最值范围问

5、题【例3】已知双曲线：过点，渐近线方程为，直线是双曲线右支的一条切线，且与的渐近线交于A，B两点（1）求双曲线的方程；（2）设点A，B的中点为M，求点M到y轴的距离的最小值【变式3-1】若直线过双曲线的一个焦点，且与双曲线的一条渐近线平行.（1）求双曲线的方程；（2）若过点B(0，b)且与x轴不平行的直线和双曲线相交于不同的两点M，N，MN的垂直平分线为m，求直线m与y轴上的截距的取值范围.【变式3-2】已知抛物线的焦点为F，点M是抛物线的准线上的动点（1）求p的值和抛物线的焦点坐标；（2）设直线l与抛物线相交于A、B两点，且，求直线l在x轴上截距b的取值范围【变式3-3】已知两个定点、的坐标

6、分别为和，动点满足（为坐标原点）（1）求动点的轨迹的方程；（2）设点为轴上一定点，求点与轨迹上点之间距离的最小值；(3)过点的直线与轨迹在轴上方部分交于、两点，线段的垂直平分线与轴交于点，求点横坐标的取值范围题型四 斜率与倾斜角最值范围问题【例4】已知椭圆，过点作椭圆的两条切线，且两切线垂直.（1）求；（2）已知点，若存在过点的直线与椭圆交于，且以为直径的圆过点（不与重合），求直线斜率的取值范围.【变式4-1】已已知椭圆的离心率为，右焦点是，左、右顶点分别是和直线与椭圆交于，两点，点在轴上方，且当时，（1）求椭圆的方程；（2）若直线、的斜率分别是和，求的取值范围【变式4-2】）已知椭圆的方程为

7、，双曲线的左、右焦点分别为的左、右顶点，而的左、右顶点分别是的左、右焦点.（1）求双曲线的方程；（2）若直线与双曲线恒有两个不同的交点A和B，且（其中为原点），求的取值范围.【变式4-3】已知抛物线的焦点F到准线的距离为2（1）求C的方程;（2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足，求直线斜率的最大值.题型五 向量型最值范围问题【例5】给定椭圆，称圆心在原点O、半径是的圆为椭圆C的“准圆”已知椭圆C的一个焦点为，其短轴的一个端点到点F的距离为（1）求椭圆C和其“准圆”的方程；（2）若点A是椭圆C的“准圆”与x轴正半轴的交点，B、D是椭圆C上的两相异点，且轴，求的取值范围.【变式5-1】已知是

8、平面上的动点， 且点与的距离之和为点的轨迹为曲线（1）求动点的轨迹的方程；（2）不与轴垂直的直线过点且交曲线于两点， 曲线与轴的交点为，当时，求的取值范围【变式5-2】已知双曲线的离心率为2，F为双曲线的右焦点，直线l过F与双曲线的右支交于两点，且当l垂直于x轴时，；（1）求双曲线的方程；（2）过点F且垂直于l的直线与双曲线交于两点，求的取值范围【变式5-3】已知抛物线的焦点为，直线分别与轴交于点，与抛物线交于点，且.（1）求抛物线的方程；（2）如图，设点都在抛物线上，若是以为斜边的等腰直角三角形，求的最小值.题型六 参数型最值范围问题【例6】已知点在椭圆上，直线的斜率之积是，且.（1）求椭圆

9、的方程；（2）若过点的直线与椭圆交于点，且，求的取值范围.【变式6-1】设椭圆的一个顶点与抛物线的焦点重合，、分别是椭圆的左、右焦点，离心率，过椭圆右焦点的直线与椭圆交于、两点（1）求椭圆的方程；（2）是否存在直线，使得，若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由；（3）设点是一个动点，若直线的斜率存在，且为中点，求实数的取值范围【变式6-2】已知双曲线C： 的离心率为，过点作垂直于x轴的直线截双曲线C所得弦长为（1）求双曲线C的方程；（2）直线 （）与该双曲线C交于不同的两点A，B，且A，B两点都在以点为圆心的同一圆上，求m的取值范围【变式6-3】离心率为的双曲线上的动点到两焦点的距离之和的最小值为，抛物线的焦点与双曲线的上顶点重合（1）求抛物线的方程；（2）过直线为负常数）上任意一点向抛物线引两条切线，切点分别为，坐标原点恒在以为直径的圆内，求实数的取值范围