培优专题17 与圆的切线有关的计算与证明-解析版.docx

1、培优专题17 与圆的切线有关的计算与证明类型一：根据切线的性质求线段长1（2022山东烟台中考真题）如图，O是ABC的外接圆，ABC45(1)请用尺规作出O的切线AD（保留作图痕迹，不写作法）；(2)在（1）的条件下，若AB与切线AD所夹的锐角为75，O的半径为2，求BC的长【答案】(1)见解析(2)2【分析】（1）连接OA,过点A作ADAO即可；（2）连接OB，OC先证明ACB75，再利用三角形内角和定理求出CAB，推出BOC120，求出CH可得结论（1）解：如图，切线AD即为所求；（2）如图：连接OB，OCAD是切线，OAAD，OAD90，DAB75，OAB15，OAOB，OABOBA15

2、，BOA150，BCAAOB75，ABC45，BAC180457560，BOC2BAC120，OBOC2，BCOCBO30，OHBC，CHBHOCcos30，BC2【点睛】本题主要考查了作圆的 、三角形的外接圆、切线的判定和性质、解直角三角形等知识点，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题2（2021广西靖西市教学研究室九年级期末）如图，AB是O的直径，点D是AB延长线上的一点，DC与O相切于点C连接BC，AC(1)求证：ABCD；(2)若D45，O的半径为2，直接写出线段AD的长【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）连接OC，由切线的性质可知BCD+OCB90，因为AB是O的直径，即A+OB

3、C90，OCBOBC，可知ABCD；（2）根据D45，O的半径为2，可知ODOC，可求得ADOA+OD(1)证明：连接OC， DC是O的切线，OCD90，即BCD+OCB90， AB是O的直径，ACB90，A+OBC90，OCOB，OCBOBCABCD；(2)在RtOCD中，D45， OC=CD=2 ODOC，ADOA+OD【点睛】本题主要考查的是切线的性质，以及圆的基本性质，掌握其基本性质是解题的关键3（2022全国九年级课时练习）如图，在ABC中，ABBC，以AB为直径的O交AC于点D，过点D作切线DE交AB的延长线于点E，交BC于点F(1)求证：BCDE；(2)若AB4，A30，填空：线

4、段AD的长为_；线段BF的长为_【答案】(1)见解析(2)2，1【分析】（1）证明OD是ABD的中位线，再根据切线的性质即可证明BCDE；（2）利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理即可求解（1）证明：连接BD、OD，AB为O的直径，ADB=90，AO=OB，AB=BC，AD=DC，OD是ABD的中位线，ODBC，DE是O的切线，ODDE，BCDE；（2）解：AB=4，A=30，ADB=90，DB=AB=2，AD=2，A=30，BOD=60，OBD是等边三角形，ODB=60，ODDE，BDF=30，BCDE，DFB=90，BF=BD=1，故答案为：2，1【点睛】本题考查了切线的性质，三角

5、形中位线定理，含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件4（2022江苏南通二模）如图，中，点O在AC上，以OA为半径的半圆O分别交AB，AC于点D，E，过点D作半圆O的切线DF，交BC于点F(1)求证：；(2)若，求BF的长【答案】(1)见解析(2)7【分析】(1) 连接OD，得到，利用余角的性质得到，得出结果；(2) 连接OF，构造直角三角形，利用勾股定理求解(1)证明：连接OD，如图，半圆O的切线DF，(2)解：连接OF，又，【点睛】本题考查切线的性质、等腰三角形的判定以及勾股定理，遇切线连接圆心和切点时解决问题的关键5（2022湖南永州二

6、模）如图，是的外接圆，其切线AE与直径BD的延长线相交于点E，且AE=AB(1)求ACB的度数；(2)若，求的半径【答案】(1)60(2)3【分析】（1）连接OA，由等腰三角形的性质可得OABABEE，由切线的性质和三角形内角和定理可得AOB120，再由圆周角定理即可解答；（2）设的半径为x，根据在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半；列方程求解即可；(1)解：如图，连接OA，AE是O的切线，OAE90，ABAE，ABEAEB，OAOB，ABOOAB，OABABEE，OAB+ABE+E+OAE180，OABABEE30，AOB180OABABO120，ACBAO

7、B60；(2)解：如图，连接OA，设的半径为x，RtOAE中：OAE90，E30，2OAOE，OE=OD+DE，2xx+3，x3，的半径为3；【点睛】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，30直角三角形的边长关系，根据切线的性质正确作出辅助线是解题关键类型二：根据切线的性质求角度6（2022天津津南一模）已知ABC内接于O，AB为O的直径，弦CD与AB相交于点E，BAC=36 (1)如图，若CD平分ACB，连接BD，求ABC和CBD的大小；(2)如图，过点D作O的切线，与AB的延长线交于点P，若AE=AC，求P的大小【答案】(1)ABC=54，CBD=99；(2)P=54【分析】

8、（1）利用圆周角定理得到ACB=90，D=36，再根据角平分线的定义以及三角形内角和定理即可求解；（2）如图，连接OD，OC，根据等腰三角形的性质得到ACE=AEC=72，ACO=CAO=36，根据切线的性质得到ODDP，于是得到结论(1)解：AB为O的直径，ACB=90，D=BAC=36，ABC=90-36=54，CD平分ACB，BCD=ACB =45，CBD=180-36-45=99；(2)解：如图，连接OD，OC，AE=AC，ACE=AEC=72，OA=OC，ACO=CAO=36，OCD=ACE-ACO=36，OC=OD，ODC=OCD=36，POD=AEC-ODC=36，DP是O的切线

9、，ODDP，ODP=90，P=90-POD=54【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形的内角和，熟练掌握切线的性质是解题的关键7（2022江苏九年级单元测试）已知是直径，分别切于点，(1)如图，若，求的度数；(2)如图，延长到点，使，连接，若，求的度数【答案】(1)64(2)63【分析】（1）连接OC，根据切线的性质得到PCO=PBO=90，根据等腰三角形的性质得到A=ACO=58，根据三角形外角的性质和四边形的内角和定理即可得到结论；（2）连接OP，根据切线的性质得到CPO=BPO，PBO=90，证明PB是OD的垂直平分线，可得OPB=DPB=CPO，进而可以解决

10、问题（1）解如图，连接OC，PC，PB分别切OO于点C，B，AB是直径，PCO=PBO=90，OC=OA，A=ACO=58，BOC=A+ACO=116，P=360-90-90-116=64；（2）解：如图，连接OP，PC，PB分别切OO于点C，B，AB是直径，CPO=BPO，PBO=90，BD=OB，PB是OD的垂直平分线，PO=PD，OPB=DPB，OPB=DPB=CPO，DPC=81，OPB=DPB=CPO=27，D=90-27=63【点睛】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键8（2022天津东丽一模）如图，已知AB是的直径，CD是的弦，连接AD，BD(1)

11、如图1，连接OC若，求及的大小；(2)如图2，过点C作的切线，交DB的延长线于点E，连接OD若，求的大小【答案】(1)，；(2)90；【分析】（1）根据圆周角定理进行角度计算即可；（2）连接OC，根据圆周角定理求得OCDB，再由切线的性质即可解答；(1)解：AB是的直径，在中，；(2)解：如图，连接OC，CE与相切， ，【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；直径（半圆）所对圆周角是直角；切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径；掌握相关定理是解题关键9（2022天津一模）已知ABC内接于，连接AO并延长，交于点D，交于点E(1)如图，连接C

12、D，若BAC=75，求ADC，BAD的大小；(2)如图，过点C作的切线，与BA的延长线相交于点F，连接BD，若BE=BD，求F的大小【答案】(1)ADC=45，=30(2)=22.5【分析】（1）根据同圆或等圆中同弧所对的圆周角相等即可求出ADC的度数，然后由直径所对的圆周角是直角得到=90，然后根据BAC=75，即可求出BAD的度数；（2）连接OC由直径所对的圆周角是直角得到=90，进而求出=45，然后由BE=BD，得到=，证明CFAD，根据平行线的性质即可求出F的度数(1)解：在O中，=45，ADC=45AD为O的直径，=90 =90=45=75，=7545=30(2)解：连接OC=45，

13、AD为O的直径，=90=90=45BE=BD，=90=22.5 CF为O的切线，OCCF，即=90 +=180，CFAD=22.5【点睛】此题考查了圆周角定理，切线的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质和判定等知识，解题的关键是熟练掌握圆周角定理，切线的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质和判定10（2022天津河北一模）已知AB为O的直径，C为O上一点，过点C作O的切线DC交BA的延长线于点D，连接BC(1)如图，连接AC，若，求ACD的大小；(2)如图，E为上一点，连接OE，CE，若四边形ODCE为平行四边形，求B的大小【答案】(1)25(2)22.5【分析】连接OC，根据AB为O的直径，

14、可得ACB=90，再由CD是O的切线，可得BCO=ACD，即可求解；（2）连接OC，根据四边形ODCE为平行四边形，可得OECD，ODCE，从而得到COE=90，再由OB=OC，可得OCE=E=45，然后根据圆周角定理，即可求解(1)解：如图，连接OC，AB为O的直径，ACB=90，CD是O的切线，OCCD，即OCD=90，BCO=ACD，OB=OC，B=BCO，ACD=B=25；(2)解：如图，连接OC，四边形ODCE为平行四边形，OECD，ODCE，OCCD，OCOE，即COE=90，OE=OC，OCE=E=45，AOC=OCE=45，【点睛】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，平行四边

15、形的性质，熟练掌握切线的性质，圆周角定理，平行四边形的性质定理是解题的的关键类型三：根据性质和判定求图形面积11（2022全国九年级课时练习）如图，四边形OAEC是平行四边形，以O为圆心，OC为半径的圆交CE于D，延长CO交O于B，连接AD、AB，AB是O的切线(1)求证：AD是O的切线(2)若O的半径为4，求平行四边形OAEC的面积【答案】(1)见解析(2)32【分析】（1）连接OD，证明，可得，根据切线的性质可得，进而可得，即可证明AD是O的切线；（2）根据平行四边形OAEC的面积等于2倍即可求解（1）证明：连接OD四边形OAEC是平行四边形，又，AB与相切于点B，又OD是的半径，AD为的

16、切线（2）在RtAOD中，平行四边形OABC的面积是【点睛】本题考查了切线的性质与判定，平行四边形的性质，三角形全等的性质与判定，掌握切线的性质与判定是解题的关键12（2022江苏九年级专题练习）如图，O的圆心O在ABC的边AC上，AC与O分别交于C，D两点，O与边AB相切，且切点恰为点B（1）求证：A+2C90；（2）若A30，O的半径为，求图中阴影部分的面积（不求近似值）【答案】（1）A2C90；（2）【分析】（1）连接，根据切线的性质得到，根据圆周角定理得到，证明结论；（2）连接，作于E，证明是等边三角形，得到，根据正切的定义求出，根据三角形的面积公式、扇形面积公式计算，得到答案【详解】

17、证明：（1）连接OB.OBOCAOB2CAB且O于BABO90A2C90（2）解：连接，作于E，则，在中，是等边三角形，是直径，图中阴影部分的面积【点睛】本题考查的是切线的性质、扇形面积计算，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径、扇形面积公式是解题的关键13（2021江苏景山中学九年级阶段练习）已知：如图，AB为O的直径，点C、D在O上，且BC6cm，AC8cm，ABD45（1）求AB的长；（2）求BD的长；（3）求图中阴影部分的面积【答案】（1）10cm；（2）cm；（3）cm【分析】（1）根据圆周角定理求出C90，再根据勾股定理求出AB即可；（2）连接OD，求出DOB90，根据勾股定理求出BD

18、即可；（3）分别求出扇形DOB的面积和BOD的面积，再求出阴影部分的面积即可【详解】解：（1）AB为O的直径，C90，BC6cm，AC8cm，AB10（cm）（2）连接OD，ABD45，ODOB，ODBABD45，DOB180ODBABD90，AB10cm，OBOA5cm，OD5cm，BD5（cm）；（3）过O作OEBD于E，ODOB5cm，BD5cm，SDOB，解得：OE，阴影部分的面积SS扇形DOBSODBcm2【点睛】本题考查了勾股定理，圆周角定理，三角形的面积，扇形的面积计算，等腰三角形的性质和三角形内角和定理等知识点，能求出AB的长和DOB的度数是解此题的关键14（2022广东深圳市

19、大鹏新区华侨中学模拟预测）如图，在中，与，分别相切于点E，F，平分，连接OA(1)求证：是的切线；(2)若，的半径是2，求图中阴影部分的面积【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）过点作于点，连接，根据切线的性质和角平分线的定义即可证明OBDOBE，即可得出结论；（2）设分别交于点，连接，根据切线的性质和等腰三角形的性质先证明四边形是矩形，再由勾股定理求出AB的长度，利用“HL”证明，即可求出，根据图中阴影部分的面积为，利用三角形的面积公式和扇形的面积公式求解即可（1）如图，过点作于点，连接，与相切于点，平分，在和中，OBDOBE （AAS），是的半径，又，是的切线；（2）如图，设分别交于点，

20、连接，的半径是2，与相切于点，四边形是矩形，在和中，则图中阴影部分的面积为【点睛】本题考查了切线的性质和判定，角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，扇形的面积公式，熟练掌握知识点是解题的关键15（2022湖北咸宁模拟预测）如图，为的直径，和过点上点C的切线互相垂直，垂足为点D，交于点E(1)求证：平分；(2)已知，若点E为的中点，求图中阴影部分的面积【答案】(1)见解析(2)【分析】(1) 连接，根据切线的性质证明，根据等腰的性质、等量代换证明；(2) 连接，交于F，则，结合三角形的性质和扇形面积公式求出阴影部分即可(1)解：证明：连接是的切线，

21、平分(2)解：连接，交于FE为的中点，由（1）可知，平分，为直径，且，【点睛】本题考查切线的性质，圆的切线垂直于经过切点的半径，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系，也考查了三角形的性质和扇形的面积公式类型四：根据切线的性质求弧长16（2021江苏盐城九年级期中）如图，AB为O的直径，C为O上一点，弦AE的延长线与过点C的切线互相垂直，垂足为D，CAD33，连接BC(1)求B的度数(2)若AB4，求的长【答案】(1)B=57(2)的长为【分析】（1）连接OC，如图，利用切线的性质得到OCCD，则可得ADOC，所以1=3=33，再根据2=3得到2的度数，然后由圆周角定理推出

22、ACB=90即可解决问题；（2）根据同弧所对的圆周角和圆心角的关系求出EOC，再根据弧长公式计算即可（1）解：如图，连接OC，CD与O相切于点C，OCCD，又ADCD，ADOC，1=3=33，又OA=OC，2=3=33，AB为直径，ACB=90，B=90-33=57；（2）连接OE，CAD=33，EOC=2CAD=66，AB=4，OE=2，的长为：【点睛】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，弧长的计算公式，根据切线的性质证得OCAD是解决问题的关键17（2022江苏九年级课时练习）如图，AB为O的直径，C为O上一点，弦AE的延长线与过点C的切线互相垂直，垂足为D，CAD36，连接BC(1)求

23、B的度数；(2)若AB3，求的长【答案】(1)54(2)【分析】（1）连接OC，如图，利用切线的性质得到OCCD，可得OCAE，所以CADOCA，然后利用OCAOAC得到CADOAC，可求出COB ，利用B=OCB即可求出B；（2）根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍求出COE，根据弧长公式即可求出的长（1）连接OC，CD是O的切线，OCCD，AECD，OCAE，CADOCA，OAOC，OCAOAC，COB2CAD36272，OBOC，B（180COB）2（18072）254；（2）连接OE，O的直径AB3，OA15，COE2CAD23672，【点睛】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，弧长

24、的计算公式，根据切线的性质证得OCAE和掌握弧长公式是解题的关键18（2021全国九年级课时练习）如图，直线，垂足为P，测得（1）用尺规在图中作一段劣弧，使得它在A，C两点分别与直线和相切；（2）求该圆弧的长【答案】（1）答案见解析；（2）【分析】（1）利用切线定义作圆，使圆与AB，CD相切，弧AC就是所要画的劣弧；（2）用弧长公式计算即可求出【详解】解：（1）分别从点A，C处作垂线，两垂线相交于点O，以点O为圆心，OA为半径作圆，弧AC就是所求的劣弧；（2）由题意及作图过程可得：AOC=90，ACP=45，AC=6cm，OA=cm，弧AC=cm【点睛】本题主要考查了学生的画题能力，利用切线的

25、性质确定圆心及利用弧长公式解决实际问题的能力19（2020吉林省第二实验学校九年级阶段练习）如图，点C在以AB为直径的O上，过点B作O的切线，与AC的延长线交于点D（1）求证：CBDBAC；（2）若CBD36，O的半径为5，则的长度 【答案】（1）见解析；（2）2【分析】（1）由圆周角的性质和切线的性质得到BAC+ABC90，CBD+ABC90，即可得到结论；（2）根据同弧上的圆周角和圆心角的关系求得BOC，根据弧长公式即可求得结果【详解】解：（1）证明：点C在以AB为直径的O上，ACB90，BAC+ABC90，BD是O的切线，CBD+ABC90，CBDBAC；（2）解：由（1）知，CBDBA

26、C，CBD36，BAC36，BOC72，的长度2故答案是：2【点睛】此题考查了圆周角定理，圆切线的性质，直径的性质和圆的弧长公式，解题的关键是熟练掌握圆周角定理，圆切线的性质，直径的性质和圆的弧长公式20（2019山西阳泉一模）如图，AB是O的直径，C为O 上一点，过点C作O的切线DE，ADDE于点D，DE与AB的延长线交于点E，连接AC（1）求证：AC平分DAE；（2）若O的半径为2，CAB=35，求的长.【答案】（1）见解析；（2）【分析】（1）利用切线的性质得出平行，再利用半径相等得出等腰AOC，等量代换得出AC平分DAE；（2）求出所对的圆心角，利用弧长公式求解.【详解】（1）证明：DE是O的切线, OCDE. 又ADDE,OCAD1=3OA=OC，2=31=2即AC平分DAE（2）解：在O 中，COB=2CAB，且CAB=35. COB =70. 又O的半径为2，的长为： 【点睛】本题考查了切线的性质，和弧长公式，综合运用切线的性质和半径相等得出等腰三角形，通过等量代换得出角相等，并且熟练运用弧长公式求解是解题的关键.