备考2024届高考数学一轮复习好题精练第五章数列突破2数列中的构造问题1.docx

1、突破2数列中的构造问题命题点1形如an1panf（n）（p1）例1 （1）在数列an中，a11，an13an2n1，则an2n1.解析因为an13an2n1，所以an+12n+132an2n14，即an+12n+11232（an2n12）.因为a121120，所以an2n120，故an2n1.（2）设数列an满足a13，an13an4n，则an2n1.解析由已知可得an1（2n3）3an（2n1），an（2n1）3an1（2n1），a253（a13）.因为a13，所以an2n1.命题拓展变条件若例1（2）中的a14，则an3n12n1.解析设an1x（n1）y3（anxny），则展开利用对应项

2、系数相等可得出x2，y1，所以an2n1是以a1211为首项，3为公比的等比数列，所以an2n13n1，所以an3n12n1.方法技巧形如an1panf（n）（p1）的递推式，一般采用构造法求通项：（1）若f（n）为非零常数，则一般凑配成an1xp（anx）的形式（利用待定系数法求x），构造等比数列；（2）若f（n）为关于n的一次函数，则一般凑配成an1x（n1）yp（anxny）的形式（利用待定系数法求x，y），构造等比数列；（3）若f（n）为指数幂（如qn）的形式，则一般两边同时除以pn1或qn1，再利用累加法或构造法求通项.训练1 在数列an中，a15，an13an4，则an3n2.解析

3、由an13an4，可得an123（an2），又a15，所以an2是以a123为首项，3为公比的等比数列，所以an23n，所以an3n2.命题点2形如an1panqanr例2 多选/2023江苏镇江中学5月考前模拟已知数列an满足a11，an1an2+3an，则下列结论正确的有（ABD）A.1an3为等比数列B.an的通项公式为an12n+13C.an为递增数列D.1an的前n项和Tn2n23n4解析因为a11，an1an2+3an，所以1an+12+3anan2an3，所以1an+132（1an3）.又1a134，所以数列1an3是以4为首项，2为公比的等比数列，所以1an342n12n1，即

4、an12n+13，故A，B正确.因为an1an12n+2312n+13（2n+13）（2n+23）（2n+23)(2n+13）2n+1（2n+23)(2n+13），n1，所以2n230，2n130，2n10，所以an1an0，所以an为递减数列，故C错误.易知1an2n13，则Tn（2223242n1）3n4（12n）123n2n23n4，故D正确.故选ABD.方法技巧形如an1panqanr的递推式，一般采用取倒数法求通项，先变形为1an+1rp1anqp，再利用累加法或构造法求通项.训练2 （1）已知数列an满足a11，an1anan+2，则a10（C）A.11021B.11022C.11

5、023D.11024解析由an1anan+2，两边同时取倒数得1an+1an+2an2an1，则1an+112（1an1），所以数列1an1是以2为公比的等比数列，则1an1（1a11）2n12n，所以an12n1，故a101210111023.故选C.（2）已知数列an满足a11，an12anan+2，则an2n+1.解析依题意知an0，由an12anan+2可得1an+1an+22an121an，即1an+11an12，又a11，可知数列1an是以1a11为首项，12为公差的等差数列，则1an112（n1）n+12，即an2n+1.命题点3形如an1panqan1（n2）例3 已知数列an

6、满足an15an6an1（n2），且a11，a24，则数列an的通项公式为an23n12n1.解析解法一当n2时，令an1xany（anxan1），即an1（xy）anxyan1.于是得xy=5，xy6，解得x=2，y=3或x=3，y=2.当x2，y3时，an12an3（an2an1）（n2）.由于a22a120，所以数列an12an是以2为首项，3为公比的等比数列，即an12an23n1.当x3，y2时，an13an2（an3an1）（n2）.由于a23a110，所以数列an13an是以1为首项，2为公比的等比数列，即an13an2n1.由得an23n12n1.解法二当n2时，由an15an

7、6an1得an12an3an6an1，即an12an3（an2an1），因为a22a120，所以数列an12an是以2为首项，3为公比的等比数列，所以an12an23n1，两边同除以2n1，得an+12n+1an2n12（32）n1.所以an2n（an2nan12n1）（an12n1an22n2）（a222a121）a12112（32）n212（32）n312（32）012121（32）n113212（32）n112.故an23n12n1.方法技巧形如an1panqan1（n2）的递推式，一般采用构造法求通项，将原式变形为an1an（anan1）（n2），由待定系数法求出，再依据相邻两项的递推

8、关系求通项.训练3 已知数列an满足a11，a22，且对任意nN*，都有an23an12an.则an的通项公式为an2n1.解析由an23an12an，得an2an12（an1an），又a2a11，易知an1an0，所以an+2an+1an+1an2，所以数列an1an是以1为首项，2为公比的等比数列.所以an1an2n1，所以an（anan1）（an1an2）（a3a2）（a2a1）a12n22n32120120212n32n21202n112112n1，所以an的通项公式为an2n1.思维帮提升思维快速解题用“不动点法”求数列的通项公式例4 已知数列an满足a12，anan1+22an1+

9、1（n2），则数列an的通项公式为an3n（1）n3n（1）n.解析令xx+22x+1，解得x1或x1，令an+11an+1+1can1an+1，由a12，anan1+22an1+1，得a245，令式中的n1，可得c13，数列an1an+1是以a11a1+113为首项，13为公比的等比数列，an1an+113（13）n1，an3n（1）n3n（1）n.方法技巧利用不动点法求数列通项的步骤对于一个函数f（x），我们把满足f（m）m的值m称为函数f（x）的“不动点”.利用“不动点法”可以构造新数列，求数列的通项公式.设f（x）axbcxd（c0，adbc0），数列an满足an1f（an），a1f（

10、a1）.（1）若f（x）有两个相异的不动点p，q，则an+1pan+1qkanpanq（此处kapcaqc）.步骤如下：i.令xaxbcxd，解出两个根p，q，即两个不动点；ii.构造新数列an+1pan+1q，并将已知递推关系an1f（an）代入化简，得出an+1pan+1qkanpanq，并得出等比数列anpanq的通项；iii.解方程得出an.（2）若f（x）有两个相同的不动点p，则1an+1p1anpk（此处k2cad）.训练4 已知数列an满足a13，an17an2an+4，则该数列的通项公式为an46n15n126n15n1.解析由方程x7x2x+4，得数列an的不动点为1和2，则an+11an+127an2an+417an2an+427an2（an+4）7an22（an+4）65an1an2，所以an1an2是首项为a11a122，公比为65的等比数列，所以an1an22（65）n1，解得an12（65）n11246n15n126n15n1.